高考数学复习小题提速练6“12选择+4填空”80分练理
高考数学二轮复习小题提速练1“12选择+4填空”80分练文
小题提速练(一) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4[答案] A2．设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B 等于( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)[答案] C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )【导学号：04024172】A.π6B.π4C.π3D.56π [答案] A4．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [答案] A5．点O 为坐标原点，点F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，点P 为C 上一点．若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3 D ．4[答案] C6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201[答案] A7．某空间几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积为( )图1A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2[答案] D8．将函数f (x )＝cos(π＋x )(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )【导学号：04024173】A ．最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称B ．周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增，为偶函数D ．在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数[答案] D9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图2所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,2，则输出v 的值为( )图2A ．9B ．18C ．20D ．35[答案] B10．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130[答案] C11．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2[答案] D12．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( )【导学号：04024174】A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．[解析] 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0和x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2＜r ＜|－2－2|2，即2－1＜r ＜2＋1.[答案] (2－1，2＋1)14．如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：04024175】图3[解析] 如图，连接AQ .∵PA ⊥平面AC ，∴PA ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩PA ＝P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴a2≥1，a ≥2.[答案] [2，＋∞)15．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________．[解析] 依题意知，x ＞0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)． 当－m4≤0时，g (0)＝1＞0恒成立，∴m ≥0时，g (x )＞0恒成立， 当－m4＞0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m ＜0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2. [答案] －22，＋∞)16．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析] 设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． [答案] 216 000。
高考理科数学二轮复习练习：小题提速练6“12选择+4填空”80分练
一、选择题(本大题共小题加速练 (六 ) “12选择＋ 4 填空 ”80分练(时间： 45 分钟分值： 80 分)12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．若 (1＋ i)＋ (2－ 3i)＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R ， i是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－ 2C ． 3，－ 3B ． 3,2D ．－ 1,4A [∵ (1＋ i)＋ (2－ 3i) ＝a ＋ bi ，∴ a ＝ 3， b ＝－ 2，应选 A.]2．设会合 A ＝ { y|y ＝ 2 x ， x ∈ R } ， B ＝ { x|x 2－ 1＜ 0} ，则 A ∪ B 等于 ()A ． (－ 1,1)B ． (0,1)C ． (－ 1，＋ ∞)D ． (0，＋ ∞)C[∵ A ＝ { y|y ＝ 2x ， x ∈ R } ＝ (0 ，＋ ∞)，B ＝ { x|x 2－ 1＜ 0} ＝ { x|－ 1＜ x ＜1} ，∴A ∪ B ＝ (－ 1，＋ ∞)，应选 C.]3．(2017 广·东惠州二模 ) 以下函数中，与函数 y ＝－ 3|x|的奇偶性同样，且在 (－ ∞，0)上单一性也相同的是 ( )A ． y ＝ 1－ x 2B ． y ＝ log 2|x|C ． y ＝－ 1D ． y ＝ x 3－ 1xA [函数 y ＝－ 3|x|为偶函数，在 (－ ∞， 0)上为增函数．选项B 中的函数是偶函数，但其单一性不切合； 选项 C 中的函数为奇函数， 不切合要求； 选项 D 中的函数为非奇非偶函数，不符合要求．只有选项A 切合要求．应选 A.]4．在 △ABC 中， a ＝ 5， 5cos(B ＋ C) ＋3＝ 0，则角 B 的大小为 ()4， b ＝ 2【导学号： 07804217】π πA. 6B ． 4π 5 C.3D ． 6π5A [由 5cos(B ＋C)＋ 3＝ 0 得 cos A ＝3，则 A ∈ 0， π， sin A ＝ 4， 4＝ 2 ，5 2 5 4 sin B5 1sin B ＝2.又 a ＞ b ，B 必为锐角，π因此 B ＝.]65．已知 m ，n 是两条不一样的直线， α， β是两个不一样的平面，以下命题中真命题的个数是 ()①若 m ⊥ α，m ⊥β，则 α∥ β； ②若 m ∥ n ， m ⊥ α，则 n ⊥α； ③若 m ∥ α，α∩β＝ n ，则 m ∥ n ； ④若 m ⊥ α，m? β，则 α⊥ β.A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4C [对于①，因为垂直于同一条直线的两个平面相互平行，故①为真命题；对于②，两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故②为真命题；对于③，直线 m 与直线 n 可能异面，也可能平行，故③为假命题；对于④，由面面垂直的判断定理可知④为真命题．应选C.]6．某四周体的三视图如图15 所示，此中正视图、俯视图都是腰长为2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四周体的四个面中的最大面的面积为 ( )图 15 A ． 2 2 B ． 4 C ． 2 3D ．2 6C [将几何体放在正方体中考虑， 可知该几何体为三棱锥 S-ABD ，它的四个面中面 SBD 的面积最大，三角形 SBD 是边长为 2 2的等边三角形，因此此四周体的四个面中的最大面的面积为3 ×8＝ 2 3.]4π7．函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A ＞ 0，ω＞ 0)的最小正周期为 π，其图象对于直线 x ＝ 3对称，则 |φ|的最小值为()π πA. 12B ． 65π5π C. 6D ． 12π B [由题意，得 ω＝ 2，因此 f(x)＝ Asin(2x ＋ φ)．因为函数f(x)的图象对于直线对称，所x ＝3π π ππ以 2× ＋ φ＝k π＋(k ∈ Z )，即 φ＝ k π－ (k ∈ Z )，当 k ＝ 0 时， |φ|获得最小值，应选 B.]3 2 66x2y2→8．已知A，B 是双曲线C：a2－b2＝ 1(a＞ 0，b＞0) 的两个焦点，若在双曲线上存在点P 知足2|PA →→)＋ PB|≤|AB|，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 (A ． 1＜ e≤2B． e≥2C． 1＜ e≤ 2D． e≥ 2B[设点 P 是双曲线左支上的点，并设双曲线左极点为→E，则 2|PA→→→→1＋PB| ≤|AB，可化为 4|PO| ≤2c(2c 为双曲线的焦距 )， |PO| ≤c，易证2→1|PO| ≥a，于是 a≤ c，因此 e≥ 2故.选 B.]29．若曲线 y＝ f(x)＝ ln x＋ax2(a 为常数 )不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是 ()A.－1，＋∞B．－1，＋∞22 C． (0，＋∞)D． [0，＋∞)D[f ′(x)＝1＋ 2ax＝2ax2＋1(x＞ 0)，依据题意有f′(x)≥ 0(x＞ 0)恒成立，因此2ax2＋ 1≥0(x＞0) x x恒成立，即2a≥－12 (x＞ 0)恒成立，因此a≥0，故实数 a 的取值范围为 [0，＋∞)．应选 D.]x10．从 1,2,3,4,5 中挑出三个不一样数字构成一个五位数，则此中有两个数字各用两次(比如， 12332)的概率为 ()【导学号： 07804218】23A. 5B．545C.7D．7B [从 1,2,3,4,5 中挑出三个不一样数字构成一个五位数，共有 C53 (C31C53A 22＋ C31C51C42C22)＝ 1 500(种 )不一样选法，此中有两个数字各用两次的选法有31122900 C5C3C5C4 C2＝ 900(种 )，因此所求概率 P＝ 1 500＝3 .] 511．如图 16 所示， ABCD - A1B1C1D 1是棱长为1 的正方体， S-ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S，A1，B1， C1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为()图 16925A. 16πB．16π4981C.16πD．16πD[连结 AC， BD 交于点 G，连结 A1C1， B1D1交于点 G1，易知 S， G，G1在同向来线上，连结SG1.设 O 为球心， OG 1＝ x，连结 OB1，则 OB1＝SO＝2－ x，由正方体的性质知B1 G1＝2，22则在 Rt△ OB1G1中， OB12＝ G1B12＋ OG 12，即 (2－x)2＝ x2＋ 2 ，2解得 x＝7 8，因此球的半径 R＝OB 1＝9，因此球的表面积 S＝ 4πR2＝81π .] 816x22312．已知椭圆＋ y ＝ 1，设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为，C：32则△AOB 面积的最大值为 ()33A. 4B．2C. 3D．2 3B[设 A(x1， y1)， B(x2， y2)．(1)当 AB⊥ x 轴时， |AB|＝ 3.(2)当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 y＝ kx＋ m.由已知得|m|2＝32321＋ k2，则 m ＝(k ＋ 1)．4把 y＝ kx＋ m 代入椭圆方程，整理得(3k2＋ 1)x2＋ 6kmx＋ 3m2－ 3＝ 0，－ 6km m2－.因此 x1＋ x2＝2， x1x2＝2＋13k＋13k所以 |AB|2＝ (1＋ k2)(x2－x1)2＝ (1＋ k2 ) ·36k2m22－m2－＝2＋2k3k ＋ 12 ＋222＋2 ＋12k 2k k＋ 1－ mk k ＝ 3＋k 2＋2＝k 2＋ 29k 4＋ 6k 2＋ 1.当 k ≠0时， |AB|2＝ 3＋12≤3＋ 12＝ 4，212×3＋ 69k ＋ 2＋ 6k当且仅当 9k 2＝ k 12，即 k ＝ ±33时等号成立．综上所述 |AB|max ＝ 2，因此当 |AB|最大时，13＝ 3△AOB 面积取最大值 S ＝ 2×|AB|max ×22 .]二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13．某校 1 000 名高三学生参加了一次数学考试， 此次考试考生的分数听从正态散布2N(90，σ)．若分数在 (70,110] 内的概率为 0.7，预计此次考试分数不超出 70 的人数为 ________．[分析 ] 记考试成绩为 ξ，则考试成绩的正态曲线对于直线ξ＝ 90 对称．因为 P(70＜ ξ≤ 110)＝0.7，因此 P( ξ≤70)＝ P(ξ＞ 110)＝ 1×(1－ 0.7)＝ 0.15，因此此次考试分数不超出70 的人数为21 000 ×0.15＝150.[答案 ]15014．在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD ＝→ 3 →→→3，P 为矩形内一点， 且 |AP|＝ ，若 AP ＝ λAB ＋ μAD (λ，μ∈ R )，2则 λ＋ 3μ的最大值为 ________．[分析 ] 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴成立如下图的平面直角坐标系，则A(0,0) ，B(1,0)， C(1， 3)，D (0， 3)．→ →→ 设 P(x ， y)，则 AP ＝ (x ， y)， AB ＝ (1,0)， AD ＝ (0， 3)．→ → →由AP ＝ λAB ＋μAD (λ， μ∈ R )，0≤x ≤1，x ＝ λ，3，得又因为0≤y ≤2y ＝ 3μ.x 2＋ y 2＝3，4因此 λ＋ 3μ＝ x ＋y ≤22＝66.x ＋y 2 当且仅当 x ＝ y ＝4 时获得最大值[答案 ]62y≥x，15．已知 x， y 知足 x＋ y≤2，若 z＝2x＋ y 的最大值是最小值的 3 倍，则 a 的值是 ________．x≥a，y≥x，[分析 ]画出 x＋ y≤2，表示的可行域如下图：x≥ay＝ x，由得 A(1,1) ，x＋ y＝ 2由x＝ a，得 B(a，a)．y＝ x当直线 z＝ 2x＋ y 过点 A(1,1)时，目标函数z＝ 2x＋ y 获得最大值，最大值为3；当直线 z＝ 2x＋ y 过点 B(a， a)时，目标函数z＝ 2x＋y 获得最小值，最小值为3a.因为 3＝ 3×3a，因此 a＝1. 31[答案]3316．已知△ ABC 中，角 A，2B，C 成等差数列，且△ ABC的面积为1＋2，则 AC 边长的最小值是 ________.【导学号： 07804219】[分析 ]设内角A，B，C所对的边分别为a， b，c.3∵A，2B， C 成等差数列，∴A＋ C＝ 3B.又∵ A＋ B＋ C＝π，π∴B＝.4由 S△ABC＝12acsin B＝ 1＋2，高考理科数学二轮复习练习：小题加速练6“12选择+4填空”80分练得 ac＝ 2×(2＋ 2)．∵b2＝a2＋ c2－2accos B＝a2＋ c2－ 2ac≥(2－ 2)ac＝ 4，当且仅当 a＝ c 时，等号成立，∴ b≥2，∴b 的最小值为 2.[答案] 2。
2020年高考数学(理)二轮复习练习：小题提速练8 “12选择+4填空”80分练 Word版含答案
小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%)A ．17B ．23C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( ) A ．x ＝－ 2 B ．x ＝－2 2 C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t ＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x ＝38t ，由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k 10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15.[答案] 1516．已知三棱锥D ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ABC 的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ABC ＝2V O ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π.[答案] 40103π。
2018版高考数学二轮复习 小题提速练812选择+4填空80分练 理
小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%) A ．17 B ．23 C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝－2 2C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x＝38t， 由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. [答案] 1516．已知三棱锥D ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ABC的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ABC ＝2V O ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π. [答案] 40103π。
高考数学二轮复习小题提速练4“12选择+4填空”80分练理
小题提速练(四) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27，x ∈N *}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．{1,2,3}B ．(2,3]C ．{3}D ．[2,3]C [∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x ≤3，又x ∈N *，∴A ＝{1,2,3}，∵log 2x ＞1，即log 2x ＞log 22，∴x ＞2，∴B ＝{x |x ＞2}，∴A ∩B ＝{3}，选C.] 2．已知复数z ＝15i3＋4i，则z 的虚部为( )【导学号：07804211】A ．－95iB ．95iC ．－95D ．95D [z ＝15i 3＋4i ＝15i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝1525(4＋3i)＝125＋95i ，故选D.]3．设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →，则( )A.BD →＝AC →－32AB →B ．BD →＝32AC →－AB →C.BD →＝12AC →－AB →D ．BD →＝AC →－12AB →A [BD →＝BC →＋CD →＝BC →－DC →＝AC →－AB →－12AB →＝AC →－32AB →，选A.]4．(2017·湖南三模)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C [根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即二次发球成功的概率P (X ＝2)＝p (1－p )， 发球次数为3的概率P (X ＝3)＝(1－p )2， 则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75， 解得，p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.]5．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF 1→＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2＋1) B ．(1，2＋1) C ．(1，3)D ．(3，＋∞)B [设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF 1→·NF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0，即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0，故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22，又e ＞1，故1＜e 2＜3＋22，得1＜e ＜1＋2，故选B.]6．函数y ＝f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图9所示，关于函数y ＝f (x )(x ∈R )，有下列命题：图9①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称；②y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ④y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意可得T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，故T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2可得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以①不对；y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，所以③正确；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，得－π12≤x ≤5π12，即y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增，④正确，故选C.]7．某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为( )【导学号：07804212】图10A.17π6B ．17π3C ．5πD ．13π6A [由三视图可知，该几何体是半个圆锥，一个圆柱，一个半球的组合体， 其体积为16π＋2π＋23π＝176π.选A.]8．执行如图11所示的程序框图，输出的结果为( )图11A ．－1B ．1 C.12D ．2C [n ＝12，i ＝1进入循环，n ＝1－2＝－1，i ＝2；n ＝1－(－1)＝2，i ＝3；n ＝1－12＝12，i ＝4，…，所以n 对应的数字呈现周期性的特点，周期为3，因为2 017＝3×672＋1，所以当i ＝2 017时，n ＝12，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0ax －y ＋3≥0y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－6，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－12D ．12C [作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，当a ＞0时，易知z ＝y －x 无最小值，故a ＜0，目标函数所在直线过可行域内点A 时，z 有最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0ax －y ＋3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，0，z min ＝0＋3a＝－6，解得a ＝－12，故选C.]10．(数学文化题)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A ．12日 B ．16日 C ．8日D ．9日D [由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以na 1＋a n2＋n b 1＋b n2＝2 250，即n 103＋13n ＋902＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.]11．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3D [由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3，故选D.]12．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A.40π3 B ．4030π27C.32030π27D ．20πB [设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，若函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线与函数g (x )的图象相切，则m 的值为________．[解析] 易知f (1)＝0，f ′(x )＝1x，从而得到f ′(1)＝1，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.法一：(应用导数的几何意义求解)设直线y ＝x －1与g (x )＝x 2＋mx (m ∈R )的图象相切于点P (x 0，y 0)，从而可得g ′(x 0)＝1，g (x 0)＝x 0－1.又g ′(x )＝2x ＋m ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧g ′x 0＝2x 0＋m ＝1x 20＋mx 0＝x 0－1，得x 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1m ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1m ＝3.法二：(应用直线与二次函数的相切求解)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝x 2＋mx ，得x 2＋(m －1)x ＋1＝0，所以Δ＝(m －1)2－4＝0，解得m ＝－1或m ＝3. [答案] －1或314．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种.【导学号：07804213】[解析] 3所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有C 13C 26C 12C 24＝540种． [答案] 54015．已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.[解析] 法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my －1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2. [答案] 2 216．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． [解析] 设x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x－1＝2x－1，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝2x－1.∵对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (x ＋4)， ∴当x ∈[2,4]时，(x －4)∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4－1； 当x ∈[4,6]时，(x －4)∈[0,2]， ∴f (x )＝f (x －4)＝2x －4－1.∵在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根， ∴函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有3个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log a 6＋2＞3log a2＋2＜3，解得223＜a ＜2，即34＜a ＜2，因此所求a 的取值范围是(34，2)．[答案] (34，2)。
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小题提速练(八) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数3i1－i对应的点在( )【导学号：07804222】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [3i1－i＝＋－＋＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.]2．已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]3．某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( ) (参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.45%，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.73%) A ．17 B ．23 C ．34D ．46B [P (ξ＞320)＝12×[1－P (280＜ξ＜320)]＝12×(1－95.45%)≈0.023， 0．023×1 000＝23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.]4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6B ．y ＝－cos 2xC ．y ＝cos 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6A [依题意得，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6.故选A.]5．已知向量a ＝(1，cos α)，b ＝(sin α，1)，且0＜α＜π，若a ⊥b ，则α＝( )A.2π3 B ．3π4C.π4D ．π6B [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－1.又α∈(0，π)， ∴α＝3π4.故选B.]6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A. 3 B ． 2 C ．2D ．3A [设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3，选A.]7．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．19D ．20D [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0.又由(2x －1)10的展开式的通项可得a 1＝－20， 所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.]8．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.] 9．某几何体的三视图如图20所示(网格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图20A ．48B ．54C ．64D ．60D [根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.]10．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则直线2x ＋y ＋k ＝0被圆(x －1)2＋(y －2)2＝25截得的弦长的最大值为( )【导学号：07804223】A ．10B ．2 5C ．4 5D ．3 5B [作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，不等式2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥(－2x －y )max ，设z ＝－2x －y ，则由图可知，当直线y ＝－2x －z 经过点A (－2，－2)时，z 取得最大值，即z max ＝－2×(－2)－(－2)＝6，所以k ≥6.因为圆心(1,2)到直线2x ＋y ＋k ＝0的距离d ＝|2＋2＋k |22＋12＝|4＋k |5，记题中圆的半径为r ，则r ＝5，所以直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2－k ＋2＋1255，所以当k ＝6时，L 取得最大值，最大值为25，故选B.]11．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AA 1⊥l 于点A 1，若四边形AA 1CF 的面积为123，则准线l 的方程为( )A ．x ＝－ 2B ．x ＝－2 2C ．x ＝－2D ．x ＝－1A [由题意，知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线l 的方程为x ＝－p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2.由AF →＝3FB →，得p 2－x 1＝3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，即x 2＝13(2p －x 1) ①.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，消去y ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0，所以x 1x 2＝p 24 ②.联立①②，得x 1＝32p 或x 1＝p2(舍去)，所以|y 1|＝3p .因为S 四边形AA 1CF ＝|y 1|⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p2＋p 2＝123，将x 1，|y 1|的值代入，解得p ＝22，所以准线l 的方程为x ＝－2，故选A.] 12．已知函数f (x )＝ax ＋eln x 与g (x )＝x 2x －eln x的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＜－e B ．a ＞1C ．a ＞eD ．a ＜－3或a ＞1B [由ax ＋eln x ＝x 2x －eln x (x ＞0)，得a ＋eln x x ＝11－eln x x.令h (x )＝eln xx，且t＝h (x )，则a ＋t ＝11－t，即t 2＋(a －1)t －a ＋1＝0 (*)．由h ′(x )＝－ln xx 2＝0，得x ＝e ，函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，且x →＋∞时，h (x )→0，h (x )的大致图象如图所示．由题意知方程(*)有一根t 1必在(0,1)内，另一根t 2＝1或t 2＝0或t 2∈(－∞，0)．当t 2＝1时，方程(*)无意义，当t 2＝0时，a ＝1，t 1＝0不满足题意，所以t 2∈(－∞，0)，令m (t )＝t 2＋(a －1)t －a ＋1，由二次函数的图象，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝02＋a －－a ＋1＜0m＝12＋a －－a ＋1＞0，解得a ＞1，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．运行如图21所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为________．图21[解析] 依次运行程序框图中的语句可得n ＝2，x ＝2t ，a ＝1；n ＝4，x ＝4t ，a ＝3；n ＝6，x ＝8t ，a ＝3.此时结束循环，输出的a x＝38t， 由38t≥3，得8t ≥1，t ≥18.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 14．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．[解析] 依题意共有8类不同的和声，当有k (k ＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C k10种不同的和声，则和声总数为C 310＋C 410＋C 510＋…＋C 1010＝210－C 010－C 110－C 210＝1 024－1－10－45＝968. [答案] 96815．已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)·OA →(λ∈R )(O 是坐标原点)，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．[解析] 因为AP →＝(λ－1)OA →，所以OP →＝λOA →，即O ，A ，P 三点共线，因为OA →·OP →＝72，所以OA →·OP →＝λ|OA →|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA →|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. [答案] 1516．已知三棱锥D ABC 的体积为2，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC ＝2，且三棱锥D ABC的外接球的球心O 恰好是AD 的中点，则球O 的体积为________.【导学号：07804224】[解析] 设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ，则由O 是AD 的中点得，点D 到平面ABC 的距离等于2d ，所以V D ABC ＝2V O ABC ＝23×12×2×2×d ＝2，解得d ＝3，记AC 的中点为O ′，则OO ′⊥平面ABC .在Rt△OO ′A 中，OA 2＝OO ′2＋O ′A 2，即R 2＝d 2＋12＝10，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×1010＝40103π. [答案]40103π。
高考数学二轮复习小题提速练2“12选择+4填空”80分练文(2021年整理)
小题提速练(二）“12选择＋4填空"80分练（时间：45分钟分值:80分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{x｜x≥4}，B＝｛x｜－1≤2x－1≤0｝,则(∁R A)∩B＝（) A．(4，＋∞）B．错误!C.错误!D．（1,4]B［因为A＝{x|x≥4}，所以∁R A＝｛x|x＜4｝，又B＝{x|－1≤2x－1≤0}＝错误!，所以（∁R A）∩B＝错误!，故选B。
]2．复数错误!对应的点在复平面的( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A[因为错误!＝错误!＝错误!＝1＋i，所以该复数对应的点为（1，1），故选A.]3．已知命题p：x＋y≥2错误!，命题q:在△ABC中，若sin A＞sin B,则A＞B。
则下列命题为真命题的是（)A．p B．﹁qC．p∨q D．p∧qC[当x，y中至少有一个负数时,x＋y≥2错误!不成立，所以命题p是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q是真命题．所以p∨q是真命题．］4.已知向量a＝(2，－1)，b＝（－1，3)，则下列向量与2a＋b平行的是（）A．（1，－2）B．(1，－3)C。
错误!D．(0，2）C[因为a＝（2，－1），b＝(－1,3),所以2a＋b＝(3,1)，而1×2－3×错误!＝0，故选C。
]5．若x，y∈R，且｛x≥1，y≥x，x－2y＋3≥0则z＝错误!的最大值为( )【导学号：04024176】A．3 B．2C．1 D.错误!B［作出不等式组表示的平面区域,如图所示,错误!的几何意义是区域内(包括边界)的点P(x，y）与原点连线的斜率，由图可知，当P移动到点B（1,2)时，错误!取得最大值2.]6．已知函数f（x）＝sin错误!,则下列结论中正确的是（)A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x)的图象关于点错误!对称C．将函数f(x）的图象向右平移错误!个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象D．函数f(x）在区间错误!上单调递增C［由题知,函数f（x)的最小正周期为π，故A不正确；令x＝错误!,求得f（x）＝错误!,故函数f（x)的图象不关于点错误!对称，故排除B;将f（x）的图象向右平移错误!个单位长度，得到函数y＝sin错误!＝sin 2x的图象，故选C；当x∈错误!时，2x＋错误!∈错误!,函数f（x)单调递减，故排除D.］7．执行图1中的程序框图（其中[x］表示不超过x的最大整数)，则输出的S值为( )图1A．5 B．7C．9 D．12C[程序运行如下:（1)S＝0＋错误!＝0，n＝0＜5;（2)S＝0＋错误!＝1，n＝1＜5;（3）S＝1＋［错误!]＝2，n＝2＜5;(4）S＝2＋［错误!]＝3,n＝3＜5；（5)S＝3＋[错误!]＝5，n＝4＜5；(6)S＝5＋[错误!]＝7，n＝5;(7）S＝7＋［错误!］＝9，n＝6＞5，循环结束，故输出S＝9。
高考数学二轮复习小题提速练2“12选择+4填空”80分练文
小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [因为5＋3i4－i＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．pB ．﹁qC ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．] 4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，y x的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，y x取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.]8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.]9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( ) A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sinC ＋sin 2C －sin 2A ＝12sin B sin C ，则sin A ＝( )A.14 B.34 C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A ＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bx a，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b2b 2c2＝1，结合c 2＝a 2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝ca＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1. [答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x－m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程e x －m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e ，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e 16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。
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小题提速练(六) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A ．3，－2B ．3,2C ．3，－3D ．－1,4A [∵(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.]2．设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1＜0}，则A ∪B 等于( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [∵A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝(0，＋∞)，B ＝{x |x 2－1＜0}＝{x |－1＜x ＜1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.]3．(2017·广东惠州二模)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝1－x 2B ．y ＝log 2|x |C ．y ＝－1xD ．y ＝x 3－1A [函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项B 中的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项C 中的函数为奇函数，不符合要求；选项D 中的函数为非奇非偶函数，不符合要求．只有选项A 符合要求．故选A.]4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( )【导学号：07804217】A.π6 B ．π4C.π3D ．56π A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a ＞b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.]5．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题的个数是( )①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ②若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α； ③若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ； ④若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β. A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [对于①，由于垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故①为真命题；对于②，两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故②为真命题；对于③，直线m 与直线n 可能异面，也可能平行，故③为假命题；对于④，由面面垂直的判定定理可知④为真命题．故选C.]6．某四面体的三视图如图15所示，其中正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中的最大面的面积为( )图15A ．2 2B ．4C ．2 3D ．2 6C [将几何体放在正方体中考虑，可知该几何体为三棱锥S ABD ，它的四个面中面SBD 的面积最大，三角形SBD 是边长为22的等边三角形，所以此四面体的四个面中的最大面的面积为34×8＝2 3.] 7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π3对称，则|φ|的最小值为( ) A.π12 B ．π6C.5π6D ．5π12B [由题意，得ω＝2，所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象关于直线x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，|φ|取得最小值π6，故选B.]8．已知A ，B 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PA →＋PB →|≤|AB →|，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．1＜e ≤2 B ．e ≥2 C ．1＜e ≤ 2D ．e ≥ 2B [设点P 是双曲线左支上的点，并设双曲线左顶点为E ，则2|PA →＋PB →|≤|AB →|，可化为4|PO →|≤2c (2c 为双曲线的焦距)，|PO →|≤12c ，易证|PO →|≥a ，于是a ≤12c ，所以e ≥2.故选B.]9．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)D [f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x ＞0)，根据题意有f ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x ＞0)恒成立，即2a ≥－1x2(x ＞0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.]10．从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成一个五位数，则其中有两个数字各用两次(例如，12332)的概率为( )【导学号：07804218】A.25 B ．35 C.47D ．57B [从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成一个五位数，共有C 35(C 13C 35A 22＋C 13C 15C 24C 22)＝1 500(种)不同选法，其中有两个数字各用两次的选法有C 35C 13C 15C 24C 22＝900(种)，所以所求概率P ＝9001 500＝35.]11．如图16所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，S ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )图16A.916π B ．2516πC.4916π D ．8116πD [连接AC ，BD 交于点G ，连接A 1C 1，B 1D 1交于点G 1，易知S ，G ，G 1在同一直线上，连接SG 1.设O 为球心，OG 1＝x ，连接OB 1，则OB 1＝SO ＝2－x ，由正方体的性质知B 1G 1＝22， 则在Rt△OB 1G 1中，OB 21＝G 1B 21＋OG 21，即(2－x )2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22， 解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8116π.]12．已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，则△AOB 面积的最大值为( ) A.34B ．32C. 3 D ．2 3B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知得|m |1＋k2＝32，则m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1. 所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1＝12k 2＋13k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k29k 4＋6k 2＋1. 当k ≠0时，|AB |2＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．综上所述|AB |max ＝2，所以当|AB |最大时， △AOB 面积取最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N (90，σ2)．若分数在(70,110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．[解析] 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P (70＜ξ≤110)＝0.7，所以P (ξ≤70)＝P (ξ＞110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150. [答案] 15014．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为矩形内一点，且|AP →|＝32，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则λ＋3μ的最大值为________．[解析]以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，3)，D(0，3)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)，AB→＝(1,0)，AD→＝(0，3)．由AP→＝λAB→＋μAD→(λ，μ∈R)，得⎩⎨⎧x＝λ，y＝3μ.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤32，x2＋y2＝34，所以λ＋3μ＝x＋y≤2x2＋y2＝62⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x＝y＝64时取得最大值.[答案]6215．已知x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x＋y≤2，x≥a，若z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a的值是________．[解析]画出⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x＋y≤2，x≥a表示的可行域如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x，x＋y＝2得A(1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝a，y＝x得B(a，a)．当直线z＝2x＋y过点A(1,1)时，目标函数z＝2x＋y取得最大值，最大值为3；当直线z＝2x＋y过点B(a，a)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，最小值为3a.因为3＝3×3a，所以a＝13.[答案]1316．已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边长的最小值是________.【导学号：07804219】[解析] 设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B . 又∵A ＋B ＋C ＝π， ∴B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝2×(2＋2)．∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac ≥(2－2)ac ＝4，当且仅当a ＝c 时，等号成立，∴b ≥2，∴b 的最小值为2. [答案] 2。