13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习题(一)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(含答案)
的垂直平分线上．
⺁
，则 ଣ 的长为( )
C. 1
D.
)
.
到三角形三个顶点距离相等的是(
.
如图，已知 ܲ ଣ �ܲ， 댳 ଣ �댳.下列结论正确的是 (
A. 三条中线交点
�ଣ
，若
B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中垂线的交点
)
A. � 垂直平分 ܲ댳
B. ܲ댳 垂直平分 �
C. � 与 ܲ댳 互相垂直平分
对折，点 � 落在 ଣ 上
� 的周长为 13，则
三、解答题（本大题共 4 小题，共 32.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1⺁.
本小题 . 分
如图， � ଣ ଣ， � ଣ
ଣ.直线
是线段 �ଣ 的垂直平分线吗？
3
，则
处，若
恰好为 ଣ
�ଣ 的周长为______．
17. 本小题 . 分
如图，点
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题（本大题共 11 小题，共 33.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.
如图，
�ଣ 中，边 � 的垂直平分线与 ଣ 交于点 ，与 � 交于点 ，已知 ଣ ଣ ⺁，�ଣ ଣ ⺁，则 �ଣ
的周长是 ( )
A.
B.
C.
2.
D. 1
，�ଣ ଣ � ，则有 ( )
分别交 �ଣ、 ଣ 于点 、 .若
B. 3
第1 题
C. ⺁⺁
ଣ⺁
，
2
ଣ 的长为半径作弧，两弧相交于
� 的周长为 2⺁ ，则
D. ⺁
2
1
第 11 题
13.1.2线段的垂直平分线的性质(1)+课件+2023—2024学年人教版数学八年级上册
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
连接AE.若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为( B )
A．8
B．11
C．16
D．17
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点 E，ED垂直平分AB于点D，求证：BE＋DE＝AC. 证明：∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. 又ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴CE＝DE. ∵ED垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴BE＋DE＝AE＋CE＝AC.
(2)若△ABC的周长为14 cm，AC＝6 cm，求DC的长． 解：∵△ABC的周长为14 cm， ∴AB＋BC＋AC＝14cm. ∵AC＝6 cm， ∴AB＋BC＝8cm. ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE＋EC＝12(AB＋BC)＝12 ×8＝4(cm)．
7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°， 则∠AOC＝__7_8_°__.
长为( C ) A．25
B．22
C．19
D．18
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB， BC于点D，E，若∠CAE＝∠B＋18°，则∠B的度数为__2_4_°__.
5．【几何直观、推理能力】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直 平分AC和BC，分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长； 解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN. ∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB． 又△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm.
∴AD＝BC．
(2)点O在线段AB的垂直平分线上． ∠DOA＝∠COB，
13.1.2线段垂直平分线性质(1)
13.1.2线段的垂直平分线的性质（1）课型： 学习新知课 主备人： 彭骥春 审定人 姚小俐 执 教 者班级： 学习小组 学生姓名一、温故知新，情境激疑 （1）什么是轴对称图形？联系实际，你能举出一个轴对称图形的例子吗？ （2）轴对称的概念是什么？轴对称和全等有什么关系？（3）说说轴对称和轴对称图形的区别和联系？线段的垂直平分线的定义：轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 类似地，轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是小组评价： 等级：（1） 在一张半透明的纸上画线段AB ，用量角器和刻度尺画线段AB 的垂直平分线CD ，在CD 上任取一点P ，连结PA 、PB,量一量PA 、PB 的长，你有什么发现？（2） 沿直线CD 对折，线段PA 、PB 重合吗？（3） 垂直平分线的性质：○1线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等。
你能证明这个性质吗？（2）、在一张纸上线段AB 及点P 1、P 2，使P 1A=P 1B ,P 2A=P 2B,再画线段AB 的垂直平分线CD ，你又有什么发现？垂直平分线的性质：○2与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。
学习目标 1. 通过事例记住用直方图的几个重要步骤. 2. 理解组距、频数、频数分布的意义，能绘制频数分布图。
自主学习 课标要求 图解释数据中蕴涵的信息。
合作探究你能证明这个性质吗？1．下列说法正确的是（ ）A ．如果图形甲和图形乙关于直线MN 对称，则图形甲是轴对称图形B ．任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴 C ．平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某直线对称D ．如果△ABC 和△EFG 成轴对称，那么它们的面积一定相等2．如图，正六边形ABCDEF 关于直线l 的轴对称图形是六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′，下列判断错误的是（ ）B ．A ．AB=A ′B ′ B ．BC ∥B ′C ′ C ．直线l ⊥BB ′D ．∠A ′=120ɑ3、如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，求线段MN 的长。
八年级数学人教版上册同步练习 线段的垂直平分线的性质-八年级数学人教版(上)(解析版)
第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质一、选择题目：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知线段AB和点C，D，且CA=CB，DA=DB，那么直线CD是线段AB的A．垂线B．平行线C．垂直平分线D．过中点的直线【答案】C2．点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有A．PA=PB B．PA=PCC．PB=PC D．点P到∠ACB的两边的距离相等【答案】A【解析】∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB，故选A．3．下列说法错误的是A．E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线【答案】D【解析】A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE=BE．同理AD=BD．故A正确；B、若AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；C、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；D、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．故选D．4．关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．其中，正确的说法有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B5．如图，AC=AD，BC=BD，那么下列判断正确的是A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．∠ACB=∠ADB=90°【答案】B【解析】∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上，∵BC=BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选B．学科*网6．下面给出两个结论：①如图①，若PA=PB，QA=QB，则PQ垂直平分AB．②如图②，若点P到OA，OB的垂线段PC，PD相等，则OP平分∠AOB，其中A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都不正确【答案】C7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠ACD，∴AD=CD，∴AD=BD，共4组．故选D．学科*网二、填空题目：请将答案填在题中横线上．8．如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=__________．【答案】AC【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，故答案为：AC．9．如图，AD⊥BC于D，BD=CD，则AB=AC，理由__________．【答案】线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．【解析】（1）连接MN；（2）作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求．学科*网11．如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？【解析】是．理由：∵AB=AC，BM=CM，∴点A、M都在线段BC的垂直平分线上．根据“两点确定一条直线”知，直线AM是线段BC的垂直平分线．12．如图，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上一点，求证：BE=CE．13．如图，已知AE=CE，BD⊥A C．求证：AB+CD=AD+BC．【解析】∵AE=CE，BD⊥AC，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AB=BC，AD=CD，∴AB+CD=AD+BC．学科*网14．（1）在△ABC中画出AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线．（2）设所画的两条垂直平分线相交于点O，则由点O在AB的垂直平分线上，可以知道哪两条线段相等？（3）由点O在BC的垂直平分线上，又可以得到什么结论？（4）由（2）与（3）的结论，在线段的相等关系方面，你有什么新的发现？请先用等式表示，再用文字加以叙述．祝福语祝你考试成功!。
13-1-2 线段的垂直平分线的性质(解析版)
13.1.2线段的垂直平分线的性质瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进线段垂直平分线的性质题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，3cmAE=，ABC的周长为17cm，则ADC的周长是__________cm．【答案】11【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现ADC的周长即为BC AC+的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∵BD=AD，AB=2AE，∵ABC的周长为17cm，∵17AB BC AC++=（cm），∵3cmAE=，∵26cmAB AE==，知识点管理归类探究1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD = BD），∴CA = CB.∵()17611cm BC AC +=-=ADC 的周长为AD DC AC BD DC AC BC AC ++=++=+，∵ADC 的周长是11cm ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现ADC 的周长即为BC AC +的长，是解题的关键． 变式训练【变式1-1】（2020·吴江区盛泽第二中学九年级月考）在ABC 中，9BC =，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若BCE 的周长为17，则AC 的长为___________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA =EB ，根据∵BCE 的周长等于17，求出AC 的长． 【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∵EA =EB ，由题意得，BC +CE +BE =17，则BC +CE +AE =17，即BC +AC =17，又BC =9， ∵AC =8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式1-2】（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线， ∵AC =BC ，∵∵1=∵ABC =90°-68°=22°， 故选A ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．【变式1-3】（2021·九年级一模）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒【答案】B【分析】连接DE ，如图，利用基本作图得到AE =CE ，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE =AE =CE ，则∵ADE =∵A =34°，接着证明BD =DE ，所以∵DBE =∵DEB =17°，然后利用三角形外角性质计算∵BFC 的度数． 【详解】解：连接DE ，如图，由作法得MN 垂直平分AC ， ∵AE =CE ， ∵CD ∵AB ，∵∵CDB =∵CDE =90°， ∵DE 为斜边AC 的中线， ∵DE =AE =CE ， ∵∵ADE =∵A =34°， ∵BD =CE ， ∵BD =DE ， ∵∵DBE =∵DEB=12∵ADE =17°， ∵∵BFC =∵DBF +∵BDF =17°+90°=107°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 几何语言:∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2020·吴江区青云实验中学八年级月考）如图，DE=DF ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F 连接,EF EF 与AD 相交于点G ．（1）求证：AD 是EF 的垂直平分线；（2）若3,5,2AB AC ED ===，求ABC 的面积． 【答案】（1）见解答；（2）8 【分析】（1）先证明Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF 得到AE =AF ，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF =DE =2，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）证明：∵DE ∵AB ，DF ∵AC ， ∵AD =AD ，DE =DF ， ∵Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF （HL ）， ∵AE =AF ，∵AD 是EF 的垂直平分线； （2）∵DF =DE =2， ∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ACD =12×2×3+12×2×5 =8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 变式训练【变式2-1】（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）三角形纸片ABC 上有一点P ，量得3cm PA =，3cm PB =，则点P 一定（ ）A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上C ．在边AB 的高上D ．在边AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 【详解】解：∵PA ＝3cm ，PB ＝3cm ∵点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的逆定理；熟练掌握该知识是解答本题的关键．【变式2-2】（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】详见解析 【分析】由SAS 得出∵ADB∵∵AEC ，得出∵ABD=∵ACE ，再根据AAS 证明∵BOE∵∵COD ，得出OB=OC ，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在∵ADB 和∵AEC 中，AD AE A A AB AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∵∵ADB ∵∵AEC （SAS ）， ∵∵ABD ＝∵ACE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵BE ＝CD ．在∵BOE 与∵COD 中，BOE COD BE CDOBE OCD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∵∵BOE ∵∵COD （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．【变式2-3】（2019·盐城市·八年级期中）如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD ＝AE ，BE 、CD 交于点O ，求证：AO 垂直平分BC ．【分析】由SAS 得出∵ADC∵∵AEB ，得出∵ACD=∵ABE ，再根据AAS 证明∵BOD∵∵COE ，得出OB=OC ，由线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】证明：在∵ADC 和∵AEB 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ADC ∵∵AEB （SAS ）， ∵∵ACD ＝∵ABE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∵BD ＝CE ．在∵BOD 与∵COE 中，00BD CE BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BOD ∵∵COE （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．同理AB ＝AC ，点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AO 垂直平分BC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明两套三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，在钝角ABC 中，90BAC ∠>︒．（1）作AC 的垂直平分线，与边BC ，AC 分别交于点D 、E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，过点B 作BH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，连接AD ，求证ADE HBC ∠=∠． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；（2）在（1）的条件下，画出∵ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∵ADE和∵HBC的大小关系．【详解】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∵ADE和∵HBC的大小关系为：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∵DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∵∵ADE∵∵CDE（SSS），∵∵ADE＝∵CDE，∵BH∵AC，DE∵AC，∵DE∵BH，∵∵CDE＝∵HBC，∵∵ADE＝∵HBC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．变式训练【变式3-1】（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，已知∵ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．【详解】解：∵点P在AB上，∵PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∵PC=PA，∵点P在线段AC的垂直平分线上，且线段AC的垂直平分线交AB于点P．∵选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．【变式3-2】（2020·连云港市·八年级期中）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P做直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．【分析】根据线段的垂直平分线的判定证明即可．【详解】由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，∵点A 在PQ 的垂直平分线上．点B 在PQ 的垂直平分线上，∵直线AB 垂直平分PQ，∵直线PQ 就是直线l 的垂线．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2021·山西吕梁市·九年级二模）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，AC＜BC．（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ．∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ．（2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =．【详解】（1）∵∵：如图直线MN ，BF 就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN 垂直平分AB ，∵AE =BE ．∵BF ∵AE ，垂足为F ，∵90BFE ACE ∠=∠=︒．∵BEF AEC ∠=∠，∵BEF AEC △≌△．∵AC =BF ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段6AB =，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：∵分别以点,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．∵作直线CD．直线CD就是线段AB 的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞12AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞12 AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．∵ABC三边的垂直平分线的交点B．∵ABC的三条中线的交点C．∵ABC三条角平分线的交点D．∵ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是∵ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∵凉亭选择∵ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练A B C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有、、上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∵A、∵B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∵为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB 最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考【真题1】（2012·无锡市·中考真题）如图，梯形ABCD中，AD∵BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD 的垂直平分线交BC 于E ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE ，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A ．【真题2】（2010·无锡市·中考真题）如图，∵ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∵A=30°，∵ACB=80°，则∵BCE=_____ °．【答案】50【分析】根据∵ABC 中DE 垂直平分AC ，可求出AE=CE ，再根据等腰三角形的性质求出∵ACE=∵A=30°，再根据∵ACB=80°即可解答．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∵A=30°，∵AE=CE ，∵ACE=∵A=30°，∵∵ACB=80°，∵∵BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．【真题3】（2019·泰州市·中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可．． 【详解】如图直线MN 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1∠=39°，则AOC∠=__________．【答案】78︒【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∵AOG =51︒-∵A，∵COF =51︒-∵C，利用平角的定义得到∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，满分冲刺∵1l 、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，∵OA=OB ，OB=OC ，∵ODG=∵OEF=90︒，∵∵A=∵ABO ，∵C=∵CBO ，∵∵2=2∵A ，∵3=2∵C ，∵OGD=∵OFE=90︒-39︒=51︒，∵∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，∵∵OGD=∵A+∵AOG ，∵OFE=∵C+∵COF ，∵∵AOG =51︒-∵A ，∵COF =51︒-∵C ，而∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，∵51︒-∵A+2∵A+2∵C+51︒-∵C+39︒=180︒，∵∵A+∵C=39︒，∵∵AOC=2(∵A+∵C)=78︒，故答案为：78︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．【拓展2】（2018·南通市启秀中学八年级期中）如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=︒，为MN 的中点 ∵用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)； ∵在∵的条件下，如果60G ∠=︒，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？【答案】∵作图见详解，∵Q是GN的中点，证明见详解.【分析】∵利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.∵证明Q是GN的中点，根据∵的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.【详解】解：∵∵ 在∵的条件下，如果∵G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，∵∵G=60°，∵GMN=90°，∵∵N=90°─60°=30°，∵点P关于GN的对称点是点P'，∵PK∵KN，PK=12P P'，∵∵PKN=90°，又∵∵N=30°，∵PK=12PN，PP'=PN，∵P为MN的中点，∵PM=PN，PP'=PM，∵∵PР'M=∵PMР'，∵∵PK N=90°，∵N=30°，∵∵NРK=90°-30°=60°，又∵∵PP'M+∵PMP’=∵NPK，∵∵PM P'=12×60°=30°，又∵∵N=30°，∵∵PM P'=∵N，QM=QN，∵∵GMN=90°，∵PM P'=30°，∵∵GMQ=90°-30°=60°，又∵∵G=60°，∵∵GMQ=∵G，∵QG=QM，又∵QM=QN，∵QG=QN，Q是GN的中点。
线段的垂直平分线的性质和判定习题
13．1.2线段的垂直平分线的性质姓名：01基础题知识点1线段的垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，已知PA＝5，则PB的长为( ) A．6 B．5 C．4 D．32．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3，BD＝1.6，则四边形ACBD的周长是( )A．3.9 B．7.8C．4 D．4.63．如图，AD⊥BC，BD ＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．4．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．知识点2线段的垂直平分线的判定5．已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB.则下列结论中正确的是( )A ．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．P点在AB的垂直平分线上6．(毕节中考)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．02中档题9．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC10．如图，△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°11．已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有( ) A．3对B．4对C．5对D．6对12．(恩施中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为( )A．3 cm B．6 cmC．12 cm D．16 cm13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，△BCE的周长是8，AB－BC＝2，则△ABC的周长是( )A．13 B．12 C．11 D．1014．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP＝5，那么PC＝．15．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN经过点A，连接AC，求证：点A在CD的垂直平分线上．03综合题16．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证：。
初中数学八年级上册《13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1)》
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）学习目标：1.掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．3会过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图，了解作图的道理．一、学前准备1. 线段的垂直平分线的概念： .二、预习导航（一）预习指导活动1 线段的垂直平分线的性质（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的性质）2.线段的垂直平分线的性质： .几何推理形式：如图所示，∵，∴ .活动2 线段的垂直平分线的判定（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的判定）3.线段的垂直平分线的判定： .4.如图，已知PA=PB，求证：点P在线段AB 的垂直平分线上.活动3过点作已知直线的垂线（阅读教材第62页，过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理）5.如图，已知直线AB及AB上的一点P，求作：直线AB的垂线，使它经过点P.（保留作图痕迹，不写作法）预习疑惑：（二）预习检测6.如图，PA=PB.（1）若PC⊥AB，垂足为C，则AC= ；（2）若AC=BC，则PC⊥ .（3）已知线段AB及一点P，PA=PB=3 cm，则点P在 .7.如图，AB=AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于D.若△ADB的周长为18，求DC的长.三、课堂互动问题1线段垂直平分线性质和判定的应用8.如图，在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA =OC ，求证:点O 在BC 的垂直平分线上.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则BC = ．2.如图，D 为BC 边上一点，且BC=BD+AD ，则AD DC ，点D 在 的垂直平分线上. 第1题图第2题图3.如图，CD为AB的垂直平分线，若AC=1.6 cm，BD=2.4 cm，则四边形ACBD的周长为（）第3题图A.4 cmB.8 cmC.5.6 cmD.6.4 cm4.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为边AB的垂直平分线，则AC+BC=cm.第4题图5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D. 若△BCD的周长为8，求BC的长.AEDB C第3题图《13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）》参考答案一、学前准备1.略.二、预习导航2.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何推理形式：∵PC 是AB 的垂直平分线，∴PC ⊥AB ，AC=BC .3.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.解：如图，过点P 作PC ⊥AB 交AB 于点C .∵PC ⊥AB ，∴∠PCA =∠PCB =90°.在Rt △PCA 和Rt △PCB 中，PA PB PC PC ==⎧⎨⎩ ∴Rt △PCA ≌Rt △PC B(HL ) .∴AC=BC .∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.5.略.6.（1）BC ；（2）AB ；（3）AB 的垂直平分线上.7.解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB .又∵AB=AC=8，△ABD的周长为AB+AD+DB=18，∴8+2AD=18，解得AD=5.又∵AC=8，∴DC=AC-AD=8-5=3.三、课堂互动8.证明：∵ON是AB的垂直平分线，∴OA=OB.又∵OA=OC，∴OB=OC.∴点O在BC的垂直平分线上.五、达标检测1.答案：15.2.答案：=；AC.3.解：B.4.解：7.5.解∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵△BCD的周长为8，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=8.∵AB=AC=5，∴BC=3.。
13.1.2线段的垂直平分线性质(第一课时)
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 于______． A
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． A P3 P2 P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
l P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等．
C
B
课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．
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13.1.2线段的垂直平分线的性质（一）
知识点：
1.线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
2.线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的额垂直平分线上
3.尺规作图：做线段的垂直平分线
4.定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且它们到三角形三个顶点的距离相等．
同步练习：
预习效果检测
1．如图1-3-1，下列说法正确的是（）
A．若AC =BC，则CD是线段的垂直平分线; B ．若AD=DB，则AC=BC C．若CD⊥AB，则AC=BC; D．若CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BC
图1-3-1 图1-3-2 图1-3-3
2．如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能3．如图1-3-2，Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD分∠CAD：∠DAB=2：1，•则∠B的度数为（）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
4．如图1-3-3，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上
A．AB B．AC C．BC D．不能确定
5.如图1-3-4所示，已知等腰三角形ABC，AB边的垂直平分线交AC于D，AB=AC=8，BC=6，求△BDC周长．
6.已知：如图1-3-5，△ABC．
求作：一点P，使PA=PB=PC．
图1-3-4
图1-3-5
7．如图1-3-6，A 、B 、C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等，请作出变电站的位置(用P 点表示)。
8.已知：如图1-3-7，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB •上一点，•且在BD 的垂直平分线EG 上，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上．
9.已知：如图1-3-8，A 、B 、C 三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P ．
10.如图1-3-9，△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，D 为△ABC 外一点，且AD=BD ，DE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，求证：D E=AE +BC ．
预习效果检测答案 1．D 2． B 3．B 4．B
5.【解】：∵DE 是AB 的垂直平分线
∴点B 、A 关于BD 轴对称
∴AD =BD
∴△BCD 的周长=BC +CD +BC =AD +CD +BC =AC +BC
∵AC =8，BC =6
∴△BCD 周长=8+6=14．
图1-3-6 图1-3-7 图1-3-8 图1-3-9
6.
图1-3-5(1)
7.略
8.【证明】：
∵E在BD垂直平分线EG上，
∴EB=ED，
∴∠1=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠B+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠2，
∴EA=EF，
∴E在AF的垂直平分线上．
9.【作法】：先作到A、B两点距离相等的点的图形．再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点．
（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；
（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P．
则点P为所求作的学校位置．
10.【证明】：连结CD，∵AC=BC，DA=DB，
∴点C、点D都在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠ACD=45°，
又∵DE⊥AC，
∴∠CDE=45°，
∴DE=CE=AC+AE=AE+BC．。