第一章有理数的概念及计算
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数，包括正有理数、负有理数和零。
在数轴上，有理数可以表示为一个点，点的位置与其对应的有理数大小有关。
有理数的概念很早就在人们的生活中出现了，主要是为了解决各种实际问题。
比如，在买卖商品的过程中，涉及到价格的加减乘除等运算，而价格往往是一个有理数，所以理解有理数的概念是非常重要的。
有理数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这几种运算法则。
1. 加法：对于两个有理数a和b，它们的和可以表示为a + b。
如果a和b都是正数或者都是负数，那么它们的和也是正数或者负数；如果a和b一个是正数，一个是负数，那么它们的和可能是正数、负数或者零。
我们可以通过数轴上的移动来演示有理数的加法运算。
2. 减法：对于两个有理数a和b，它们的差可以表示为a - b。
我们可以将减法转化为加法，即a - b = a + (-b)。
这样，减法运算就可以转换为加法运算，使得运算更加简便。
3. 乘法：对于两个有理数a和b，它们的乘积可以表示为a × b。
乘法的法则是：两个正数相乘为正数，两个负数相乘为正数，一个正数和一个负数相乘为负数。
同样地，我们可以通过数轴上的距离来演示有理数的乘法运算。
4. 除法：对于两个有理数a和b（b ≠ 0），它们的商可以表示为a ÷b。
除法的法则是：两个正数相除为正数，两个负数相除为正数，一个正数和一个负数相除为负数。
除法运算可以通过乘法的倒数来实现，即a ÷ b = a × (1/b)。
有理数的运算法则在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在计算家庭的收入和支出时，需要进行有理数的加减运算；在计算速度和时间之间的关系时，需要进行有理数的乘除运算等等。
总之，了解有理数的概念和运算法则对于我们解决实际问题、提高数学能力都非常重要。
通过合理运用这些概念和法则，我们可以更加灵活地进行数的计算，解决各种实际问题，并且能够对我们的日常生活产生积极的影响。
有理数的概念与运算
有理数的概念与运算有理数是数学中的一类数，是整数和分数的统称。
有理数的概念与运算是数学的基础知识之一，对于理解和应用数学有着重要的意义。
本文将就有理数的概念、有理数的分类、有理数的四则运算以及有理数的应用进行探讨。
一、有理数的概念有理数是指可以表达为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
有理数可以用分数表示，并且可以用有限小数或无限循环小数表示。
例如，-3、1/2、-0.75都属于有理数。
有理数的分类根据有理数的大小，可以将有理数分为正有理数、负有理数和零三类。
正有理数是指大于零的有理数，例如1/2、0.75等；负有理数是指小于零的有理数，例如-3、-0.5等；零是不小于也不大于零的有理数，即0。
二、有理数的四则运算1. 加法运算有理数的加法运算遵循相同符号相加、不同符号相减的原则。
即同号相加取符号、异号相减取绝对值后取符号。
例如：2/3 + 1/3 = 3/3 = 1-5 + 3 = -22. 减法运算有理数的减法运算可以转化为加法运算。
即减去一个数等于加上其相反数。
例如：1/2 - 1/4 = 1/2 + (-1/4) = 1/2 + (-1/2) = 03. 乘法运算有理数的乘法运算可以直接按照分数的乘法规则进行运算。
即分别对分子和分母进行相乘。
例如：-3/4 × 2/3 = (-3×2)/(4×3) = -6/12 = -1/24. 除法运算有理数的除法运算可以转化为乘法运算。
即除以一个数等于乘以其倒数。
例如：-3/4 ÷ 2/3 = (-3/4) × (3/2) = -3/8三、有理数的应用1. 数轴表示有理数可以用数轴表示，便于直观理解和比较大小。
在数轴上，正有理数位于原点右侧，负有理数位于原点左侧，零位于原点上。
2. 比较大小有理数的大小可以通过大小关系符号进行比较。
其中，大于号（>）表示大于，小于号（<）表示小于，等于号（=）表示相等。
有理数 超全整理
第一章 有理数知识网络 有理数：一、概念：1.有理数的分类 2.相反数 3.有理数大小比较 4.绝对值 5.倒数二、运算：1.加减法 2.乘除法 3.乘方4.混合运算（法则） 学法导航1.有理数的概念是在是在自然数的基础上建立的，所以有理数的运算 依赖于算数的计算但是要认清有理数与算术数在特征上的不同。
有理数由两部分组成：一是数字（绝对值)部分，二是符号部分。
2.弄清绝对值、相反数、数轴这三个概念的本质和相互之间的联系，是学习有理数运算的必备条件。
分清有理数运算中的作用，不仅可以使运算简化，还可以使学生发现规律找到窍门，从而获得研究数学的乐趣。
知识技能一、有理数的相关概念有理数 正数与负数数轴 相关概念 计算科学记数法与近似数1.正数和负数的定义2.有理数的定义3.有理数的分类：（1）按整数和分数的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 （2）按整数、负数、0的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数04.数轴的概念1) 数轴的概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2) 用数轴表示数： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示， 但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3) 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数. 5.相反数1）概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0. 2）性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.②互为相反数的两个数的和为0；即：若a 与b 互为相反数，则0=+b a .反之，若两数的和为0，则它们互为相反数。
0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 6.绝对值1）概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a .2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值具有非负性，即a ≥0. 3）“两个负数，绝对值大的反而小” 类型1. 正数和负数考点分析：用正负数表示具有相反意义的量 典型例题：例1.下面各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是正整数，哪些是负整数？哪些是正分数（小数），哪些是负分数（小数）？7，－9，109-，－301，274+，31.25，－3.5， ＋2004，211例2.（1）若将低于海平面392米的死海记作－392米，则高于海平面8848米的世界最高峰——珠穆朗玛峰应记作________米；（2）一根铁丝受热后伸长2mm ，记作＋2mm ，把受热的铁丝放入冷水中收缩4mm 应记作_______mm ；（3）存入银行2000元记作＋2000元，－500元表示______________；（4）图纸上一个零件的直径是03.002.030+-Φ(单位：mm).这样标注表示零件的标准尺寸是___________，实际产品的直径最大可以是___________，最小可以是___________.例3. 某粮库10日存粮食3000t ，下表是该粮库一周内进出粮食的记录（运进为正） 日期 11121314151617进出(t)+80 -22 -27 +62 -25 +50 -55(1) 根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？（2）一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？ (3) 哪一天粮库里粮食最多？例4. 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2004 个数是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，______，______，______，…．（2）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，______，______，______，…． 类型2. 有理数 考点分析： 1.有理数的分类： 2.分数与小数的互换 典型例题：例1.下列说法正确的是（ ） A ．一个有理数不是整数就是分数 B ．正整数和负整数统称整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D ．0不是有理数例2.把21-，＋5，－6.3，0，6.9，1312-，542，－7，210，0.031，－43，－10％，填入它所属于集合的圈内：例３．试一试：比较a 与－a 的大小。
初中数学第一章有理数知识点归纳总结
初中数学第一章有理数知识点归纳总结初中数学第一章主要涉及有理数的概念、运算规则、绝对值和相反数等知识点。
下面将对这些知识点进行归纳总结。
1.有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零，以及正分数和负分数。
有理数可以用分数形式表示，也可以用小数形式表示。
2.整数的概念：整数包括正整数、负整数和零。
正整数表示数量时为正，负整数表示数量时为负，零表示没有数量。
3.分数的概念：分数由分子和分母组成，分子表示被分成的份数，分母表示总的份数。
分数可以表示一个数在单位等分之中的一部分。
4.有理数的比较：有理数可以通过大小进行比较。
对于两个有理数a和b，如果a-b>0，则a>b；如果a-b<0，则a<b；如果a-b=0，则a=b。
5.有理数的加法与减法：有理数的加法和减法满足以下性质：-相同符号的两个数相加或相减，绝对值较大的数保留符号，结果的符号与原来的符号相同。
-不同符号的两个数相加或相减，绝对值较大的数保留符号，结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。
6.有理数的乘法与除法：有理数的乘法和除法满足以下性质：-两个正数相乘或相除的结果为正数。
-两个负数相乘或相除的结果为正数。
-一个正数与一个负数相乘或相除的结果为负数。
-任何数除以零的结果为零。
7.绝对值：一个数的绝对值表示这个数离零的距离。
如果一个数是正数，那么它的绝对值就等于它本身；如果一个数是负数，那么它的绝对值等于它的相反数。
8.相反数：一个数与它的相反数的和为零。
一个数的相反数可以通过改变符号获得，正数变为负数，负数变为正数。
9.有理数的绝对值与相反数的关系：一个有理数的绝对值等于它的相反数的绝对值。
10.混合运算：混合运算指在一个表达式中同时包含加减乘除等不同的运算符号。
在混合运算中，先进行括号内的计算，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算。
11.近似数与精确数：在实际计算中，有时候需要使用近似数来代替精确数。
第一章《有理数》
第一章有理数一、有理数的有关概念1、正数和负数大于0的数是正数(为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
)，在正数前面加上“－”的数叫做负数(负数前面的“－”号不能省略)。
0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义。
习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
【例1】（1）下降5.5 m记作＋5.5 m，则上升10米记作_____m.（2）在食品的包装袋上，标明食品的净质量是80±5 g，这个“80±5”表示的最少是______________.（3）若将50计为0，则可以将49计为__________，+2为__________.【例2】如果向东为正，那么 -50m表示的意义是………………………（）A．向东行进50m B．向南行进50m C．向北行进50m D．向西行进50m2、有理数的分类正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a>0表明a是正数；a<0表明a是负数；a≥0表明a是非负数；a≤0表明a是非正数。
【例3】把下列各数填入相应的大括号内：-13．5，2，0，0．128，-2．236，3．14，+27，-45，-15%，-112，227，2613．正数集合{ …}，负数集合{ …}，整数集合{ …}，分数集合{ …}，非负整数集合{ …}3、数轴1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
有理数的概念与运算
有理数的概念与运算有理数是数学中的一种重要概念，它包括整数和分数。
有理数的运算是数学中的基础内容，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
本文将介绍有理数的定义以及有理数的运算规则，帮助读者更好地理解和掌握有理数的概念与运算。
一、有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它可以是正数、负数或零。
有理数包括整数和分数，整数可以看作分母为1的分数。
有理数可以用分数形式表示，例如1/2、-3/4等，也可以用小数形式表示，例如2.5、-0.8等。
二、有理数的运算规则1. 有理数的加法有理数的加法遵循以下规则：- 两个正数相加，结果仍然为正数；两个负数相加，结果仍然为负数；- 正数与负数相加，结果的符号取决于绝对值较大的数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数；- 加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b +c)。
2. 有理数的减法有理数的减法可转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
例如，5 - 3 可转化为 5 + (-3) = 2。
3. 有理数的乘法有理数的乘法遵循以下规则：- 两个正数相乘，结果仍然为正数；两个负数相乘，结果为正数；- 正数与负数相乘，结果为负数；- 0与任何数相乘，结果为0；- 乘法满足交换律和结合律。
4. 有理数的除法有理数的除法可转化为乘法运算，即a ÷ b = a × (1/b)。
例如，12 ÷ 3 可转化为 12 × (1/3) = 4。
三、有理数的运算示例1. 加法示例：2/3 + 3/4 = (2×4 + 3×3)/12 = (8 + 9)/12 = 17/122. 减法示例：5/6 - 2/5 = (5×5 - 2×6)/30 = (25 - 12)/30 = 13/303. 乘法示例：2/3 × (-4/5) = (2×(-4))/(3×5) = (-8)/154. 除法示例：7/8 ÷ (-2/3) = (7/8) × (3/(-2)) = (-21)/16综上所述，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。
七年级上数学每章知识点
七年级上数学每章知识点第一章有理数
有理数的概念
有理数的表示方法
有理数的大小比较
有理数的加减运算
有理数的乘除运算
有理数的应用
第二章整式与因式分解
整式的概念
整式的基本运算
整式的因式分解
公式与分式
整式的应用
第三章方程与不等式
方程的概念
一元一次方程
解一元一次方程的应用
不等式的概念
一元一次不等式
解一元一次不等式的应用
第四章分数
分数的概念
分数的基本性质
分数的基本运算
分数的化简与换算
分数的应用
第五章比例与比例的应用比例的概念
比例的表示方法
比例的性质与基本计算
分项与比例
应用题目
第六章相似与相似三角形
相似的概念与判定
相似三角形的性质
重心、中点、垂心、外心的性质相似三角形的应用
第七章平面直角坐标系
平面直角坐标系的建立
平面直角坐标系中点、距离公式点、线段、中点的坐标表示
图形的坐标表示
平面直角坐标系的应用
第八章线性方程组的解法
方程组的概念
二元一次方程组
三元一次方程组
解线性方程组的方法
线性方程组的应用
第九章一次函数
函数的概念
一次函数的定义与性质
一次函数的图象及相关概念
一次函数的应用
以上为七年级上数学的每章知识点内容，每章内容较多，需要
认真理解掌握。
为了更好的学习效果，建议结合教材里的示例和
习题进行练习。
掌握每章的知识点，对于学习数学后续的知识和
应用都将起到很好的帮助作用。
祝愿每位同学在学习中有所收获！。
1-1有理数及相关概念、测试
有理数及其相关概念一、有理数的定义和性质（一）有理数的定义1、整数和分数统称为有理数。
有理数的分类：2、能够表示成一个既约分数mn （m 、n 都是整数，且m 、n 互质）的数叫有理数（有理数又叫可比数）；（二）有理数的性质1、有序性：任意两个有理数a 、b ，在,,a b a b a b >=<三种关系中，有且只有一个成立 。
2、封闭性：任何两个有理数的和、差、积、商（0不是除数）还是有理数。
3、稠密性：任何两个有理数之间都有无数个有理数。
例1、将下列循环小数化成分数。
（1）0.2 （2）0.6- （3）0.25 （4）0.34- （5）321.0 -例2、说明：边长为1的正方形的对角线不是有理数。
二、有理数的相关概念（一）数轴：（二）相反数：（三）绝对值：数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做a . 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
例3、（1）指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．（2）已知点A 在数轴上对应的有理数为a ，将A 向左移4个单位长度后，再向右移动1个单位长度得到点B ，点B 对应的数为5.3-，则有理数=a ________．例4、化简下列各数：（1）)];([a --- （2）)]};([{m +-+- （3）)];([y x --- （4）)].([b a +-+例5、如果a 是一个不等于1-的负整数，试用“<”连接a 、a 1、a -、a1-这几个数．例6、（1）已知2=a ，5=b ，且b a >，试求a ，b 的值．（2）若032=-++y y x ，试求y x 32+的值．例7、设a 、b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||b a b a +=+；（2）||||||b a ab =；（3）||||a b b a -=-；（4）若b a =||，则b a =；（5）若||||b a <，则b a <；（6）若b a >，则||||b a >。
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有理数的概念及计算 一、有理数的分类：
1、请将下列各数按要求正确分类:
－9.6，5，0，134-，－0.05，722
，-（-5），|-24|，3
π，+2.01，11％，7101，29-，－8．
正整数集合｛ …｝；
负整数集合｛ …｝； 正分数集合｛ …｝； 负分数集合｛ …｝； 2、下列说法正确的是（ ）
A ．整数就是正整数和负整数
B ．分数包括正分数、负分数
C ．正有理数和负有理数组成全体有理数
D ．一个数不是正数就是负数 二、绝对值、相反数、倒数：
1、填空：
8-= ， 7+= ， 0= , 6
5
-= , 32--= ,
2、计算：
(1)4.32⨯-=___________ (2)49.38-+-=__________ (3)
851613--=___________ (4)3
16
31÷
-=__________ (5) |–11| –|–6|=___________； (6)411-121
1)43(--+--=___________ 3、拓展：
a.用“﹥”或“﹤”符号填空
(1)如果a>0，b>0，那么a+b____0; (2)如果a<0，b<0，那么a+b____0;
(3)如果a>0，b<0，|a|>|b|，那么a+b____0; (4)如果a<0，b>0，|a|>|b|，那么a+b____0;
b 、如果a -＞a ，则a 是 ；如果3a =3a -，则a 是 ；如果2a =-2a ，则a 是 ；如果a -=a -，那么a 是 . 练习：
1.判断：若 m = n ，则| m | = | n |. （ ） 若| m | = | n |，则 m = n .（ ）
2.如果| a |= a ，则a 是 ；如果| a |=-a ，则 a 是 . 3．若x 是有理数，则x 2＋1一定是（ ）
A.等于1
B.大于1
C.不小于1
D.不大于1
4．在数轴上与－3的距离等于4的点表示的数是 ( ) A ．1
B ．－7
C ．1或－7
D ．无数个
5．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m ＝2，则(a ＋b )·
d
c
＋3cd －m 2＝ . 6．如果n ＞0，那么
n
n ＝ ，如果
n
n ＝－1，则n 0。
7.已知|a|=7，|b|=3，且|a+b|=-(a+b),求a-b 的值. 提高：
先明确|a|的代数意义和几何意义；再明确|a-b|与|a+b|的几何意义及联系。
1、在|x-2|中，x=_____时有最小值为_____;在|x+2|中，x=_____时有最小值为_____;
2、|x-2|+|x-1|的最小值为_____; |x-2|+|x+1|的最小值为_____;
|x+2|+|x+1|的最小值为_____;
3、有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简|b+c|﹣|b+a|+|a+c|．
4、已知ab>0,求
b
b a a |
|||+的值
常见题型：
5、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且a 不等于0.
求
20052006()()100a b b
c d a a
+++⨯⨯的值 6、若有理数a 、b 满足()2
3120a b -+-=，则b a 的值为 ．
计算能力巩固及技巧：
1、
)
37
(75.0)27()43()34()5.3(-++++-+-+- 2、 )11
7(125114127---+-
3、110.5()( 2.75)42+---+
4、2111
()()()3642
-+----
1、25.0)5()4(⨯-⨯-
2、)4()5
6
()35(-⨯-⨯-
3、)3
2
()109(45)2(-⨯-⨯⨯-； 4、(－125)×(－25)×(－5)×2×(－4)×85
1、
3222
1326--⨯-）（）（ 2、22
36313265+-⨯-÷）（
3、()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷--211323
4、⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-3132843
1、 2、
2
517(6)()9412-⨯-+-11124346⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭
3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯-61314124
4、()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+--⨯-83452142
5、21111()()4248-÷-+=
1、 2、
3、 4、
练习：
（1）(-5)223
2412）（-⨯÷ （2）2
23434）（）（⨯--⨯- （3）)4()8
1
()2(163-⨯---÷ (4) 2543(8)(1)(1)---⨯-÷-
(5) 22123(4)2(1)(5)5-⨯--⨯--÷-⨯ (6) )2
1
()61()836534(---÷---
（7）4217212
⨯-÷--）（）（ （8）（-0.75）÷45÷（-0.3）
（9）（-3）÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷-)41()5
2
( （10）（-81）÷412×⎪⎭⎫ ⎝⎛-94÷6
（11） 2
12355
-+-÷-
⨯（）（） (12) 223
32(10.2)(3)5⎡⎤-⨯+--÷⨯-⎢⎥⎦⎣ （13）322(2)0.5( 1.6)(2)-⨯--÷- （14）42
11(10.5)2(3)3
⎡⎤---⨯⨯--⎦⎣
18242399⨯182419⨯18242399⨯-182419⨯-。