1-4 条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中最基础、最重要的两个公式之一。
它们是概率论领域的基础理论，广泛应用于科学、经济、社会等诸多领域。
在本文中，我们将从定义、思想、应用等多个角度系统地介绍这两个公式，并通过实例加深读者对其理解和应用的能力。
一. 全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式，指在已知某一事件的所有可能情况下，推断出该事件发生的概率公式。
其定义如下：对于任何一组事件A1,A2,A3...,An，满足：1. 这些事件构成一个完备事件组，即其中任意两个事件不可能同时发生；2. 对于任意一个事件B，都可以写成B与A1,A2,A3...,An的交集的和；则可得到全概率公式：P(B) = ∑P(Ai) · P(B|Ai)其中，P(B)为事件B的概率，P(Ai)为组合事件A1,A2,A3...,An的概率，P(B|Ai) 表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
全概率公式的思想是通过列出完备事件组，并结合贝叶斯公式，计算出该事件每个可能事件的概率。
这个公式几乎在所有诸如风险评估、决策分析等领域都有广泛应用。
1.1 示例——决策分析用全概率公式来说明决策分析。
现在，有一个人可以选择投资A或B。
如果选择A，有60%的机会获得10000元的回报和40%的机会获得20000元的回报；如果选择B，则有100%的机会获得15000元的回报。
这个人现在需要决定选择哪种投资。
我们可以将选到A和选到B的两个事件分别设为Ai和Aj。
则全概率公式的应用如下：P(A) = P(Ai) · P(A) + P(Aj) · P(A)其中，P(Ai)=0.5，P(Aj)=0.5，P(A|Ai)=0.6，P(A|Aj)=1所以：P(A) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 1 = 0.8P(B) = 1 - P(A) = 0.2因此，我们可以看到，通过全概率公式，我们可以得出选择A的概率为0.8，选择B的概率为0.2。
1-4全概公式与贝叶斯公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
假设Ai=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2）
解：设 Ai=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） B =顾客买下该箱玻璃杯，则
P( A0 ) 0.8, P( A1 ) 0.1, P( A2 ) 0.1,
P(B A0 ) 1, P(B A1 )
P(B A2 )
P( AB)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P( AB)
BA 与 B A互斥
P( A)P(B A) P( A)P(B A)
0.4 0.9 0.6 0.6 0.72
将此例中所用旳措施推广到一般旳情形，就 得到在概率计算中常用旳全概率公式.
定理1（全概率公式） 设随机试验 E旳样本空间 ， A1,A2,…,An
为一完备事件组，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 则 对于任一事件B, 有
2
C
5 18
C
5 20
21 38
C
5 19
C
5 20
0.75,
21
P(B) k0 P( Ak )P(B Ak ) 0.8 1 0.1 0.75 0.1 38
707 0.9303 760
二、贝叶斯公式（逆概公式）
定理2（贝叶斯公式）
设随机试验 E旳样本空间 ， A1,A2,…,An 为一完备事件组，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 则 对于任一事件B, 有
P( A1 ) 0.5, P( A2 ) P( A3 ) 0.25
P(B A1 ) 0.02, P(B A2 ) 0.02, P(B A3 ) 0.04
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( A3 )P(B A3 )
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
大学概率论必背公式
，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；
1.4条件概率及有关公式
23
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它 可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 的最可能原因.
24
例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 C 表示“抽查的人不患癌症”.
设B1,B2,…,Bn互不相容, A Bi ,
i 1
n
P(B )P( A | B )
i 1 i i
n
( k 1,2,..., n)
P ( ABk ) 分析: P ( Bk | A) P ( A) P ( Bk ) P ( A | Bk ) 乘 法 公 式 n P ( Bi ) P ( A | Bi ) 全 概 率 公 式
5
分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点 在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的 某一样本点发生,故 P ( AB ) k k / n P ( A | B) m m/n P( B) 相当于“缩小了样本空间”
6
条件概率的 性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互 斥,则
(3)
11
推广到一般情形中: 若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1)
1.3,1.4条件概率,全概率公式
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
且等于它们的总和： 出最终结果. 义： n
P (B )
P ( A i B ).
i1
A2
A1
B
A3
A n 1
An
例4 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一 个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲 箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解 以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A 2 , A1 A 2 , 则 且
1
第 n1 次 取 出 黑 球 ； A n
A n 表 示 第 n 次 取 出 红球，则 b P ( A1 ) br
1 1
表 示 第 n 1 1 次 取 出 红球
P ( A 2 | A1 )
bc brc
P ( A n | A1 A 2 A n
1
1 ) 1
b ( n1 1) c b r ( n1 1) c r b r n1 c rc b r ( n1 1) c
P (B A) P ( AB ) P ( A)
因为 P ( A ) 0 . 8 ,
P ( B ) 0 .4 ,
.
( B A , AB B ) P ( AB ) P ( B ),
所以 P ( B A )
P ( AB ) P ( A)
0 .4 0 .8
1 2
.
3. 条件概率的性质
P ( B ) P ( B ) P(B) P(B) P(B) 1
(3) 可列可加性：
对于两两互斥的事件序
有 P ((
列： A1， A 2， ，
P ( Ak B )
k 1
Ak ) B )
k 1
P (( Ak ) B )
k 1
Ak )B )
证
P ((
(1) 取出的一个为正品；A
(2) 取出的一个为甲车床加工的零件；B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB (4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为 正品. C 解 (1)
P ( A) P(B) 85 100 0 . 85 0 . 40
正品数
甲车床 乙车床 总 计 35 50 85
(1)非负性: 证
0 P ( A B ) 1;
0 P ( AB ) P ( B )
0 P ( AB ) P(B) 1
AB B
又 P(B) 0
即 0 P ( A B ) 1.
(2)规范性： P ( B ) 1 , P ( B ) 0 ; 证 B B
2 C3
2
3
6 8
从而
P (B A)
P ( AB ) P ( A)
6/8 7/8
6 7
.
例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的
这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少? 解 设 A =“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B = “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有
( 1 )
2 3
,
( 2 )
1 3
( 1 )
2 4
1 2
,
( 2 )
1 4
因而 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )
P(A B) : 以
B
A AB
B
B 为样本空间
如：对于古典概型，
P ( AB ) AB 包含的样本点数 样本空间 包含的样本点数 AB 包含的样本点数 B 包含的样本点数
P(A B)
例1 (1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个 女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的). 解
样本点总数：23.
Ai .
3.全概率公式的意义 直 全概率公式的主要用处在于: 它可以将一 某事件B的发生由各种可能的“原因”
Ai (i=1,2,,n)引起，而Ai与Aj (i j) 互斥， 个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单 观 则B发生的概率与 P(AiB)(i=1,2,,n)有关， 事件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求 意
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) P ( An ) P ( B | An )
图示
A2
B
A3
A n 1
A1
An
化整为零 各个击破
注
全概率公式中的条件：
i 1
n
Ai
n
可换为
B
i 1
A 的样本点出现” .
此时，样本空间已不再是原来包含100个样本 点的，而缩减为只包含40个样本点的B=B.
P (C ) P ( A B ) 35 40 0.875
注
1 P ( A ) 0 . 85 P ( A B )
B
2 P ( AB ) 0 . 35 P ( A B )
1 2 3
A “ 3 个中至少有一个女孩”
A “ 3个全是男孩” ,
男 女
P ( A)
1 2
3
1 8
1 8 7 8
P ( A) 1 P ( A ) 1
(2)在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女 孩，求该家庭至少有1个男孩的概率. 解
再设
A “ 3 个小孩中至少有一个女 孩”
A2
A3
A1
A n 1
An
2. 全概率公式
定理 设 为试验 E 的样本空间 , B 为 E 的事件 ,
A1 , A 2 , , A n 为 的一个划分 ( i 1 , 2 , , n ), 则 , 且 P ( Ai ) 0
P ( B ) P ( B | A1 ) P ( A1 ) P ( B | A 2 ) P ( A 2 ) P ( B | An ) P ( An )
k 1
P(B)
k 1
P ( Ak B )
P(B)
k 1
P ( Ak B )
(4) 加法公式：
P (( A1 A 2 ) B ) P ( A1 B ) P ( A 2 B ) P ( A1 A 2 B )
证
P (( A1 A 2 ) B ) P ( A1 B A 2 B )
设A，B是两个事件，且P(B) > 0, 则称
P(A B) P ( AB ) P(B)
为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率. 注 1 计算 P ( A B )的两种方法 :
① 样本空间缩减法；
② 用定义.
2 P ( AB ) 与 P ( A B )的区别：
P ( AB ) : 以 为样本空间
b ( n1 1) c rc b r ( n1 1) c r r ( n 2 1) c b r ( n 1) c
b r ( n 1 1) c b r n 1 c
此模型被卜里耶用来作为描述传染病的数学模型.
二、全概率公式与贝叶斯公式
P ( An
1 1
| A1 A 2 A n )
1
P ( An
12
| A1 A 2 A n
1 1
)
P ( A n | A1 A 2 A n 1 )
r ( n 2 1) c b r ( n 1) c
因此
P ( A1 A 2 A n ) b bc b 2c b r b r c b r 2c
次品数
5 10 15
合计
40 60 100
(2)
(3)
40 100
P ( AB )
35 100
0 . 35
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，
其为正品. A
附加条件B
A 发生”
C A B : “事件 B 发生的条件下，事件
“样本空间 中属于 B 的样本点必然出现的
条件下，属于
P ( A1 B ) P ( A 2 B ) P ( A1 A 2 B )
P (( A1 A 2 ) B ) P (( A1 A 2 ) B )
P(B)
P ( A1 B ) P ( A 2 B ) P ( A1 A 2 B ) P(B)
P ( A1 | B ) P ( A 2 | B ) P ( A 1 A 2 | B )
n
i1
P ( Ai ) P ( B | Ai )
全概率公式
证
B B B ( A1 A 2 A n )
BA 1 BA 2 BA n .
由 Ai A j
( BA i )( BA j )
P ( B ) P ( BA 1 ) P ( BA 2 ) P ( BA n )
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验 E 的样本空间 , A1 , A 2 , , A n 为 A i A j , i j , i , j 1, 2 , , n ; A1 A 2 A n ,
E 的一组事件 , 若 (1) (2)