概率论与数理统计 二维随机变量及其分布 课件

j1
P {Y y j }

p ij , j 1 , 2 , .
i 1
例3.2
已知下列分布律求其边缘分布律.
Y X
0
0
16 49 12
1
12 49
9 49
1
49
解
Y
X
0
0
12 42 12
1

12 42
p j P{Y y j }
4 7 3
7
1


6
1
42
42
pi P{ X xi }

, i 1, 2, .
上式在事件{Y=yj }发生的条件下随机变量 X取值的概率分布规律，故称为在Y=yj 条件下 X的条件分布律。
同理，如果pi· >0,则
P {Y y j X x i } P { X xi ,Y y j } P{ X xi } p ij pi , j 1, 2,
二维随机变量及其分布
多维随机变量的概念 二维离散型随机变量及分布 二维离散型随机变量及分布 二维随机变量的分布函数 随机变量的独立性 二维随机变量的函数的分布
3.1 多维随机变量的概念
在很多随机现象中，常会遇到试验结果需 要同时用两个或更多个随机变量描述。例如炮 弹弹着点的位置由三维坐标(X,Y,Z)确定，三个 坐标X,Y,Z即是三个随机变量。这种用于描述 一个试验结果的多个随机变量称为多维随机变 量。一般地，由n个随机变量X,Y, …,W构成的 n维随机变量记作(X,Y, …,W). 本章主要介绍二维随机变量，至于更多 维情形可仿二维情形推得。
8 3 , 2 14 8 1 , 2 28 8 9 , 2 28 8 3 . 2 28
故所求分布律为
X
0 1 2
Y
0
3 28
9 28
3 28
1 2
3 14
1 28
3 14
0
0
0
3.2.2 边缘分布律与条件分布律
3.2 二维离散型随机变量及分布
3.2.1 二维离散型随机向量的联合 分布律
随机向量主要用来描述用一维随机变量 不能完全刻划的随机现象。 例如，随机地抽出一张扑克牌：它具有 花色与点数这两个离散随机属性 ； 导弹的落点与目标之间的误差：由两个 连续随机变量组成的二维随机向量 。
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量。 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(xi,yj),i,j=1,2, …,记 P{X=xi,Y=yj}=pij， i，j=1,2, …, 称此为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 ，或 随机变量X和Y的联合分布律
4 7
3 7
注意
联合分布
边缘分布
2. 条件分布律
二维离散型随机变量中一个随机变量取值 受另一个随机变量影响的概率分布规律称为条 件分布律。 如果p· j>0,考虑条件概率
P{ X xi Y y j } P { X xi ,Y y j } P {Y y j } p ij p j
P{ X xi }

j
p ij 0( i 1, 2 , ),

i
P{ X xi }

i j
p i j 1,
所以
P{ X xi }

j
p ij p i , i 1, 2 ,
是(X,Y)关于X的边缘分布律。 同理，得(X,Y)关于Y的边缘分布律
2
n2
,
n 2 ,3 , .
m 1
所以当 n 2,3, 时,
P { X m Y n}
P { X m ,Y n } P {Y n }
p q
2 n2 2 n2

( n 1) p q

1 n1
,
当 m 1,2,, n 1 时,
P {Y n X m }
1. 边缘分布律
二维离散型随机变量(X,Y)的分量X和Y都 是一维离散随机变量，X的和Y的分布律就称 为(X,Y)关于X的和关于Y的边缘分布律。
P{ X xi } P{ X xi , Y }
= P { X xi ,Y y j }
j

j
p ij , i 1, 2, ,
所以

fX (x)


f ( x , y ) dy
是(X,Y)关于X的边缘密度函数。 同理，得(X,Y)关于Y的边缘密度函数

fY ( y )


f ( x , y ) dx
例3.5 设随机变量X和Y具有联合概率密度
6, f ( x, y) 0, x y x,
称为在X=xi条件下Y的条件分布律。 例3.3 一射手进行射击,击中目标的概率为 p(0<p<1),射击到击中目标两次为止.设以X 表 示首次击中目标所进行的射击次数,以Y 表示总 共进行的的射击次数.试求X 和Y 的联合分布律 及条件分布律.
解 由题意知 X 取 m 且 Y 取 n 时, 有
P { X m , Y n } p p (1 p ) (1 p ) (1 p )
( 0 ,1 ), ( 1 , 0 ), ( 1 ,1 ), ( 0 , 2 ), ( 2 , 0 ).
( 0 , 0 ),
3 2 3 抽取一支绿笔,一支红笔 抽取两支都是绿笔 P { X 0 , Y 0 } 0 0 2 3 2 3 P { X 0 ,Y 1} 0 1 1
n m 1
P{X
2 n m 1

m ,Y n }
n m 1


p q
m 1
2
n2
p


q
n2

p q
2
m 1
1 q
pq
,
m 1,2 , ,
P {Y n }
P{ X
m 1
n1
m ,Y n }


n1
p q
2
n2
( n 1) p q
其中 pij 0,
pij
i 1 j 1


1.
二维随机变量(X,Y )的分布律也可表示为
X Y
y1 y2 yj
x1 p 11
p 12

x2 p 21
p 22



xi pi1
pi 2



p1 j
p2
j

p ij




例3.1 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆 珠笔的盒子里,随机抽取两支, 若X、Y 分别表示 抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y )的分布律. 解 (X, Y )所取的可能值是
由于区域 G = {(x,y) | x≥y } 表示直线 y = x 的下半部分，而联合密度函数只有 在 x、y 同时都 ＞ 0才取值为 2 e - ( 2x + y ) 。 因此 P {X ≥Y }实际上是函数 2 e - ( 2x + y ) 在图中 G0 上的二重积分。 P {X ≥Y } (2 x y) 2 e dxdy
x y0
y
y=x


0
e
y
[ 2e
y
2 x
dx ] dy
G0
o x


0
e
3 y
dy
1 3
□
3.3.2 边缘概率密度函数与条件 概率密度函数
1. 边缘概率密度函数
二维连续型随机变量(X,Y)的分量X和Y是 一维连续型随机变量，X和Y的概率分布常用 概率函数来表示，称为(X,Y)关于X和关于Y的 边缘概率密度函数，简称为边缘密度函数。

f ( x, y)d x

y
x
6(
当 y 0 或 y 1时, f Y ( y )


f ( x , y ) d x 0.
6( y y ), 0 y 1, 得 fY ( y ) 0, 其他 .
2. 条件概率密度函数
设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)，那么在Y=y条件下X的概率分布在X=x 条件下Y的概率分布称为(X,Y)的条件概率分布。 条件概率分布常用概率函数来表示，称为条件 概率密度函数，简称为条件密度函数。
fX (x)


f ( x , y ) d y 0.
因而得
6( x x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他 .
y y x
y x
6d x
y y ).
O
2
当 0 y 1 时,
fY ( y )
( 1 ,1 )

y

即得 X 和 Y 的联合分布律为
P { X m , Y n} p q
2 n2
( n 2)个
,
其中q 1 p, n 2,3,; m 1,2,, n 1. 现在求条件分布律。
P { X m Y n }, P {Y n X m },
由于
P{ X m }
8 3 , 2 28
8 3 , 2 14
3 2 3 P { X 1,Y 1} 1 1 0 3 2 3 P { X 0 , Y 2 } 0 2 0 3 2 3 P { X 1,Y 0 } 1 0 1 3 2 3 P { X 2 ,Y 0 } 2 0 0