八年级数学下册第一章三角形的证明121直角三角形学案北师大版

1.2直角三角形一、学习指南：【达成目标】1.能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；2.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．【方法建议】认真看书、动手动脑、独立完成。

二、学习任务：【潜伏训练】1、Rt△ABC中，∠C是直角，∠A=20°，则∠B=。

2、△ABC中，∠C=35°，∠B=55°，则△ABC是三角形。

3、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4,则AB=。

思考：直角三角形有哪些性质？【归纳】1、定理：直角三角形的两个锐角。

定理：有两个角互余的三角形是三角形。

2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

【自主探究1】在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形吗？你能证明这个结论吗？请尝试分别写出已知、求证。

（参阅课本第14-15页）已知：A B求证：【分层操练】已知：在△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm。

（1）△ACD是直角三角形吗？（2）求证：AB=AC【自主探究2】1、阅读课本P15，16，回答下列问题：①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？②什么是互逆定理？是否任何定理都有逆定理？③思考我们学过哪些互逆定理？2、练习：完成课本16页第3题【自我检测】1、下列说法正确的是（）A 每个命题都有逆命题B 每个定理也都有逆定理C命题正确时其逆命题也正确 D 直角三角形两边分别是3，4，则第三边为52、写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，3、下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（）A 22BC2+ B ∠B：∠C: ∠A=1:2：3AB=ACC ∠B+∠C= ∠AD AB：BC: CA=1:2:34、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB上的一点，且∠ADF=53°，∠BCF=37°，DF=3，CF=5，求CD的长。

三、【困惑与建议】2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．函数y=x-1的图象是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，点D、E分别是BC、CA的中点，则△DEC的周长为（）A．15 B．18 C．20 D．223．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围为( ) A．B．C．D．4．一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4，则参加比赛的共有（）A．40人B．30人C．20人D．10人5．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AD=8，AB=7，则BC+CD等于（）A．63B．53C．43D．336．如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个7．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都8环，甲射击成绩的方差是1.2，乙射击成绩的方差是1.8，射击成绩稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．不能确定8．在平面直角坐标系中，点(2018,2019)P -的位置所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知y 是x 的正比例函数，且函数图象经过点(4,6)-，则在此正比例函数图象上的点是（ ） A ．(2,3) B ．(6,4)- C ．(3,2)- D ．(4,6)-10．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD 、AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为（ ）A ．7B ．313+C ．8D ．315+二、填空题 11． 已知平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AE 平分∠DAB 交BC 所在直线于点E ，CE ＝2，则AD ＝_____． 12．如图，等边△ABC 内有一点O ，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，以点B 为旋转中心将BO 逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①ABO '△可以看成是△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到的；②点O 与O '的距离为5；③∠AOB ＝150°；④S 四边形AOBO′＝6+42；⑤AOC AOB S S +△△＝6+934．其中正确的结论有_____．（填正确序号）13．如图，已知等边三角形ABC 的边长为7，点D 为AB 上一点，点E 在BC 的延长线上，且CE=AD ，连接DE 交AC 于点F ，作DH ⊥AC 于点H ，则线段HF 的长为 ____________.14．直角三角形的两直角边是3和4，则斜边是____________15．无论x 取何值，分式212x x x m+++总有意义，则m 的取值范围是______． 16．小明家和丽丽家相距400米.里期天，小明接到丽丽电话后，两人各自从家同时出发，沿同一条路相向而行，小明出发3分钟后停下休息，等了一会，才与丽丽相遇，然后随丽丽一起返回自己家.若两人距小明家的距离y （米）与他们步行的时间x (分钟）之间的函数关系如图所示，结合图象可知，小明中途休息了___分钟．17．如图，在矩形ABCD 中，AD=10，AB=8，点P 在AD 上，且BP=BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且MP=NC ，连接MN 交线段PC 于点F ，过点M 作ME ⊥PC 于点E ，则EF= _______.三、解答题18．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，边AB 的垂直平分线分别交AB 和BC 于点D ，E ，且AE 平分∠BAC ． （1）求∠C 的度数；（2）若CE ＝1，求AB 的长．19．（6分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BE ∥AC ，CE ∥DB ．求证：四边形OBEC 是矩形．20．（6分）解不等式组：293 1213xxx+≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x+3n＝1．求证：此方程总有两个实数根．22．（8分）请阅读材料，并完成相应的任务．阿波罗尼奥斯（约公元前262~190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，可以说是代表了希腊几何的最高水平．阿波罗尼奧斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线的长度关系，即三角形任意两边的平方和等于第三边的一半与该边中线的平方和的2倍．（1）下面是该结论的部分证明过程，请在框内将其补充完整；已知：如图1所示，在锐角ABC中，AD为中线．．求证：22222()2BCAB AC AD⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦证明：过点A作AE BC⊥于点EAD为中线2BCBD CD∴==设BD CD a==，DE b=，AE c=BE a b∴=-，CE a b=+在Rt AED中，22222AD AE DE b c=+=+在Rt ABE△中，2AB=__________在Rt AEC中，2AC=__________22AB AC∴+=__________（2）请直接利用阿波罗尼奧斯定理解决下面问题：如图2，已知点P为矩形ABCD内任一点，求证：2222PA PC PB PD+=+（提示：连接AC、BD交于点O，连接OP）23．（8分）解方程：（1）2410x x -+= （2）()22210x x --= （3）241111x x x +=--- 24．（10分）甲、乙两名同学在练习打字时发现，甲打1800字的时间与乙打2400字的时间相同.已知乙每分钟比甲多打20个字，求甲每分钟打多少个字25．（10分）某学校开展课外体育活动，决定开设A ：篮球、B ：乒乓球、C ：武术、D ：跑步四种活动项目.为了解学生最喜欢哪一种活动项目(每人只选取一种).随机抽取了m 名学生进行调查，并将调查结果绘成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题：()1m =______；()2在扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为______；()3请把图的条形统计图补充完整；()4若该校有学生1200人，请你估计该校最喜欢武术的学生人数约是多少？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】∵一次函数解析式为y=x-1，∴令x=0，y=-1．令y=0，x=1，即该直线经过点（0，-1）和（1，0）．故选D．考点：一次函数的图象．2．A【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D、E分别是BC、CA的中点，∴DE＝AB＝4，CE＝AC＝5，DC＝BC＝6，∴△DEC的周长＝DE+EC+CD＝15，故选：A．【点睛】考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．3．D【解析】【分析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，∴，∴m＜1．故选：D【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．4．C根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得数据总和=频数÷频率．【详解】∵成绩在4.05米以上的频数是8，频率是0.4，∴参加比赛的运动员=8÷0.4=20.故选C.【点睛】考查频数与频率，掌握数据总和=频数÷频率是解题的关键.5．B【解析】【分析】延长DC至E，构建直角△ADE，解直角△ADE求得DE，BE，根据BE解直角△CBE可得BC，CE，进而求解．【详解】如图，延长AB、DC相交于E，在Rt△ADE中，可求得AE2-DE2=AD2，且AE=2AD，计算得AE=16，3于是BE=AE-AB=9，在Rt△BEC中，可求得BC2+BE2=CE2，且CE=2BC，∴33，于是33故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，考查了30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ADE求BE，是解题的关键．6．D【解析】试题分析：（1）S 12，S 22，S 12，∵222+=a b c ，222=，∴S 1+S 2=S 1． （2）S 1=24a π，S 2=24b π，S 1=24c π，∵222+=a b c ，∴222444a b c πππ+=，∴S 1+S 2=S 1．（1）S 1=214a ，S 2=214b ，S 1=214c ，∵222+=a b c ，∴222111444a b c +=，∴S 1+S 2=S 1． （4）S 1=2a ，S 2=2b ，S 1=2c ，∵222+=a b c ，∴S 1+S 2=S 1．综上，可得：面积关系满足S 1+S 2=S 1图形有4个．故选D ．考点：勾股定理．7．A【解析】【分析】根据方差的概念判断即可．【详解】在平均数相同的情况下,方差小的更稳定,故选A ．【点睛】本题考查方差的意义,关键在于牢记方差的概念．8．B【解析】【分析】 观察题目，根据象限的特点，判断出所求的点的横纵坐标的符号；接下来，根据题目的点的坐标，判断点所在的象限．【详解】∵点()2018,2019P -的横坐标是负数，纵坐标是正数，∴在平面直角坐标系的第二象限，故选:B ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．9．D【解析】【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（-4，6）在此正比例函数图象上，此题得解．【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）．∵正比例函数图象经过点（4，-6），∴-6=4k，∴3k2 =-．∵当x=-4时，y=32-x=6，∴点（-4，6）在此正比例函数图象上．故选D．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．10．D【解析】【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长．【详解】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为23×9＝6，∴空白部分的面积为9−6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为12×3＝32，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF＋∠BCG＝90°，∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，设BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，又∵a2＋b2＝32，∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，即（a＋b）2＝15，∴a＋b＝15，即BG＋CG＝15，∴△BCG的周长＝15＋3，故选D.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、完全平方公式的变形求值、以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．二、填空题11．3或7【解析】分两种情况：（1）当AE交BC于点E时;在平行四边形ABCD中,则AD∥BC，DC=AB，AD=BC∴∠AEB=∠EAD，∵∠DAB的平分线交BC于E，∴∠AEB=∠BAE，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，设AD=x,z则BE=x-2=5∴AD=5+2=7cm，(2) 当AE交BC于点E,交CD于点F∵ABCD为平行四边形，∴AB=DC=5cm,AD=BC,AD∥BC.∴∠E=∠EAD，又∵BE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB，∴∠EAB=∠E,∴BC+CE=AB=5，∴AD=BC=5−2=3(cm).故答案为3或7点睛：本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，关键是要分两种情况讨论解答.12．①③⑤【解析】【分析】如图，首先证明△OBO′为等边三角形，得到OO′＝OB＝4，故选项②错误；证明△ABO′≌△CBO，得到选项①正确；运用勾股定理逆定理证明△AOO′为直角三角形，求出∠AOB的度数，得到选项③正确；运用面积公式求出四边形AOBO′的面积，可判断选项④错误；将△AOB绕A点逆时针旋转60°至△AO″C，可得△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3，4，5的直角三角形，再根据S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″进行计算即可判断选项⑤正确．【详解】解：如下图，连接OO′，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝CB；由题意得：∠OBO′＝60°，OB＝O′B，∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′＝∠CBO，∴OO′＝OB＝4；∠BOO′＝60°，∴选项②错误；在△ABO′与△CBO中，AB BCABO CBO BO BO=⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩，∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′＝OC＝5，ABO△可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的，∴选项①正确；在△AOO′中，∵32+42＝52，∴△AOO′为直角三角形，∴∠AOO′＝90°，∠AOB＝90°+60°＝150°，∴选项③正确；∵S四边形AOBO′＝12×42×sin60°+12×3×4＝43+6，∴选项④错误；如下图，将△AOB绕A点逆时针旋转60°至△AO″C，连接OO″，同理可得，△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3，4，5的直角三角形，∴S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝12×3×4+12×32×sin60°＝93故⑤正确；故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查旋转的性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．13．7 2【解析】【详解】证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，∴△ADG是等边三角形，∴AD=DG∵AD=CE，∴DG=CE，在△DFG与△EFC中DFG EFCFDG E DG CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GF=FC=12GC又∵ DH⊥AC，∴AH=HG=12 AG，∴HF=HG+GF=12AG+12GC=12AC=72故答案为：7 2【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题14．1【解析】【分析】在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以计算斜边．【详解】在直角三角形中，三边边长符合勾股定理，已知两直角边为3、4，则斜边边长，故答案为 1．【点睛】本题考查了直角三角形中的运用，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．15．m ＞1【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：当x 2+2x+m ≠0时，212x x x m+++总有意义， ∴△=4-4m ＜0，解得，m ＞1故答案为：m ＞1．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．16．1【解析】【分析】先求出丽丽的速度，然后再求得丽丽走200米所用时间，然后再减去3分钟即可．【详解】解：400÷8＝50米/分钟． 200÷50＝4分钟．4−3＝1分钟．故答案为：1．【点睛】本题主要考查的是从函数图象获取信息，求得丽丽的速度是解题的关键．17．【解析】【分析】过点M 作MH ∥BC 交CP 于H ，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP=∠BCP ，两直线平行，内错角相等可得∠NCF=∠MHF ，根据等边对等角可得∠BCP=∠BPC ，然后求出∠BPC=∠MHP ，根据等角对等边可得PM=MH ，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE=EH ，利用“角边角”证明△NCF 和△MHF 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=FH ，从而求出EF=12CP ，根据矩形的对边相等可得BC=AD=10，再利用勾股定理列式求出AP ，然后求出PD ，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP ，从而得解．【详解】如图,过点M 作MH ∥BC 交CP 于H ，则∠MHP=∠BCP ，∠NCF=∠MHF ，∵BP=BC ，∴∠BCP=∠BPC ，∴∠BPC=∠MHP ，∴PM=MH ，∵PM=CN ，∴CN=MH ，∵ME ⊥CP,∴PE=EH ，在△NCF 和△MHF 中，NCF MHFCFN HFM CN MH∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△NCF ≌△MHF(AAS)，∴CF=FH ，∴EF=EH+FH=12CP ，∵矩形ABCD 中，AD=10，∴BC=AD=10，∴BP=BC=10，在Rt △ABP 中22BP AB -22108-，∴PD=AD −AP=10−6=4，在Rt △CPD 中22CD PD +2284+45∴EF=12CP=12×55故答案为：【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定(AAS)与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定(AAS)与性质.三、解答题18．（1）90C =∠；（2）AB =【解析】【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质及∠B=30°求出∠BAE=30°，再由AE 平分∠BAC 可得出∠EAC=∠BAE=30°，由三角形内角和定理即可求出∠C 的度数．（2）先求出∠EAC ＝30°，在Rt △AEC 中，利用特殊角的三角函数求解直角三角形，可解得AC ，再在Rt △ABC 中，利用特殊角的三角函数求解直角三角形，可解得AB 的长．【详解】（1）∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B ＝30°，∴∠BAE ＝∠B ＝30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝∠BAE ＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠B ＝180°﹣60°﹣30°＝90°．（2）∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠BAC ＝60°∵AE 平分∠BAC∴∠EAC ＝30°∵CE ＝1，∠C ＝90°∴AC ＝tan 30EC =∴AB ＝sin 30AC =2． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及会利用特殊的三角函数值解直角三角形是解答此题的关键． 19．证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC 是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【详解】∵BE ∥AC ，CE ∥DB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，又∵四边形ABCD 是菱形，且AC 、BD 是对角线，∴AC ⊥BD ，∴∠BOC ＝90°，∴平行四边形OBEC 是矩形．【点睛】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．20．3 4.x -≤<【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】 解：2931213x x x +⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②解不等式①得，x 3≥-解不等式②得，x 4<∴原不等式组的解集是3x 4.-≤<【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 21．见解析.【解析】【分析】利用根的判别式△≥1时，进行计算即可【详解】△＝222(3)126912(3)0n n n n n n +-=++-=-≥，所以，方程总有两个实数根．【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键22．（1）2222()+=+-AE BE c a b ，2222()+=++AE CE c a b ，()2222222()()2+-+++++=c a b c a b c a b 2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BC AD ；（2）见解析 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可写出答案；（2）连接AC 、BD 交于点O ，根据矩形的性质能证明O 是AC 、BD 的中点，在PAC 和PBD 中利用阿波罗尼奥斯定理可以证明结论.【详解】（1）在Rt ABE △中，22222()AB AE BE c a b =+=+-在Rt AEC 中，22222()=+=++AC AE CE c a b∴222222()()+=+-+++AB AC c a b c a b ()2222=++c a b2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BC AD 故答案是：2222()+=+-AE BE c a b ；2222()+=++AE CE c a b ；()2222222()()2+-+++++=c a b c a b c a b 2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BC AD ； （2）证明：连接AC 、BD 交于点O ，连接OP∵四边形ABCD 为矩形，∴OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，由阿波罗尼奥斯定理得222222⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦AC PA PC OP 222222⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BD PB PD OP2222∴+=+PA PC PB PD .【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的运用，能充分理解题意并运用性质定理推理论证是解题的关键.23．（1）12x =，22x =（2）113x =，21x =.（3）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程利用公式法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 （1）解：1a =，4b =-，1c =，224(4)411120b ac -=--⨯⨯=>，442212x ±±∴===±⨯12x ∴=+22x =.（2）解：原方程可变形为(2 1)(2 1)0x x x x -+--=，即(3 1)(1)0x x --=.3 10x -=或1x -=0.所以113x =，21x =. （3）解：方程两边同时乘(1)(1)x x +-，得24(1)(1)(1)x x x =+-+-.解这个方程，得1x =.检验：当1x =时，(1)(1)0x x +-=，1x =是增根，原方程无解. 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 24．60【解析】【分析】设甲每分钟打x个字，根据“甲打1800字的时间与乙打2400字的时间相同”列出方程，解方程即可求解. 【详解】解：设甲每分钟打x个字．根据题意，得1800240020x x=+．解得60x=．经检验，60x=是原方程的解，且符合题意．答：甲打字的速度是每分钟60个字。