高中数学(人教版必修5)配套练习：2.1 数列的概念与简单表示法

第二章 2.1
一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①②
B．①③
C．②③
D．③
[答案] D
[解析] ①是错误的，例如无穷个 3 构成的常数列 3,3,3，…的各项都是 3；②是错误的，
∴an＝2n－1＋1.
11
22
33
44
(3)a1＝2＝11＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝10＝32＋1，a4＝17＝42＋1…，
n
∴an＝n2＋1.
2
4
8
16
(4)a1＝1＝2，a2＝3，a3＝2＝4，a4＝ 5 …，
2n
∴an＝n＋1.
1
1
11
1
1
11
(5)a1＝－3＝－1 × 3，a2＝8＝2 × 4，a3＝－15＝－3 × 5，a4＝24＝4 × 6， 1
2n [答案] an＝2n－12n＋1
2 2 4 2 × 2 6 2 × 3 8 2 × 4 10 2 × 5 [解析] 3＝1 × 3，15＝3 × 5，35＝5 × 7，63＝7 × 9，99＝9 × 11，…，∴an＝
2n 2n－12n＋1.
8．已知数列 3，7，11，15，19，…，那么 3 11是这个数列的第________项．
[答案] A [解析] 据题意，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足 an＋1>an，即该函数 y＝f(x) 的图象上任一点(x，y)都满足 y>x，结合图象，只有 A 满足，故选 A. 3．若数列的前 4 项分别为 2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( ) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝1－cosnπ
(2)2,3,5,9,17,33，…；
12 3 4 5 (3)2，5，10，17，26，…；
4 16 (4)1，3，2，5 ，…；
11 1 1 (5)－3，8，－15，24，…；
(6)2,6,12,20,30，….
1 [解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是 1，分母是 n2＋1，∴an＝(－1)n·n2＋1. (2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1， a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
A．第 6 项
B．第 7 项
C．第 10 项
D．第 11 项
[答案] B
[解析] 调整为： 2，5，8，11，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项 多 3，又 2 5＝ 20，∴应是 11后的第 3 项，即第 7 项，选 B.
二、填空题
2 4 6 8 10 7.3，15，35，63，99，…的一个通项公式是________．
nπ C．an＝2sin2 2 D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2) [答案] D
[解析] 当 n＝1 时，D 不满足，故选 D.
4．函数 f(x)满足 f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则 f(n)是( )
A．递增数列
B．递减数列
一、选择题
1．数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则 a1000＝( )
A．1
B．1999
C．0
D．－1
[答案] A
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知 an＝1(n∈N*)．
2．对任意的 a1∈(0,1)，由关系式 an＋1＝f(an)得到的数列满足 an＋1>an(n∈N*)，则函数 y＝f(x)的图象是( )
∴an＝(－1)n·nn＋2.
(6)
a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求 a5.
[解析] ∵a1＝2，an＋1＝an＋n， ∴当 n＝1 时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3； 当 n＝2 时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5； 当 n＝3 时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8； 当 n＝4 时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即 a5＝12.
A．18
B．21
C．25
D．30
[答案] D
[解析] 依次令 n(n＋1)＝18,21,25 和 30 检验．有正整数解的便是，知选 D.
n－1
4．已知数列{an}的通项公式是 an＝n＋1，那么这个数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
[答案] A
n－1
2
[解析] an＝n＋1＝1－n＋1，随着 n 的增大而增大．
5．数列 1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 C．an＝(－1)n(2n－1)
B．an＝(－1)n(1－2n) D．an＝(－1)n(2n＋1)
[答案] B
[解析] 当 n＝1 时，a1＝1 排除 C、D；当 n＝2 时，a2＝－3 排除 A，故选 B. 6．已知数列 2，5，2 2，11，…，则 2 5可能是这个数列的( )
[答案] 25
[解析] 观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大 4，a1＝ 3，a2＝ 3＋4，a3＝ 3＋4 × 2，a4＝ 3＋4 × 3，∴an＝ 3＋4n－1＝ 4n－1，
令 4n－1＝3 11得 n＝25，∴a25＝3 11. 三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
11
11
(1)－1＋1，4＋1，－9＋1，16＋1，…；
数列－1,0,1 与数列 1,0，－1 各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选 D.
2．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例
nπ
n＋3π
如数列 1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是 an＝sin 2 ，也可以是 an＝cos 2 等等．
3．已知 an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )