12.1.3垂直平分线习题
1、已知点P在线段AB的垂直平分线上，且PB=6cm， 则PA= .
A
2、如图，点D在△ABC的BC
边上，且BC=BD+AD，
则点D在
的垂直平分线上
B D
C E B
C
3、如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，DE是AB的垂直平 分线，交BC与点E，连接AE，
∠CAE:∠DAE=1:2 ∠CAE=∠DAE，则∠B=
若AD+AC=24cm，BD+BC=20cm,
D E
B C A R P B Q C
求△BEC的周长.
7、如图：在△ABC中,∠B=∠C, P、Q、R分别在AB、BC、AC上， 且BP=CQ,BQ=CR,求证：点Q在
PR的垂直平分线上.
A
8、如图：直线AD是线段BC的垂直
平分线，求证：∠ABD=∠ACD
. A
D
A
4、如图：在△ABC中， AB=AC=10cm,DE垂直平分AB， △BEC的周长为17，求BC长.
B
D E C A
5、如图：AC比BC长2cm，AB的 垂直平分线交AC于E，交AB与D，
D E B C
△BCE的周长14cm，求AC和BC
的长.
6、如图：在△ABC中，AB=AC,
A
AB的垂直平分线DE交AC于点E，
D B C B D
M
9、如图：点E是∠AOB的平分 线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB, 垂足分别是C,D，求证：OE是
CD的垂直平分线.
O
E A
C
10、如图：在△ABC中，
∠ACB=90°，AD平分∠BAC，
A
DE⊥AB于E，且AE=AC，求证：
直线AD是CE的垂直平分线.
B
E
C
D
垂直平分线的性质练习题
垂直平分线的性质练习题练习一：已知直线AB与直线CD相交于O点，且O点在直线AB上。
证明：如果直线AO与直线CO互相垂直，则直线AD与直线BC也互相垂直。
解答：首先，根据条件已知，可以得出AO⊥CO，根据垂直平分线的性质，可以得出AO=CO。
同样地，由于AB⊥CD，所以AO=BO，CO=DO。
我们需要证明AD⊥BC，即证明直线AD与直线BC互相垂直。
假设不然，即假设AD与BC不互相垂直。
由于AO⊥CO且AO=CO，所以OA=OC。
同时，根据勾股定理可得AD²+OA²=OD²以及 BC²+OC²=OB²。
将OA=OC代入上式，得到AD²+OC²=OD²以及 BC²+OC²=OB²。
将AD²+OC²=OD²式子两边同时减去BC²，得到AD²-BC²+OC²-OC²=OD²-OB²，即AD²-BC²=OD²-OB²。
根据差平方公式，可将AD²-BC²因式分解为(AD+BC)(AD-BC)，同样地，OD²-OB²可以因式分解为(OD+OB)(OD-OB)。
将AD²-BC²=OD²-OB²式子中的右边代入得到(AD+BC)(AD-BC)=(OD+OB)(OD-OB)。
由于AD+B C≠0，所以可以将上式改写为(AD-BC)/(OD-OB)=(OD+OB)/(AD+BC)。
根据已知条件是AO=BO，我们可以将OD和OB表示为OA和OC 的组合形式。
即OD=OA+AD，OB=OC-BC。
将OD和OB代入上式，就得到了(OA+AD-BC)/(OC-BC)=(OA+OC)/(AD+BC)。
垂直平分线的练习题
(第2题）E D C BA 垂直平分线的练习题 1、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2，求A 、E 两点的距离.2、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，求证点P 一定是三角形三条垂直平分线的交点。
（点P 三角形的外心）3、在三角形内部，有一点P 到三角形三条边的距离相等，求证点P 一定是三角形三条角平分线的交点。
（点P 三角形的内心）6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，判断△ABC 的形状。
5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，求△BCD 的周长。
8、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
（保留作图痕迹）9、（2009·陕西）如图1，在锐角△ABC 中，AC=4，AB=BC ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，求B M ＋MN 的最小值。
10、（2009·甘肃）如图2，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连接BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，求AB 的长与AD ＋BC 的长的大小关系。
8、（2007·绵阳）如图4，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②✂③,①③✂②，②③✂①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。
9、如图5，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于O点，求证：OA平分∠DOE10、（2007·日照）如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。
垂直平分线和角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
北师版八年级数学下册 1.3《线段的垂直平分线》同步练习(含答案)
《线段的垂直平分线》同步练习一、选择题（1）如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么（ ）（A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD（C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能二、填空题（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.（2）在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD______BC （填⊥或//），=BD _____. 如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______. 如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到AD 的距离是______.（3）已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，DE 垂直平分AB ，且交CA 的延长线于D ，则DBC ∠的度数为_______.（4）在等腰三角形ABC 中，cm AC AB 8==，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，若BCD ∆的周长为cm 10，则底边BC 的长为______.（5）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E .①若︒=∠60A ，则=∠DCB ______，=∠ADC ________.②若︒=∠30B ，5=BD ，则ACD ∆的周长为______.（6）如图，在ABC ∆中，BC AC >，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，BC_____.∆的周长为12，则=AC，BCE8=（7）如图，在ABCABC，DE是AB的垂直平分线，∠65=∆中，ACAB=，︒则=∠CBE_______..（8）如图，在ABC∆中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD∆的周长为cm=，则ABC∆的周长为_______cm.AC512，cm（9）如图，已知在直角三角形ABC中，︒∠15B，DE垂直平分AB，=C，︒=∠90交BC于E，5BE，则=AC______.=（10）在ABCBAC，AC的垂直平分线交BC于D，交∠120∆中，ACAB=，︒=AC于E，若cm=，则BC的长度为______cm.DE5三．证明题（1）如图，已知：︒C，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交BC于E，=∠90CE=.=. 求证：DEACAB2（2）如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分DACAD//.∠. 求证：BC（3）如图，已知：AD 是ABC ∆的高，E 为AD 上一点，且CE BE =. 求证：ABC ∆是等腰三角形.（4）如图，已知：在ABC ∆中，A B AC AB ∠=∠=2,，DE 垂直平分线AC 交AB 于D ，交AC 于E . 求证：BC AD =.（5）如图，已知：E 是AOB ∠的平分线上的一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足分别是C 、D. 求证：OE 垂直平分CD .（6）如图，已知：在ABC ∆中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P . 求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（7）如图，已知：AD 是ABC ∆的BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的延长线于F ，交AD 于E ，求证：CAF BAF ∠=∠.（8）如图，已知：在ABC∠的平分线交BC于D，且AB∆中，BACDE⊥，DF⊥，垂足分别是E、F. 求证：AD是EF的垂直平分线.AC（9）如图，已知：BC∠45=DMC，DMAMB，︒CD⊥，︒AB⊥，BC=∠75AM=. 求证：BCAB=.参考答案1．选择题（1）B （2）A2．填空题（1）线段的垂直平分线 （2）⊥，CD ，EC ，2 （3）︒90 （4）cm 2（5）①︒30，︒60 ②15 （6）4 （7）︒15 （8）17 （9）5.2 （10）303．证明题（1）证明：连结AE ，由于︒=∠90C ，AC AB 2=，∴︒=∠30B ，︒=∠60CAB ，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE AE =，∴︒=∠=∠30B EAB ，∴︒=︒-︒=∠303060CAE ，即AE 是CAB ∠的角平分线，∴DE CE =.（2）证明：∵CD 是AB 的垂直平分线，∴BC AC =，∴B CAB ∠=∠，又∵DAB CAB ∠=∠，∴B DAB ∠=∠，∴BC AD //.（3）证明：∵BC AD CE BE ⊥=,，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AC AB =，∴ABC ∆是等腰三角形.（4）证明：DE 垂直平分AC ，∴CD AD =，∴DCA A ∠=∠，∵A DCA A BDC ∠=∠+∠=∠2，又有A B ∠=∠2，∴BDC B ∠=∠，∴AD CD BC ==.（5）证明：OE 是AOB ∠的平分线，∴DE CE =，∴ODE Rt OCE Rt ∆≅∆，∴OD OC =，∴O 与E 都在CD 的垂直平分线上，∴OE 垂直平分CD .（6）证明：P 是AB 、BC 边上的垂直平分线，∴CP BP BP AP ==,，∴CP AP =，∴P 点在AC 的垂直平分线上.（7）证明：EF 垂直平分AD ，∴DF AF =，∴ADF FAD ∠=∠. ∴DAC ADF ACF ∠+∠=∠BAF BAD FAD ∠=∠+∠=（8）证明：∵AD 是BAC ∠的平分线，且AB DE ⊥，AC DF ⊥，∴DF DE =，∴易证ADF Rt ADE Rt ∆≅∆，∴AF AE =，∴A 与D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 就是EF 的垂直平分线.（9）证明：︒=︒-︒-︒=∠604575180AMD ，且DM AM =，∴AD AM =. 又∵︒=︒-︒=∠454590MDC ，∴DMC MDC ∠=∠，∴CM CD =，∴AC 为DM 的垂直平分线，∴︒=︒-︒=∠454590ACM ，∴AB BC =.。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
1.3 线段的垂直平分线(含答案)-
1.3 线段的垂直平分线练习【同步达纲练习】一、判断(4分×6=24分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD 中共有一点P ，使PA=PB=PC=PD ，则∠A+∠C=180°.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题(5分×6=30分)1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O 为△ABC 三边中垂线的交点，则O 称为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6. 如图,△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，则图中60°的角共有( )A ．6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空(5分×6=30分)1.△ABC 中，AB=AC ，P 为形内一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的平分线上.2.△ABC 中，AB=AC=14，腰AB 的中垂线交AC 于D ，△BCD 周长为4cm,则BC= .3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,AB 中垂线交BC 于E ，则BCBE = . 4.正△ABC 内一点O 到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .5.△ ABC 的边AC 、BC 的中垂线交于AB 上一点O ，且OC=BC ，则∠A= .6.若PA=PB ，DA=DB ，则PD 是AB 的 .四、解答(8分×2=16分)1.△ABC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交AB 于D ，AC 于E.且∠EBC=40°,求∠A 及∠BED2.已知O 为等边三角形三边中线交点，求证BO 与CO 的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC,交AB 于E.过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F(图3.14-8),求证21（∠BAC+∠AFC ）=90°-∠B.图3.14-82.如图，△ABC 中，AB=AC ，AE ∥BC,D 为直线AE 上任一点.求证DB+DC ＞2AB.【同步达纲练习】一、× × × √ × √二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.1∶3 4.120° 5.30° 6.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25° ∠DEB=65°2.提示：设CB 中垂线交BC 于D ，OC 中垂线交BC 于E ，连OD ，OE. ∴OD=BD OE=EC. 再证∠BOC=120° ∠BOD=COE=30°∴∠DOE=60° ∠ODE=60°∴OD=OE=DE 得BD=DE=EC.【素质优化训练】1. AD 为角平分线，DE ∥AC∴∠EAD=∠EDA EF 为中垂线∴∠ADF=∠ADF=∠B+∠BAD∴∠CAF=∠B ∠BAC+∠CAF+∠AFC+∠B=180° ∴21(∠BAC+∠AFC)=90°-∠B.2.延长BA 至F ，使BA=AF ，连FD ，AD ∥BC,AB=AC ∠FAD=∠ABC=∠ACB=∠DAC.AF=AC △FAD ≌△CAD FD=DC ，FD+DB ＞FB∴DB+DC ＞2AB.。
(2021年整理)数学北师大版八年级下册线段垂直平分线练习题.3线段的垂直平分线同步练习(含答案)
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1.3线段的垂直平分线一、选择题1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C,D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A.∠CAD〈∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2．如图1－75所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A. AB＋DB>DE B。
AB＋DB<DE C. AB＋DB＝DE D。
北师大版八年级下册数学 1.3线段的垂直平分线 同步练习 (含解析)
1.3线段的垂直平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，BC＝12cm，DE垂直平分AB，△BCE的周长为30cm，则AC的长为（）A．18 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm2．如图，CD垂直平分AB，若AC＝1.6cm，AD＝2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）A．3.9B．7.8C．4D．4.63．如图，AD⊥BE，BD＝DE，点E在线段AC的垂直平分线上，若AB＝6cm，BD＝3cm，则DC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm4．下列说法错误的是（）A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD＝BD，AE＝BEB．若AD＝BD，AE＝BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若P A＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线5．已知线段AB和点C，D，且CA＝CB，DA＝DB，那么直线CD是线段AB的（）A．垂线B．平行线C．垂直平分线D．过中点的直线6．如图，线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA＝CB，DA＝DB，∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，则∠ACB＝（）A．80°B．90°C．100°D．110°7．如图，在△ABC中，∠A＝87°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BC中点，且DE⊥BC，那么∠C的度数为（）A．16°B．28°C．31°D．62°8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC ＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3B．3.3C．4D．4.59．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm10．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．12．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝60°，则∠BOC＝．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝2cm，则AE等于．14．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE 的周长为15cm，则BC的长为cm．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E是边AB上两点，且CD垂直平分BE，CE平分∠ACD，若BC＝2，则AC的长为．三．解答题16．如图，已知△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E，若AC＝9cm，△ABE的周长为16cm，求AB的长．17．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．18．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．1.3线段的垂直平分线同步练习参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∵△BCE的周长为30，∴BC+CE+EB＝30，∴BC+CE+EA＝BC+AC＝30，∴AC＝30﹣BC＝18（cm），故选：A．2．解：∵CD垂直平分AB，∴BC＝AC＝1.6，BD＝AD＝2.3，∴四边形ABCD的周长＝BC+AC+BD+AD＝7.8，故选：B．3．解：∵AD⊥BE，BD＝DE，∴AE＝AB＝6，∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴DC＝DE+EC＝AB+BD＝9（cm），故选：C．4．解：A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE＝BE．同理AD＝BD．故A正确；B、若AD＝BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；C、若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；D、若P A＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．故选：D．5．解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．故选：C．6．解：∵CA＝CB，DA＝DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB＝80°，∠CAD＝10°，∴∠ACM＝50°，∴∠ACB＝100°．故选：C．7．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE⊥BC，E是BC中点，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD+∠CBD+∠C＝180°﹣87°，解得，∠C＝31°，故选：C．8．解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面积＝×CD×BC＝×3×4＝6，∵P是BD的中点，∴S△PBC＝S△BCD＝3，故选：A．9．解：∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，∴AD＝BD，∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，∴AD+DC+AC＝17cm，∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝12cm．故选：C．10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B．二．填空题11．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．12．解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，∴点O为△ABC的外心，∴∠BOC＝2∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，故答案为：120°．13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠1＝∠2，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，在Rt△BCE中，∠1＝30°，∴BE＝2CE＝4，∴AE＝4（cm），故答案为：4cm．14．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵△BCE的周长为15cm，∴BC+CE+BE＝15cm，∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，∵AC＝9cm，∴BC＝6cm，故答案为：6．15．解：∵CD垂直平分BE，∴CE＝CB，∠BDC＝90°，∴CD平分∠BCE，即∠BCD＝∠ECD，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE，而∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AC＝BC＝2．故答案为2．三．解答题16．解：∵ED是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴BE+AE＝CE+AE＝AC＝9cm，∵△ABE的周长为16cm，∴AB＝16﹣（BE+AE）＝16﹣9＝7cm．17．解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+F A＝20．18．解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．。
北师大版八年级下册1.3《线段的垂直平分线》课时练习 含答案
2021年北师大版八年级下册1.3《线段的垂直平分线》课时练习一．选择题1．到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，∴∠C＝35°．故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。