提高班第二讲平面几何之等高模型
平面几何五种模型
平面几何五种模型 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-平面几何五种模型等积，鸟头，蝶形，相似，共边1、等积模型等底等高的2个三角形面积相等2个三角形高相等，面积比=底之比2个三角形底相等，面积比=高之比夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1等底等高的2个平行四边形面积相等2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比2、鸟头模型（共角定理）鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边）鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。
A B C DE如图，浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 是公用A 角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC 里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~记忆上用夹角2边 最好记，这里等于鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。
证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。
经由媒介的ABE ，联系了ADE 和大三角形ABCBE 辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式将对顶角压回来ABC 内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新跟ADE 是全等，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明S△ADE=S△AD'E,因为同底等高AD=AD',高相等，所以面积相等D'A B C D E 写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特别重要！3蝴蝶模型 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 【上下比】= = = 【上上比】 = ==由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如面积交叉相乘的乘积相等 == 1324S S S S ⨯=⨯ 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）①2213::S S a b =→上：下=22:a b②221324::::::S S S S a b ab ab =→上：下：左：右=22:::a b ab ab ③S 的对应份数为()2a b +→a 2+2ab+b 2=a 2+b 2+ab+ab 有木有↑4 相似三角形形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)知识分享
小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。
【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。
高中数学第二章平面解析几何课件新人教B版必修2
重合
=
B1 B2
=
C1 C2
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要点梳理
4.你学过哪些距离公式?请完成下列空格. (1)两点间的距离公式 ①若两点在数轴上,则d=|x2-x1|;
②若两点在平面内,则 d= (������2 -������1 )2 + (������2 -������1 )2 ; ③若两点在空间中,
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要点梳理
6.点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系如何?请完成下表:
点与圆的位 直线与圆的 置关系 位置关系 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点 (1)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆外 相离⇔d>r (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点 (2)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆上 相切⇔d=r (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点 (3)直线 l 与圆 C P(x0,y 0)在圆内 相交⇔d<r 圆与圆的 位置关系 (1)相离⇔d>R+r (2)外切⇔d=R+r (3)相交 ⇔R-r<d<R+r (4)内切⇔d=R-r (5)内含⇔0≤d<R-r
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要点梳理
7.对称问题 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要 依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题, 主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在 l上. (3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的 对称点A'(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线, 列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程,
小升初平面几何常考五大模型
一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2-c( c+4)-2(c+4)+2c+16=16。
1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。
已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。
等高模型
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC中，D、E分别是BE、BC的中点 ，F是AC的三等分点 ，已知三角形 DEG的面积比三角形AGF的面积小1，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例7：如图，正方形ABCD中，E是AB的四等分点 ，F是BD的五等分点 ，已知正方形ABCD的面积 是10，求三角形CEF的面积.
巩固提升
作业3：如图，等腰三角形ABC被分成面积相等的5个小三角形，已知AB=AC=15厘米，求AD、AG 的长.
巩固提升
作业4：如图，正三角形ABC被分成面积相等的15个小三角形，已知正三角形ABC的边长是112， 求AD+BE+CF的长.
巩固提升
作业5：如图，正方形ABCD被分成面积相等的8个三角形，已知BI=5厘米，求正方形ABCD被的面 积.
例题讲解
练一练3：如图，三角形ABC中，D、E、F是各边的三等分点，已知三角形ABC的面积是1平方厘 米，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例4：如图，三角形ABC中，BC=3BD，AC=3CE，AF=FG，DF=FH=HE，已知三角形ABC的面积 是10，求三角形GHE的面积．
例题讲解
练一练4：如图，三角形ABC中，D、E、F、G是BC边的五等分点，H、I、J是AB边的四等分点， 已知三角形EFI的面积是1，求三角形ABC的面积．
SABD：SACD BD：CD SABD：SABC BD：BC SACD：SABC CD：BC
例题讲解
例题讲解
例1：如图，三角形ABC中，AE：CE=2:3，BD：CD=3:4，已知三角形ADE的面积是12平方厘米， 求三角形ABC的面积.
分析：图中涉及到多组等高模型，根据已知C被分成7块面积相等的小三角形，其中AC=90厘米，BC=84厘米，求线段 EF和GH的长度.
六年级等高模型知识点
六年级等高模型知识点在学习过程中，我们常常会遇到各种各样的知识点，这些知识点承载着我们的学习任务和目标。
其中，六年级等高模型知识点是六年级学生们要重点掌握的知识点之一。
本文将介绍六年级等高模型知识点的基本概念和应用，帮助同学们更好地理解和运用这些知识。
一、等高模型概念等高模型是数学中一种常见的几何模型，它可以用来描述和解决一些与平行四边形和三角形相关的问题。
在等高模型中，由于存在一条或多条等高线，使得图形呈现出等高、等边等特点。
二、等高模型的构成要素1. 平行四边形：平行四边形是等高模型中最基本的图形之一，它具有两组平行的边和相等的对边。
在等高模型中，平行四边形通常用来代表某种物体或空间的形状。
2. 等高线：等高线是等高模型中的关键要素，它是连接平行四边形上相同高度点的曲线。
等高线的形状和位置可以准确地描述出整个等高模型的外观和特征。
3. 高度：在等高模型中，高度是指从平行四边形的底边上一点到对边上相应点的垂直距离。
高度的长度对于确定等高线的形状和位置起到重要作用。
三、等高模型的应用等高模型不仅是数学学科中的一种抽象模型，也应用到了我们实际生活和学习中的各个方面。
下面是几个常见的等高模型应用场景。
1. 地理地形图：地理地形图是使用等高模型来描述和展示地球表面的地理特征。
通过等高线的分布，我们可以了解到不同地方的海拔高度和地势变化情况。
2. 地图制图：在制作地图时，使用等高模型可以准确地表示和描绘出山脉、河流等地理地貌，为我们提供了更加真实和直观的地理信息。
3. 建筑设计：在建筑设计中，等高模型被广泛用于描述建筑物的平面布局和外观形状。
通过等高线的展示，我们可以更好地了解建筑物的整体结构和比例尺度。
4. 自然科学研究：在自然科学研究中，等高模型也被应用于地震、气象等领域。
通过等高线的分布和变化，科学家们可以研究和探索自然界中的规律和现象。
四、六年级等高模型知识点的学习和应用在六年级数学学科中，等高模型的学习和应用是一个重要的内容。
高联拔高_平面几何
【2019秋】高联拔高课：几何（上）
第1节：基本角度关系与定理
角度基本关系
利用角度证明的定理
第2节：用角度关系解题1
第3节：用角度关系解题2
第4节：内心常用性质;鸡爪定理”
-“鸡爪定理”
第5节：双圆问题中的角度转换
双圆中的一种常见倒角思路
第6节：多圆问题中的角度转换
密克定理
第7节：圆幂定理1
圆幂定理
第8节：圆幂定理2
第9节：根轴1
两圆的根轴
第10节：根心定理1
三圆的根心
第11节：根心定理2
第12节：正、余弦定理
正余弦定理的概念
第13节：Menelaus定理1
平均不等式
第14节：Menelaus定理2
第15节：Ceva定理1
塞瓦定理
第16节：Ceva定理2
第17节：角元Ceva定理
塞瓦定理的角元形式
第18节：切线段长度
切线段长度公式
第19节：等角共轭点
等角共轭
第20节：陪位中线
陪位中线
常用的性质定理。
小升初平面几何常考五大模型知识分享
一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。
2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。
3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。
二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。
）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。
相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。
相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2 -c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。
1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。
已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。
又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。
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第2讲 平面几何之等高模型
一、几何常用思想
1、割补
2、平移、旋转、对称
3、差不变原理
对应题目：例五
二、平面几何常用模型
1、等积变形
直线AB 平行于CD ，可知ABD ABC S S Δ=Δ 反之，如果ABD ABC S S Δ=Δ，则可知直线AB 平行于CD
2、等高模型：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比
12::S S BD DC
对应题目：例一，例一练一练，例二，例二练一练，例三，例六，例六练一练，例七
超常挑战,B1，B4，B5，B7，,B9，补1，补2，补3
3、一半模型
常见一半模型：
S 2S 1
B A
C
D
对应题目：例四，例四练一练，例八，,B2，B3，B6，B8，B10，补4，补5
补1：
如图，在三角形ABC 中，AC=2AF ，E 是AD 的中点，三角形ABC 的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？
补2：
图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______；
E
D
G
C
F B A
补3：
如图，在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
补4
如图，外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。
补5：
如图,长方形ABCD边上有两点E、F线段AF、BF、CE、BE、把长方形分成若干块,其中三个小木块的面积求阴影面积!。