福建省师大附中高二数学上学期期中试题 理

福建师大附中2015-2016学年第一学期模块考试卷高二数学（理科）必修5本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知a ，R b ∈，下列结论成立的是A ．若a b <，则ac bc <B ．若a b <，c d <，则ac bd <C ．若0a b <<，则11a b> D ．若a b <，则n n a b <（n *∈N ，2n ≥） 2．下列函数中，最小值为22的是 A ．=y 32322+++x x B ．xx y 2+= C ．)0(sin 2sin π<<+=x xx y D ．x x y lg 2lg +=0(>x 且)1≠x 3．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若423S S =，则64S S = A ．2 B ．73C ．83 D ．34．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，已知1596a a a -+=，则9S 的值为 A ．54 B ．45 C ．27 D ．185．若关于x 方程22(1)20x m x m +-+-=的一个实根小于1-，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是A ．(2,2)-B ．(2,0)-C ．(2,1)-D ．(0,1)6．已知0,0>>b a ，若不等式ba mb a +≥+212恒成立，则实数m 的最大值是 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7410 1228 30 36 …7．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin 2sin a A c C a b B -=-，则角C 的大小为A.34π B.4π C.3πD.2π8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足65S S <且876S S S >=，则下列结论错误．．的是 A ．6S 和7S 均为n S 的最大值 B ．07=aC ．公差0d <D ．59S S >9．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B a A b tan tan 22=，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形10．已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围为A. (,1)-∞-B. (0,1)C. (1,)+∞D. [1,)+∞11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60A =o ，43b =，为使此三角形有两个，则a 满足的条件是A. 643a <<B. 06a <<C. 043a <<D. 43a ≥或6a = 12．设数列}{n a 是集合{33|0,sts t +≤<且,}s t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝4，a 2＝10，a 3＝12，a 4＝28，a 5＝30，a 6＝36，…. 将数列}{n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：则200a 的值为A ．91933+ B ．101933+ C ．92033+ D ．102033+第Ⅱ卷 共90分第14题图二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知关于x 的不等式210mx nx +-<的解集为11{|,}32x x x <>或，则m n +等于 .14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30O 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75O 的方向上，仰角为30O ，则此山的高度CD = m.15．在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，2,1,30AB AC BAD ==∠=o,则AD = . 16．已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x n N *++=-∈，若121,(1,0)x x a a a ==≤≠，且nn x x =+3对于任意正整数n 均成立，则数列{}n x 的前2015项和2015S 的值为 .（用具体的数字表示）三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37a =，5726a a +=. （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知3=a ，36cos =A ，2π+=A B . （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）某小型餐馆一天中要购买,A B 两种蔬菜，,A B 蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元．根据需要，A 蔬菜至少要买6公斤，B 蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，,A B 两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？20．(本小题满分12分)在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍. （Ⅰ）求CB∠∠sin sin ；（Ⅱ）若22,1==DC AD ，求BD 和AC 的长.21．(本小题满分12分)某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？22．（本小题满分14分）已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*n ∈N ．{}n b 是等差数列； （Ⅱ）设2nn n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T <；（Ⅲ）设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．福建省师大附中2015-2016学年第一学期模块考试高二数学（理科）必修5参考答案一、选择题：1－12：CBBADB BDDCAC 二、填空题：13．1- 14．6100 15. 3216. 1344 三、解答题：17．解: （Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵37a =，5726a a += ∴112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d == ……… 2分∴32(1)21n a n n =+-=+，2(321)22n n n S n n ++==+.……… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =+， ∴221111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ===⋅=⋅--+-++，……… 8分 ∴11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++.……… 10分 18．解: （Ⅰ）∵36cos =A ∴23sin 1cos 3A A =-= ……… 1分 ∵2π+=A B ∴6sin sin()cos 23B A A π=+==……… 3分 由正弦定理得63sin 332sin 3a Bb A⨯===……… 5分 （Ⅱ）21sin sin()sin(2)cos 22cos 123C A B A A A π=+=+==-=……… 8分 ∴11132sin 3322232ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=……… 10分 19．解：设A 蔬菜购买的公斤数x ，B 蔬菜购买的公斤数y ，餐馆加工这两种蔬菜利润为z 元.x 、y 则之间的满足的不等式组为：……… 3分z=2x+y ……… 4分画出的平面区域如图．……… 7分 ∵y=﹣2x+z∴z 表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y 轴上的截距． 联立解得即B （24，4） ……… 9分∴当直线过点B （24，4）时，在y 轴上的截距最大，即z max =2×24+4=52 ……… 11分答：餐馆应购买A 蔬菜24公斤，B 蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．……… 12分 20．解：(Ⅰ)BAD AD AB S ABD ∠⋅⋅=∆sin 21CAD AD AC S ACD∠⋅⋅=∆sin 212,ABD ACD S S BAD CAD ∆∆=∠=∠QAC AB 2=∴ ……… 2分由正弦定理可知21sin sin ==∠∠AB AC C B ……… 4分(II ) ::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==Q ，22DC =2=∴BD ……… 6分设AC x =，则2AB x =在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ 8分ΘADB ADC π∠+∠=，∴ADC ADB ∠-=∠cos cos ……… 10分2222322x -=1x =即1AC = ……… 12分21. 解：设建筑楼房为x 层，该楼房每平方米的平均费用为()f x 万元，由题意知……… 10分建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元）楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元） 建筑x 层楼时，该楼房总费用为2(1)922100911002x x x x x -+⨯+=++（x ∈N *）…… 6分（不给定义域扣1分） 则291100191()10001000101000x x x f x x x ++==++1912911112100010100010010001000x x ≥⋅+=+=当且仅当10x=，即x=10时，等号成立；……… 11分答：了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，此时平均费用为每平方米0.111万元． ……… 12分 22．（Ⅰ）当1n =时，1124S a =-，∴14a =……… 1分当2n ≥时，1112222n n n n n n n a S S a a +--=-=--+，∴122nn n a a --=，……… 3分 即11122n n n n a a ---=， ∴11n n b b --=（常数），……… 4分 又1122a b ==，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，1n b n =+．……… 5分 （Ⅱ）12(1)2nnn n c b n -=⋅=+⋅2231222n n n T +=+++L ，231123122222n n n n n T ++=++++L ，……… 6分 相减得23111111122222n n n n T ++=++++-L211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---，……… 7分∴213333222n n n n n n T ++=--=-<. ……… 9分……… 11分 ……… 12分……… 13分 ……… 14分(Ⅲ) 由n n d d >+1得。