2017-2018版高中数学 第三章 概率 2.2 建立概率模型学案 北师大版必修3

2．2 建立概率模型
学习目标 1.能建立概率模型解决简单的实际问题.2.能认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来建立我们需要的概率模型.3.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题．
知识点一基本事件的相对性
思考掷一粒均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？
梳理一般地，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是________，并且它们的发生是____________，就是一个古典概型．
知识点二同一问题的不同概率模型
思考在“知识点一”的思考中，规定不同的基本事件，“向上的点数为奇数”的概率分别是多少？相等吗？
梳理从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的__________来解决，而所得到的________的所有可能结果越少，问题的解决就变得越________．
类型一基本事件的相对性
例1 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．
跟踪训练1 一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
类型二概率模型的多角度构建
例2 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球．试计算第二个人摸到白球的概率．
反思与感悟 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答．
跟踪训练2 假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A 、C 、J 、K 、S ，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： (1)女孩K 得到一个职位； (2)女孩K 和S 各自得到一个职位．
1．有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为( ) A.35 B.25 C.15 D.45
2．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )
A.23
B.12
C.16
D.13
3．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A.310
B.112
C.4564
D.38
4．从甲、乙、丙、丁4名同学中选出3人参加数学竞赛，其中甲不被选中的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.34
5．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为________.
1．对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单．因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用． 2．基本事件总数的确定方法：
(1)列举法：此法适合于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；
(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求； (3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；
(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题．
3．在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误．解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法．
答案精析
问题导学 知识点一
思考 可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件． 梳理
有限的 等可能的 知识点二
思考 若按6个基本事件，“向上的点数为奇数”有3个基本事件，故概率为36＝1
2；若按2
个基本事件，则概率为1
2，两种方法结果相同．
梳理
古典概型 古典概型 简单 题型探究
例1 解 每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A 表示“取出的两件中恰有一件次品”，这一事件，所以A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，
a 1)，(
b 1，a 2)}．
因为事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝2
3.
跟踪训练1 解 设事件A ：两个小球上的数字为相邻整数．
则事件A 包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共18个． (1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P (A )＝1890＝1
5.
(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故P (A )＝18100＝9
50
.
例2 解 方法一 需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．
解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球
也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来如图：
由图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝1224＝12
.
方法二 把2个白球编上序号1、2，两个黑球也编上序号1、2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝612＝1
2
.
方法三 由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率
为P (A )＝36＝1
2
.
方法四 只考虑第二个人摸出的球的情况．第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率为P (A )＝24＝12
.
跟踪训练2 解 5个人仅有3人被录用结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同．
(1)女孩K 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为35
.
(2)女孩K 和S 都被录用的结果有3种，所以K 和S 各自得到一个职位的概率为310
. 当堂训练
1．A [从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3个．∴P ＝3
5.]
2．D [如图给4块试验田分别标号A
1、A
2、B 1、B 2.基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件A )的基本事件有(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个． ∴P (A )＝26＝1
3
，故选D.]
3．D [设3个元素为a ，b ，c ，则所有子集共8个，∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，含2个元素的子集共3个，故所求概率为3
8
.]
4．A [基本事件有甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁，共4个．甲不被选中的事件为乙丙丁，∴P ＝1
4
.]
5．0.4 [10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的频率为4
10
＝0.4.]。