【最新】人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质公开课课件
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人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
∴△OAM≌△OBM.
C
A M└ ●O
D
∴∠AMO= ∠ BMO. B ∴CD⊥AB
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
▪ 推论2：平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一 条弧.
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
A
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合． Z,x,xk
C
·O
E B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
即ห้องสมุดไป่ตู้Ｅ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴． Zx,xk
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
▪1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” ▪2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 ▪5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径完美课件
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分 ②⑤ ①③④ 弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并 ③⑤ ①②④ 且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
人教版数学 九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件
条件 结论
命题
C
A M└
B
●O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另 ①⑤ ②③④ 一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
•
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
•
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
O
22
在Rt△AOE中
A
E
B
AO 2O E2AE2
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
全国优质课一等奖人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》公开课件
水面AB宽为（A.4mB.5m）.C.6m
D.8m
【详解】连接OA，∵桥拱半径OC为5m，∴OA=5m，
∵CD=8m，∴OD=8−5=3(m)，
∴AD= 2 − 2 = 52 − 32 = 4 (m)
若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
.
y
(0, 5 )
C
3
O 2M
A
D
5B
x
课堂练习 （利用垂径定理进行计算）
变式5：如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
r
A
O
9-r
3 E
B
D
课堂练习 （利用垂径定理进行计算）
变式六 如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，
⌒
C是AB的中点，CD就是拱高．
在Rt△ADO中，由勾股定理得 + = ，
解得R≈27.3m
答：桥拱的半径约为27.3m
18.5
R
R-7.23
课堂练习 （利用垂径定理解决实际问题）
如图是一个圆弧形门拱，拱高1m ，跨度4m ，那么这个门拱的半径为（
A.2m
B.2.5m
C.3m
则OE=
3
，AB=
8
?
.
?
3
4
变式3：如图，在ʘO中，AB=8，ED=2，
则OA=
5 ，OE=
3
r2 = (r － 2)2 + 42
.
半径、弦长、弦心距、弓形高四个量中，知二求二
r?
r? － 2
5 3
课堂练习 （利用垂径定理进行计算）
变式4：如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
新人教版九年级上册数学24.1.2垂直于弦的直径优质课件
总结
知1－讲
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质
是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
第十四页，共二十页。
知识点 3 垂径定理的推论
知3－讲
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的两条弧.
A
图1
C
O E
D
B
O
图2
AE
知2－讲
B
第十页，共二十页。
知2－讲
D
A C
E
图3 A E O B 图4 B
O
C
D
第十一页，共二十页。
例2赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有
1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它
的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为
37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州
桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
知2－练
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
第十二页，共二十页。
解： 如图，用AB⌒表示主桥拱，设AB所在⌒圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C⌒， 连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点⌒，CD
知1－讲
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到 了什么结论？你能证明你的结论吗？
第五页，共二十页。
归纳
知1－讲
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径 所在的直线都是圆的对称轴.
人教版《垂直于弦的直径》数学公开课PPT1
∴AE=BE, (3)已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为——
. O 设
，则
，
∴ 四边形ADOE为正方形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 2、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且0C＝OD.
AC =BC, AD =BD. 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
8.已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6， OE⊥AB，OF⊥CD。求四边形OEPF的周长
3
5
4
5
3
4
随堂训练：1.填空
(1)已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为—2—cm.
知识回顾：垂径定理的内容是什么？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
垂径定理的几何语言叙述:
∵∴CADE为=B直E径，，A⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD是直源自,应用垂径定理的书写步骤1
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
C
O
A
E
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
最新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》优质教学课件
线段: AE=BE
C
劣弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D
理由如下：
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧
的两个半圆重合，点A与点B重合， A E
B
AE与BE重合，A⌒C和B⌒C，A⌒D与B⌒D
D
重合．
归纳总结
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧． C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧． 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
证明猜想
① CD是直径 ③ AE=BE
② CD⊥AB，垂足为E ④ A⌒C=B⌒C ⑤ A⌒D=B⌒D
求证：A⌒C＝B⌒D.
C
证明：作直径MN⊥AB.
A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）. N
∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M.
∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心
·O AE B
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种
语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
C O
A
D
B
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
A C
D O
B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A
C
D
B
7．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧.
A O C E B 知二推三 D
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
5．利用新知 问题回解
C A D B
O
6．利用新知 解决问题
24.1 圆的有关性质（第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始 研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并 应用垂径定理及其推论解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点： 垂径定理及其推论．
C O
A
D
B
6．利用新知 解决问题
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
A C
D O
B
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
1．创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折，重 复做几次，你发现了什么？由此你能猜想哪些线段相等？ 哪些弧相等？
O
A
C
D
B
6．利用新知 解决问题
变式3 连接 OC，OD，设 OC=OD， 求证：AC=BD．
O A
C
D
B
7．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧.
A O C E B 知二推三 D
4．新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
5．利用新知 问题回解
C A D B
O
6．利用新知 解决问题
24.1 圆的有关性质（第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始 研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并 应用垂径定理及其推论解决问题．
课件说明
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点： 垂径定理及其推论．