推荐学习K12高二数学9月考试试卷 理
2021年高二数学上学期9月月考试卷 理(含解析)
2021年高二数学上学期9月月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（） A． B． C． D． 43．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（） A． B． C． D．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（）A． B． C． D．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=210．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．xx学年吉林省松原市扶余一中高二（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．若x∈R，则x=2”是“（x﹣2）（x﹣1）=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据充分必要条件的定义进行判断．解答：解：∵x=2⇒（x﹣2）（x﹣1）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0推不出x=2，∴x=2是（x﹣2）（x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．2．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，焦距是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C． D． 4考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程求解，a，b，c的值，即可得到答案．解答：解：∵椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，∴椭圆x2+=1的焦点在y轴上，＞1，2a=2， 2b=2，2c=2，∵焦距是短轴长的两倍，∴2=4，m=，故选：A点评：本题综合考查了椭圆的几何性质，计算较容易．3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可得 cos60°==，从而得到椭圆的离心率的值．解答：解：由题意可得 cos60°==，∴椭圆的离心率是 =，故选 B．点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 cos60°=，是解题的关键．4．若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是（） A． B． C． D．考点：伸缩变换；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上．代入圆方程即可求得x和y的关系式，即曲线的方程．解答：解：在曲线C上任取一个动点P（x，y），根据图象的变换可知点（x，3y）在圆x2+y2=4上，∴x2+9y2=4，即则所得曲线为．故选C．点评：本题主要考查变换法求解曲线的方程，理解变换前后坐标的变化是关键考查了学生分析问题的能力及数学化归思想．5．以双曲线﹣=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（）A． y2=4x B． y2=16x C． y2=8x D． y2=﹣8x考点：抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，算出它的右顶点为F（2，0），也是抛物线的焦点．由此设出抛物线方程为y2=2px，（p＞0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=4，从而得出该抛物线的标准方程．解答：解：∵双曲线的方程为﹣=1，∴a2=4，得a=2，∴抛物线的焦点为F（2，0），设抛物线方程为y2=2px，（p＞0），则=2，得2p=8∴抛物线方程是y2=8x．故选：C．点评：本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B． C． D．考点：曲线与方程．专题：作图题；分类讨论．分析：当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线．解答：解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选 A．点评：本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键．7．已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若，下列为真命题的是（）A． p∧q B． p∨q C．￢p D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：分别判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可．解答：解：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0，∴p为真命题．当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立，∴q为假命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢p为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，故选：B．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先判断简单命题p，q的真假是解决本题的关键．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用 =2，得到a与c的关系，从而求出离心率．解答：解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．点评：本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．9．若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A． x2﹣y2=1 B． y2﹣x2=1 C． x2﹣y2=2 D． y2﹣x2=2考点：椭圆的简单性质；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．解答：解：由题意设双曲线方程为，离心率为e椭圆长轴的端点是（0，），所以a=．∵椭圆的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，则双曲线的方程是y2﹣x2=2．故选D．点评：本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．10．已知命题p：存在实数m使m+1≤0，命题q：对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，若p且q 为假命题，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2] B． [2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞） D． [﹣2，2]考点：复合命题的真假．专题：规律型．分析：先求出命题p，q为真命题的等价条件，利用p且q为假命题，即可求实数m的取值范围．解答：解：若存在实数m使m+1≤0，则m≤﹣1，∴p：m≤﹣1．若对任意x∈R都有x2+mx+1＞0，则对应的判别式△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，即q：﹣2＜m＜2，∴p且q为真时，有，即﹣2＜m≤﹣1．∴若p且q为假命题，则m＞﹣1或m≤﹣2，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）．故选：C．点评：本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键．11．过双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P．若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题．分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b，再设P（x，y）过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）∵抛物线为y2=4cx，∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，∵∴E为FP的中点∴OE为△PFF'的中位线，∵O为FF'的中点∴OE∥PF'∵|OE|=a∴|PF'|=2a∵PF切圆O于E∴OE⊥PF∴PF'⊥PF，∵|FF'|=2c∴|PF|=2b设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a由勾股定理 y2+4a2=4b2∴4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）∴e2﹣e﹣1=0∵e＞1∴e=．故选B．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．12．如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A． 9 B． 16 C． 18 D． 27考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．解答：解：设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选C．点评：本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．解答：解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题考查的知识点是特称命题，存在性问题，其中将问题转化为函数图象与x轴交点个数，是解答的关键．14．椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则n的值是．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立方程组，转化为二次方程，借助韦达定理，求出中点坐标，再利用斜率得到等式，即可求出答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），中点（x，y），椭圆x2+ny2=1与直线y=1﹣x交于M，N两点化简可得：（1+n）x2﹣2nx﹣n﹣1=0所以x1+x2=，x=，y=，因为过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，所以=，即n=，故答案为：点评：本题综合考查了直线与圆锥曲线位置关系，二次方程的系数的运用．15．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8 ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．解答：解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8点评：本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．16．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线+=1离心率为或．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．解答：解：∵2，m，8构成一个等比数列，∴m=±4．当m=4时，圆锥曲线+=1是椭圆，它的离心率是；当m=﹣4时，圆锥曲线+=1是双曲线，它的离心率是．故答案为：或．点评：本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81．求它的实轴和虚轴的长、焦点坐标、离心率和渐近线方程．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把方程化简为：，求出a，b，c 再根据几何性质写出答案．解答：解：∵双曲线方程是9x2﹣y2=﹣81，∴双曲线标准方程为：，实轴长：18，虚轴长为6，a=9，b=3，c=3，焦点坐标（0，±3），离心率：e=，渐近线方程为：y=±3x．点评：本题主要考察了双曲线的方程，几何性质，属于比较简单的计算题．18．求下列各曲线的标准方程．（1）已知椭圆的两个焦点分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣）．（2）已知抛物线焦点在x轴上，焦点到准线的距离为6．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），设焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），因为椭圆经过点P（，﹣），利用椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|，再利用b2=a2﹣c2即可得出．（2）抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．根据焦点到准线的距离为6，可得p=6，即可得到抛物线的标准方程．解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆经过点（，﹣）．∴．∴．∵c=2，∴b2=a2﹣c2=10﹣4=6．所求椭圆的标准方程为．（2）∵抛物线焦点在x轴上，可设标准方程为y2=±2px（p＞0）．∵焦点到准线的距离为6，∴p=6．∴抛物线的标准方程为y2=±12x．点评：本题考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，属于基础题．19．已知c＞0，设命题p：函数y=c x为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；规律型．分析：根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．解答：解：∵若命题p：函数y=c x为减函数为真命题则0＜c＜1当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；当p真q假时，0＜c≤当p假q真时，c≥1故c的范围为（0，]∪[1，+∞）点评：本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系的应用，要求熟练掌握．20．已知p：|x﹣2|≤3，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：分别设出A，B，由￢p是￢q的必要不充分条件，得出不等式组，解出即可．解答：解：由命题P可知：﹣1≤x≤5，设A={x|﹣1≤x≤5}，因为命题q可知：1﹣m≤x≤m+1，设B={x|1﹣m≤x≤m+1}，∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4，∴m的范围是：[4，+∞）．点评：本题考查了充分必要条件，四种命题的关系，是一道基础题．21．已知圆C方程为（x﹣3）2+y2=12，定点A（﹣3，0），P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．（Ⅱ）过点C倾斜角为30°的直线交曲线E于A、B两点，求|AB|．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2=c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹E的方程可求；（Ⅱ）由题意得到直线AB的方程，和双曲线方程联立后利用弦长公式得答案．解答：解：（Ⅰ）由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|=|PQ|，又∵，满足双曲线的定义．设E的方程为，则，，则轨迹E方程为；（Ⅱ）直线AB的倾斜角为30°，且直线过C（3，0），∴直线AB的方程为，由，消去y得5x2+6x﹣27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴有，．则|AB|=．点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常用根与系数的关系解决，是压轴题．22．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD 的面积根据n的范围确定面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配33411 8283 芃34219 85AB 薫40193 9D01 鴁yM g32071 7D47 絇37514 928A 銊25096 6208 戈28946 7112 焒521440 53C0 叀<]。
推荐学习K12高二数学下学期期末试卷A 理(含解析)
2014-2015学年浙江省绍兴市嵊州市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}2．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．＞23．命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为（）A．∃x0∈R，f（x0）＞0 B．∃x0∈R，f（x0）≤0C．∀x0∈R，f（x0）≤0 D．∀x0∈R，f（x0）＞04．已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．45．对于函数y=f（x）图象上任意一点P（x1，y1），存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，则函数y=f（x）可以为（）A．y=2x﹣2 B．y=log2x C．y=x2+1 D．y=x+16．设双曲线C：的离心率为e，右顶点为A，点Q（3a，0），若C上存在一点P，使得AP⊥PQ，则（）A． B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则下列命题错误的是（）A．d＜0 B．S11＞0C．{S n}中的最大项为S11D．|a6|＞|a7|8．定义min{a，b}=，若关于x的方程（m∈R）有三个不同的实根x1，x2，x3，则（）A．x1+x2+x3有最小值，x1x2x3无最大值B．x1+x2+x3无最小值，x1x2x3有最大值C．x1+x2+x3有最小值，x1x2x3有最大值D．x1+x2+x3无最小值，x1x2x3无最大值二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9．已知函数f（x）=，f（a）=2，则f（f（﹣1））= ，a= ．10．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，y），且⊥，则||= ，y= ．11．已知实数x，y满足，则x﹣2y的最小值为，该不等式组所围成的区域的面积为．12．若直线l：与圆C：x2﹣2ax+y2=0有交点，则直线l的斜率为，实数a的取值范围为．13．设O为原点，P是抛物线x2=4y上一点，F为焦点，|PF|=5，则|OP|= ．14．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠AOI=60°，P为各菱形边上的动点，设，则x+y的最大值为．15．设数列{a n} 中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．等差数列{a n}中，a2=6，3a3=a1+a4+12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n﹣1，求a1b1+a2b2+…+a n b n．17．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（Ⅱ）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，若x1，x2为f（x）的不动点，且x1＜1＜x2，求证：m＞．18．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．19．已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1，F2的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足||=||，求x0的值．20．设数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n=（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＞2n﹣．2014-2015学年浙江省绍兴市嵊州市高二（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}．故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．＞2【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式．【分析】根据不等式的性质可以判断A，B，C均错误，根据基本不等式可以判断D正确．【解答】解：∵a＜b＜0，则a2＞b2，ab＞b2，，＞2，故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质和基本不等式，属于基础题．3．命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为（）A．∃x0∈R，f（x0）＞0 B．∃x0∈R，f（x0）≤0C．∀x0∈R，f（x0）≤0 D．∀x0∈R，f（x0）＞0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，f（x）＞0”的否定为：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4．已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；平面向量及应用；简易逻辑．【分析】利用已知条件判断以，为邻边的四边形的形状，然后判断选项的正误．【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，向量的几何意义，基本知识的考查．5．对于函数y=f（x）图象上任意一点P（x1，y1），存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，则函数y=f（x）可以为（）A．y=2x﹣2 B．y=log2x C．y=x2+1 D．y=x+1【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知条件转化为函数的图象上的任意一点与坐标圆的连线的存在令一点与原点的连线垂直．判断函数的图象即可．【解答】解：对于函数y=f（x）图象上任意一点P（x1，y1），存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，可得函数的图象上的任意一点与坐标原点的连线，存在另一点与原点的连线与其垂直．对于B，P（x1，y1），为P（1，0）则不存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，B不正确；对于C，P（x1，y1），为P（0，1）则不存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，C不正确；对于D，P（x1，y1），为P（1，﹣1）则不存在Q（x2，y2），使得x1x2+y1y2=0，D不正确；故选：A．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想与计算能力．6．设双曲线C：的离心率为e，右顶点为A，点Q（3a，0），若C上存在一点P，使得AP⊥PQ，则（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】P（m，n），根据数量积为零算出（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．【解答】解：设点P（m，n），可得=（m﹣a，n），=（3a﹣m，﹣n），∵AP⊥PQ，∴•=（m﹣a）（3a﹣m）﹣n2=0 (1)又∵P（m，n）在双曲线上，∴得n2=b2（﹣1） (2)将（2）式代入（1）式，得（m﹣a）（3a﹣m）﹣b2（﹣1）=0，化简整理，得﹣m2+4am+c2﹣4a2=0，此方程的一根为m1=a，另一根为m2=．∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，∴＞a，得4a2＞2c2，即e2＜2，由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜．故选：A．【点评】本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（3a，0）所张的角等于90°，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．7．已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则下列命题错误的是（）A．d＜0 B．S11＞0C．{S n}中的最大项为S11D．|a6|＞|a7|【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】S6＞S7＞S5，利用前n项和公式可得：a7＜0，a6+a7＞0，可得a6＞0＞a7，|a6|＞|a7|．d ＜0．S6最大．S11==11a6＞0．即可判断出．【解答】解：∵S6＞S7＞S5，∴＞7a1+＞5a1+，化为：a7＜0，a6+a7＞0，∴a6＞0＞a7，|a6|＞|a7|．∴d＜0．S6最大．S11==11a6＞0．综上可得：A，B，D正确，只有C错误．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．定义min{a，b}=，若关于x的方程（m∈R）有三个不同的实根x1，x2，x3，则（）A．x1+x2+x3有最小值，x1x2x3无最大值B．x1+x2+x3无最小值，x1x2x3有最大值C．x1+x2+x3有最小值，x1x2x3有最大值D．x1+x2+x3无最小值，x1x2x3无最大值【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值，从而求出x1+x2+x3的取值范围和x1•x2•x3的最值．【解答】解：令y=f（x）=min{2，|x﹣2|}，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|；当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x 1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时， +4=4，m=2﹣2时， +4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．即x1+x2+x3无最小值；x1•x2•x3=（2﹣m）（m+2）=m2（4﹣m2）≤•（）2=1，当且仅当m=∈（0，2﹣2），则x1•x2•x3取得最大值1．故选：B．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．二、填空题（本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分）9．已知函数f（x）=，f（a）=2，则f（f（﹣1））= 9 ，a= ﹣1 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数利用解方程解a，直接求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，f（a）=2，可得|a﹣1|=2，解得a=﹣1，a=3（舍去）．f（f（﹣1））=f（|﹣2|）=f（2）=32=9．故答案为：9；﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．10．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，y），且⊥，则||= ，y= 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】⊥，可得=0，解得y．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=﹣2+2y=0，解得y=1．∴==．故答案分别为：，1．【点评】本题考查了向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知实数x，y满足，则x﹣2y的最小值为﹣13 ，该不等式组所围成的区域的面积为30.25 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A、B、C的坐标，求出S△ABC即可，令t=x﹣2y，则y=x﹣t，通过平移显然直线过C（3，8）时，t最小，求出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：C（3，8），由，解得：B（3，﹣3），由，解得：A（﹣，），令t=x﹣2y，则y=x﹣t，显然直线过C（3，8）时，t最小，∴t的最小值为﹣13，设A到直线BC的距离为d，则d=，∴S△ABC=×11×=，故答案为：﹣13，30.25．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．12．若直线l：与圆C：x2﹣2ax+y2=0有交点，则直线l的斜率为，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】直线l：x﹣y+3=0，可化为y=x+，可得直线l的斜率；由直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的不等式可得到a的取值范围【解答】解：直线l：x﹣y+3=0，可化为y=x+，直线l的斜率为；圆C：x2﹣2ax+y2=0的圆心坐标为（a，0），半径为|a|．∵直线l：x﹣y+3=0与圆C：x2﹣2ax+y2=0有交点，∴圆心（a，0）到直线的距离d≤r，即≤|a|，解得：a≤﹣1或a≥3．故答案为：；（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．13．设O为原点，P是抛物线x2=4y上一点，F为焦点，|PF|=5，则|OP|= 4．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|PF|=y P+1=5，求得P的坐标，再由两点的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，|PF|=y P+1=5，解得y P=4，x P=±4，则|OP|==4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，同时考查两点的距离公式的运用，属于基础题．14．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠AOI=60°，P为各菱形边上的动点，设，则x+y的最大值为 4 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件可以看出G，O，C三点共线，并且OE的连线垂直于GC，从而可以分别以OC，OE两直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，可以确定D，H的坐标：D（），H （），可设P（X，Y）．从而可根据条件，用X，Y表示出x，y，并且可以得到x+y=，可设x+y=z，从而可以得到，该方程表示的直线的截距为，可以看出截距最大时，z最大，并且根据图形可以看出当直线过E点时截距最大，这样求出点E的坐标带入直线方程即可求出z，即求出x+y的最大值．【解答】解：根据条件知，G，O，C三点共线，连接OE，则OE⊥GC；∴分别以OC，OE所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设棱形的边长为2，则：D（1，），H（﹣3，）；设P（X，Y），则：；∴；∴；∴；设x+y=z，则：，表示在y轴上的截距；当截距最大时，z取到最大值；由图形可以看出当直线经过点E（）时截距最大；∴；∴z=4；∴x+y的最大值为4．故选：B．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定平面上点的坐标，以及向量坐标的加法和数乘运算，直线的点斜式方程，线性规划的运用．15．设数列{a n} 中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于78 ．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意依次求出：a2﹣a1=1，a3+a2=3，…a12﹣a11=21，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，…，a12+a10=40，利用数列的结构特征，求出{a n}的前12项和．【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故答案为：78．【点评】本题主要考查了利用列举法求数列的和（通项公式难求，项数较少），等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．等差数列{a n}中，a2=6，3a3=a1+a4+12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3n﹣1，求a1b1+a2b2+…+a n b n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，∵a2=6，3a3=a1+a4+12．∴，解得d=3，a1=3．故a n=3+3（n﹣1）=3n．（Ⅱ）a n b n=3n×3n﹣1=n•3n设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，即，，相减得﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=﹣．∴T n=+．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，求f（x）的不动点；（Ⅱ）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，若x1，x2为f（x）的不动点，且x1＜1＜x2，求证：m＞．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2，b=﹣2时，化简函数的解析式，利用定义求f（x）的不动点；（Ⅱ）设函数f（x）的对称轴为直线x=m，得到关系式，通过x1，x2为f（x）的不动点，且x1＜1＜x2，构造函数，利用新函数的对称轴的函数值证明m＞．【解答】（本小题满分15分）解：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2﹣2x+1=x，即2x2﹣3x+1=0，…（3分）解得或1，即f（x）的不动点为和1…（7分）（Ⅱ）由f（x）表达式f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．函数的对称轴为：x=，函数f（x）的对称轴为直线x=m，得，令g（x）=f（x）﹣x，∵g（x）=f（x）﹣x=ax2+（b﹣1）x+1，a＞0由x1＜1＜x2得g（1）＜0，…（11分）得，即证…（15分）【点评】本题考查二次函数的性质，函数与方程的综合应用，考查计算能力．18．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且y1y2=﹣4．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若k=1，O为坐标原点，求△OAB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x﹣），代入抛物线，消x，利用y1y2=﹣4，求出p，即可求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）S△OAB=×1×|y1﹣y2|，求△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）F（，0），设直线AB的方程为y=k（x﹣），…（2分）代入抛物线，消x，得：ky2﹣2py﹣kp2=0，…（4分）∴y1y2=﹣p2=﹣4，从而p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．…（6分）（Ⅱ）由已知，F（1，0），直线AB的方程为y=x﹣1，代入抛物线，消x，得：y2﹣4y﹣4=0，∴S△OAB=×1×|y1﹣y2|==2…（15分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．19．已知椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1，F2的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且|AB|=3．若点P（x0，2）满足||=||，求x0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知2a=4，c=2．由此能求出椭圆Γ的方程．（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式，结合已知条件能求出x0的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2a=4，得a=2，又c=2．∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆Γ的方程为．…（4分）（Ⅱ）由，得4x2+6mx+3m2﹣12=0，①…（1分）∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B，∴△=36m2﹣16（3m2﹣12）＞0，解得m2＜16．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，则，．∴|AB|===．又由|AB|=3，得﹣，解得m=±2．…（3分）据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．设AB的中点为E（x0，y0），则=﹣，，当m=2时，E（﹣），∴此时，线段AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+），即y=﹣x﹣1．令y=2，得x0=﹣3．…（1分）当m=﹣2时，E（），∴此时，线段AB的中垂线方程为y+=﹣（x﹣），即y=﹣x+1．令y=2，得x0=﹣1．…（1分）综上所述，x0的值为﹣3或﹣1．…（2分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点的横坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式、椭圆方程等知识点的综合运用．20．设数列{a n}满足a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n=（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＞2n﹣．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）变形可得：b n=））．利用“裂项求和”及其“放缩法”即可得出．【解答】（I）解：当n=1时，．当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n=，相减得∴当n≥2时，．当n=1时，也满足上式，所求通项公式．（Ⅱ）证明：=+=+1+=）．由，，得．∴b n=））．从而==，即T n＞．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”及其“放缩法”、不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
推荐学习K12高二数学上学期9月月考试试卷(含解析)
2015-2016学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（上）9月月考试数学试卷一.选择题：（每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意.）1．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相交或相切D．不能确定5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．6．直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．B．C．D．7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60° B．45° C．30° D．90°8．直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A、B，弦AB的中点为D（0，1），则直线l的方程为（）A．x+y+1=0 B．x﹣y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x+y﹣1=09．到点（﹣1，0）的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为（）A．x2=﹣4y+4 B．x2=﹣8y+8 C．y2=﹣4x+4 D．y2=﹣8x+810．若直线过点P（﹣3，﹣），且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或y=﹣C．x=﹣3 D．x=﹣3或3x+4y+15=011．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若直线y=x+b与曲线有且只有1个公共点，则b的取值不可能是（）A．B．0 C．1 D．二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13．若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是．14．若变量x、y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m= ．15．（2015秋•水富县校级月考）（文）函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π，则a的值是．16．与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．17．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为．三.解答题：（17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．已知圆，圆，该两圆的交点为A，B两点，求：（1）直线AB的方程（2）A，B两点间的距离|AB|（3）直线AB的垂直平分线的方程．19．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面积．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．21．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．22．如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：平面AA1C1C⊥平面A1BD（2）求直线A1B与平面A1B1CD所成的角．23．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）2015-2016学年云南省昭通市水富县云天化中学高二（上）9月月考试数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意.）1．以下四个命题：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．其中正确的命题是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④【考点】两条直线垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定．【分析】通过直线与平面垂直判断①；找出反例判定②；找出反例否定③；平面与平面垂直的性质判断④；推出正确选项．【解答】解：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，满足直线与平面垂直的条件，成立；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面，如果两点在平面两侧，不成立；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线，如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直，射影则是一条直线，不正确；④两个互相垂直的平面，一个平面内的任一直线必垂直于另一平面的无数条直线．正确．故选D．【点评】本题考查两条直线垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，考查逻辑推理能力，是基础题．2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．【解答】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故A，C，D错误故选B．【点评】本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．3．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b ∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．4．直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相交或相切D．不能确定【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】求出直线系经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1），因为（0，1）在圆x2+y2=1上，所以直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是：相交或相切．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．6．直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可．【解答】解：（x+2）2+（y﹣2）2=2，圆心到直线的距离为d==0直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于圆的直径：2；故选B．【点评】本题主要考查了直线和圆的方程的应用，以及弦长问题，属于基础题．7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（）A．60° B．45° C．30° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】要求线线角，关键是作出线线角，利用平行关系可得线线角．故可求．【解答】解：连接AB1∵E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，∴EF∥AB1∵AB∥CD∴∠B1AB为EF和CD所成的角，为45°故选B．【点评】本题的考点是异面直线及其所成的角，主要考查线线角，关键是作出线线角，从而得解．8．直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a=0（a＜3）相交于两点A、B，弦AB的中点为D（0，1），则直线l的方程为（）A．x+y+1=0 B．x﹣y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x+y﹣1=0【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；直线与圆．【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+a=0化为标准方程，可得圆心坐标，先求出垂直于直线l的直线的斜率，再求出直线l的斜率，利用点斜式可得直线方程．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+a=0化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，圆心坐标为C （﹣1，2）．∵弦AB的中点D（0，1），∴k CD=﹣1，∴直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故选B．【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出直线的斜率是关键．9．到点（﹣1，0）的距离与到直线x=3的距离相等的点的轨迹方程为（）A．x2=﹣4y+4 B．x2=﹣8y+8 C．y2=﹣4x+4 D．y2=﹣8x+8【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】由题意动点到定点点（﹣1，0）的距离与到直线x=3的距离相等，利用直接法，设出动点为P的坐标（x，y），利用条件建立方程并化简即可．【解答】解：由题意设动点P（x，y），因为动点到定点点（﹣1，0）的距离与到直线x=3的距离相等，所以⇒两边平方化简为：y2=﹣8x+8故选D【点评】此题重点考查了利用直接法求动点的轨迹方程，还考查了根式的化简方法，及学生对于轨迹方程的定义的准确理解和计算能力．10．若直线过点P（﹣3，﹣），且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则这条直线的方程是（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或y=﹣C．x=﹣3 D．x=﹣3或3x+4y+15=0【考点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据垂径定理及勾股定理，由圆的半径和截得的弦长的一半求出弦心距，即圆心到直线的距离等于所求的弦心距，分斜率存在和不存在两种情况：当斜率存在时，设直线的斜率为k，根据P的坐标写出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，确定出所求直线的方程；当斜率不存在时，因为圆心到直线x=﹣3的距离等于弦心距3，显然直线x=﹣3满足题意，综上，得到满足题意的两直线的方程．【解答】解：由圆的方程x2+y2=25，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，又直线被圆截得的弦长为8，根据垂径定理得到圆心到直线的距离即弦心距为=3，当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为：y+=k（x+3）即kx﹣y+3k﹣=0，所以圆心到直线的距离d==3，化简得：9k=﹣9即k=﹣，所以所求直线的方程为：3x+4y+15=0；当所求直线的斜率不存在时，显然所求直线的方程为：x=﹣3，综上，满足题意的直线方程为x=﹣3或3x+4y+15=0．故选D【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学数学思想，是一道中档题．学生容易把斜率不存在的情况忽视．11．圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=9上到直线3x+4y﹣11=0的距离等于2的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个交点．【解答】解：（x﹣3）2+（y﹣3）2=9是一个以（3，3）为圆心，3为半径的圆．圆心到3x+4y﹣11=0的距离为d==2，即AD=2，∴ED=1，即圆周上E到已知直线的距离为1，∴圆上的点到直线3x+4y﹣11=0的距离为2的点有2个．故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．若直线y=x+b与曲线有且只有1个公共点，则b的取值不可能是（）A．B．0 C．1 D．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．然后判断选项即可．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故选：D．【点评】（1）要注意曲线是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．始终要注意曲线方程的纯粹性和完备性．（2）它们有且有一个公共点，做出它们的图形，还要注意直线和曲线相切的特殊情况．作为选择题，画出图形直接判断即可，不需要严格求解．二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13．若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x﹣4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是x﹣y+2=0 ．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（﹣1，1），CO的斜率为﹣1，可得直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程【解答】解：由于两个圆的圆心分别为O（0，0）、C（﹣2，2），由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（﹣1，1），CO的斜率为﹣1，故直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程为 x﹣y+2=0，故答案为：x﹣y+2=0．【点评】本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，利用点斜式求直线的方程，属于中档题．14．若变量x、y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为M和m，则M﹣m= 6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时N=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即M=3，则M﹣N=3﹣（﹣3）=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15．（2015秋•水富县校级月考）（文）函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π，则a的值是±1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性求得a的值．【解答】解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax 的最小正周期为=π，∴a=±1，故答案为：±1．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．16．与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x ﹣2）2+（y﹣2）2=2 ．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．17．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为11π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则∵三棱锥的体积为，BC=2，BD=，∠CBD=90°，∴×=，∴h=2，∴O到平面BCD的距离为1，∵△BCD外接圆的直径BD=，∴OB==，∴球O的表面积为4π×=11π．故答案为：11π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．三.解答题：（17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．已知圆，圆，该两圆的交点为A，B两点，求：（1）直线AB的方程（2）A，B两点间的距离|AB|（3）直线AB的垂直平分线的方程．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）先求出A，B的坐标，再利用两点式求方程；（2）利用两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离|AB|（3）AB的中点坐标为（1，0），直线AB的斜率为﹣，即可求出直线AB的垂直平分线的方程．【解答】解：两圆方程联立，解方程组，可得A（3，﹣1），B（﹣1，1）（1）直线AB的方程：y+1=（x﹣3），即x+2y﹣1=0；（2）A，B两点间的距离|AB|==2；（3）AB的中点坐标为（1，0），直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的垂直平分线的方程2x﹣y﹣2=0．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查直线方程，距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．19．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：2sinAcosB=sinA，结合A为三角形内角，解得cosB，由B为三角形内角，可得B的值；（2）由余弦定理可得：b2=（a﹣c）2+2ac﹣2accosB，得ac=10，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC．∴由正弦定理可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理可得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵A为三角形内角，sinA≠0，∴解得：cosB=，∴由B为三角形内角，可得：B=60°；（2）∵，∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a﹣c）2+2ac﹣2accosB，得ac=10，∴S△ABC=acsinB=．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和是正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．20．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3•a5=64（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{a n+1•b n+1}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=log2a n=n﹣1，可得a n+1•b n+1=n•2n．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设各项均为正数的等比数列{a n}的公比q＞0，∵a2=2，a3a5=64，∴a1q=2，，解得q=2，a1=1．∴．（2）b n=log2a n=n﹣1，∴a n+1•b n+1=n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2T n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2×﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查了“错位相减法”和等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，要使直线l恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（3分）（5分）所以直线恒过定点（3，1）（6分）（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短直线l的斜率为由解得此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为）所以最短弦长是（12分）【点评】本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题22．如图在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：平面AA1C1C⊥平面A1BD（2）求直线A1B与平面A1B1CD所成的角．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）利用正方形与正方体的性质可得：BD⊥平面AA1C1C，再利用面面垂直的判定定理即可证明；（2）：连接C1B，交B1C于点O，连接A1O．则BO⊥平面A1B1CD，可得∠OA1B为直线A1B与平面A1B1CD所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】（1）证明：由ABCD是正方形可得：BD⊥AC，由正方体的性质可得：AA1⊥BD，而AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C1C，而BD⊂平面A1BD，∴：平面AA1C1C⊥平面A1BD．（2）解：连接C1B，交B1C于点O，连接A1O．则BO⊥平面A1B1CD，∴∠OA1B为直线A1B与平面A1B1CD所成的角．∵sin∠OA1B==，∴∠OA1B=．∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）证法一，连接AB′，AC′，通过证明MN∥AC′证明MN∥平面A′ACC′．证法二，通过证出MP∥AA′，PN∥A′C′．证出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能证明平面MPN∥平面A′ACC′后证明MN∥平面A′ACC′．（Ⅱ）解法一，连接BN，则V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．解法二，V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．【解答】（Ⅰ）（证法一）连接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点，又因为N为B′C′中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；（证法二）取A′B′中点，连接MP，NP．而M，N分别为AB′，B′C′中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；（Ⅱ）（解法一）连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故V A′﹣MNC=V N﹣A′MC=V N﹣A′BC=V A′﹣NBC=．（解法二）V A′﹣MNC=V A′﹣NBC﹣V M﹣NBC=V A′﹣NBC=．【点评】本题考查线面关系，体积求解，考查空间想象能力、思维能力、推理论证能力、转化、计算等能力．。
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2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1．已知，若与平行，则k= ．2．双曲线C ：3x 2﹣4y 2=12的焦点坐标为 ．3．等差数列{a n }中，a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=150，则S 11= ．4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x ﹣y= ．5．过点A （4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是 ．（用一般式表示）6．以椭圆的左焦点F 1为圆心，过此椭圆右顶点A 的圆截直线3x+4y ﹣21=0所得的弦长为 ．7．已知A （2，1），B （2，﹣1），O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足=m+n，其中m 、n ∈R ，且m 2+n 2=，则动点P 的轨迹方程是 ．8．已知O 为△ABC 的外心，且，则的值为 ．9．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．10．数列{a n }的前m 项为，若对任意正整数n ，有a n+m =a n q（其中q 为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a n }是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b n}前4t+2项的和等于．（t为正整数）11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）A．B．C．D．14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（）A．B．C．1 D．215．设数列{a n}的前n项和是S n，令，称T n为数列a1，a2，…，a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017三、解答题（本题共4小题，满分40分）16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m 为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1．已知，若与平行，则k= ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：，若与平行，可得2k=3，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．2．双曲线C：3x2﹣4y2=12的焦点坐标为（±，0）．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果．【解答】解：双曲线C：3x2﹣4y2=12，可得a=2，b=，c==．双曲线的焦点坐标：（±，0），故答案为：（±，0）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3．等差数列{a n}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11= 330 ．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a5的值，然后再由等差数列前n项和公式求出前11项的和S11．【解答】等差数列 {a n}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，所以5a6=150，所以a6=30，所以S11==11a6=330．则前11项的和S11=330．故答案为：330．【点评】题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，同时考查等差数列的前n项和公式，是一道中档题．4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y= 1 ．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】由已知得==，由此能求出x﹣y=1．【解答】解：∵向量经矩阵变换后得到矩阵，∴==，∴x=3，y=2，∴x﹣y=1．故答案为：1．【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几种特殊变换的合理运用．5．过点A（4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是4x﹣3y﹣25=0 ．（用一般式表示）【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为过点A且与直线OA垂直的直线【解答】解：过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为：过点A且与直线OA垂直的直线，∵k OA=﹣，∴所求直线方程的斜率k=，∴所求直线方程为：y+3=（x﹣4，整理，得4x﹣3y﹣25=0，故满足条件的直线方程为：4x﹣3y﹣25=0，故答案为：4x﹣3y﹣25=0【点评】本题考查直线方程的求法，是基题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离最高值的合理理解．6．以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长为．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的左焦点，求出圆的半径，利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长的关系，求解直线被圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长．【解答】解：椭圆，可得a=5，b=4，c=3，椭圆的左焦点F1为（﹣3，0），圆的半径为：a+c=8，圆的圆心（﹣3，0）到直线3x+4y﹣21=0的距离d==6，圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长满足勾股定理，可得弦长为：2=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．7．已知A（2，1），B（2，﹣1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、n∈R，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设动点P（x，y），根据向量间的关系得到x=2m+2n，y=m﹣n，代入m2+n2=化简可得动点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y ），则∵点P满足=m+n，其中m、n∈R，∴（x，y ）=（2m+2n，m﹣n），∴x=2m+2n，y=m﹣n，∴m=，n=，∵m2+n2=，∴（）2+（）2=，即．故答案为：．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键．．8．已知O为△ABC的外心，且，则的值为﹣12 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．利用垂经定理及数量积的运算性质可得•=2，•=2．再利用向量的三角形法则、数量积的运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．∴•=2，•=2．∴•=•（﹣）=•﹣•=2﹣2=×（52﹣72）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了三角形的外心性质、垂径定理、向量的三角形法则及数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用行列式求出a ，b 的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：由，可得，∴∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，∴c=，∵c 2=a 2+b 2，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．10．数列{a n}的前m项为，若对任意正整数n，有a n+m=a n q （其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a n}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b n}前4t+2项的和等于．（t为正整数）【考点】数列的求和．【专题】新定义；整体思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】b n的每4项求和的数列设为C n，求b n前4t项之和就是求C n前t项之和．由于b n是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3．由等比数列求和公式，即可得到所求和．【解答】解：把b n的每4项求和的数列设为C n，也就是说 C1=B1+B2+…+B4，C t=B4t﹣3+B4t﹣2+…+B4t，因此，求b n前4t项之和就是求C n前t项之和．由于b n是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3．由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+…+c t==（3t﹣1）．这就是数列b n前4t项之和，最后就是加上b4t+1，b4t+2这两项，由于b4t+1=b1×3t=3t．b4t+2=b1×3t=3t．因此，数列b n前4t+2项和就是（3t﹣1）+3t+3t=．故答案为：．【点评】本题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两条直线垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，∴满足k1•k2=﹣1，∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用a＞b＞0，推出直线的斜率，在y轴上的截距，椭圆的焦点坐标的位置，即可判断图形．【解答】解：a＞b＞0，可知直线的斜率大于0，在y轴上的截距为正，椭圆的焦点坐标在x 轴上，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的位置的判断，是基础题．14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（）A．B．C．1 D．2【考点】双曲线的简单性质；椭圆的应用．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．【解答】解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t．由双曲线和椭圆的定义可得，解得．在△PF1F2中，cos∠F1PF2==∵m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．∴△F1PF2面积为=1．故选C．【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．15．设数列{a n}的前n项和是S n，令，称T n为数列a1，a2，…，a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】数列的求和．【专题】新定义；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据题意，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，有=2015；可得S1+S2+…+S402=2015×402；则数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为，整理可得答案．【解答】解：由题意知，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，则有=2015；所以S1+S2+…+S402=2015×402；所以，数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为：==6+=6+5×402=2016．故选：C．【点评】本题考查了新定义的理解和运用，考查数列前n项和的公式，即S n=a1+a2+…+a n的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共4小题，满分40分）16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】常规题型；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的焦距以及椭圆经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）利用椭圆的方程求出结果即可．【解答】解：（1）依题意，得：，所以，解得：，所以，椭圆方程为：（2）长轴长为4，焦点坐标为（﹣，0），（，0），【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可判数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，可得通项公式和前n项和；（2）由（1）可得b1=3，b2=13，可得公差d=10，代入求和公式计算可得．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，∴ =3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴{a n}的通项公式a n=1×3n﹣1=3n﹣1，前n项和S n==（3n﹣1）；（2）由（1）可得b1=3，b2=1+3+9=13，∴公差d=10，∴T38=38×3+×10=7144【点评】本题考查数列求和，涉及等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．【考点】单位向量；数列的概念及简单表示法；平面向量数量积的运算；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题；规律型．【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{a n}的通项，把数列{a n}的通项代入新定义的数列{b n}，验证数列{b n}满足b n+1＞b n，得到{A n}是T点列的结论．（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．【解答】解：（1）由题意可知，∴，显然有b n+1＞b n，∴{A n}是T点列（2）在△A k A k+1A k+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，则∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p②同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1、③由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，④由①、②、③、④可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D 两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程．（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程．（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．【解答】解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则，2分圆C1的方程为x2+y2=4，2分（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，2分即：，将代入x2+y2=4，得，3分（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2）联立方程得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0，1分因为△=48（7﹣b2）＞0，解得b2＜7，且，2分∵点O到直线l的距离，．∴=，2分（当且仅当b2=7﹣b2即时取到最大值），1分∴△OBD面积的最大值为．1分．【点评】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。
高二数学9月月考试题理试题_2(共8页)
三学实验(shíyàn)2021-2021学年高二数学9月月考试题理考前须知：1．在答题之前，所有考生必须将自己的、班级、姓名填写上清楚，同时需要用2B铅笔将考号准确填涂在“考号〞栏目内．2．选择题使需要用2B铅笔填涂在答题卡对应题目的号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写之答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．在在考试完毕之后以后将答题卡收回．第一卷〔选择题，一共48分〕一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题4分，一共48分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为A． B． C． D．3．直线与直线之间的间隔为A． B． C． D．4．圆与圆的位置关系是A．外切 B．内切 C．相交 D．相离5．中心为坐标原点的椭圆(tuǒyuán)，焦点在轴上，焦距为，离心率为，那么椭圆的方程为A． B．C． D．6．直线：，：，假设，那么的值是A． B． C． D．7．过点的直线与圆相切，且l与直线垂直，那么A． B．1 C．2 D．8．两点，，假设直线与线段相交，那么的取值范围为A．或者 B．C． D．9．直线关于1-y对称的直线方程为=xA． B．C． D．10．两定点(d ìn ɡ di ǎn)，，动点满足，那么面积的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4 11．直线与圆交于不同的两点，，是坐标原点，假设，那么实数k 的取值范围为A ．B ．C ．D ．12．，是椭圆：的左、右焦点，A 是椭圆C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，为等腰三角形，，那么椭圆C 的离心率为A ．B ．21C ．D ．第二卷〔非选择题，一共52分〕二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题3分，一共12分．把答案直接填在答题卡中的横线上． 13．过点，的直线l 的斜率为1，那么m 的值是_________； 14．经过椭圆的左焦点1F 作直线交椭圆于两点，2F 是右焦点，那么的周长为__________；15．直线l ：与曲线C ：有唯一一个交点，那么实数m 的取值范围为__________；16．点在动直线(zhíxiàn)上的射影为点，假设点，那么的最大值为___________。
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黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理Ⅰ 选择题（共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|lg A x y x ==，集合{|B x y ==，则AB = （ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,+∞D ．(],1-∞2.设复数z 满足(1i)i z +=，则z = （ ）A ．12B C D ．23．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则恰有一人击中目标的概率是 （ ）A ．0.44B ．0.32C ．0.12D ．0.484．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 （ ）A ． 2π+B ． 2C ． 2π-D ． π5.《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 （ ）A ．2B ．4+C ．4+D ．6+ 6.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为 （ ）A. 1()2sin()26f x x π=+ B.1()2sin()26f x x π=-C. ()2sin(2)6f x x π=-D. ()2sin(2)6f x x π=+7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为 （ ）A ．4k >？B ．5k >？C ．6k >？D ．7k >？第5题图 第6题图第7题图8．若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 （ ）A.10B.20C.30D.1209.抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面次数多于反面次数的概率是 （ ） A ．716B ．18 C ．12 D ．51610．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 （ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．3611．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2 BD12．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f xg x <的解集是( ) A ．()()3,03,-+∞ B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞-Ⅱ 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确答案填在答题卡的横线上.13.不等式25n C n -<的解集为 ；14．x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2zx y =+的最大值为 ；15．设()10102210102x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为 ；16．小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 ；三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（I ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．18. （本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表 示所选3人中女生的人数. （I ）求随机变量X 的分布列（Ⅱ）求“所选3人中女生人数1X ≤”的概率.E19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为递增的等比数列， 148a a ⋅=，236a a +=. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）如图， 在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=，1AA BC ⊥，124AA AC AB ===.（I ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）设E 分别为1BB 的中点，求二面角1E AC B --的大小的余弦值．21.（本小题满分12分）据统计，2017年国庆中秋假日期间， 黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（I ）求,a b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅱ）若导游的奖金y （单位：万元），与其一年内旅游总收入x （单位：百万元）之间的关系 为12022040340x y x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.22．(本题满分12分) 已知函数()=e sin x f x x ax - (I)当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a ≤时，判断()f x 在3[0,]4π上的单调性，并说明理由； (Ⅲ)当1a <时，求证：3[0,]4x π∀∈，都有()0f x ≥．数学参考答案（理科）一、本题共12小题，每小题5分，共60分.二、本题共4小题，每小题5分，共20分.13. {}2,3,4 14. 3 15. 1 16. 84 三、 17. （I ）由26x t y t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y +=，故曲线C 的普通方程为(222x y +=； ……5分（Ⅱ）据题意设点)Mθθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-+⎣． ……10分18. 解：（I ）………………6分（Ⅱ）()415P x ≤=………………12分19（Ⅰ）由及得或（舍）所以，所以 ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以……12分20. 解：（I ）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AB ，又AA 1⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC .又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又AB ⊥AC . AB ⊥AA 1 , AC ∩AA 1＝A ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1又A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1C ⊥AB 又AB ∩AC 1＝A ∴A 1C ⊥平面ABC 1 ……6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 因为AA 1＝AC ＝2AB ＝4，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C 1(0,4,4)，C (0,4,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,4)，由(1)知，A 1C →＝(0,4，－4)是平面ABC 1的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AC 1E 的法向量， ∵AC 1→＝(0,4,4)，AE →＝(2,0,2)，∴⎩⎨⎧n ·AC 1→＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋4z ＝0，2x ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,1)为平面AC 1E 的一个法向量．设A 1C →与n 的夹角为θ，则cos θ＝0－4－43×42＝－63，由图知二面角E －AC 1－B 为锐角，∴二面角E －AC 1－B 的余弦值为63. ……12分21.（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=；由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． …………………4分（Ⅱ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人；年旅游总收入[)40,60的人数()0.020.011010030+⨯⨯=人；故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ………………8分（Ⅲ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知： ()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===；()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望为：2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 22. （Ⅰ）当0a =时，()e sin x f x x =,'()e (sin cos )xf x x x x =+∈R .得'(0) 1.f =又0(0)e sin 0=0f =,所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = ………….…4分（Ⅱ）因为()e sin xf x x ax =-，所以'()e (sin cos )xf x x x a =+-. 令()'()g x f x =， 则 '()e (sin cos )e (cos sin )2e cos xxxg x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：-当0a ≤时，3(0)10,()04g a g a =->π=-≥.所以3[0,]4x π∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥， 所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. .…………………….…8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增，所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. 当01a <<时，设()'()g x f x =，则'()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x g x x x x x x =++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减 因为'(0)10f a =->， 3'()04f a π=-<，所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又 (0)0f =，3324433()304242f e a e ππππ=⨯->⨯->>,所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .…………………….…12分。
2021年高二9月月考 数学(理)试题 含答案
绝密★启用前2021年高二9月月考 数学（理）试题 含答案A ．不能作出这样的三角形B ．能作出一个锐角三角形C ．能作出一个直角三角形D ．能作出一个钝角三角形4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( ) A ．－72 B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－365. 在等差数列中则的最大值等于（ ）A. 3B. 6C.9D. 366. 等差数列中,已知,,,则为 （ ） A ． B ． C ． D ．7. 已知数列—1，a 1，a 2，—4成等差数列,—1，b 1,b 2,b 3,—4成等比数列，则的值为（ ） A 、 B 、— C 、或— D 、 8. 数列满足，设，则（ ）A ．B ．C ．D ．9. 已知数列满足：,,（）,若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.10. 已知数列为等差数列，若且它们的前项和有最大值，则使得的的最大值为（ ） A.11 B.19 C.20 D.21第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明二、填空题11. 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则____________. 12. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为__________。
13. 等差数列的公差，且()1sin sin sin cos cos cos sin 72623262323232=+-+-a a a a a a a a ，仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是14. 等差数列的前项和为，若，则的值是三、解答题15. 已知是等差数列，其中（1）求的通项;（2）数列从哪一项开始小于0;（3）求值。
16. 设等比数列的前n项和为S n，已知（1）求数列的通项公式；（2）在a n与a n+1，之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，求数列的前n项和T n．17. 已知公差不为0的等差数列的首项，设数列的前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式及；（2）求.18. 在中,角,,所对的边分别为,,,,.(Ⅰ)求及的值;(Ⅱ)若,求的面积.19. 设同时满足条件：①；② (，是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值，并证明此时为“嘉文”数列.参考答案一、单项选择 1.【答案】C 【解析】 2.【答案】Ｂ【解析】根据等差数列通项及性质，可得选B 。
高二数学9月月考试题 理 试题 2(共11页)
二、填空题〔一共4题，每一小题5分〕
13、在 中，内角 所对应的边分别为 ， ，假设 ，那么 的值是__________．
14、等比数列(děnɡ bǐ shù liè) 中， ， ，那么 __________．
15、关于 的不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为__________．
16、以下命题：
①“ 且 〞是“ 〞的充要条件；
②“ 〞是“不等式 解集为 〞的充要条件；
③“ 〞是“直线 平行于直线 〞的充分不必要条件；
④“ 〞是“ 〞的必要而不充分条件.
其中真命题的序号为__________．
三、解答题〔17题10分，其他每一小题12分〕
17、a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
A. B. C. D.
6、命题 ，那么 的否认形式是 〔 〕
A. ，那么 B. ，那么
C. ，那么 D. ，那么
7、在等差数列 中， ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
8、以下(yǐxià)命题中正确的选项是〔_____〕
A．假设 ，那么 B.假设 ， ，那么
C. 假设 ， ，那么 D.假设 ， ，那么
，由于 ，所以： ， .
点睛：此题主要考察了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.
内容总结
（1）〔2〕过点P〔2,1〕作弦且弦被P平分，那么此弦所在的直线方程.
D.命题 ： ， ，那么 为 ，
2、 ，那么“ 〞是“ 〞的〔 〕
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河北省邯郸市广平一中2015—2016学年高二9月考试理科数学试卷
一、选择题（12×5分）
1．在△ABC 中，若2=a ,,060B = ,则角A 的大小为（ ） A. 30 B
．60 C ． 150 D ． 120 2．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +7a =（ ） A ．4 B ． 8 C ．12 D ．14
3．在ABC ∆，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式0862
>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<，则b 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．33 D ．32 4．在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S =（ ） A.7 B.15 C.20 D.25
5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≤8，
0≤x ≤4，0≤y ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
6．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为（ ）m
A ．3400
B ．
33200 C ．33
400 D ．3200 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于
（ ）
A.6
B.7
C.8
D.9
8．,,,,,,ABC a b c A B C ∆在中分别是的对边且满足(2)cos cos a c B b C -=，角 B 的大小为（ ） A ．
6π B ．4π C ．3π D ．2
π 9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足5
524-+=
n n B A n n ，则13
513
5b b a a ++ 的值为（ ）
A ．97
B ．78
C ．2019
D 10．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos 2
A b c c +=，则△ABC 是（ ）
A ．直角三角形 B.锐角三角 C.钝角三角形 D.等腰三角形
11．若把正整数按图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为（ ）
145891223671011
→→↓↑↓↑↓↑→→→
A ．↓→
B ．→↓
C ．↑→
D ．→↑
12．数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11
3
a =,且对任意正整数,m n ,都有m n m n a a a +
=⋅,若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．12 C
．14
D
二、填空题（4×5分）
13、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为
14．若锐角ABC ∆的面积为 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 15．已知在数列{}n a 中，n n a n n
a 2
1+=
+，且21=a ，则=n a 16．执行如下图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R
三、解答题
17．(10分) 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3
B π
∠=． （1）若2a =
，b =，求c 的值；
（2
）若tan A =tan C 的值．
18．(12分)已知数列{}n a 满足12n n a a n +-=+ （*n N ∈）且11a = （1）求234,,a a a 的值 （2）求{}n a 的通项公式
19．(12分) ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 互不相等，设=4,=3a c ，2A C =. （Ⅰ）求cos C 的值； （Ⅱ）求b 的值.
20、(12分) 已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，11=a ，且2a ，13+a ,6a 成等比数
列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3
(1)(2)
n n b n a =
++，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
21．(12分)已知锐角ABC ∆的内角,,
A B C 的对边分别为,,a b c 且tan A =
（1）求角A 的大小：
（2）求cos cos B C +的取值范围.
22．(12分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
124n n a S n +-=+，且
2371,,a a a -恰为等比数列{}n b 的前3项。
（1）求{}n a ，
{}n b 的通项公式；
（2）令1
1,n n n n n c b a a +=-求数列{}n c 的前n 项和n T 。
广平一中2015-2016学年第一学期高二年级九月考试
理科数学答案
1-12 :ABDBC AACDA DB 13. ±63 14.7 15.
4
(1)
n n +
16. 2 17.（1）4；（2）
5
3
3． 【解析】
试题分析：由余弦定理，得到关于c 的方程进行求解；（2）利用三角形的内角和定理与两角和的正切公式进行求解. 试题解析：（1）由余弦定理得，2222cos b c a c a B =+-⋅，
因为3B π
∠=，2a =
，b =
所以2
1242c c =+-，即2280c c --= 解之得4c =，2c =-（舍去）．
所以4c =
18. 【答案】（1）2344,8,13a a a ===（23）min 1516()484n b b b ===-
【解析】 试题分析：（1）因为12n n a a n +-=+ ，且11a = 所以2344,8,13a a a ===
（2）因为12n n a a n +-=+，所以112211,,
,3n n n n a a n a a n a a ----=+-=-=，
这n-1个式子相加可得2132
34(1)134(1).2
n n n a a n n +-=+++++=+++++=
（3）由（1）知468n n b a n =-22
2313126242()422
n n n =--=---
因为n N ∈，结合二次函数的性质可以得到min 1516()484n b b b ===-
19. 【答案】Ⅰ）解：在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得43sin sin A C =，---------3
分
因为2A C =，所以43sin 2sin C C =，即43
2sin cos sin C C C
=
， 解得2
cos 3
C =
； ------------6分 （Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， -----------9
分
得2291683b b =+-?，解得73,3b b ==或.
因为a
、b 、c 互不相等，
所以73
b =. ----------12．
20、21.（1）3π
；（2）⎤⎥⎣⎦
.
2222cos 23
b c a bc A
+-（2
）21cos cos cos cos cos cos 322B B B B B B B π⎛⎫⎛⎫
+=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12cos sin 26362
B B B B
C B ππππ
⎛⎫==++=
∴<< ⎪⎝
⎭ 2,sin cos cos 6336B B B C π
πππ⎤
⎤⎡⎤⎛
⎫∴+
∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭⎣⎦⎣⎦
22.解（Ⅰ）1,2n
n n a n b =+=
（Ⅱ）321
222
n n n T n +=
-++。