高考数学复习基础部分
第一次工业革命，人类发明了蒸汽机，没有数学又哪里会有现在先进的汽车自动化生产线。
查字典数学网为大家推荐了高考数学复习，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
初等数学：重基础，更重非基础数学是什么，其本质就是逻辑推理。
从已知的条件推理得出结论，其实就类似于从A地到B地有很多条路，很多种走法，我们需要在最短的时间内不用GPS就找到最近的路线，节省最多的油耗。
谈到数学学习方法大家常会头大，刷题成为普遍认同的真理，但笔者对此存在异议。
以存在即合理的眼光看，刷题一定有其意义，但未必是适合每个人的好方法!学习数学，笔者始终认为是建立在思考之上的：思考所学内容，思考适合的方法步骤，同时还要思考自己的状态。
一切学习方法，都是在对自己充分了解的基础上，根据自己的需求找到对症下药的良方。
而真正说到方法本身，大概分基础与非基础两类探讨。
基础：数学的重中之重所谓基础，是指比较简单、一般学会就能拿分的题目。
例如今年四川高考数学题出现了最简单的等差数列求通项，甚至还有关于集合或是虚实数的题目等等。
笔者称这类题目为大杀器。
这类题往往让人心烦意乱：做出来觉得理所应当，要是突然糟了便是五雷轰顶，后果不堪设想。
为什么最简单的基础题会成为埋伏在茫茫试卷间的大杀器?正是因为理论上讲这些题都是照搬知识点，认真学了肯定做得来。
于是做不来时会慌张，下来突然想起时会懊恼，恨不得回去做个十遍八遍。
这个心理战的最终结局往往是大量的时间被投向基础，正如方法二，合理吗?答案是否定的。
非基础：成为高手的关键基础部分是高中数学学习的重中之重，但绝不是数学学习的全部。
想要成为真正的高手，非基础部分才是关键。
在高中，对于该部分的学习主要以老师教授(即非自学)为主。
学习方法也很简单，首先就是认真听课。
认真听课是每个人都知道的学习方法，几乎所有老师、学长、教育界人士都会强调，但在课堂上并不容易真正做到。
毕竟，听是一件多么令人痛苦的事情，如果老师的讲法不对自己的胃口，走神在所难免。
但认真听课的真正含义并不是认真听，听课的真实意义是思考。
老师在讲，那么心中马上就想：他讲的是什么?和前面讲的内容有什么关系?他之后可能会怎么做?如果都能找到答案，那么内心便会油然生出满满的自信，自然变得专注，不会走神了。
这才是真正的认真听课。
当然，实在是想走神也是正常的，对这种情况，有一个方法是极好的：死盯着老师的眼睛。
这种情况下还能走神的大神真是少之又少，如果你是其中一个，那么你还是自己埋头看书较好。
当达到一种境界，题是会做了，听别人讲也觉得轻松了，此时便是打江山容易坐江山难，要想保持这种状态，是最难的。
依据个人经验，此时最好的方法就是自己当老师，找一个学生(同学或是好友)，给他讲解、答疑。
在这个过程中，你的思维会越来越清晰，你所吸收的知识会一点一点真正为己所有。
当然，如果自己实在是魅力有限，找不到一个学生，那做自己的老师也是极好的。
小编为大家提供的高考数学复习，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
高考数学复习方法之夯实基础
高考数学复习方法之夯实基础高考数学作为高考三大科目之一，成为了考生们备战高考的重要科目之一。
而在备考过程中，夯实基础是一个十分重要的环节。
夯实基础，才能为后续的复习打下牢固的基础，才能更好地应对高考数学的各种题型。
本文将介绍夯实基础的具体方法和注意事项。
一、系统性复习首先，在夯实基础的基础上，要进行系统性的复习。
通过系统性的复习，能够巩固学过的知识点，使之更加深刻、更加牢固。
复习的方式可以是逐个模块地复习，包括二元一次方程、函数、三角函数、立体几何、导数等等，也可以根据自己的学习情况进行认真分析，在复习过程中找出自己薄弱的知识点进行剖析。
二、练习与总结其次，练习与总结是夯实基础中不可或缺的环节。
既要注重做题，更要善于做题，它不仅能巩固老师讲授的内容，还能帮助考生培养解题的能力。
在练习的过程中，及时总结自己的解题方法和经验，把错误和不足找出来，针对性地进行纠正和完善。
三、错车、重点突出最后，夯实基础还需要注意错车和重点突出。
错车，主要是指在做题过程中，要重视错题。
通过明确自己的错误原因，针对性地把问题找出来，及时修改自己的做题方法，以趋近于正确率。
不断地做错题，反复思考，总结不断修改，让自己更加的熟练掌握知识点。
同时，在复习过程中，要重点突出。
对一些常出现的知识点，应该更多地进行练习，深化并巩固自己的知识，这样才能更好地掌握基础知识，更好地应对高考数学。
此外，在夯实基础的过程中，还要注意方法的正确性和技巧的灵活运用。
在我们复习的过程中，很多同学都会忽略这一点。
其实，夯实基础并不是说所有的题目都要做，而是要慢慢建立起自己的解题方法，并运用好技巧。
综上所述，夯实基础是高考数学复习方法中不可或缺的部分。
夯实基础也是成功的前提，是学好复习好高考数学的不二法门。
在夯实基础的过程中，要注意系统性复习，练习与总结，错车和重点突出。
同时，还需要注意方法的正确性和技巧的灵活运用。
只有严格按照这些要求，高中生们才能够更好地备战高考。
高中高数高考知识点
高中高数高考知识点高中数学可以说是一门基础而重要的学科，在高中阶段的学习中，它占据了重要的地位，也是备受关注的考试科目之一。
高考是全国范围内的高中学生普遍面临的一场考试，对于学生来说，备考高数是必不可少的一部分。
本文将从代数、几何、概率与统计等几个方面来探讨高中高数高考知识点。
代数是高中数学的基础和核心部分之一。
在高中高数知识点中，代数部分包括多项式的运算、分式方程、函数的概念与性质、二次函数、指数与对数等内容。
其中，多项式的运算是代数中最基础的部分，包括加减乘除、提取公因式、因式分解等知识点。
分式方程则要求学生掌握解分式方程的方法，包括清分、通分、约分等步骤。
函数是代数中的重要概念，要求学生掌握函数的定义、性质以及图像的变化规律。
二次函数是函数中的一种特殊形式，它的图像呈现抛物线的形状。
几何是高中数学的另一个重要内容，它包括平面几何和空间几何两个方面。
平面几何中的知识点包括平行线与垂直线、三角形的性质、相似三角形、等腰三角形、直角三角形等。
学生需要掌握这些性质，并能够灵活运用到求解题目中。
空间几何中的知识点包括立体图形的计算、平行面与垂直面、平行线与平面的相交情况等。
对于这些知识点，学生需要能够通过理论知识去解答和解决相关题目。
概率与统计是高中高数中的实际应用部分，也是近年来高考试题中的热点内容。
概率部分要求学生掌握事件的概念、概率的计算方法、事件之间的关系等。
通过概率的计算，可以帮助学生解决问题，提供决策的依据。
统计则要求学生懂得如何通过数据进行分析和统计，并能够进行正确的解读和判断。
学生需要了解概率和统计在生活中的应用，如何应用概率与统计的知识去分析和解决实际问题。
在备考高考中，掌握这些高中高数知识点是非常重要的。
要想顺利通过高考，学生需要在学习中加强对这些知识点的理解和掌握，在解题中能够准确运用。
同时，学生也可以通过解题中的疑难问题去寻找答案，提高自己的问题解决能力和思维能力。
此外，还可以通过刷题和做试卷的方式，检验自己对知识点的掌握情况，并进行针对性的复习和提高。
高考数学考点总结与备考技巧
高考数学考点总结与备考技巧数学是高考三大科目之一，也是很多考生担心的科目。
数学考试主要考察数学知识和思维能力。
本文将对高考数学的考点进行总结，并提供备考技巧。
一、数学考点1.函数函数是高考数学考试中的重要考点。
函数的概念、性质、图像、反函数等都需要掌握。
特别是函数的图像，需要能准确地画出各种函数的图像，例如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2.三角函数三角函数也是高考数学的重要考点。
需要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念、性质、图像、变化规律等。
同时，需要掌握三角函数的复合函数和反函数。
3.数列与数学归纳法数列是高考数学中的基础考点，需要掌握等差数列、等比数列及其前n项和公式。
同时，还需要掌握数学归纳法，能够独立完成数列题目。
4.导数与微积分导数和微积分也是高考数学考试的重点考点。
需要掌握导数的概念、求导法则及其应用，了解微积分的基本概念，包括定积分和不定积分的概念、性质、计算方法和应用。
5.平面向量平面向量也是数学考试中的重要考点之一。
需要掌握向量的基本概念、向量的坐标表示法、向量之间的运算、平面向量的模、方向角、共面、垂直等性质，了解向量的应用。
二、备考技巧1.掌握数学基础知识数学考试需要掌握扎实的数学基础知识，能够准确地理解和应用数学概念和定理，同时能够熟练地使用各种数学公式和计算方法。
2.积累做题经验高考数学考试不仅考查数学知识，还考验考生的解题能力和考场应变能力。
因此，平时需要多做数学题，积累做题经验，提高解题速度和正确率。
3.养成良好的复习习惯高考数学考试不能临时抱佛脚，需要平时持续地进行复习和巩固。
要养成良好的复习习惯，每天安排一定的复习时间，按照计划有序地进行复习。
4.注意考试策略高考数学考试一般建议从易到难顺序答题，先做易题，留出时间做难题。
同时，需要掌握一些答题技巧，如画图、分类讨论、化简等，提高解题效率。
总之，数学是高考的重要科目之一，需要考生在平时的备考中认真总结归纳考点，熟练掌握各种数学知识和解题技巧，做好充分的准备，才能在高考中取得好成绩。
高考数学函数基础知识清单
高考数学函数基础知识清单函数是高中数学中的重要内容和基础知识点，对于高考数学来说尤为重要。
本文将为大家总结高考数学函数基础知识清单，帮助大家复习和巩固相关概念和技能。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一个集合和对应关系的二元关系，通常用f(x)表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是输入变量x的取值范围，值域是函数对应值f(x)的取值范围。
3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
二、常见的函数类型1. 一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数，k称为比例系数，b 称为常数项。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
3. 幂函数：y = x^n，其中n为整数。
4. 指数函数：y = a^x，其中a为正实数且a ≠ 1。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为正实数且a ≠ 1。
6. 三角函数：正弦函数、余弦函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数图像的表示：坐标系、平面直角坐标系。
2. 函数图像的基本性质：对称性、零点、极值等。
3. 函数的平移、伸缩和翻折：函数图像在坐标系中的变化与函数式的关系。
四、函数的运算与复合1. 函数的四则运算：加、减、乘、除。
2. 复合函数：f(g(x))，其中f(x)和g(x)是两个函数。
3. 反函数：f^(-1)(x)，满足f(f^(-1)(x)) = x和f^(-1)(f(x)) = x的函数。
五、函数方程与函数不等式1. 函数方程：包括一元函数方程和多元函数方程。
2. 函数不等式：包括一元函数不等式和多元函数不等式。
六、函数的应用1. 函数的模型：将实际问题抽象化为函数模型进行求解。
2. 函数的最大值与最小值：求极值的方法和应用。
3. 函数的应用举例：求面积、体积、最优解等实际问题。
以上是高考数学函数基础知识的清单，希望能够对大家的复习和考试有所帮助。
在复习过程中，要理解函数的定义与性质，熟练掌握各种函数的类型，能够准确绘制函数图像并分析函数的各种性质，同时要培养应用函数解决实际问题的能力。
高考数学基础知识点大全总结归纳
高考数学基础知识点大全总结归纳数学是高考中最重要的科目之一，也是考生们备战高考的重点之一。
要在高考数学中取得好成绩，掌握基础知识点是至关重要的。
本文将对高考数学中的基础知识点进行全面总结归纳，帮助考生们更好地复习备考。
一、代数与函数代数与函数是数学中最基础也是最核心的内容之一。
在高考数学中，代数与函数的知识点占据了相当大的比重。
以下是高考数学代数与函数部分的基础知识点：1.1 整式与分式1.2 多项式与多项式的运算1.3 幂的运算与整式的整除性1.4 分式的化简与运算1.5 分式方程的解法二、数与数量关系数与数量关系是高考数学中的重要知识点之一，它不仅包括了基础的数与数的关系，还包括了数量之间的比较和计算。
以下是高考数学数与数量关系部分的基础知识点：2.1 数与数的性质2.2 数与式的计算2.3 数与面积、体积的关系2.4 一次函数与一次函数的应用三、几何与变换几何与变换是高考数学中相对较为复杂的知识点，但也是不可或缺的一部分。
几何与变换包括了图形的性质、图形的变换与运动等内容。
以下是高考数学几何与变换部分的基础知识点：3.1 线与角3.2 三角形与三角形的性质3.3 圆与圆的性质3.4 二次曲线与二次曲线的性质3.5 向量与向量的运算四、概率与统计概率与统计是高考数学中较为实际且应用广泛的知识点，它涉及到事件的发生概率和数据的统计分析等内容。
以下是高考数学概率与统计部分的基础知识点：4.1 随机事件与随机事件的运算4.2 概率的计算与性质4.3 统计数据的收集与整理4.4 统计指标与统计图的应用综上所述，高考数学基础知识点的掌握对于考生在高考中取得好成绩至关重要。
通过对代数与函数、数与数量关系、几何与变换以及概率与统计等知识点的全面总结归纳，相信考生们能够更好地复习备考并在高考中取得优异成绩。
希望本文能为广大考生提供帮助，祝愿各位考生都能顺利通过高考，实现自己的人生目标。
新高考数学基础知识点归纳
新高考数学基础知识点归纳新高考数学作为高中数学教学的重要组成部分，其基础知识点的归纳对于学生掌握数学知识至关重要。
以下是新高考数学的一些基础知识点归纳：一、集合与函数- 集合的基本概念：元素、集合、子集、并集、交集、补集等。
- 函数的概念：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
- 函数的基本性质：有界性、连续性、可导性等。
二、数列- 数列的基本概念：通项公式、前n项和等。
- 等差数列与等比数列：通项公式、求和公式。
- 数列的极限：极限的定义、性质、极限存在的条件。
三、不等式与方程- 不等式的基本性质：可加性、可乘性、传递性等。
- 解不等式的基本方法：直接比较法、综合法、分析法等。
- 方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程等。
四、三角函数与三角恒等变换- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切等。
- 三角函数的基本性质：周期性、奇偶性、单调性等。
- 三角恒等变换：和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
五、解析几何- 直线与圆的方程：直线的斜率、截距、圆的标准方程、一般方程等。
- 椭圆、双曲线、抛物线：定义、标准方程、性质。
- 曲线的参数方程与极坐标方程。
六、立体几何- 空间直线与平面：空间直线的方程、平面的方程、线面关系。
- 多面体与旋转体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的体积与表面积。
七、概率与统计初步- 随机事件的概率：概率的定义、性质、加法公式、乘法公式等。
- 统计初步：数据的收集、整理、描述，包括均值、方差、标准差等。
八、导数与微分- 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义。
- 导数的基本运算：四则运算、链式法则、幂函数、三角函数、对数函数、指数函数的导数。
- 微分的概念：微分的定义、微分的几何意义。
九、积分与微积分基本定理- 不定积分：原函数、换元积分法、分部积分法。
- 定积分：定积分的定义、几何意义、积分中值定理。
- 微积分基本定理：牛顿-莱布尼茨公式。
结束语以上是对新高考数学基础知识点的简要归纳，掌握这些基础知识点是解决数学问题的基础。
数学高考基础知识、常见结论详解(一)
数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性互异性：例如：，，若A=B求；（A={-1，1，0}）（2）集合与元素的关系用符号表示。
（、）（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：、、。
（列举法，描述法，韦恩图示法）注意：区分集合中元素的形式：例如：；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。
（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
（）二、集合间的关系及其运算（1）符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现；（；点与直线（面）的关系）符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现。
（；直线与面的关系）（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；（=；=；）②；；；；（）③；；（）（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
（）四、若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；（真假值）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。
（充分非必要）六、反证法：当证“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
（不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
复习高考数学一轮基础知识梳理
复习高考数学一轮基础知识梳理高考数学是每个学生都要面对的挑战，它考察的是学生对数学知识的掌握和应用能力。
为了帮助同学们更好地备考数学，下面将对高考数学的一轮基础知识进行梳理。
一、函数与方程1.函数的概念及性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
函数具有唯一性、有界性、奇偶性和周期性等性质。
掌握函数的性质对于解题非常关键。
2.一元二次方程一元二次方程是高考数学中的重点和难点，通过对一元二次方程的掌握，可以解决与直线、抛物线和根的关系等问题。
理解一元二次方程的性质及解法，能够帮助同学们在高考中更好地应对相关题型。
二、数列与数学归纳法1.数列的概念及性质数列是由一组数字按照一定规律排列而成的序列。
掌握数列的常见性质，如公差、首项、通项公式等，能够较好地解决与数列相关的题目。
2.数学归纳法数学归纳法是高考数学中常用的证明方法，它通过证明某个命题在第一个条件下成立，并在此基础上推导出该命题在下一个条件下也成立，最终证明该命题对于所有条件都成立。
三、平面向量与解析几何1.平面向量的基本概念平面向量是具有大小和方向的量，具有平移、加法、数量积、向量积等运算。
了解平面向量的基本性质，如共线、垂直、平行等，对于解决空间几何问题非常重要。
2.解析几何的基本知识解析几何通过坐标系将几何问题转化为代数问题，并通过方程和不等式等方法进行求解。
熟悉平面和空间几何中的常见图形及其性质，能够有效解答与解析几何相关的高考题目。
四、概率与统计1.事件与概率概率是研究随机事件发生可能性大小的数学分支。
了解事件、样本空间、概率等基本概念，掌握计算概率的方法，对于解题非常有帮助。
2.统计与统计图统计是通过收集和处理数据来研究事物的数量特征和变化规律。
了解统计的基本概念，如频数、频率、平均数、中位数等，并能够绘制和解读统计图表。
综上所述，复习高考数学的一轮基础知识梳理需要从函数与方程、数列与数学归纳法、平面向量与解析几何，以及概率与统计等内容入手。
函数的奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题
函数的奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题一、单选题1．下列函数为奇函数的是（）A ．2xy =B ．cos 6y x =C ．22x xy -=+D ．22x xy -=-2．下列函数既是偶函数又在()0,∞+上单调递减的是（）A ．1y x x=+B ．3y x =-C ．2y x =-D ．21y x =-3．已知函数1()2(2xx f x =-，则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．函数()2442x xf x x x --=+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在[)0,+∞上是增函数.不等式(2)(1)f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,16．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---7．已知函数()3xf x =且()()()f xg xh x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数．若关于x 的方程()()220ag x h x +=在(]01，上有两个解，则实数a 的取值范围是（）A ．4124⎡--⎢⎣B ．4124⎡--⎢⎣C ．4124⎤⎥⎦，D ．4124⎤⎥⎦，8．已知定义R 在上的函数()f x ，其导函数为()'f x ，若()()2sin f x f x x =--，且当0x ≥时，()cos 0f x x '+>，则不等式()()sin cos 2f x f x x x π+>+-的解集为（）A ．(,)2π-∞B ．(,)2π+∞C ．(,)4π-∞-D ．(,)4π-+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．若()y f x =是奇函数，当0x >时()()2log 2f x x =+，则()2f -=__________．10．已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，()3 21xf x x =+-，则0x <时，()f x =______．11．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题12．已知函数()1f x x x=-.(1)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并用定义证明；(2)判断()f x 的奇偶性，并求()f x 在区间[]2,1--上的值域.13．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时2(1)2f x x x =++.（1）求函数()f x 在R 上的表达式；（2）在图中的直角坐标系中画出函数()f x 的大致图象；（3）写出函数()f x 的值域和单调区间.14．已知函数()21()221x f x a =-+为奇函数，其中a 为常数.（1）求函数y =f (x )的解析式；（2）若关于x 的方程()1()212x f x k ++=在[1,1]-上有解，求实数k 的最大值；（3）若关于x 的不等式()1(21)226xf λλ++≤在[2,2]-恒成立，求实数λ的取值范围.15．已知函数()2121x x f x -=+是定义在R 上的奇函数．(1)用定义法证明()f x 为增函数；(2)对任意()1,x ∈+∞，都有22130k f x f kx x x ⎛⎫⎛⎫+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案：1．D 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性即可.【详解】由各选项中的函数解析式知：它们的定义域为R ，A ，11()22()xx f x f x --===，非奇非偶函数，不合要求；B ，()cos(6)cos 6()f x x x f x -=-==，偶函数，不合要求；C ，()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，偶函数，不合要求；D ，()()2222()x x x x f x f x -----=--==-，奇函数.故选：D.2．C 【解析】【分析】逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.【详解】解析：A 项1y x x=+，B 项3y x =-均为定义域上的奇函数，排除；D 项21y x =-为定义域上的偶函数，在(0,)+∞单调递增，排除；C 项2y x =-为定义域上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减.故选：C.3．A 【解析】【分析】根据函数的单调性与奇偶性的定义判断.【详解】()f x 定义域为R ，且()()112222xxxxf x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x \是R 上的奇函数，又2xy = 是R 上的增函数，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，所以函数1()2()2xx f x =-是R 上的增函数，故选：A.4．D 【解析】【分析】根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.【详解】由题意知，220x x +-≠，解得1x ≠±，所以()f x 定义域()()(),11,11,-∞-⋃-+∞关于原点对称，又因为()()()224444=22x xx x f x f x x x x x -----==-+--+--，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.当12x =时，1216201125242f -⎛⎫==-< ⎪⎝⎭+-，排除B.()00f x x =⇒=，函数只有1个零点，排除C.故选：D 5．A 【解析】由已知可判断函数的对称性和单调性，从而可得31a x x-≤≤-在[]1,2上恒成立，进而可求出a 的取值范围.【详解】由题可知，()f x 的图象关于y 轴对称，且()f x 在(),0-∞上单调递减，由(2)(1)f ax f +≤-得121ax -≤+≤在[]1,2上恒成立，得31a x x -≤≤-在[]1,2上恒成立，因为3y x =-和1y x=-单调递增，所以当2x =时，3y x =-取最大值为32-；当1x =时，1y x=-取最小值为1-，所以312a -≤≤-.故选:A.6．B 【解析】【分析】利用偶函数求0x >的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求(1,2)处的切线斜率.【详解】设0x >，则0x -<，1()e x f x x --=+，又()f x 为偶函数，∴1()e x f x x -=+，则对应导函数为1()e 1x f x -'=+，∴(1)2f '=，即所求的切线斜率为2.故选：B 7．B 【解析】【分析】由奇偶性求得(),()g x h x ，然后用换元法，令33x x t -=-是增函数，(0,1]x ∈，则8(0,]3t ∈，转化为一元二次方程在区间8(0,]3上有两不等实解，由二次方程根的分布知识求解．【详解】()()()f x g x h x =+①，则()()()f x g x h x -=-+-，即()()()g x h x f x -+=-②，由①②得()()33()22x xf x f xg x ----==，()()33()22x x f x f x h x -+-+==，方程2()(2)0ag x h x +=为2233(33)02x xxxa --+-+=（*），令33x x t -=-是增函数，(0,1]x ∈，则8(0,3t ∈，方程（*）变为2220at t ++=，此方程在8(0,3上有两不等实解，记2()22t t at ϕ=++，则2Δ480803(0)2086416(20393a a a ϕϕ⎧=->⎪⎪<-<⎪⎨=>⎪⎪=++≥⎪⎩，解得4124a -≤<故选：B ．8．D 【解析】【分析】令()()sin g x f x x =+，由题意，得出()g x 为定义在R 上的偶函数，且()g x 在[0,)+∞上单调递增，再把不等式()()sin cos 2f x f x x x π+>+-转化为()()2g x g x π+>，利用单调性求解.【详解】令()()sin g x f x x =+，则()()()sin ()sin g x f x x f x x -=-+-=--，又由()()2sin f x f x x =--，所以()sin ()sin f x x f x x +=--.故()()g x g x =-，即()g x 为定义在R 上的偶函数；当0x ≥时，()()cos 0g x f x x ''=+>，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，由(cos ()sin()()sin 222f x x f x x f x x πππ++=+++>+，即()()2g x g x π+>，所以||||2x x π+>，解得4x π>-，所以不等式()()sin cos 2f x f x x x π+>+-的解集为(,)4π-+∞.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键是根据()cos 0f x x '+>这一信息，构造函数()()sin g x f x x =+，进而利用函数单调性的定义而得解.9．2-【解析】【分析】根据题设条件，利用()()22f f -=-，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是奇函数，当0x >时()()2log 2f x x =+，所以()()222log (22)2f f -=-=-+=-.故答案为：2-.10．321x x --+.【解析】【分析】当0x <时，0x ->，求出() f x -的表达式，再结合函数的奇偶性即可求出0x <时函数的解析式.【详解】当0x <时，0x ->，所以()()33 2121x x f x x x ---=-+-=-+-，因为()y f x =是奇函数，所以()33212()1()x xx x x f x f ---+=--==--+-.故答案为：321x x --+.11．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..12．(1)函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增，证明见解析(2)函数()f x 为奇函数，()f x 在区间[]2,1--上的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合()()f x f x -=-得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出()f x 在区间[]2,1--上的值域.(1)()f x 在区间()0,∞+上单调递增，证明如下：1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，有()()()()()121212121212121221121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=-+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，所以120x x >，120x x -<.于是()12121210x x x x x x -+<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间()0,∞+上单调递增.(2)()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .因为()()1f x x f x x-=-+=-，所以()f x 为奇函数.由（1）得()f x 在区间()0,∞+上单调递增，结合奇偶性可得()f x 在区间(),0∞-上单调递增.又因为()322f -=-，()10f -=，所以()f x 在区间[]2,1--上的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.13．（1）()2221,00,021,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩，（2）见详解；（3）值域为R ；单调递增区间为[)1,0-，(]0,1；单调递减区间为(),1-∞-，()1,+∞.【解析】（1）设0x >，则0x -<，代入解析式，再利用函数为奇函数即可求解.（2）根据作图的步骤即可画出大致图像.（3）根据函数图像即可求解.【详解】（1）当0x <时2(1)2f x x x =++设0x >，则0x -<，所以()()22()2121f x x x x x -=-+-+=-+，又因为函数为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()22212)1(f x x x x x -=-+-+=-+，即()221f x x x =-+-，所以函数在R 上的表达式：2221,0()0,0,21,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩（2）函数()f x 的大致图象，如下：（3）由（2）中的大致图象可知，函数的值域为R ，单调递增区间为[)1,0-，(]0,1，单调递减区间为(),1-∞-，()1,+∞14．（1）11()212x f x =-+；（2）最大值为14；（3）13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可得(0)0f =，代入解析式求出a =2，再根据()()0f x f x -+=验证即可求解.（2）令121xt =+，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，方程转化为2k t t =-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求出2t t -的取值范围即可求解.（3）将不等式转化为1(21)221x λλ-≤++≤，令2x μ=，1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得令()(21)2h u u λλ=++，根据函数的单调性可得11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，解不等式即可求解.【详解】（1）因为函数()21()221x f x a =-+为奇函数，且定义域为R ，所以()021(0)0221f a =-=+，解得a =2.此时11()212x f x =-+，所以1111()()0212212x x f x f x --+=-+-=++，所以函数f (x )为奇函数.所以函数y =f (x )的解析式为11()212x f x =-+.（2）令121x t =+，因为x ∈[-1，1]，所以12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1()212x f x k ++=在[-1，1]上有解,()111212122x xk ⇔-++=+在[-1，1]上有解,2k t t ⇔=-在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，因为221124k t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，12,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21,94k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以实数k 的最大值为14.（3）设12x x <，则()()()()2112121211112202122122121x x x x x x f x f x --=--+=>++++，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数11()212x f x =-+在R 上单调递减，因为1111(1)2126f --=-=+，1(1)6f =-，所以()()111(21)22(21)22666x x f f λλλλ++≤⇔-≤++≤()(1)(21)22(1)x f f f λλ⇔≤++≤-，1(21)221x λλ⇔-≤++≤(*)令2x μ=，则由x ∈[-2，2]，得1,44μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()(21)22(21)2x h u u λλλλ=++=++，则结合题设及(*)，得1,44μ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1()1h u -≤≤，所以11141(4)1h h ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≤≤⎩，即21121414(21)21λλλλ+⎧-≤+≤⎪⎨⎪-≤++≤⎩，解得13210λ-≤≤-，所以实数λ的取值范围为13,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.15．(1)证明见解析(2)()-+∞【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义及指数函数的单调性与值域即可证明；（2）由已知条件，利用函数()f x 的奇偶性和单调性，可得2213k x k x x++>-对1x >恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.(1)证明：设12x x <，则()()()()()1212121212222212121212121x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，由12x x <，可得1222x x <，即12220x x -<，又1210x +>，2210x +>，所以()()()121222202121x x x x -<++，即()()12f x f x <，则()f x 在R 上为增函数；(2)解：因为任意(1,)x ∈+∞，都有22130k f x f kx x x ⎛⎫⎛⎫+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2213k k f x f kx f kx x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++>--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对1x >恒成立，又由（1）知函数()f x 在R 上为增函数，所以2213k x k x x ++>-对1x >恒成立，由11,01x x><<，有10x x -<，所以22131x x k x x ++>-对1x >恒成立，设1,1t x x x=->，由1t x x =-在(1,)+∞递减，可得0t <，所以22213551x t x t t t x x +++==+≤---，当且仅当t =所以k>-k 的取值范围是()-+∞.。
2024高考数学专项复习圆锥曲线基础知识手册
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ2024高考数学专项复习第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。