【解析版】广东省汕尾市2013年高考数学二模试卷(文科)

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广东省汕头市2013届高三数学第二次模拟考试试题文(含解析)新人教A版

2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•汕头二模）已知集合A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过不等式的解法求出集合B，然后求解交集即可．解答：解：因为B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，又集合A={1，2}，所以A∩B={2}．故选A．点评：本题考查二次不等式的求法，交集的运算，值域集合的条件的应用．2．（5分）（2013•汕头二模）已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A．2B．C．D．﹣2考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键．3．（5分）（2010•湖北）已知函数，则=（）A．4B．C．﹣4 D．﹣考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：将函数由内到外依次代入，即可求解解答：解：根据分段函数可得：，则，故选B点评：求嵌套函数的函数值，要遵循由内到外去括号的原则，将对应的值依次代入，即可求解．4．（5分）（2013•汕头二模）若命题”∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）考点：特称命题．专题：计算题；转化思想．分析：转化二次不等式的解集是非空集合，利用判别式求解即可．解答：解：因为命题”∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，所以二次不等式有解，所以△＞0，即（a﹣1）2﹣4＞0，解得a＜﹣1或a＞3．故选D．点评：本题考查特称命题真假的判断，二次不等式的解法，转化思想的应用．5．（5分）（2013•汕头二模）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于，用点斜式求得所求直线的方程．解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率等于﹣2，故所求的直线的斜率等于，故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为 y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0，故选C．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．6．（5分）（2013•汕头二模）如图，正六边形ABCDEF中，=（）A．0B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．解答：解：根据正六边形的性质，我们易得===故选D点评：本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．7．（5分）（2013•汕头二模）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c ，已知，△ABC 的面积，则△ABC的周长为（）A．6B．5C．4D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：根据△ABC的面积求得 ab=4，再由余弦定理求得 a2+b2=8，由此求得a+b的值，再由c的值，即可得到△ABC的周长．解答：解：在△ABC中，∵△ABC 的面积==，∴ab=4．再由余弦定理 c2=4=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2﹣4，∴a2+b2=8，∴a+b===4，故△ABC的周长为 a+b+c=4+2=6，故选A．点评：本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理的应用，属于中档题．8．（5分）（2013•汕头二模）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．分析：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，得到底面是一个半径为1的四分之一圆，在四个选项中，只有D合适．解答：解：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，∴底面是一个半径为1的四分之一圆，故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题．9．（5分）（2013•汕头二模）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，已知b1=2，b3=6，b n=a n+l﹣a n（n∈N*），则a6=（）A．30 B．33 C．35 D．38考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先确定{b n}的通项公式，可得a n+l﹣a n=2n，由此可求a6的值．解答：解：∵{b n}为等差数列，b1=2，b3=6，∴{b n}的公差为2∴b n=2+2（n﹣1）=2n∴a n+l﹣a n=2n∵数列{a n}的首项为3，∴a2=a1+2=5，a3=a2+4=9，a4=a3+6=15，a5=a4+8=23，a6=a5+10=33故选B．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）（2013•汕头二模）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下三个结论：①2013∈[3]②﹣2∈[2]③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；其中，正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析：由2013和﹣2除以5得到的余数判断命题①②的真假；由于所有的整数除以5得到的余数只有0，1，2，3，4五种情况，所以可以断定命题③真假．解答：解：因为2013=402×5+3，所以2013∈[3]，则①正确；﹣2=﹣1×5+3，所以﹣2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中的数被5除可以且只可以分成五类，所以③正确．所以正确结论的个数有2个．故选C．点评：本题是新定义题，解答的关键是理解题目意思，属基础题．二、填空题：本大共5小题．考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）11．（5分）（2013•汕头二模）如图的程序框图所示，若输入a=3，b=2，则输出的值是 2 ．考点：选择结构．专题：图表型．分析：由已知中的流程图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，由a=3，b=2，满足a＞b，代入可得答案．解答：解：由已知中的流程图可得，该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，∵a=3，b=2，满足a＞b故y===2故答案为：2．点评：本题考查的知识点是程序框图，分段函数的函数值，其中分析出程序的功能是计算并输出分段函数的值，是解答的关键．12．（5分）（2010•福建）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60 ．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．解答：解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．点评：本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．13．（5分）（2012•山东）若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a= ．考点：指数函数综合题．专题：压轴题．分析：根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．解答：解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．点评：本题考查指数函数综合应用，对a分a＞1与0＜a＜1讨论是关键，着重考查分类讨论思想的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•汕头二模）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．15．（2012•湖南）如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出圆的半径，根据切割线定理推出PA•PB=PC•PD，代入求出半径即可．解答：解：设圆的半径为r，且PO与圆交于C，D两点∵PAB、PCD是圆O的割线，∴PA•PB=PC•PD，∵PA=1，PB=PA+AB=3；PC=3﹣r，PD=3+r，∴1×3=（3﹣r）×（3+r），r2=6∴r=，故答案为：．点评：本题主要考查切割线定理等知识点，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•汕头二模）已知向量，=（cosx，sinx）；（1）若，求的值；（2）若函数f（x）=，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过数量积求出x的正切值，利用两角差的正切函数展开表达式，求解即可．（2）求出函数的表达式，利用两角和与差的三角函数，化简表达式，通过三角函数的周期公式求出周期，利用正弦函数的单调性求出单调增区间即可．解答：解：因为向量，=（cosx，sinx）；，所以即∴tanx=．==﹣2﹣．（2）因为函数f（x）==所以函数的周期是T=，令，解得：，所以函数的单调增区间为：．点评：本题考查数量积的应用，三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数以及三角函数的单调性的应用，考查计算能力．17．（12分）（2013•汕头二模）某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：有关系无关系不知道40岁以下800 450 20040岁以上（含40岁）100 150 300（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值；（II）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；（III）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8，7、9.3、9.0、8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：计算题．分析：（I）根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，写出比例式，使得比例相等，得到关于n的方程，解方程即可．（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有事件的事件数，再列举出满足条件的事件数，得到概率．（III）先求出总体的平均数，然后找到与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数，最后根据古典概型的公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得=，…（2分）所以n=100．…（3分）（Ⅱ）设所选取的人中，有m人20岁以下，则=，解得m=2．…（5分）也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个．…（7分）其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），…（8分）所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为．…（9分）（Ⅲ）总体的平均数为=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9，…（10分）那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，…（12分）所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为．…（13分）点评：本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出事件数，要做到不重不漏，属于中档题．18．（14分）（2013•汕头二模）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC边上的点，且满足AE=FC=CP=1，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，如图，使平面A1EF⊥平面FEBP，连结A1B，A1P，（1）求证：A1E⊥PF；（2）若Q为A1B中点，求证：PQ∥平面A1EF．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用余弦定理即可得出EF2=3，利用勾股定理的逆定理可得EF⊥AE，即A1E⊥EF．再利用面面垂直的性质定理就看得出A1E⊥平面FEBP．从而证明结论；（2）取A1E的中点M，连接QM，MF，利用三角形中位线定理即可证明．先判断△CFP是等边三角形．即可得出．得到四边形PQMF为平行四边形，可得PQ∥MF．再利用线面平行的判定定理即可证明．解答：证明：（1）在△AEF中，∵AE=1，AF=2，∠EAF=60°，由余弦定理可得EF2=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AE2+EF2=AF2，∴EF⊥AE．即A1E⊥EF．又平面A1EF⊥平面FEBP，∴A1E⊥平面FEBP．∴A1E⊥PF．（2）取A1E的中点M，连接QM，MF．又∵Q为A1B的中点，∴．∵FC=CP=1，∠C=60°．∴△CFP是等边三角形．∴∠CPF=∠B=60°，∴PF∥BE.．∴QM PF．∴四边形PQMF为平行四边形，∴PQ∥MF．∵MF⊂平面A1EF，PQ⊄平面A1EF．∴PQ∥平面A1EF．点评：熟练掌握余弦定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形判定与性质、线面平行的判定定理是解题的关键．19．（14分）（2013•汕头二模）已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．（1）求抛物线和双曲线标准方程；（2）已知动直线m过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设抛物线的方程为 y2=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p的值，即可求得抛物线的方程．对于双曲线，由焦点坐标求得c的值，由双曲线的定义求得a，从而求得b的值，从而求得双曲线的标准方程．（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x1，y1），则C（，）．设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x2，y2），则H（x2，y3），求得|DC|和|CH|、|DH|2，可得当x2=2时，|DH|2=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2为定值，由此可得结论解答：解：（1）设抛物线的方程为 y2=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p=2，∴抛物线的方程为 y2=4x，焦点坐标为F1（1，0）．对于双曲线，一个焦点坐标为F1（1，0），则另一个焦点坐标为F2（﹣1，0），故c=1，2a=||MF1|﹣|MF2||=2﹣2，∴a=﹣1，∴b2=c2﹣a2=2﹣2．故双曲线的标准方程为．（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x1，y1），则C（，）．设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x2，y2），则H（x2，y3），|DC|=|AP|=，|CH|=|﹣x2|=|（x1﹣2x2）+3|，|DH|2=|DC|2﹣|HC|2=[+]﹣=（x2﹣2）x1﹣+3x2由x2的任意性可得，当x2=2时，|DH|2=﹣4+6=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2为定值．故存在垂直于x轴的直线l（即直线DE），倍圆截得的弦长为定值，直线l的方程为 x=2．点评：本题主要考查用待定系数法求抛物线和双曲线的标准方程，直线和圆相交的性质，属于中档题．20．（14分）（2013•汕头二模）已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，求a的取值范围；（3）f′（x）函数f（x）的导函数，问是否存在实数x0∈（1，e），使得对任意实数a，都有成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）先设x∈（﹣∞，0）则﹣x∈（0，+∞），再求出f（﹣x）利用函数是奇函数求出f（x），最后用分段函数表示出函数的解析式；（2）根据函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调减，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减，求导，转化为导数小于等于零恒成立，利用分离参数，即可得a的取值范围；（3）求出，和f′（x0），解方程即可求得x0的值，从而证明结论．解答：解：（1）f（0）=0…（1分），x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣ln（﹣x），所以（2）函数f（x）是奇函数，则f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，，由得，在区间（1，+∞）的取值范围为（﹣1，0），所以a的取值范围为（﹣∞，﹣1]（3）存在．…，解，得x0=e﹣1，因为1＜e﹣1＜e，所以x0=e﹣1为所求．点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．21．（14分）（2013•汕头二模）64个正数排成8行8列，如下所示：png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAHgAAABICAYAAAA9HjF/AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAAAWFSURBVHhe7Z0LcuI4EIa3ltedAktymTA2Z9lkFnKSnfDIRTIZyB5kYox7u23hhyQwthUsOvqqqMIC7G79klrEneYPcLDmuMDRHsIwxMceInq+j8QLFmCzbaZp6KtW4P3uA14fbqDT6UKvN4KHhwn0bp/gP/F6m9hsm2lM+CoJHEEYvMLfwx4Mpi/i+BkmeIHxvO0ubMu2CPY0g6SZE+3FrBLHMWK2NV9QzPlaED jCEfPvfVecNG7BUfQTHkd9SJtaoh3bRMd2saPvspkThQE8T3BWDe7gKWuE4HkC3d4A7tLGepj0NROYDPxxD53+FNJz4IgMXh9hJNp0o1Y7kk1TyzYx84zMqAvSSAd8SM6mAiejsgM9f31ogd0HLhM3HehP1xDu3uBxSLHAh+QdNKrkts+hjm3hxw+473RwRvVhPNsWOsNm6unwEx5u/oQOrjT92xlsc84WBf6GH/SWOBJ2EPymDsIPYSdNFmtYv9CJNjAb58XUtZmnqm3Rfg/vT0842mmJXYLX9z7VPpNU1oHi/nYG3vwdn+7g1z/jwjJeXKIxhtCJaNfWH/iwFIG9P6CloT2B 69mWEGEnLf3bLFbaTlVfUeDdZg53OLt3QQDLaW5pRwqbrNO0KHAppwVezTl9jdL4ioPiA+N2tz8Af1WMzbwFxiUrWE5b/wZgFtlXPA7xeL6Kw5GPM36ti8HlUDx7g+9/ebBKd2q6tjbQ2IGx7DcudUksu7Kd9EkkX3H27lY+biQ3uAE LIFj4R2JwCYfdHe3UDt8JdW1tINvxjjP37XEo4hjupHHp4jKL1T6nGU07a/L1EKczKsxgxzXiBGaOE5g5TmDmOIGZ4wRmjhOYOU5g5jiBmeMEZo4TmDlOYOboBaYsgTifaW9n3rHt9pmmgb+KwLbnHX+lvGiiqb85gek+Yxt5x+dig3 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 TmDlOYOYcF1jcUI5vNNPzsjvLl8Rm2z6Lmj5rBba5TMJXK+FANPFZEpiyCtouk3CMtm0zn05TTnOfCwLbXMahXdtExxpOpynDhM+ZwGTYGWUDkhGbjWTtCDZNTduwJZl1RmbThWmkR3acCpyMxtNlHGj05EsE/LKmhINq21ZbduJ6qO zzGPUIjpRwIOITniobsMa4ovyEGl3EghIOGtvoH6Cv9eftiOo+j+Db7FgJB0LEjuTfETVlA3B5UH9C7TIC17MtIy5xcE0lHIiqPvseLDR9UNhklYIXLZYIuJDA56DYlsG2hIPss6YPKgiMYiolAmwRWGebeAmXK54lHGSfcQaTFrVLO ODoUH9CjeKbBSUctLZhO8YxtiUcZJ/Rz4lXs4RDAs3WYomAtdjptV/CQWMbzlyuP2+XoPq8ko5fAOB/r1RectCB9LIAAAAASUVORK5CYILoj4HkvJjnvZE=，其中a ij表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，，a24=1，．（Ⅰ）求a12和a13的值；（Ⅱ）记第n行各项之和为A n（1≤n≤8），数列{a n}，{b n}，{c n}满足，mb n+1=2（a n+mb n）（m为非零常数），，且，求c1+c2+…+c7的取值范围；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a n，记，设，求数列{B n}中最大项的项数．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）轻车熟路的公比，通过a11，a12，a13，a14成等差数列，求a12和a13的值；（Ⅱ）设第一行公差为d，求出d，求出（1≤n≤8，n∈N*，推出．说明{c n}是等差数列，推出．即可；（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a n，记，设，利用数列的单调性推出，求出n即可求数列{B n}中最大项的项数．解答：（共14分）解：（Ⅰ）因为，所以．又a11，a12，a13，a14成等差数列，所以．…（4分）（Ⅱ）设第一行公差为d，由已知得，，解得．所以．因为，．所以，所以（1≤n≤8，n∈N*）．…（6分）因为mb n+1=2（a n+mb n），所以．整理得．而，所以，所以{c n}是等差数列．…（8分）故．因为，所以c1≠c7．所以．所以，所以．所以c1+c2+…+c7的取值范围是．…（10分）（Ⅲ）因为是一个正项递减数列，所以当d n≥1时，B n≥B n﹣1，当d n＜1时，B n＜B n﹣1．（n∈N*，n＞1）所以{B n}中最大项满足即…（12分）解得≤．又，且n∈N*，所以n=7，即{B n}中最大项的项数为7．…（14分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，函数的函数特征，考查分析问题解决问题的能力，数列的单调性的应用．。

2013年高考文科数学广东卷word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )．A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2} 答案：A解析：∵S ＝{－2,0}，T ＝{0,2}，∴S ∩T ＝{0}． 2．(2013广东，文2)函数lg 11x y x (+)=-的定义域是( )． A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案：C解析：要使函数有意义，则10,10,x x +>⎧⎨-≠⎩解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．(2013广东，文3)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：∵i(x ＋y i)＝－y ＋x i ＝3＋4i ， ∴4,3.x y =⎧⎨=-⎩∴x ＋y i ＝4－3i.∴|x ＋y i| 5. 4．(2013广东，文4)已知5π1sin 25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )． A ．25- B ．15- C ．15 D ．25答案：C解析：∵5ππsin sin 2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是( )．A ．1B ．2C ．4D ．7 答案：C解析：i ＝1，s ＝1，i ≤3，s ＝1＋0＝1，i ＝2； i ≤3，s ＝1＋1＝2，i ＝3； i ≤3，s ＝2＋2＝4，i ＝4；i ＞3，s ＝4.6．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A ．16 B ．13 C ．23D ．1 答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．(2013广东，文7)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＝0 答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y ＝x ＋1，可设所求切线方程为x ＋y ＋m＝0.1=，解得m =.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m =.8．(2013广东，文8)设l 为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 答案：B解析：如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，对于A ，设l 为AA 1，平面B 1BCC 1，平面DCC 1D 1为α，β. A 1A ∥平面B 1BCC 1，A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面B 1BCC 1∩平面DCC 1D 1＝C 1C ；对于C ，设l 为A 1A ，平面ABCD 为α，平面DCC 1D 1为β.A 1A ⊥平面ABCD ， A 1A ∥平面DCC 1D 1，而平面ABCD ∩平面DCC 1D 1＝DC ；对于D ，设平面A 1ABB 1为α，平面ABCD 为β，直线D 1C 1为l ，平面A 1ABB 1⊥平面ABCD ，D 1C 1∥平面A 1ABB 1，而D 1C 1∥平面ABCD ．故A ，C ，D 都是错误的．而对于B ，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B 正确．9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )． A ．22134x y += B ．2214x += C ．22142x y += D ．22143x y += 答案：D解析：由中心在原点的椭圆C 的右焦点F (1,0)知，c ＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝1 2.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l0，当l过点A(1,4)，即当x＝1，y＝4时，z max＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为__________．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD 中，AB ，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝__________.答案：2解析：在Rt △ABC 中，AB ，BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB 在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3， ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＋32－2×2×3×cos 30°＝34＋9－23＝214.∴ED.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.解：(1)ππππ1 33124f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin θ＝45 =-，∴ππ64fθθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1 cos cos sin sin445θθ⎫+=-⎪⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4；(2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个；(3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A，则事件A包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P(A)＝3162=.18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC.图(1)图(2)(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ； (3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG . (1)证明：在等边三角形ABC 中， ∵AD ＝AE ，∴AD AEDB EC=. 又AD AEDB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12. ∵在三棱锥A －BCF 中，BC＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭. 19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5. ∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，① 4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4， ∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1. ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+) ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线P A 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在切线P A 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22xx 0－y 2.②综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2xx 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝2xx 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， ∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1) ＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0， ∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0. ∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1 ＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92.21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ＜0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M .解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0， ∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3kx =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k -≤0，即k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k -＞0，即k ＜令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：13k x =，23k x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0.(注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}． ∵f (x 1)－f (k )＝x 13－kx 12＋x 1－k＝(x 1－k )(x 12＋1)＞0， ∴f (x )的最小值m ＝f (k )＝k .∵f (x 2)－f (－k )＝x 23－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]＜0，∴f (x )的最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上所述，当k ＜0时，f (x )的最小值m ＝f (k )＝k ，最大值M ＝f (－k )＝－2k 3－k . (方法2)当k ＜0时，对∀x ∈[k ，－k ]，都有f (x )－f (k )＝x 3－kx 2＋x －k 3＋k 3－k ＝(x 2＋1)(x －k )≥0，故f (x )≥f (k )．f (x )－f (－k )＝x 3－kx 2＋x ＋k 3＋k 3＋k ＝(x ＋k )(x 2－2kx ＋2k 2＋1)＝(x ＋k )[(x －k )2＋k 2＋1]≤0. 故f (x )≤f (－k )．∵f (k )＝k ＜0，f (－k )＝－2k 3－k ＞0， ∴f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k ，f (x )min ＝f (k )＝k .。

2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析

2013年全国统一高考新课标版Ⅱ卷全国2卷文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.13.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－34.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－15.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝012.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题.每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)已知集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},则M∩N＝( )A.{－2,－1,0,1}B.{－3,－2,－1,0}C.{－2,－1,0}D.{－3,－2,－1}【分析】找出集合M与N的公共元素,即可求出两集合的交集.【解答】解：∵集合M＝{x|－3＜x＜1,x∈R},N＝{－3,－2,－1,0,1},∴M∩N＝{－2,－1,0}.故选：C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.2B.2C.D.1【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果.【解答】解：＝＝＝.故选：C.【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.3.(5分)设x,y满足约束条件,则z＝2x－3y的最小值是( )A.－7B.－6C.－5D.－3【分析】先画出满足约束条件：,的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z＝2x－3y的最小值.【解答】解：根据题意,画出可行域与目标函数线如下图所示,由得,由图可知目标函数在点A(3,4)取最小值z＝2×3－3×4＝－6.故选：B.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.4.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝2,B＝,C＝,则△ABC的面积为( )A.2＋2B.C.2－2D.－1【分析】由sinB,sinC及b的值,利用正弦定理求出c的值,再求出A的度数,由b,c及sinA 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.【解答】解：∵b＝2,B＝,C＝,∴由正弦定理＝得：c＝＝＝2,A＝,∴sinA＝sin(＋)＝cos＝,则S△ABC＝bcsinA＝×2×2×＝＋1.故选：B.【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.5.(5分)设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.【分析】设|PF2|＝x,在直角三角形PF1F2中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心率的性质即可求得答案.【解答】解：|PF2|＝x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2＝30°,∴|PF1|＝2x,|F1F2|＝x,又|PF1|＋|PF2|＝2a,|F1F2|＝2c∴2a＝3x,2c＝x,∴C的离心率为：e＝＝. 故选：D.【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键,考查理解与应用能力,属于中档题.6.(5分)已知sin2α＝,则cos2(α＋)＝( )A. B. C. D.【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用诱导公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin2α＝,∴cos2(α＋)＝[1＋cos(2α＋)]＝(1－sin2α)＝×(1－)＝.故选：A.【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.7.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的N＝4,那么输出的S＝( )A.1＋＋＋B.1＋＋＋C.1＋＋＋＋D.1＋＋＋＋【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序可知当条件满足时,用S＋的值代替S得到新的S,并用k＋1代替k,直到条件不能满足时输出最后算出的S值,由此即可得到本题答案.【解答】解：根据题意,可知该按以下步骤运行第一次：S＝1,第二次：S＝1＋,第三次：S＝1＋＋,第四次：S＝1＋＋＋.此时k＝5时,符合k＞N＝4,输出S的值.∴S＝1＋＋＋故选：B.【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构,以及表格法的运用,属于基础题.8.(5分)设a＝log32,b＝log52,c＝log23,则( )A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【分析】判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可.【解答】解：由题意可知：a＝log32∈(0,1),b＝log52∈(0,1),c＝log23＞1,所以a＝log32,b＝log52＝,所以c＞a＞b,故选：C.【点评】本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查.9.(5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为( )A. B. C. D.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可. 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为：故选：A.【点评】本题考查几何体的三视图的判断,根据题意画出几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10.(5分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|＝3|BF|,则l的方程为( )A.y＝x－1或y＝－x＋1B.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)C.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)D.y＝(x－1)或 y＝－(x－1)【分析】根据题意,可得抛物线焦点为F(1,0),由此设直线l方程为y＝k(x－1),与抛物线方程联解消去x,得－y－k＝0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系和|AF|＝3|BF|,建立关于y1、y2和k的方程组,解之可得k值,从而得到直线l的方程.【解答】解：∵抛物线C方程为y2＝4x,可得它的焦点为F(1,0), ∴设直线l方程为y＝k(x－1)由消去x,得－y－k＝0设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1＋y2＝,y1y2＝－4…(*)∵|AF|＝3|BF|,∴y1＋3y2＝0,可得y1＝－3y2,代入(*)得－2y2＝且－3y22＝－4,消去y2得k2＝3,解之得k＝∴直线l方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1) 故选：C.【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分,求直线AB的方程,着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.11.(5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R,f(x)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x )在区间(－∞,x)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x)＝0【分析】对于A,对于三次函数f(x )＝x3＋ax2＋bx＋c,由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故在区间(－∞,＋∞)肯定存在零点；对于B,根据对称变换法则,求出对应中心坐标,可以判断；对于C：采用取特殊函数的方法,若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,利用导数研究其极值和单调性进行判断；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,正确.【解答】解：A、对于三次函数f (x )＝x3＋ax2＋bx＋c,A：由于当x→－∞时,y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞,故∃x0∈R,f(x)＝0,故A正确；B、∵f(－－x)＋f(x)＝(－－x)3＋a(－－x)2＋b(－－x)＋c＋x3＋ax2＋bx＋c＝－＋2c,f(－)＝(－)3＋a(－)2＋b(－)＋c＝－＋c,∵f(－－x)＋f(x)＝2f(－),∴点P(－,f(－))为对称中心,故B正确.C、若取a＝－1,b＝－1,c＝0,则f(x)＝x3－x2－x,对于f(x)＝x3－x2－x,∵f′(x)＝3x2－2x－1∴由f′(x)＝3x2－2x－1＞0得x∈(－∞,－)∪(1,＋∞)由f′(x)＝3x2－2x－1＜0得x∈(－,1)∴函数f(x)的单调增区间为：(－∞,－),(1,＋∞),减区间为：(－,1), 故1是f(x)的极小值点,但f(x )在区间(－∞,1)不是单调递减,故C错误；D：若x0是f(x)的极值点,根据导数的意义,则f′(x)＝0,故D正确.由于该题选择错误的,故选：C.【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用,利用导数求函数的单调区间,及导数的运算.12.(5分)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立,则a的取值范围是( )A.(－∞,＋∞)B.(－2,＋∞)C.(0,＋∞)D.(－1,＋∞)【分析】转化不等式为,利用x是正数,通过函数的单调性,求出a的范围即可.【解答】解：因为2x(x－a)＜1,所以,函数y＝是增函数,x＞0,所以y＞－1,即a＞－1,所以a的取值范围是(－1,＋∞).故选：D.【点评】本题考查不等式的解法,函数单调性的应用,考查分析问题解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分.13.(4分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2 .【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数,再找出和为5的情形,由古典概型的概率公式可得答案.【解答】解：从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数共有＝10种情况,和为5的有(1,4)(2,3)两种情况,故所求的概率为：＝0.2故答案为：0.2【点评】本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则•＝ 2 .【分析】根据两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,可得要求的式子为()•(),再根据两个向量垂直的性质,运算求得结果.【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则＝0,故＝( )•()＝()•()＝－＋－＝4＋0－0－＝2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量垂直的性质,属于中档题.15.(4分)已知正四棱锥O－ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24π.【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O－ABCD的高,再利用直角三角形求出正四棱锥O－ABCD的侧棱长OA,最后根据球的表面积公式计算即得.【解答】解：如图,正四棱锥O－ABCD的体积V＝sh＝(×)×OH＝,∴OH＝,在直角三角形OAH中,OA＝＝＝所以表面积为4πr2＝24π；故答案为：24π.【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算,考查学生的运算能力,属基础题.16.(4分)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,则φ＝.【分析】根据函数图象平移的公式,可得平移后的图象为y＝cos[2(x－)＋φ]的图象,即y＝cos(2x＋φ－π)的图象.结合题意得函数y＝sin(2x＋)＝的图象与y ＝cos(2x＋φ－π)图象重合,由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值.【解答】解：函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x＋φ－π),而函数y＝sin(2x＋)＝,由函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后,与函数y＝sin(2x＋)的图象重合,得2x＋φ－π＝,解得：φ＝.符合－π≤φ＜π.故答案为.【点评】本题给出函数y＝cos(2x＋φ)的图象平移,求参数φ的值.着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换等知识,属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知等差数列{an }的公差不为零,a1＝25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,,再利用等差数列的通项公式可得,化为d(2a1＋25d)＝0,解出d即可得到通项公式an；(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d≠0,由题意a1,a11,a13成等比数列,∴,∴,化为d(2a1＋25d)＝0,∵d≠0,∴2×25＋25d＝0,解得d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.(II)由(I)可得a3n－2＝－2(3n－2)＋27＝－6n＋31,可知此数列是以25为首项,－6为公差的等差数列.∴Sn ＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝＝＝－3n2＋28n.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键.18.(12分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(Ⅰ)证明：BC1∥平面A1CD；(Ⅱ)AA1＝AC＝CB＝2,AB＝,求三棱锥C－A1DE的体积.【分析】(Ⅰ)连接AC1交A1C于点F,则DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形,由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1.求得CD的值,利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值,可得A1D⊥DE.进而求得的值,再根据三棱锥C－A1DE的体积为••CD,运算求得结果.【解答】解：(Ⅰ)证明：连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.∵直棱柱ABC－A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,故DF为三角形ABC1的中位线,故DF∥BC1.由于DF⊂平面A1CD,而BC1不在平面A1CD中,故有BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)∵AA1＝AC＝CB＝2,AB＝2,故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形.由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1,∴CD＝＝.∵A1D＝＝,同理,利用勾股定理求得 DE＝,A1E＝3.再由勾股定理可得＋DE2＝,∴A1D⊥DE.∴＝＝,∴＝••CD＝1.【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求三棱锥的体积,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.19.(12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T表示为X的函数；(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【分析】(I)由题意先分段写出,当X∈[100,130)时,当X∈[130,150)时,和利润值,最后利用分段函数的形式进行综合即可.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.再由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值.【解答】解：(I)由题意得,当X∈[100,130)时,T＝500X－300(130－X)＝800X－39000,当X∈[130,150]时,T＝500×130＝65000,∴T＝.(II)由(I)知,利润T不少于57000元,当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力,求解的重点是对题设条件及直方图的理解,了解直方图中每个小矩形的面积的意义.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程；(Ⅱ)若P点到直线y＝x的距离为,求圆P的方程.【分析】(Ⅰ)由题意,可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程,整理即可得到所求的轨迹方程；(Ⅱ)由题,可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程,将此方程与(I)所求的轨迹方程联立,解出点P的坐标,进而解出圆的半径即可写出圆P的方程.【解答】解：(Ⅰ)设圆心P(x,y),由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2＝－y2＋r2,同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3＝－x2＋r2,由两式整理得x2＋3＝y2＋2,整理得y2－x2＝1即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线(Ⅱ)由P点到直线y＝x的距离为得,＝,即|x－y|＝1,即x＝y＋1或y＝x＋1,分别代入y2－x2＝1解得P(0,－1)或P(0,1)若P(0,－1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3；若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y－1)2＋x2＝3；综上,圆P的方程为(y＋1)2＋x2＝3或(y－1)2＋x2＝3【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质,解题的关键是理解圆的几何特征,将几何特征转化为方程21.(12分)已知函数f(x)＝x2e－x(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值；(Ⅱ)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则即可得出f′(x),利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义,即可求出函数的极值；(Ⅱ)利用导数的几何意义即可得到切线的斜率,得出切线的方程,利用方程求出与x轴交点的横坐标,再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x)＝x2e－x,∴f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2),令f′(x)＝0,解得x＝0或x＝2,令f′(x)＞0,可解得0＜x＜2；令f′(x)＜0,可解得x＜0或x＞2,故函数在区间(－∞,0)与(2,＋∞)上是减函数,在区间(0,2)上是增函数.∴x＝0是极小值点,x＝2极大值点,又f(0)＝0,f(2)＝.故f(x)的极小值和极大值分别为0,.(Ⅱ)设切点为(),则切线方程为y－＝(x－x),令y＝0,解得x＝＝,∵曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数,∴(＜0,∴x0＜0或x＞2,令,则＝.①当x0＜0时,0,即f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,0)上单调递增,∴f(x)＜f(0)＝0；②当x0＞2时,令f′(x)＝0,解得.当时,f′(x0)＞0,函数f(x)单调递增；当时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.故当时,函数f(x)取得极小值,也即最小值,且＝.综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是(－∞,0)∪.【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域,综合性强,考查了推理能力和计算能力.选做题.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,作答时请写清题号.22.【选修4－1几何证明选讲】如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC•AE＝DC•AF,B、E、F、C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【分析】(1)已知CD为△ABC外接圆的切线,利用弦切角定理可得∠DCB＝∠A,及BC•AE＝DC•AF,可知△CDB∽△AEF,于是∠CBD＝∠AFE.利用B、E、F、C四点共圆,可得∠CFE＝∠DBC,进而得到∠CFE＝∠AFE＝90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径；(2)要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.只需求出其外接圆的直径的平方之比即可.由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,及DB＝BE,可得CE＝DC,利用切割线定理可得DC2＝DB•DA,CA2＝CB2＋BA2,都用DB表示即可.【解答】(1)证明：∵CD为△ABC外接圆的切线,∴∠DCB＝∠A,∵BC•AE＝DC•AF,∴.∴△CDB∽△AEF,∴∠CBD＝∠AFE.∵B、E、F、C四点共圆,∴∠CFE＝∠DBC,∴∠CFE＝∠AFE＝90°.∴∠CBA＝90°,∴CA是△ABC外接圆的直径；(2)连接CE,∵∠CBE＝90°,∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE,由DB＝BE,得CE＝DC,又BC2＝DB•BA＝2DB2,∴CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB•DA＝3DB2,故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值＝＝.【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键.23.已知动点P、Q都在曲线(β为参数)上,对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.【分析】(1)利用参数方程与中点坐标公式即可得出；(2)利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα＋cos2α,sinα＋sin2α).M 的轨迹的参数方程为为参数,0＜α＜2π).(2)M点到坐标原点的距离d ＝(0＜α＜2π).当α＝π时,d＝0,故M的轨迹过坐标原点.【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(14分)【选修4－－5；不等式选讲】设a,b,c均为正数,且a＋b＋c＝1,证明：(Ⅰ)(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)依题意,由a＋b＋c＝1⇒(a＋b＋c)2＝1⇒a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,利用基本不等式可得3(ab＋bc＋ca)≤1,从而得证；(Ⅱ)利用基本不等式可证得：＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,三式累加即可证得结论.【解答】证明：(Ⅰ)由a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,c2＋a2≥2ca得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,由题设得(a＋b＋c)2＝1,即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1,所以3(ab＋bc＋ca)≤1,即ab＋bc＋ca ≤.(Ⅱ)因为＋b≥2a,＋c≥2b,＋a≥2c,故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c),即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.【点评】本题考查不等式的证明,突出考查基本不等式与综合法的应用,考查推理论证能力,属于中档题.第21页，共21页。

2013年高考文科数学广东卷-答案

11 2 3

1 5

1 2
1 2n 1

1 2n 1

1 2

1/7
所以该三棱锥的体积V 1 1 1 1 2 1 ；
32
3
【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的
体积公式进行计算．
【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积．
7.【答案】A
【解析】设所求直线为 l ，因为 l 垂直直线 y x 1，故 l 的斜率为 1，设直线 l 的方程为 y x b ，化为一般式为 x y b 0 ；因为 l 与圆相切 x2 y2 1 相切，所以圆心 (0,0) 到直线 l 的距离 | b | 1 ，所以
【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质．
10.【答案】C
【解析】对于①，若向量 a ， b 确定，因为 a b 是确定的，故总存在向量 c ，满足 c a b ，即 a b c ，
故正确．
对于②，因为 c 和 b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数，，满足 a b c ，
2
b 2 ，又因为相切与第一象限，所以 b 0 ，故 b 2 ，所以 l 的方程为 x y 2 0 ；
【提示】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数
形结合法对所求参数值进行取舍．
【考点】直线与圆的位置关系，直线的方程．
8.【答案】B
9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系．
【解析】由焦点可知
F
(1,

2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•广东）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．解答：解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选A．点评：本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）（2013•广东）函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，D．[﹣1，1）∪（1，+∞）+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．解答：解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选C．点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）（2013•广东）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5考点：复数求模；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．解答：解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•广东）已知，那么cosα=（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选C．点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1B．2C．4D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．解答：解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）（2013•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选B．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）（2013•广东）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．解答：解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）（2013•广东）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．解答：解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选B点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）（2013•广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．解答：解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）（2013•广东）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：命题的真假判断与应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．解答：解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选B点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2013•广东）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．解答：解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）（2013•广东）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．解答：解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）（2013•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．点评：本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．考点：圆的参数方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．解答：解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．点评：本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（2013•广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．解答：解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）（2013•广东）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sin θ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．解答：解：（1）（2）∵，，∴．点评：本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 17．（13分）（2013•广东）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100）频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．解答：解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．点评：本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）（2013•广东）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF 中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．解答：解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）（2013•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n ﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．解答：解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n+1=a n+2，∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）（2013•广东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，，所以PA ：①PB ：②联立①②可得点P 的坐标为，即，，又因为切线PA 的斜率为，整理得，直线AB 的斜率，所以直线AB 的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 21．（14分）（2013•广东）设函数f （x ）=x 3﹣kx 2+x （k ∈R ）．（1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）当k ＜0时，求函数f （x ）在[k ，﹣k ]上的最小值m 和最大值M ．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，求出f ′（x ）=3x 2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，f （x ）﹣f （k ）及f （x ）﹣f （﹣k ）．解答：解：f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1 （1）当k=1时f ′（x ）=3x 2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增．（2）当k ＜0时，f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i ）当，即时，f ′（x ）≥0，f （x ）在[k ，﹣k ]上单调递增，从而当x=k 时，f （x ）取得最小值m=f （k ）=k ，当x=﹣k 时，f （x ）取得最大值M=f （﹣k ）=﹣k 3﹣k 3﹣k=﹣2k 3﹣k ．（ii ）当，即时，令f ′（x ）=3x 2﹣2kx+1=0 解得：，注意到k ＜x 2＜x 1＜0，∴m=min{f （k ），f （x 1）}，M=max{f （﹣k ），f （x 2）}， ∵，∴f （x ）的最小值m=f （k ）=k ， ∵，∴f （x ）的最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ．综上所述，当k ＜0时，f （x ）的最小值m=f （k ）=k ，最大值M=f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k 解法2：（2）当k ＜0时，对∀x ∈[k ，﹣k ]，都有f （x ）﹣f （k ）=x 3﹣kx 2+x ﹣k 3+k 3﹣k=（x 2+1）（x ﹣k ）≥0，故f （x ）≥f （k ）．f （x ）﹣f （﹣k ）=x 3﹣kx 2+x+k 3+k 3+k=（x+k ）（x 2﹣2kx+2k 2+1）=（x+k ）[（x ﹣k ）2+k 2+1]≤0，故f （x ）≤f （﹣k ），而 f （k ）=k ＜0，f （﹣k ）=﹣2k 3﹣k ＞0．所以，f （x ）min =f （k ）=k ．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．。

汕尾市2013-2014学年度高中学业测试高二文科数学试题及答案

汕尾市 2013－2014学年度高中学业测试高二数学（文科）试题本试卷共4 页，20小题，满分150 分。

考试时间为120 分钟。

参考公式：锥体体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．第Ⅰ部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{1,2,3},{2,3,4},M N ==则M N ⋂=（）AA ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,4}D ．{0} 2．函数y =） A A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,0)- D ．[1,0]-3．已知向量(1,2),(3,1)a b ==，则a b +=（）BA.(2,1)-B.(4,3)C.(2,0)D.(3,2)4．下列函数中在R 上增函数的是（） CA.ln y x =B.tan y x =C.x y e =D.||y x =5.已知复数z 满足1212zi i=-+，则z =（）BA. 5-B. 5C. 3-D. 36. 若变量,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则32y z x +=+取得的最大值是（）AA.2B.12C.32D.757. 执行右边的程序框图（1），若4p =，则输出的s =（）BA.78B.1516C.3132D.6364A.p 为真B.q ⌝为真C.p q ∧为真D.p q ∨为真9. 若方程221x y +=表示双曲线，则k 的取值范围是（）A.2k >B.10k -<<C.02k <<D.12k -<<10. 若直线(2)10(0,0)a b x y a b ++-=>>经过椭圆22143x y +=的右焦点，则11a b +的最小值是（）DA.14B.4C.3+D.6第Ⅱ部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin a A b B c C +=，则角C 的大小为 .9012. 一个多面体的三视图如图（2）所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形。

2013广州二模文科数学答案

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23 4 56 7 8 9 10答案 C D D A C B B C A B二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12．210 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． ……………………10分所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =．所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===，所以2222703353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分 3533=．所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3BAC π∠=，所以3BOC 2π∠=．所以3BOD π∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， ABCODABCOD所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠．…………………………………………………………11分所以点O 到直线BC 的距离为3533m ．……………………………………………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC ∠=∠=，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为ABAC A =，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC ，所以BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，所以BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PACA A =，所以BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分所以2222224AC AB BC x x =-=-=-．…………9分因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△ 2146x x =-………………………………………………………………………………10分()22146x x =- ()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即2x =时等号成立．………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，……………………………………………………8分 PABC则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分所以112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分所以13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分因为02πθ<<，所以当4πθ=，P ABC V -有最大值13． …………………………………………………………………12分此时2cos24BC π==．………………………………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题主要考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分解得11,3.a d =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………………3分所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n n n n S a a a a a a a a a a -+=+++++ 1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>．即23610m m --<．因为1m >，所以231133m <<+<．因为*m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………12分此时22416361m n m m ==-++．…………………………………………………………………………13分所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题主要考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………………………1分且2()2af x x x'=-．………………………………………………………………………………………2分若()f x 在定义域上是增函数，则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………………………3分即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，所以0a ≤． …………………………………………………………4分由已知0a ≠，所以实数a 的取值范围为(),0-∞．……………………………………………………………………5分（2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………………………………6分②若0a >，由于()()2222()x a x ax a f x x x+--'==，所以函数()f x 在区间()0,a 上为减函数，在区间(),a +∞上为增函数．………………………7分（ⅰ）若1a ≤，即01a <≤时，()[1,2],a ⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………………………………9分（ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，所以函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．……………………………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，所以函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……………………………………………13分综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．………………………………………………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．………………………………8分不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， A B CDOxylE直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．…………………………………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=．所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．。

高考文科数学广东卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013广东，文1)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝( )．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}2．(2013广东，文2)函数lg11xyx(+)=-的定义域是( )．A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)3．(2013广东，文3)若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是( )．A．2 B．3 C．4 D．54．(2013广东，文4)已知5π1sin25α⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么cos α＝( )．A．25-B．15-C．15 D．255．(2013广东，文5)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )．A．1 B．2 C．4 D．76．(2013广东，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )．A．16 B．13 C．23 D．17．(2013广东，文7)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )．A．x＋y＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＝08．(2013广东，文8)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．(2013广东，文9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )．A．22134x y+=B．2214x=C．22142x y+=D．22143x y+=10．(2013广东，文10)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．(2013广东，文11)设数列{a n}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝__________.12．(2013广东，文12)若曲线y＝ax2－ln x在(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝__________.13．(2013广东，文13)已知变量x，y满足约束条件30,11,1,x yxy-+≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩则z＝x＋y的最大值是__________．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2013广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为__________．15．(2013广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，ABBC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．(2013广东，文16)(本小题满分12分)已知函数π()12f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈R.(1)求π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭，求π6fθ⎛⎫-⎪⎝⎭.17．(2013广东，文17)(本小题满分12分)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．18．(2013广东，文18)(本小题满分14分)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2.图(1) 图(2)(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积V F－DEG.19．(2013广东，文19)(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L .20．(2013广东，文20)(本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c＞0)到直线l：x－y－2＝0.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．21．(2013广东，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k＜0时，求函数f(x)在[k，－k]上的最小值m和最大值M.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：∵S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．2．答案：C解析：要使函数有意义，则10,10, xx+>⎧⎨-≠⎩解得x＞－1且x≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．3．答案：D解析：∵i(x＋y i)＝－y＋x i＝3＋4i，∴4,3. xy=⎧⎨=-⎩∴x＋y i＝4－3i.∴|x＋y i| 5. 4．答案：C解析：∵5ππsin sin2π22αα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝πsin2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos α＝15，∴cos α＝15.5．答案：C解析：i＝1，s＝1，i≤3，s＝1＋0＝1，i＝2；i≤3，s＝1＋1＝2，i＝3；i≤3，s＝2＋2＝4，i＝4；i＞3，s＝4.6．答案：B解析：由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.7．答案：A解析：由于所求切线垂直于直线y＝x＋1，可设所求切线方程为x＋y＋m＝0.由圆心到切线的距离等于半1=，解得m=.又由于与圆相切于第Ⅰ象限，则m=.8．答案：B解析：如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；对于D，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD．故A，C，D都是错误的．而对于B，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B正确．9．答案：D解析：由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知，c＝1.又离心率等于12，则12ca=，得a＝2.由b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为221 43x y+=.10．答案：B解析：对于①，由向量加法的三角形法则知正确；对于②，由平面向量基本定理知正确；对于③，以a的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb有交点，这个不一定能满足，故③不正确；对于④，利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边之和大于第三边，即必须|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④不正确．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(11～13题)11．答案：15解析：由数列{a n}首项为1，公比q＝－2，则a n＝(－2)n－1，a1＝1，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.12．答案：1 2解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.13．答案：5解析：由线性约束条件画出可行域如下图，平移直线l 0，当l 过点A (1,4)，即当x ＝1，y ＝4时，z max ＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．答案：1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)解析：由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θ知以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系知曲线C 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为1cos ,sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)．15．解析：在Rt △ABC 中，AB BC ＝3，tan ∠BAC ＝BCAB=则∠BAC ＝60°，AE ＝12AB ＝2.在△AED 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD cos ∠EAD＝2⎝⎭＋32＝34＋9－2×2×3×2 ＝214.∴ED . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：(1)ππππ133124f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)∵cos θ＝35，θ∈3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin θ＝45=-，∴ππ64f θθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos sin sin 445θθ⎫+=-⎪⎭. 17．解：(1)苹果的重量在[90,95)的频率为2050＝0.4； (2)重量在[80,85)的有4×5515+＝1个； (3)设这4个苹果中[80,85)分段的为1，[95,100)分段的为2,3,4，从中任取两个，可能的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有1个记为事件A ，则事件A 包含有(1,2)，(1,3)，(1,4)，共3种，所以P (A )＝3162=. 18．(1)证明：在等边三角形ABC 中，∵AD ＝AE ，∴AD AE DB EC =. 又AD AE DB EC=，在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立， ∴DE ∥BC ．∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，∵F 是BC 的中点，BC ＝1，∴AF ⊥CF ，BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝2， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF .∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解：由(1)可知GE ∥CF ，结合(2)可得GE ⊥平面DFG .∴V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12·DG ·FG ·GE＝11111323323324⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 19．(1)证明：当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，∴a 22＝4a 1＋5.∵a n ＞0，∴2a =(2)解：当n ≥2时，4S n －1＝a n 2－4(n －1)－1，①4S n ＝a n ＋12－4n －1，②由②－①，得4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋12－a n 2－4，∴a n ＋12＝a n 2＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2.∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列．∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 52＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3.由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1.∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(3)证明：12231111n n a a a a a a ++++L ＝11111335572121n n ++++⨯⨯⨯(-)⋅(+)L ＝1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ＝11112212n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭. 20．解：(1)依题意2d ==c ＝1(负根舍去)． ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝12x (x －x 1)，即y ＝12x x ＋y 1－12x 12. ∵y 1＝14x 12，∴y ＝12x x －y 1. ∵点P (x 0，y 0)在切线PA 上，∴y 0＝12x x 0－y 1.① 同理，y 0＝22x x 0－y 2.② 综合①，②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝2x x 0－y . ∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的，∴直线AB 的方程为y 0＝2x x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，∴|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋y 1y 2＋1.联立2004,220,x y x x y y ⎧=⎨--=⎩消去x 得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0，∴y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02.∵点P (x 0，y 0)在直线l 上，∴x 0－y 0－2＝0.∴|AF |·|BF |＝x 02－2y 0＋y 02＋1＝y 02－2y 0＋(y 0＋2)2＋1 ＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值为92. 21．解：f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，(1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，Δ＝4－12＝－8＜0，∴f ′(x )＞0，即f (x )的单调递增区间为R .(2)(方法一)当k ＜0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴3k x =，且过(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k k +≤0，即≤k ＜0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．从而当x ＝k 时，f (x )取得最小值m ＝f (k )＝k ；当x ＝－k 时，f (x )取得最大值M ＝f (－k )＝－k 3－k 3－k ＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12＝4(k k +＞0，即k＜时，令f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1＝0，解得：1x =，2x =，注意到k ＜x 2＜x 1＜0. (注：可用韦达定理判断x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝23k ＞k ，从而k ＜x 2＜x 1＜0；或者由对称结合图象判断)∴m＝min{f(k)，f(x1)}，M＝max{f(－k)，f(x2)}．∵f(x1)－f(k)＝x13－kx12＋x1－k＝(x1－k)(x12＋1)＞0，∴f(x)的最小值m＝f(k)＝k.∵f(x2)－f(－k)＝x23－kx22＋x2－(－k3－k·k2－k)＝(x2＋k)[(x2－k)2＋k2＋1]＜0，∴f(x)的最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.综上所述，当k＜0时，f(x)的最小值m＝f(k)＝k，最大值M＝f(－k)＝－2k3－k.(方法2)当k＜0时，对∀x∈[k，－k]，都有f(x)－f(k)＝x3－kx2＋x－k3＋k3－k＝(x2＋1)(x－k)≥0，故f(x)≥f(k)．f(x)－f(－k)＝x3－kx2＋x＋k3＋k3＋k＝(x＋k)(x2－2kx＋2k2＋1)＝(x＋k)[(x－k)2＋k2＋1]≤0.故f(x)≤f(－k)．∵f(k)＝k＜0，f(－k)＝－2k3－k＞0，∴f(x)max＝f(－k)＝－2k3－k，f(x)min＝f(k)＝k.。

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2013年广东省汕尾市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上.
B．
，
3．（5分）（2013•汕尾二模）设全集U=R，A={x|x2+3x＞0}，B={x|lgx＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）
4．（5分）（2013•汕尾二模）设向量，，则“x=2”是“∥”的（）
向量，，所以∥．∥，
“∥
，
∴∥．
∥，
，
“∥
5．（5分）（2013•汕尾二模）函数的定义域为（）
解：由题意知，即
6．（5分）已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）
B．
（5分）（2013•汕尾二模）如图所示程序框图，输出结果是（）
7．
x x
﹣，
x=
9．（5分）（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n
所以
10．（5分）（2013•汕尾二模）对于复数a、b、c、d，若集合S={a，b，c，d}具有性质：“对任意x，y∈S，都有xy∈S”，则当时，（cd）b的值是（）
本题利用直接求解法，先根据集合的性质结合题目中的条件：
解：由题意
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，若两题全答的，只计14题的得分．）
11．（5分）（2013•汕尾二模）设，则g（g（0））=0．
12．（5分）直线绕点（1，0）逆时针旋转30°所得的直线方程为x=1．由直线
的斜率为，倾斜角为
13．（5分）同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖100块．
14．（5分）（2013•汕尾二模）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）距离的最小值为
．
的方程是：y+
d=
故答案为：
15．（2013•汕尾二模）已在点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于点A，∠ACB的平分线分别交AB、AE于点D、F，则∠ADF=45°．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）一个袋子里装有编号为1，2，3，4，5的5个大小形状均相同的小球，从中任取两个小球．（I）请列举出所有可能的结果；
（II）求两球编号之差的绝对值小于2的概率．
故所求的概率为
的概率为．
17．（13分）（2013•汕尾二模）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点
．
（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．
﹣
，所以，，
此时
18．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°，∠PBC=90°．（Ⅰ）求证：DA⊥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣PAC的体积．
PAB=，由
，最后根据等底等高的棱锥体积相等，得到=
×，
S×1=
19．（14分）已知数列{a n}的首项a1＞0，
（Ⅰ）若，请直接写出a2，a3的值；
（Ⅱ）若，求证：{}是等比数列并求出{a n}的通项公式；
（Ⅲ）若a n+1＞a n对一切n∈N+都成立，求a1的取值范围．
）利用，
）{是首项为，公比为的等比数列，由此可得
都成立，可得
）解：∵，，∴=…
∴，
∵=
{是首项为，公比为的等比数列
∴，
∴
）知：即…
…
20．（14分）已知为平面内的两个定点，动点P满足|PF 1|+|PF2|=4，
记点P的轨迹为曲线г．
（Ⅰ）求曲线г的方程；
（Ⅱ）判断原点O关于直线x+y﹣1=0的对称点R是否在曲线г包围的范围内？说明理由．
（说明：点在曲线г包围的范围内是指点在曲线г上或点在曲线г包围的封闭图形的内部．）
（Ⅲ）设Q是曲线г上的一点，过点Q的直线l 交x 轴于点F（﹣1，0），交y 轴于点M，若，求直线l 的斜率．
，再判断是否成立即可．
三点共线，及
到两定点
的轨迹是以
，所以
故所求方程为．
由点关于直线的对称点的性质得：，解得即
此时
由点关于直线的对称点的性质得：，解得即
交椭圆于
得：或即，．
，
．
在椭圆上，所以．
21．（14分）（2013•汕尾二模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；
（Ⅲ）试推断方程|2x（x﹣lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．
1+
，∈
≥
＜
＜，即
）在上增函数，在
＜函数，在
=，。