数学模型层次分析法的广泛应用
层次分析法在企业财务风险分析中的应用
层次分析法在企业财务风险分析中的应用一、层次分析法简介层次分析法（AHP）是由美国学者托马斯·塞伦提出的，是一种用于多准则决策的数学模型，通过构建层次结构，将复杂的决策问题分解成若干层次，从而进行逐层比较和综合，最终得出最优决策结果的方法。
AHP方法将问题划分为目标层、准则层和方案层，通过构建层次结构和专家判断矩阵，计算得出各层次因素的权重和最终决策结果，以实现多准则决策的科学性和合理性。
在企业财务风险分析中，AHP方法可以应用于构建企业财务风险评估模型，帮助企业管理者全面了解企业面临的各种财务风险，有效地进行风险管控和决策。
二、AHP在企业财务风险分析中的应用1.建立层次结构模型在进行企业财务风险分析时，首先需要确定目标层、准则层和方案层，构建一个层次结构模型。
目标层即是企业财务风险评估的目标，准则层包括各种影响企业财务风险的因素，如负债率、偿债能力、盈利能力、流动性等，方案层则是各种风险应对策略和措施。
通过构建层次结构模型，可以将复杂的财务风险问题分解成若干个层次，并且明确了解各因素之间的关系，有助于深入分析和综合评价。
2.建立判断矩阵当层次结构模型构建完成后，就需要对各级因素进行两两比较，得到专家判断矩阵。
专家判断矩阵是一种用于表达专家意见和判断结果的矩阵，通过专家对各因素之间的重要性进行比较，可以得出各因素之间的权重，从而为最终的决策提供依据。
在比较负债率和偿债能力时，专家可以通过打分的方式对两者的重要性进行评定，得出判断矩阵，以此类推对其他因素进行比较。
3.计算权重和一致性检验通过层次分析法可以计算得出各因素的权重，即各因素在企业财务风险评估中的重要程度。
AHP方法还提供了一致性检验，可以检查判断矩阵的一致性，确保专家判断结果的合理性。
一致性检验的结果可以帮助企业管理者判断专家判断结果的可信度，并在有必要时进行修正，提高决策的科学性和可靠性。
4.综合评价和决策通过计算得出的各因素权重，可以进行综合评价，得出企业的财务风险等级和排名。
层次分析法数学建模
在某些情况下，层次分析法可能无法合理地分配权重，导致决策结果 与实际情况存在较大偏差。
无法处理动态变化
层次分析法主要用于静态决策问题，对于动态变化的决策问题处理能 力较弱。
05 结论与展望
结论
层次分析法是一种有效的决策分析方法，能够将复杂问题 分解为多个层次和因素，通过比较和判断各因素之间的相 对重要性，为决策提供依据。
实例三：风险评估问题
总结词
层次分析法在风险评估问题中，能够综合考虑风险的多种来源和影响因素，确定各因素之间的权重关 系，为风险的有效控制提供科学的依据。
详细描述
风险评估问题涉及到如何识别、评估和控制各种潜在的风险。层次分析法可以将风险的多种来源和影 响因素进行比较和判断，确定各因素之间的权重关系，为风险的有效控制提供科学的依据。同时，层 次分析法还可以用于制定风险应对策略和预案，提高组织的抗风险能力。
层次单排序与一致性检验
层次单排序
根据判断矩阵的性质和计算方法，计 算出各组成元素的权重值，并按照权 重值的大小进行排序。
一致性检验
对判断矩阵的一致性进行检验，以确 保各组成元素之间的相对重要性关系 符合逻辑和实际情况。
层次总排序与一致性检验
层次总排序
根据各层次的权重值和组成元素的权重值，计算出整个层次结构模型的权重值， 并进行总排序。
确定层次
根据问题的复杂程度和组 成元素的性质，将层次结 构划分为不同的层次，以 便于分析和计算。
判断矩阵的建立
确定判断标准
根据问题的特点和要求，确定判 断各组成元素之间相对重要性的 标准和方法。
构造判断矩阵
根据判断标准，构造出一个判断 矩阵，用于表示各组成元素之间 的相对重要性关系。
层次分析法的原理
层次分析法的原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多准则决策的数学模型。
它由美国数学家Thomas L. Saaty于20世纪70年代提出，被广泛应用于各个领域的决策分析中。
层次分析法基于人们在决策过程中常常需要考虑多个因素及其相对重要性的观点，通过对这些因素进行定量化和比较，帮助决策者做出理性决策。
层次分析法的原理主要包括层次结构、成对比较和权重计算三个部分。
一、层次结构：在层次分析法中，我们首先需要构建一个层次结构，将决策问题划分为不同的层次。
层次结构由目标层、准则层、子准则层和方案层组成。
目标层：决策问题的最终目标，通常只有一个。
准则层：实现目标所需的准则或评价指标，可以有多个。
子准则层：对每个准则进行细分或进一步评价的子指标，根据实际情况确定是否需要。
方案层：候选方案或决策选项，可以有多个。
二、成对比较：通过成对比较来确定各个层次之间的重要性或优先级。
成对比较是指将两个层次中的元素逐一配对，并根据它们之间的重要性进行比较。
在成对比较中，使用1-9的数值尺度，其中1表示相等重要，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
通过比较各个元素对的重要性，可以建立一个判断矩阵。
例如，在准则层中，假设有三个准则A、B、C，那么我们需要进行三次成对比较，得到一个3x3的判断矩阵。
同样，在子准则层或方案层中，也需要进行成对比较，得到相应的判断矩阵。
三、权重计算：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到各个层次的权重，用于确定决策的最终结果。
特征向量是指矩阵的一个列向量，使得该矩阵与特征向量的乘积等于特征值乘特征向量。
通过对判断矩阵的特征向量进行归一化处理，可以得到各个层次的权重，用于计算总体权重或方案的优先级。
最后，根据权重计算的结果，可以得到最优的决策选择。
层次分析法的原理基于多个准则、多个层次的权重计算，旨在帮助决策者以合理的方式处理决策问题，并提供一种定量化的决策分析方法。
模糊综合评价法和层次分析法比较
模糊综合评价法和层次分析法比较模糊综合评价法和层次分析法是两种常见的决策支持方法，它们在不同的领域和情境下被广泛应用。
本文将比较这两种方法，分析它们的优缺点以及适用范围。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的决策方法，通过对评价指标的模糊化处理，将不确定性因素引入决策过程中。
该方法的基本步骤包括问题建模、模糊化处理、建立模糊判断矩阵、确定权重和综合评价。
1. 优点- 能够处理决策过程中的不确定性和模糊性，适用于评价指标难以量化的情况；- 能够灵活地应对不同的问题，适用性广泛；- 算法相对简单，易于操作和理解；- 能够考虑到多个因素之间的相互影响，综合了多个评价指标，提高了决策的准确性。
2. 缺点- 对指标权重的确定比较主观，容易受到决策者的主观偏好影响；- 对评价指标的模糊化处理存在一定的主观性；- 结果的可解释性相对较差，不利于分析和决策结果的有效传达。
二、层次分析法层次分析法是一种基于分层结构的决策方法，通过构建层次结构模型，对决策问题进行分解和层次化处理，然后进行判断矩阵的构建和权重的确定，最后综合得出最优方案。
1. 优点- 相对客观可靠，能够减少主观因素对决策结果的影响；- 结果具有良好的可解释性和可比性；- 能够很好地反映各个评价指标之间的相对重要性；- 算法相对简单，易于操作。
2. 缺点- 只能处理定性指标的权重确定问题，对定量指标的处理能力有限；- 在处理复杂决策问题时，模型可能变得庞大和复杂，计算量增加；- 在处理有环结构的问题时，可能会导致矛盾结果。
三、比较与适用范围1. 比较- 评价指标处理：模糊综合评价法将评价指标进行模糊化处理，层次分析法将评价指标进行层次化处理；- 确定权重方法：模糊综合评价法基于决策者的主观偏好确定权重，层次分析法通过专家判断和数学方法确定权重。
2. 适用范围- 模糊综合评价法适用于评价指标难以量化、不确定性较高的问题；- 层次分析法适用于多个评价指标之间具有内在关系的问题。
模糊综合评价法和层次分析法比较
模糊综合评价法和层次分析法比较在决策分析和评价中，模糊综合评价法和层次分析法是两种常见的方法。
它们都有自己的特点和适用场景。
本文将对这两种方法进行比较，旨在帮助读者更好地理解它们的区别和应用领域。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的决策分析方法。
它主要用于解决决策问题中存在的不确定性和模糊性。
模糊综合评价法通过建立模糊数学模型，将模糊的事物抽象为数学概念，并进行计算和评估。
模糊综合评价法的优点在于可以处理多因素、多属性、多目标的决策问题。
它能够将不确定的信息进行量化和计算，使得决策结果更加客观和科学。
此外，模糊综合评价法还可以考虑到不同因素之间的相互影响，以及不同因素对决策结果的重要程度。
然而，模糊综合评价法也存在一些缺点。
首先，由于其基于模糊数学理论，其计算过程相对复杂，需要对模糊数学模型和参数进行适当的设置和调整。
其次，模糊综合评价法对数据质量要求较高，需要有准确的数据来支持模型的建立和计算。
最后，模糊综合评价法的结果具有一定的主观性，依赖于决策者对于模糊集合和隶属度的设定。
二、层次分析法层次分析法是一种常用的决策分析方法，广泛应用于各个领域。
它通过分层结构的方式，将复杂的决策问题分解为多个层次和准则，然后进行权重的确定和评估，最终得到决策结果。
层次分析法的优点在于结构化程度高、逻辑清晰。
它能够将决策问题进行层次划分，使得决策过程更加清晰和可操作。
此外，层次分析法还可以考虑不同层次因素之间的相对重要程度，通过确定权重来影响决策结果。
然而，层次分析法也存在一些局限性。
首先，其在权重确定和评估过程中，可能存在主观性和偏好性。
决策者的个人偏好会直接影响权重的设定，从而影响最终的决策结果。
其次，层次分析法在分解问题和建立层次结构时，可能会忽视一些潜在的因素和关系。
最后，层次分析法在处理复杂的决策问题时，可能需要大量的计算和分析工作，增加了决策的时间和成本。
三、比较和应用模糊综合评价法和层次分析法都是有效的决策分析方法，在不同的场景中有着不同的应用。
综合评价的方法研究
综合评价的方法研究综合评价的方法研究是指通过收集、整理、分析相关数据和信息，并运用合适的方法对一个事物或一个行为进行全面综合的评估和判断的过程。
在实际应用中，综合评价方法被广泛应用于教育、环境保护、企业管理、政府决策等各个领域。
本文将介绍几种常用的综合评价方法，并分析它们的优缺点。
一、加权平均法加权平均法是一种常用的综合评价方法，它通过赋予不同评价指标相应的权重，计算加权和来综合评价。
加权平均法的优点是简单易行，结果易于理解和比较。
然而，加权平均法的局限性在于权重的确定难以准确，且对指标之间的相互关系没有明确考虑。
二、层次分析法层次分析法是一种比较常用的综合评价方法，它通过将复杂的评价问题层次化，建立层次结构，利用专家经验和数学模型对指标进行综合评估。
层次分析法的优点在于能够解决相互依赖、相互制约的问题，同时能够量化不同指标之间的差异。
然而，层次分析法对专家的经验和主观判断要求较高，且计算过程相对繁琐，容易出现一致性问题。
三、灰色关联度法灰色关联度法是一种基于灰色系统理论的综合评价方法，它通过建立数学模型，计算不同指标之间的关联度，综合评价目标的优劣程度。
灰色关联度法的优点在于能够处理评价指标数量较多、数据不完全的问题，对不同指标之间的关联关系有较好的反映。
然而，灰色关联度法在运用过程中需要确定合适的关联度计算方法，且结果的解释和使用相对复杂。
四、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学理论的综合评价方法，它通过将评价问题模糊化，建立模糊评价矩阵，运用模糊矩阵的运算规则，综合评价目标的优劣程度。
模糊综合评价法的优点在于能够处理评价指标不确定性问题，具有较强的适应性。
然而，模糊综合评价法对评价问题的模糊化处理要求较高，且计算过程较为复杂。
综上所述，综合评价的方法研究包含加权平均法、层次分析法、灰色关联度法和模糊综合评价法等多种方法，每种方法都有其优缺点。
在实际应用中，根据具体评价问题的特点和需求，选择适用的方法进行综合评价是十分重要的。
层次分析法权重计算方法分析及其应用研究
层次分析法权重计算方法分析及其应用研究一、本文概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法，由美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初期提出。
该方法将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，为决策者提供科学、量化的决策依据。
本文将对层次分析法的权重计算方法进行深入分析，探讨其在实际应用中的优势与局限，并通过案例研究展示其在不同领域中的应用效果。
具体而言，本文将首先介绍层次分析法的基本原理和步骤，然后重点阐述权重计算的方法与过程，接着分析该方法在实际应用中需要注意的问题和可能遇到的挑战，最后通过实例展示层次分析法在不同领域中的成功应用，以期为读者提供全面、深入的层次分析法理论与实践指导。
二、层次分析法权重计算的基本理论层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的决策分析方法，由美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代初提出。
该方法通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，从而为决策者提供科学、合理的决策依据。
层次分析法的核心在于建立层次结构模型和构造判断矩阵，通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得出各因素的相对权重。
在层次分析法中，权重计算是至关重要的一步。
权重的确定直接影响到决策结果的准确性和科学性。
因此，如何合理、准确地计算权重是层次分析法研究的核心问题之一。
权重计算的基本步骤包括：根据问题的实际情况，建立层次结构模型，将问题分解为不同的层次和因素；构造判断矩阵，通过对各因素之间的相对重要性进行两两比较，形成判断矩阵；然后，计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得出各因素的相对权重；对计算得到的权重进行一致性检验，确保权重的合理性和准确性。
层次分析法
组合权向量
k 1 0.595 0.277 0.129 3.005 0.003
层对第2层的计算结果 第3层对第 层的计算结果 层对第 2 0.082 0.236 0.682 3.002 0.001 3 0.429 0.429 0.142 3 0 4 0.633 0.193 0.175 3.009 0.005 5 0.166 0.166 0.668 3 0
同样求第3层 方案 对第2层每一元素 准则)的权向量 方案)对第 层每一元素(准则 同样求第 层(方案 对第 层每一元素 准则 的权向量 方案层对C 景色 景色) 方案层对 1(景色 的成对比较阵
1 B1 = 1 / 2 1 / 5 2 1 1/ 2 5 2 1
…Cn
…Bn … λn … wn(3)
n −1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 为衡量 的大小，引入随机一致性指标 随机模 拟得到a 形成A，计算CI 即得RI。 拟得到 ij , 形成 ，计算 即得 。 Saaty的结果如下 的结果如下
n RI 1 2 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 当CR<0.1时，通过一致性检验 时 3 4 5 6 7 8 9
（3）组合权向量 ）
0.264 0.595 0.082 0.429 0.634 0.1670.476 0.276 0.236 0.429 0.192 0.1670.054 (3) ω = 0.128 0.682 0.142 0.174 0.6670.098 0.109 0.299 = 0.245 0.455
1 3 4 1 1 1 4 B4 = 1 3 1 1 B5 = 1 1 1 4 1 4 1 1 4 4 1
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以效益U作为目标的层次结构中考虑3个准则： C1:节约能源； C2:降低污染以改善环境质量。 C3:社会效益，指由于改变能源利用方式引起的方便 生活、节约时间、降低劳动强度等。
以代价V为目标的层次结构中考虑的准则为: D1:投资、用建造生产单位能源设备所需资金来衡量； D2:设备限制，指原有设备报废、拆除和改建的资金。 D3:社会因素，指新设施的选址、征地、能源分配及 新技术推广的宣传教育等。
7
表9-4 以效益U为目标的计算结果
8
表9-5 以效益U为目标的计算结果
权向量（D对V) 0.7352 0.2067 0.0581
准则D
方案P
D1
D2
D3
λ=3.1171,CI=0.0585,CR=0.1009 组合权向量（P对V)
P1
0.0516 0.0501 0.1237
P2
0.2564 0.5529 0.3945
1
从上面一节介绍的层次分析法的基本步骤看，建 立层次结构模型是关键一步，下面给出应用实例时 即以这一步为主。构造成对比较阵是整个工作的数 量依据，当然是重要的，应当由经验和知识丰富、 判断力强的专家给出，还不妨采用群体判断的方式 。 至于3、4步的计算工作，数学工作者容易完成。
例1 城市能源供应系统改造方案的比较 某市能源供应方面存在着设备落后、供应分散、 利用率低、污染严重等问题。经有关部门分析，可 以选择的改造方有：
13
即为这项成果的综合绝对评价的分值。
14
例3 资源开发的综合判断
某发展中国家有7种可供开发的矿产资源M: 铁Ir，铜Co,磷酸盐Ph,铀Ur，铝Al, 金Go,金刚石Di. 它们开发后对国家经济发展的贡献可以通过两两 比较得到，另一方面，制订开发计划要考虑6个因 素：潜在经济价值Q1,开发费用Q2,风险Q3,需求Q4, 战略重要性Q5 ,交通条件Q6.综合判断要求既要给 出各种资源在国家经济发展中的优先程度，又要 确定每种资源开发中各个因素的相对重要性。为 此构造的层次结构如图9-4。
10
例2 科技成果的综合评价 科技成果涉及的区域很广，种类很多，这里指的是 直接应用于国民经济的某个部门后，可以迅速转化为 生产力，带来可定量计算的经济效益的那一类的成果。 评价准则先分为效益C1、水平C2、规模水平C3共三类， 再在每类中确定若干具体指标，如此构造的层次结构 由图9-3给出。
11
P3
945 0.0811 0.1237
P5
0.0299 0.0501 0.1237
λ
5.2908 5.0996 5.0100
CI
0.0727 0.0249 0.0025
CR
0.0649 0.0222 0.0022
0.0555 0.3257 0.1918 0.3875 0.0395
4
以上述目标、准则和方案构成的层次结构如 图9-2所示。某市根据具体情况给除了所需要的 成对比较阵（略），由此计算出权向量、特阵 根λ、一致性指标CI、一致性比率CR及组合权向 量、组合一致性比率见表9-4，表9-5。
5
图9-2 能源供应系统改造的层次结构（a）
6
图9-2 能源供应系统改造的层次结构（b）
0.1533
9
从表9-4的组合权向量可知，热电联供效益最高，区 域供热和煤气化处于2、3位；而表9-5知煤气化和区域供 热代价太高，煤制品和沼气池代价较低。如果简化地将 综合指标规定为与效益成正比，与代价成反比，那么把 两个组权向量的对应分量相除，再归一化可的综合指标 为（0.2877，0.1279，0.2681，0.1044，0.2119）。可见煤 制品和热电联用供的综合效果最好，说明煤制品虽然效 益不太高，但代价很低，容易用较少的资金迅速生效， 可以优先实施。若资金雄厚，再上马热电联供等方案
15
对经济发展的贡献U
Ir Co Ph Ur Al Go Di
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
Q6
图9-4 资源开发综合判断的层次结构
16
用层次分析法得到的资源M对目标U的权向 量和因素Q对每种资源的权向量，及Q对U的组 合权向量列入表9-6。为在同一尺度下比较各因 素对所有资源的相对重要性，将Q对各种资源的 权向量乘以相应的资源的权重，结果列入表9-7。
2
P1:制作高效煤制品，取代目前居民用的普通蜂窝 煤;
P2:将分散供热方式改造为区域供热；
P3:建造热电联供设备，利用电厂余热；
P4:实现城市煤气化；
P5:郊县推广沼气池，作为农村主要生活能源。
这些措施在节约能源、降低污染等方面的效益，及 在投资、原有设备闲置等方面的代价各不相同。为 了综合考虑各种因素，确定这些方案的优劣顺序， 应该以效益和代价为两个目标。建立两个层次结构 模型，得到两个用组合权向量表示的表示的这些方 案的排序结果，然后再做效益和代价的综合判断。
9.2 层次分析法的广泛应用
层次分析法在七十年代中期由T.L.Saaty正 式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题 上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得 到普遍的重视和广泛的应用。几十年来它的应 用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、 行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人 才、医疗、环境等等领域。从处理问题的类型 看，主要是决策、评价、分析、预测等。这个 方法在八十年代初引入我国，也很快为广大的 应用科学工作者和有关领域的技术人员所接受， 得到了成功的应用。
科技成果评价
效益C1
水平C2
规模C3
直接 经济 效益
C11
间接 经济 效益
C12
社会 效益
C13
学识 水平
C21
学术 创新
C22
技术 水平
C23
技术 创新
C24
待评价的科技成果
12
当对科技成果进行相对评价时，可直接利用层 次分析法确定出它们对于综合评价的优劣顺序。党 对科技成果进行绝对评价时，应先用层次分析法得 到C11,C12,…各项具体指标在综合评价中的相对权中， 再给出这些指标的等级标准，如对C11，年经济效益 在100万元以上为1等（9分）；10万元以上为2等 （7分）；…1千元以下为5等（1分）。对于C23,达 到国际水平为1等（9分）；部分达到或全面接近国 际水平为2等（7分）；国内先进水平为3等（5分）； 国内水平4等（3分）；一般水平5冯（1分）。当某 项成果在各指标中的等级被主管部门认定后，将各 个分值乘以各项指标在综合评价中的权重并求和，