用复数解三角问题几例
复数的三角形式（一）
复数的三角形式（一）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：化复数为三角形式 难点：复数辐角主值的探求 教学内容： 一、知识回顾：1、复数的三种形式：代数形式z=a+bi ⇔点的形式Z(a,b) ⇔2、复数的模：|z|=|a+bi|=22b a +=|OZ |二、复数的三角形式：1、复数的辐角： *复数的辐角有无穷多，其一般形式是： *特别规定：复数0的辐角是任意的.2、复数的辐角主值： ，记为argz *注意与反三角符号的区别3、几个特殊结论：如果a ∈R +，那么arga= ,arg(-a)= ,arg(ai)= ,arg(-ai)= 4、两个复数相等⇔r 1=r 2且argz 1=argz 2.5、复数的三角形式：设θ是复数的辐角，其模为r ，则： a= ,b=)s i n (c o s θ+θ=i r z 叫复数的三角形式*三角形式的具体要求：①r ≥0 ②前余后正 ③“+”号连接 ④θ不一定是主值三、典型例题分析：1、化下列复数为三角形式：①z=3+i②z=1-i③z=-1④z=3-4i2、（91全国）复数z=1+i，求复数163 2++-z zz的模和辐角主值3、求复数z1=1+cosθ+isinθ(0≤θ<2π)的模和辐角主值。
四、课堂练习：1、下列那一个是复数的三角形式(A)21[cos4π-isin4π] (B) -21(cos3π+isin3π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π2、把下列复数化为三角形式：4= ；-3= ；-i= ;-2+2i=-1-i 3= ;=-i 2123 ;-4+3i= 五、能力测试：1、（90广东）复数)2(1π<θ<πθ+ictg 的三角形式是…………………（ ）(A))]2sin()2[cos(sin 1θ-π+θ-πθi (B))cos (sin sin 1θ+θθ(C) )]2sin()2[cos(sin 1θ+π+θ+πθ-i (D) )]23sin()23[cos(sin 1θ-π+θ-πθ-i 2、（91三南）复数Z=-3(cos34π-isin 34π)的幅角主值为…………………（ ） (A)34π (B) 35π (C) 611π(D)6π3、（92三南）设复数Z=i i 32+，那么复数Z 的幅角主值为…………（ ）(A)65π (B) 3π(C)32π (D) -34π4、（2000上海）复数z=-3(cos 5π-isin 5π)的三角形式是……………………（ ）(A) 3[cos(-5π)-isin(-5π)] (B) 3(cos5π+isin5π)(C) 3(cos54π+isin 54π) (D) 3(cos 56π+isin 56π) 5、（93上海）设Z= cos57π+isin 57π，则z 的幅角主值为 6、把下列复数化为三角形式：3-= ；-3= ；5i= ; 2+2i=1-i 3= ;=--2123i ;5+12i= 7、先把下列复数化为代数形式然后在化为三角形式：-3(cos23π+isin 2π)= = ；2[cos(-4π)-isin(-4π)]= =8、化复数z 1=1+cos θ+isin θ,z 2=1-cos θ+isin θ(π＜θ<2π＝为三角形式，并且求argz 1+argz 2.复数的三角形式（二）目的：熟练掌握复数的三角形式 重点：复数的三角形的应用 难点：复数辐角的研究 教学内容： 一、知识回顾： 1、复数的模及幅角： 2、复数的三角形式：3、小练习：①arg(3-i)= ;②arg(m+i)2=π23,则m= ;③-5(cos45º-isin45º)化为三角形式是④argz=π65,复数z 的实部为-23，那么z= 二、典型例题：1、化下列复数为三角形式：①z=ii3251+-②z=1+itg )23(π<α≤πα③z=3sin α+cosα-2icos(α+6π)2、|z z 1-|=21，argz z 1-=3π,求复数z3、arg(z+1)=6π,arg(z-1)=3π,求复数z.4、|z|≤21，求复数w=z-1的辐角主值及模的取值范围5、如果z=21+i sin θ并且|z|≤1，求α=argz 的取值范围三、课堂练习：1、复数z=2-a+(2a-1)i ，如果0＜argz ≤4π，求a 的取值范围2、复数z 满足：|z-2i|≤1，那么|z|max = ,|z|min = ,如果复数z 的辐角主值为α，那么αmax =,αmin =三、能力测试：1、集合M={z|1≤|z|≤2,z ∈C},N={z|4π<argz<43π, z ∈C }，则M ∩N 所围成的复平面是上的区域的面积是………………………………………………………………（ ）(A)4π (B)2π (C)43π(D) π 2、设a ∈(-1,0),复数cos(arcsina)+isin(arcsina)的辐角主值为…………………（ ） (A) arcsina (B)2π+ arcsina (C)π-arcsina (D) π+ arcsina3、复数1+cos200º+isin200º的辐角主值为…………………………（ ） (A) 200º (B) -100º (C) 100º (D) 280º4、复数-1-2i 的辐角主值为5、如果z 1、z 2∈C ，|z 1|≤21，并且z 2=i+z 1，那么argz 2∈6、arg(z+2)=3π,arg(z-2)=65π,求复数z.7、|z|=1且argz=θ,求w=z 2+z 的模及幅角主值8、复数z=a(1+2i)+(1-i),如果|z|>2并且π<<π2arg 23z ,求实数a 的取值范围复数的三角形式（三）知识目标：掌握复数的三角形式的乘法运算.能力目标：培养学生能从知识的演变过程中发现新的问题、勇于提出问题、积极探讨解决问题方法的能力，掌握化归思想的具体应用思想目标：培养学生积极思考、勇于创新、求真务实的科学态度 教学重点：复数乘法运算教学难点：复数乘法运算的几何意义的理解 教学方法：发现式教学法 辅助手段：多媒体电脑 活动过程： 一、知识回顾：1、复数的三角形式：设|z|=r （r ≥0），argz=α，那么复数z=2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶3、回顾练习：⑴下列那一个是复数的三角形式：(A)21(cos3π-isin3π) (B) -21(cos4π+isin4π) (C)21(sin54π+icos 54π) (D)cos56π+isin 56π⑵把下列复数化为三角形式：-3= ；=-i 2123 ;4、预备工具： cosαcos β-sin αsin β=cos(α+β); sinαcos β+cos αsin β=sin(α+β)二、复数的三角形式的乘法运算：1、定理：设z 1=r 1(cos α+isinα)，z 2=r 2(cos β+isin β)，r 1≥0,r 2≥0那么：z 1〃z 2=此定理用语言叙述为： 〘例题1〙1、求下列复数的积：①2(cos12π+isin12π)∙3(cos 6π+isin6π)②3(cos75°+isin75°) ∙3(cos15°+isin15°)③(cos3A+isin3A) ∙ (cos2A-isin2A)定理的推广：设z n =r n (cos αn +isinαn ),其中r n ≥于是：z 1z 2z 3…z n =r 1r 2r 3…r n [cos(α1+α2+α3+…+αn ) +isin(α1+α2+α3+…+αn )]〘反馈练习1〙1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式)⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)= ⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos150º-isin150º)=⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙5 (cos108º+isin108º)=⑷|3(cos12π-isin 12π)∙ (1+i) ∙2(sin22º+icos22º)|=2、复数乘法的几何意义：⑴两个复数z 1、z 2相乘时，可以先画出分别与z 1、z 2对应的向量1OZ 、2OZ ，然后把向量2OZ 按逆时针方向旋转1θ（1θ再把模变为原来的r 1倍，所得的向量OZ 就表示积z 1z 2. *特征：旋转+伸缩变换⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积.〘例题2〙试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化：⑴8(cos6π+isin6π)∙2 (cos12π+isin12π)：⑵8(cos240º+isin240º)∙2 (cos210º-isin210º)：⑶3(cos18º+isin18º) ∙2 (cos54º+isin54º) ∙ (cos108º+isin108º)：〘例题3〙1、OZ 对应复数-1+i,将OZ 按逆时针方向旋转120º后得到Z O '， 求Z O '对应复数z2、（2000全国）把复数3-3i 对应向量按顺时针方向旋转π31，所得向量对应复数为(A)23 (B) -23i (C) 3-3i (D) 3+3i3、Z A =1,Z B =3+2i,并且ABCD 是按逆时针方向排列的正方形的四 个顶点，求Z C 与Z D .O xyZZ '120〘反馈练习2〙如果向量OZ 对应复数4i ，OZ 逆时针旋转45º后再把模变为原来的2倍得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是3、知识小结：⑴积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和⑵复数的乘法⇔向量的旋转与伸缩⑶做复数的乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.三、能力测试：1、如果向量OZ 对应复数-23+4i ，OZ 顺时针旋转60º得到向量1OZ ，那么与1OZ 对应的复数是………………………………………………………………………………（ ） (A) -33-i (B) 3+5i (C) -23-4i (D) 23+4i2、正⊿ABC 的顶点A 、B 、C 对应复数Z A 、Z B 、Z C ，点A 、B 、C 按逆时针顺序排列，那么…………………………………………………………（ ）(A) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º) (B) Z C =(Z B -Z A ) ∙ (cos60º-isin60º) (C) Z C =Z B ∙ (cos60º+isin60º) (D) Z C =Z A +(Z B -Z A ) ∙ (cos60º+isin60º)3、如果α∈(2π,π),z=(1+i) ∙ (cos α+sinα)的辐角主值为…………（ ）(A)49π- α (B)4π+α(C)43π+α (D) 2π-α4、如果A 、B 对应复数3-2i ，-1+4i ，把AB 按顺时针方向旋转90º后再把模变为原来的2倍得到向量AC ，那么向量．．AC 的复数是 ，C 点的坐标为5、2(cos176º+isin176º) ∙3 (cos26º-isin26º) =6、3(cos3π+isin3π)∙2 (cos6π+isin6π)=7、10(cos2π+isin2π)∙2 (cos4π+isin4π)=8、如果正⊿ABC 的两个顶点A 、B 对应复数z 1=i,z 2=-3四、板书计划：1、乘法公式2、几何意义3、知识小结五、信息反馈：Cx复数的三角形式（四）目的：掌握复数的三角形式的乘法运算重点：De moiver theorem (棣美弗定理)难点：复数辐角的研究教学内容：四、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ那么：z1z2 =2、复数乘法的几何意义：3、乘法运算定理的推广：二、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]证明：（用数学归纳法证明）三、典型例题分析：1、如果z=cos52π+isin 52π,求： 1+z 4+z 8+z 12+z 16之值2、如果z=cos3π+isin3π，求|z+2z 2+3z 3+…+12z 12|之值3、求(3-i)6的值.4、如果(3+i)m =(1+i)n ,m 、n ∈N ，求自然数m 、n 的最小值5、化复数z=1+(23i +)7为三角式6、设复数z 满足：|z|=1且z 5+z=1,求复数z 的值.四、课堂练习：1、化间：[3(cos18º+isin18º)]5= ,(-1-i)6= ,(1-i)(21--23)7=2、（90上海）复数W= cos52π+isin 52π，则W+W 2+W 3+W 4+W 5=五、能力测试：1、（93全国）当21i z --=时，z 100+z 50+1的值为(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i2、（94上海）设复数Z=-21+23i ，则满足z n =z 并且大于1的自然数n 中最小的是 (A)3 (B)4 (C)6 (D)73、[-3(cos10º-isin10º)]6=4、如果z=cos52π+isin 52π,求：(1+z)(1+z 2)(1+z 4)(1+z 8) 的值5、n （n ∈N ）是什么值时，(1+i 3)n ∈R6、（97全国）已知复数z=i 2321+,w=i 2222+，求复数zw+zw 3的模及幅角主值7、（97全国）已知复数z=i 2123-，w=i 2222+,复数zw,z 2w 3在复平面上对应点分别为P 、Q ，证明⊿OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）复数的三角形式（五）目的：熟练掌握复数三角形式的运算重点：乘法定理和De moiver theorem (棣美弗定理)的使用难点：积的辐角与辐角之和的关系教学内容：五、知识回顾：1、复数的乘法运算：z1=r1(cosα+isinα),z2=r2(cosβ+isinβ)那么：z1z2 =2、De moiver theorem (棣美弗定理)：[r(cosθ+isinθ)]n=r n[cosnθ+isinnθ]六、典型例题分析：1、De moiver theorem (棣美弗定理)的推论：[r(cosθ-isinθ)]n=r n[cosnθ-isinnθ]试证明之。
高考数学技巧如何利用复数解决三角函数问题
高考数学技巧如何利用复数解决三角函数问题在高考数学中，三角函数问题一直是学生们相对而言比较困惑的一部分。
然而，通过运用复数的概念和性质，我们可以巧妙地解决一些三角函数问题，进而提高解题的效率和准确性。
一、复数的定义和性质复数是由实数和虚数构成的数，可以用a+bi（a、b为实数，i为虚数单位）的形式表示。
复数中的实部和虚部分别对应着直角坐标系中的横坐标和纵坐标。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，其性质与实数运算类似。
二、复数与三角函数的关系复数可以与三角函数建立密切的联系，从而在解决三角函数问题时发挥作用。
这种联系主要体现在以下两个方面：1. 欧拉公式欧拉公式是指e^ix = cosx + isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。
这个公式将复数与三角函数之间建立了一个重要的桥梁。
通过欧拉公式，我们可以将三角函数的表达式转化为复指数函数的形式，从而简化运算。
这对于求解复杂的三角函数方程非常有用。
2. 欧拉公式在解三角方程中的应用在高考数学中，经常会遇到求解三角方程的问题。
通过将三角函数转化为复数形式，我们可以更加简洁地解决这类问题。
例如，对于方程sinx=2cosx，我们可以用复数的形式进行变换。
令z = cosx + isinx，那么方程可以变为imag(z) = 2real(z)。
通过将等式两边用复数表示后进行实部和虚部的比较，我们可以得到简化后的方程实部为0，即cosx = 0，解得x = π/2 或3π/2。
三、利用复数解决三角函数问题的具体方法在实际解题中，利用复数解决三角函数问题的方法主要包括以下几个步骤：1. 将三角函数转化为复数形式。
例如，将sinx和cosx用复数表示。
2. 运用欧拉公式将复数形式的三角函数转化为复指数形式。
3. 根据所给的等式或条件，利用复数的性质进行运算。
可以通过比较实部和虚部，或者进行复数的加减乘除等操作。
4. 转换回三角函数的形式，得到最终的解。
复数的三角形式
复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。
其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。
需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。
复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。
任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。
2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。
下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。
例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。
2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算复数是由实数和虚数组成的数，可以用复数平面上的点表示。
复数的三角式是指将复数表示为一个模长和一个幅角的形式。
复数的乘法和除法可以用三角形式来表示，即用模长和幅角来进行运算。
假设我们有一个复数z = a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.复数的三角式在复数平面上，可以将复数z表示为一个与实轴的夹角θ（幅角）和点到原点的距离r（模长）的形式。
模长r可以通过使用勾股定理来计算：r=√(a^2+b^2)。
这个距离表示复数z到原点的距离。
幅角θ可以通过tanθ = b/a 来计算。
这个角度表示实轴与复数z 的连线之间的夹角。
将复数z表示为三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
其中cosθ表示x轴方向上的分量，sinθ表示y轴方向上的分量。
2.复数的乘法复数乘法的规则是，将两个复数的模长相乘，幅角相加。
设有两个复数z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)。
乘法运算的结果为：z1 * z2 = (r1 * r2) * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))角相加。
例如，计算(1+i)*(2+i)：首先将两个复数转换为三角形式：z1 = √(1^2 + 1^2) * (cos 45° + isin 45°) = √2 * (cos 45° + isin 45°)z2 = √(2^2 + 1^2) * (cos 63.4° + isin 63.4°) = √5 * (cos 63.4° + isin 63.4°)然后进行乘法运算：z1 * z2 = (√2 * √5) * (cos (45° + 63.4°) + isin (45° + 63.4°))= √10 * (cos 108.4° + isin 108.4°)所以，(1 + i) * (2 + i) = √10 * (cos 108.4° + isin108.4°)。
§6-4 复数三角形式运算
则有
(n ∈ N * )
这是复数三角形式的 n 次幂 (n ∈ N * ) 的运算法则，这个法则 叫做棣莫弗定理。 它表明：复数 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂， 它们辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。也就是说，复数的 n * 次幂 ( n ∈ N ) ，是把模的 n 次幂作为幂的模，把辐角的 n 倍 作为幂的辐角。
证明 左边=
(cos 9θ + i sin 9θ ) (cos14θ + i sin14θ ) (cos 24θ + i sin 24θ )
= r1 ⋅ r2 cos (θ 1+ θ 2 ) + i sin (θ 1+ θ
2
) 。
r1 ( cosθ 1+ i sin θ
) ⋅ r2 ( cosθ 2+ i sin θ 2 ) = r1 ⋅ r2 cos (θ 1+ θ 2 ) + i sin (θ 1+ θ 2 )
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6-4 复数三角形式的运算
一、乘法 设复数 z1 = r1 ( cosθ 1+ i sin θ
z1 ⋅ z 2 = r1 (cosθ 1+ i sin θ
1
)⋅ r2 (cosθ
由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来 复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数。
例6 计算
解
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角表示
三. 复数乘除法的几何意义的应用
例5 已知复数z1＝-2+i对应的点为P1，z2＝-3+4i对应的点为P2，
把向量
uuuur P1P2
绕P1点按顺时针方向旋转
2
后，得到向量
uuur P1P
，求向
量
uuur P1P
和点P对应的复数分别是什么？
uuuur
解：由题意知向量 P1P2 对应的复数是
z2-z1＝（-3+4i）-（-2+i）＝-1+3i.
【名师点拨】 将复数的三角形式r（cos θ+isin θ）化为代 数形式a+bi（a，b∈R）时，其中a＝rcos θ， b＝rsin θ. 【注意】 复数z＝a+bi（a，b∈R）与复平面内的点 （a，b）是一一对应的.
二. 利用复数的三角形式进行复数的乘、除运算
<1>复数的乘法运算
例3.
5
3.复数代数形式和三角形式的转化
a+bi＝rcos θ+irsin θ＝r（cos θ+isin θ），
a
b
其中 r＝ a2 b2 ， cos θ＝ r , sin θ＝ r .
(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一. (2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主 值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.
cos
6
isin
6
·
2
cos
4
isin
4
＝
.
【解析】
5
cos
6
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