第三讲层次分析法
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第三讲层次分析法建模
将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序
经综合分析决定买哪支钢笔 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。
二、层次分析法建模的基本步骤
运用层次分析建模，大体上可按下面四个步骤进行： 1.建立层次结构模型 分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层 次结构； 2.构造判断矩阵 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵； 3.层次单排序与一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的 相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；
则层）、最底层（方案层），各层可以根据问题的需要细分为若干子层。最 高层只有一个元素 ，用于分析预定目标或结果，中间层可由若干准则、子准 则层组成。最底层则由为实现目标而提供选择的各种措施与决策方案组成， 也称方案层。 2.每一层次中各元素所支配的元素一般不超过9个。
Байду номын сангаас
续—层次结构图
特点 1.元素按从上到下的顺序进行支配，同一层次元素之间不存在支 配关系； 2.目标层只有一个元素，每个元素所支配的元素不超过9个，否 则需要进一步分组。（图例说明）
CI
max
n
n 1
3.1190 3 0.0595 3 1
2 5 1 A 1 2 1 7 1 5 1 7 1
CI 0.0595 CR 0.1026 RI 0.58
可见此判断矩阵具有较好的一致性。
（四）层次总排序与一致性检验
层次总排序的概念 层次单排序后，还需要进行层次总排序，即计算同一层次所有元素对于最高层（总目标）相对 重要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是由最高层到最底层逐层进行的。
层次分析法优秀课件
信息分析与预测 《信息分析与
预 测 》课件
9 层次分析法
2024/10/10
1
《信息分析与 预 测 》课件
9 层次分析法
9.1 层次分析法旳基本原理 9.2 层次分析法旳计算
2024/10/10
2
《信息分析与 预 测 》课件
9.1 层次分析法旳基本原理
9.1.1 递阶层次构造 9.1.2 判断矩阵旳构成 9.1.3 一致性检验
为了确保层次分析法得到旳结论基本合理，必须对人们对 客观事物旳定性分析判断进行严格旳“是否一致”旳定量检验。
实际中用CI来表达一致性偏差，CI被称为一致性指标。
2024/10/10
7
《信息分析与 预 测 》课件
9.2 层次分析法旳计算
9.2.1 单层次计算措施 9.2.2 层次总排序 9.2.3 层次分析法旳计算实例
2024/10/10
10
《信息分析与 预 测 》课件
9.2.3 层次分析法旳计算实例
详见书上P190～192
2024/10/10
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11
10/10
8
《信息分析与 预 测 》课件
9.2.1 单层次计算措施
（1）方根法——五个环节。 （2）和积法——五个环节。
2024/10/10
9
《信息分析与 预 测 》课件
9.2.2 层次总排序
为了求出最低层全部原因对于最高 层旳相对主要性旳权重向量，可采用逐层 叠加旳措施，从最高层开始，由高向低逐 层进行计算。
r1n
r2n
(rij
)mn
rmn
二、层次分析法中判断矩阵旳构成
2024/10/10
6
《信息分析与 预 测 》课件
预 测 》课件
9 层次分析法
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9 层次分析法
9.1 层次分析法旳基本原理 9.2 层次分析法旳计算
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9.1 层次分析法旳基本原理
9.1.1 递阶层次构造 9.1.2 判断矩阵旳构成 9.1.3 一致性检验
为了确保层次分析法得到旳结论基本合理，必须对人们对 客观事物旳定性分析判断进行严格旳“是否一致”旳定量检验。
实际中用CI来表达一致性偏差，CI被称为一致性指标。
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9.2 层次分析法旳计算
9.2.1 单层次计算措施 9.2.2 层次总排序 9.2.3 层次分析法旳计算实例
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9.2.3 层次分析法旳计算实例
详见书上P190～192
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《信息分析与 预 测 》课件
9.2.1 单层次计算措施
（1）方根法——五个环节。 （2）和积法——五个环节。
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9.2.2 层次总排序
为了求出最低层全部原因对于最高 层旳相对主要性旳权重向量，可采用逐层 叠加旳措施，从最高层开始，由高向低逐 层进行计算。
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(rij
)mn
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二、层次分析法中判断矩阵旳构成
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层次分析法(AHP)ppt课件
W1 W1 W1 1 a12 , , a1n a11 W1 W2 Wn W2 W2 W2 a22 1 , , a2 n a21 W1 W2 Wn A Wi aij Wj W W W n n an1 n a a 1 n2 nn W W W 1 2 n
max n n 1
刘智勇18
因素比较方法 —— 成对比较矩阵法
• 目的
• 方法
1 A (aij ) nxn , aij 0, a ji (或aij aij 1) aij
正互反矩阵
A (aij ) , aij 0, aij 1 a ji
要比较某一层个因素对上一层因素O的影 响（例如：旅游决策解中，比较景色等5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要 性）。
1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 2 3 4 5 6 7 8 9
结合计算过程来看AHP的基本思想
• 组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算 (1)计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量 (2)并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成 以下表格形式 (3) 对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进 行
刘智勇8
产生背景
• • • •
客观世界的复杂性 系统是最普遍存在的 许多决策问题无法定量化 思维方式需要改变
刘智勇9
层次分析法的基本原理
将一个复杂的无结构的问题分解为它的各个组成部分 ，将这些组成部分(或称为元素)整理成为一种递阶 层次的顾序，按照每个元素的相对重要性赋于其表 示主观判断的数量值；然后综合这些判断以决定到 底是哪个元素有着最大的权重和如何影响问题的最 终结果。
现代汉语语法研究课件第三讲 层次分析法
（2）我国首次升空的“神州-3号”模拟载人 飞船经过264个小时在太空运行之后按照原 先预定的时间安全、准确地返回原先计算 好的我国西北某地区的地面。 例（2）的基本脉络是：飞船——返回——地 面”。
优点：对句子的理解和把握----简洁、清楚、
明了
局限性是什么呢？先看下列例子：
（3）封建思想必须清除。 （4）我们便宜他了。 例（3）作为句子主干的 “*思想清除”，根本就不 成立。例（4）句子的主干是“我们便宜”，句子 可以成立，但是不是原来的意思了。
1.层次不同：
“咬死了猎人的狗”
2.语法结构关系不同： 我们 需要 进口 设备 1 2 3 4 5 6 5、6述宾关系，偏正修饰关系
第二，有助于发现新的语法现象，揭示新 的语法规律。
如：VO(动宾)+N(名词)
“让 位 / 梅艳芳” “接 邻 / 美国” “赠 书 / 小王”等
参看：杨海明２００１ 《 “VO＋N”与语义、结构的兼容与冲突——汉语动宾组 合带宾语结构中的语义问题》， 《汉语学习学术版》１期．
语）、宾语、定语、状语和补语。
3、六大句子成分的级别——主语、述语（即谓语）、宾
语是第一层级的；定语、状语和补语是第二层级的。 再看谓语是哪种动词，来决定其他成分。
4、分析时，先一举找出全句的中心词作为主语、谓语，
（1）我的好朋友早已斟满了一杯香香的葡萄酒。
例（1）的中心词----主语是“朋友”，谓语是 “斟”，宾语是“葡萄酒”。 因为“斟”是个及物动词，后面可以带宾语， “葡萄酒”这个中心词就是宾语成分。 “我”、“好”、 “早已”、“满”和“一 杯”、“香香的”分别是主语、谓语、宾语 的各种附加成分。
句子成分分析为——照片放大了
分布分析法和层次分析法
第三讲汉语语法的研究方法（一）——分布分析法及层次分析法第一节分布分析法“的”在现代汉语中的使用频率非常高。
我们在平时的语言运用中区分定语、状语和补语后面的“də”的不同，前者写为“的”，状语后写为“地”，后者写为“得”。
这是书面上的不同，是人为区分的，并不反映语言事实。
其原因有三：1．读音完全一样；2．把本来相同的语言成分写成不同的形式，如两个“很出色地/的”；3．把本来不同的语言成分（不同功能的）写成了相同的形式，如“悄悄地消失了”和“慢慢地消失了”。
前者只能做状语，而后者还能做谓语。
一、“的”分合的理据有人认为“的”就是只有一个，可是朱德熙先生将其分为三个，分别是副词性的、状态性的和名词性的，分别用“的1”“的2”“的3”表示。
朱德熙先生之所以主张分为不同的“的”，是因为注意到不同的“X”加上“的”之后形成的格式的功能不同。
比如：偏偏的、渐渐的；静静的，嫩嫩的；木头的，写的。
如果“的”是同一个，那么为什么会有这种功能上的差别？那么是不是也可以采用把“X的”的不同，归结为其中“X”的不同的呢？也就是说，从理论上讲可以有这两种不同的研究思路。
现在大多数都主张分为不同的“的”的理据有三个：○“的”是个虚语言成分，只表示抽象的语法意义，又是后置定位的语言成分，其性质取决于“X+的”以后的性质；○同一个“X”加上“的”可以形成不同的“X的”，有许多兼类的现象，如“突然”，可以做状语也可以做定语；○不同性质的“X”加上“的”可以形成相同的“X的”，如“木头的”、“红的”、“写的”、“我提出的”、“大型的”。
二、研究方法作者自己指出，“本文分析‘的’字的基本方法是比较不带‘的’的语法单位——假定为X——跟加上‘的’之后的格式‘X的’在语法功能上的差别，由此分离出‘的’性质来。
”其实作者在这里贯彻的是结构主义的语法分析方法，具体的表现是：首先，根据对立原则，即将加“的”后形成的“X的”之间的对立归结为“的”的对立，从而区分为不同的“的”；其次，成分之间的对立和同一，如“突然”、“共同”等，通过它们的分布和功能来考察。
层次分析法
第七、得出结论以后，思考“怎么 样”，“行不行”，等等
第四、层次分析法的优点与局限
• 优越性
• 更好地分化歧义句式
• 有助于发现新的语法现 象，揭示新的语法规律
• 局限性：
它只能揭示句法结构的的 构造层次和直接组成成分之 间的显性的语法关系，即语 法结构关系，不能揭示句法 结构内部隐性的语法关系， 即语义结构关系。
b.分别分析两个直接成分，层层 二分，到词为止。
通过分析明确分析对象的结构类型。 通过分析可以知道： ①属于主谓句、动宾谓语句； ②属于非主谓句、动词性非主谓句； ③属于非中谓句、动词性非主谓句。
2）“由小到大”的过程
a.先找出构成分析对象的各个基本单位（通 常是词）。
b.按照组合的顺序，尝试有两个基本单位构 成一个较大的结构体，同时表明每个结构体内 部两个基本单位之间的语法关系。依此程序， 再由这些较大的结构组合成更大的结构，直到 构成整个分析对象为止。
传统的“句子成分分析法”（中心词分析法） 在分化句子歧义、揭示某些词语用法特点的能力比 较弱，为了进一步探索句法结构的组成特点，层次 分析法应运而生。（参看注）
二、句法结构的层次性以及其证明过程：
1、什么是句法结构的层次性？
一个复杂句法结构里，词和词的组合有 着层次的透景，各个组成成分总是按一定的 句法规则一层一层的进行组合的（并非总是 相邻的发生联系）。这种句法结构的构造特 性，称为“句法结构的层次性”。 注：①语言结构的层次性是语言结构基本属 性之一。
2、“层次分析法”用于描写语言现象的历史介绍
• 注：①层次分析法源于美国描写语言学派，首先由美
国语言学家Bloomfield提出并建立（Language）。他
指出了语言结构是有层次性的，并用层次分析法分析 语言结构形式。
第四、层次分析法的优点与局限
• 优越性
• 更好地分化歧义句式
• 有助于发现新的语法现 象，揭示新的语法规律
• 局限性：
它只能揭示句法结构的的 构造层次和直接组成成分之 间的显性的语法关系，即语 法结构关系，不能揭示句法 结构内部隐性的语法关系， 即语义结构关系。
b.分别分析两个直接成分，层层 二分，到词为止。
通过分析明确分析对象的结构类型。 通过分析可以知道： ①属于主谓句、动宾谓语句； ②属于非主谓句、动词性非主谓句； ③属于非中谓句、动词性非主谓句。
2）“由小到大”的过程
a.先找出构成分析对象的各个基本单位（通 常是词）。
b.按照组合的顺序，尝试有两个基本单位构 成一个较大的结构体，同时表明每个结构体内 部两个基本单位之间的语法关系。依此程序， 再由这些较大的结构组合成更大的结构，直到 构成整个分析对象为止。
传统的“句子成分分析法”（中心词分析法） 在分化句子歧义、揭示某些词语用法特点的能力比 较弱，为了进一步探索句法结构的组成特点，层次 分析法应运而生。（参看注）
二、句法结构的层次性以及其证明过程：
1、什么是句法结构的层次性？
一个复杂句法结构里，词和词的组合有 着层次的透景，各个组成成分总是按一定的 句法规则一层一层的进行组合的（并非总是 相邻的发生联系）。这种句法结构的构造特 性，称为“句法结构的层次性”。 注：①语言结构的层次性是语言结构基本属 性之一。
2、“层次分析法”用于描写语言现象的历史介绍
• 注：①层次分析法源于美国描写语言学派，首先由美
国语言学家Bloomfield提出并建立（Language）。他
指出了语言结构是有层次性的，并用层次分析法分析 语言结构形式。
层次分析法课件ppt
按行相加为：
Wi= 1nbij
(i =1,2,….n)
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
o对向量W=（ W1， W2…… Wn)t归一 化处理:
Wi=
Wi 1nWj
(i =1,2,….n)
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓明确问题 在分析社会、经济的以及科学管
理等领域的问题时，首先要对问题有 明确的认识，弄清问题的范围，了解 问题所包含的因素，确定出因素之间 的关联关系和隶属关系。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
9 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
判断矩阵B具有如下特征：
o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk
j1
Wi
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
层次分析法（AHP）具体步骤：
✓层次总排序 利用层次单排序的计算结果，进
一步综合出对更上一层次的优劣顺序 ，就是层次总排序的任务。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
3 层次分析法
3 层次分析法层次分析法是解决定性事件定量化或定性与定量相结合问题的有力决策分析方法。
它主要是将人们的思维过程层次化、，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供较具说服力的定量依据。
层次分析法不仅可用于确定评价指标体系的权重，而且还可用于直接评价决策问题，对研究对象排序，实施评价排序的评价内容。
本章简单地介绍层次分析法的主要内容，详细内容可参考文献[1]。
3.1 引言在日常生活和科学研究中，我们经常面临着具有多因素影响的决策评价问题。
这些因素中有些是可以定量描述的指标，有些却是无法定量刻画的定性指标，只能从性质上比较各指标的强弱。
在处理这种复杂而模糊的问题时，如何尽可能地克服因主观臆断而造成的片面性，系统而全面地比较分析指标，从而科学地做出评价决策呢?美国学者T.L.Satty于20世纪70年代提出了以定性与定量相结合,系统化、层次化分析解决问题的方法，这就是层次分析法（Analytic Hiearchy Process），简称AHP。
层次分析法是一种比较简明的决策思维方式，它是把复杂的决策问题分解为多种组成属性，并将这些属性指标按支配关系分组形成有序的递阶结构，通过两两比较的方式确定层次中各指标的相对重要性，然后综合人的判断以决定各属性指标相对重要性的总顺序。
这些都体现了AHP在解决问题时的基本特征：分解、判断、综合。
层次分析法是一种有力的决策工具，它具有许多突出的优点：（1）适用性。
用AHP决策分析时，输入的信息主要是决策者的选择与判断，决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识。
同时，层次分析法易于掌握使得以往决策者与决策分析者难于互相沟通的状况得到改变。
在绝大多数情况下，决策者就可直接应用AHP进行决策分析，加大了决策的有效性。
（2）实用性。
AHP不仅能进行定量分析，而且还能够进行定性分析。
它把决策过程中定性与定量因素有机地结合起来，用一种统一方式进行处理。
AHP也是一种最优化技术，从学科的隶属关系看，人们往往把AHP归为多目标决策的一个分支。
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2013数学建模培训
第三讲 层次分析法
一、引 言
层次分析法是数学建模竞赛中的 常用方法。在数学建模竞赛论文中， 时常能看到层次分析法。 需要提醒大家注意的是，有些学 生没有搞清楚层次分析法的特点、原 理、优缺点及局限性，在建模中随意 乱用层次分析法。 在本讲中，大家首先要搞清楚层
2017/11/9 4
2017/11/9
8
人们在日常活动中，常常会面对 一些决策问题。例如，大学生选择职 业时，往往会从专业对口、发展潜力、 待遇收入等多方面考虑和决策。 许多决策问题是一个由相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂系统， 很难用通常的数学模型解决。 例如，在一群人中挑个子最高的
2017/11/9 9
很容易办到，选最胖者也不难，但要 挑选一个最高、最胖且最帅的人就不 容易了。 此类决策问题的困难主要在于 : (1) 有的指标不易量化; (2) 有些指标 相互关联，甚至相互矛盾，导致决策 复杂化。
2017/11/9
28
判断矩阵的确定具有很强的主观 性。比如，在例 1 中，假定企业领导 对于资金使用的态度是：首先是提高 企业的技术水平，其次是改善职工生 活条件，最后是调动职工积极性，则 准则层对目标层的比较判断矩阵可以 设定为
2017/11/9 29
C1 C2
C3
C1 1 1 5 1 3 A C2 5 1 3 C3 3 1 3 1 显然，若 C i 和 C j 对 Z 的影响之比 为aij， Cj和Ck对Z的影响之比为ajk, 则 C i 和 C k 对 Z 的影响之比为 a ik ，即正互 反矩阵A中元素应满足：aijajk=aik，此
目标层外，每个元素至少受上一层一 个元素支配；除方案层外，每个元素 至少支配下一层一个元素；同一层次 元素不存在支配关系。 建立层次结构的关键是能否构造 出合理的满足一定支配关系的准则。
2017/11/9
23
四、比较判断矩阵的构造
由于在决策者心目中，各准则对 目标的影响程度不同，各方案对每个 准则的影响程度也不同，所以建立层 次结构后的首要任务是确定各准则对 目标以及各方案对每个准则的权重。 层次分析法确定上述权重的方法 是构造准则层和方案层的比较判断矩 阵。
2017/11/9 10
层次分析法 (AHP)是美国运筹学 家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一 种定性分析与定量分析相结合的多准 则决策方法，简单、实用，特别适用 于人的定性判断起重要作用，对决策 结果难于直接准确计量的问题。
2017/11/9
11
二、层次分析法的原理与步骤
层次分析法的基本思路与人们对 复杂问题的决策过程大体一致。当决 策者在对问题进行分析时，首先要对 分析对象的因素建立起彼此相关的层 次递阶结构，这种层次递阶结构可以 清晰地反映出诸相关因素 ( 目标、准 则、对象 ) 的彼此关系，使得决策者 能够把复杂的问题理顺，然后用一定
2017/11/9 37
恒有 max； (3) max 为A的单特征值，因而它 所对应的特征向量除相差一个常数因 子外是唯一的。 下面再给出两个定理，这两个定 理分别是权重排序原理和一致性检验 原理的理论基础。 定理1 若A为一致矩阵，则
2017/11/9 38
(1) A必为正互反矩阵； (2) A的任意两行(列)成比例； (3) A的最大特征值 max n，n为 A的阶，从而A的其余特征值均为零; (4) 若A的最大特征值 max 对应的 T 特征向量为 W w1 , w2 ,, wn ，则 aij wi w j ，即
2017/11/9 17
从调动职工工作积极性，提高职 工文化技术水平和改善职工物质文化 生活条件来看，这些方案都有其合理 因素。如何使得这笔资金更合理地使 用，就是企业领导面临的决策问题。 注意 在建模实际问题中, 如需用 层次分析法，则首先要根据问题的特 点建立适当的层次。
2017/11/9 18
2017/11/9 30
时称A为一致矩阵。 单凭经验构造出的比较判断矩阵 不一定满足一致性，如例 1 中的判断 矩阵。 比较判断矩阵严格满足一致性是 极为困难的，层次分析法要求比较判 断矩阵按一定程度满足一致性。
2017/11/9 31
2. 方案层比较判断矩阵的构造 类似地可以构造出各方案对每个 准则的比较判断矩阵。 例如，例 1 中的各方案对每个准 则的比较判断矩阵可以设为
2017/11/9 6
其理论依据是什么？ 8. 如何进行一致性检验，如何理解一 致性指标 CI 、平均随机一致性指标 RI、一致性比例CR？ 9. 何谓层次总排序？ 10. 层次总排序的步骤和原理。 11. 如何进行层次总排序的一致性检 验？
2017/11/9 7
12. 当一致性检验未通过时，如何对 判断矩阵进行调整？ 13. 层次分析法的缺陷及解决办法。 14. 层次分析法软件的使用。 15. 层次分析法建模实例。
请大家揣摩本题中构造层次结构 的思路与过程。 通过分析，上述方案都是为了更 好地调动职工工作积极性，提高企业 技术水平和改善职工物质文化条件， 而最终目的是为了企业进一步发展， 增强企业的竞争力。 据此，可以建立下列层次结构：
2017/11/9 19
资金使用问题的层次分析结构图
目标层 资金合理使用 Z
7 5 2 3 1
33
P1 1 1 P2 1 1 B3 P3 1 3 1 3 P4 1 3 1 3
3 3 1 1
3 3 1 1
构造出判断矩阵后，即可对判断 矩阵进行单排序计算。在各层次排序 后还要进行各层次总排序，其中还存 在着判断矩阵的一致性检验问题。
2017/11/9 41
检验的方法即可。 根据定理 1中的结论 (4) ，可以得 出确定排序向量的下列方法： 求出比较判断矩阵 A最大特征值 max 的特征向量 W，经归一化后即为 各准则对目标或各方案对某准则的排 序权重向量。 可借助软件求特征值特征向量。
2017/11/9 42
2. 比较判断矩阵的一致性检验 虽然构造比较判断矩阵时，不要 求具有严格的一致性，但一个混乱、 不一致的比较判断矩阵有可能导致决 策的失误，所以我们希望在判断时应 大体一致，从而对每一层在做单准则 排序时，均需要做一致性检验。 根据定理2， max n 且A为一致矩
2017/11/9 39
w1 w 1 w2 A w1 w n w1
2017/11/9
w1 w2 w2 w2 wn w2
w1 wn w2 wn wn wn
40
定理2 若A为n阶正互反矩阵，则
(1) max n ； (2) A为一致矩阵 max n 。 尽管上述结论的证明并不复杂， 有些内容还是考研中的常见内容，如 定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理 解起来还是比较困难。 不过这并没有关系，因为我们只 要利用这两个定理得出排序和一致性
2017/11/9 13
标度将人的主观判断进行客观量化， 在此基础上进行定性和定量分析。 层次分析法大致可分为下面四个 步骤： (1) 建立递阶层次结构； (2) 构造比较判断矩阵； (3) 单准则排序和一致性检验； (4) 层次总排序和一致性检验。
2017/11/9 14
三、递阶结构层次的建立
2017/11/9
32
2017/11/9
P1 1 2 3 4 P2 1 2 1 3 2 B1 P3 1 3 1 3 1 1 2 P4 1 4 1 2 2 1 P5 1 7 1 5 1 2 1 3 P2 1 1 7 1 3 1 5 P3 7 1 5 3 B2 P4 3 1 5 1 1 3 P5 5 1 3 3 1
准则层
调动职工 积极性C1
提高企业 技术水平C2
改善职工 生活水平C3
方案层
发奖金P1
建福利 设施P2
请职工 进修P3
建图 书馆P4
引进新 设备P5
2017/11/9
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也就是说，对于资金使用这个问 题来说，模型结构分为三层。最高为 目标层，即合理使用资金；中间为准 则层，即合理使用资金的三个准则： 调动职工积极性，提高企业技术水平 和改善职工生活；最下一层为方案层, 即可供选择的方案。
层次分析法首先要把决策问题层 次化。所谓层次化就是根据问题的性 质以及要达到的目标，将问题分解为 不同的因素，并按各因素间的隶属关 系和关联程度分组，形成一个不相交 的层次。 下面通过一个实例来说明构造层 次以及层次分析法的决策过程。
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例1 假设某企业领导要决定一笔 资金如何使用。经过调研，现有下列 方案可供选择： (1) 作为奖金发给职工； (2) 扩建宿舍和食堂等福利设施; (3) 举办职工进修班； (4) 建图书馆、俱乐部等； (5) 引进新设备进行技术改造。
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结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层 的比较判断矩阵。 显然，aij =1/aij，称A为正互反矩 阵。 对于如何确定 aij 的值， Saaty 提 出用数字1～9及其倒数作为标度。 下表中列出了1～9标度的含义：
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标度 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8
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1. 准则层比较判断矩阵的构造 下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标 Z的权重的确定方法。 在复杂问题中，准则的权重很难 直接获得且不易定量化。 Saaty 提出 可用对准则两两比较的方法来确定权 重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij 表示Ci和Cj对Z的影响之比, 全部比较
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阵 max n ，就这意味着max比n大 得越多， A的不一致程度就越严重。 因此，可以用 max n CI n 1 作为衡量不一致程度的数量指标， CI称为一致性指标。 CI 其实即为除最大特征值以外 的其余特征值的负平均值。
第三讲 层次分析法
一、引 言
层次分析法是数学建模竞赛中的 常用方法。在数学建模竞赛论文中， 时常能看到层次分析法。 需要提醒大家注意的是，有些学 生没有搞清楚层次分析法的特点、原 理、优缺点及局限性，在建模中随意 乱用层次分析法。 在本讲中，大家首先要搞清楚层
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人们在日常活动中，常常会面对 一些决策问题。例如，大学生选择职 业时，往往会从专业对口、发展潜力、 待遇收入等多方面考虑和决策。 许多决策问题是一个由相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂系统， 很难用通常的数学模型解决。 例如，在一群人中挑个子最高的
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很容易办到，选最胖者也不难，但要 挑选一个最高、最胖且最帅的人就不 容易了。 此类决策问题的困难主要在于 : (1) 有的指标不易量化; (2) 有些指标 相互关联，甚至相互矛盾，导致决策 复杂化。
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判断矩阵的确定具有很强的主观 性。比如，在例 1 中，假定企业领导 对于资金使用的态度是：首先是提高 企业的技术水平，其次是改善职工生 活条件，最后是调动职工积极性，则 准则层对目标层的比较判断矩阵可以 设定为
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C1 C2
C3
C1 1 1 5 1 3 A C2 5 1 3 C3 3 1 3 1 显然，若 C i 和 C j 对 Z 的影响之比 为aij， Cj和Ck对Z的影响之比为ajk, 则 C i 和 C k 对 Z 的影响之比为 a ik ，即正互 反矩阵A中元素应满足：aijajk=aik，此
目标层外，每个元素至少受上一层一 个元素支配；除方案层外，每个元素 至少支配下一层一个元素；同一层次 元素不存在支配关系。 建立层次结构的关键是能否构造 出合理的满足一定支配关系的准则。
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四、比较判断矩阵的构造
由于在决策者心目中，各准则对 目标的影响程度不同，各方案对每个 准则的影响程度也不同，所以建立层 次结构后的首要任务是确定各准则对 目标以及各方案对每个准则的权重。 层次分析法确定上述权重的方法 是构造准则层和方案层的比较判断矩 阵。
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层次分析法 (AHP)是美国运筹学 家Lsaaty在20世纪70年代初提出的一 种定性分析与定量分析相结合的多准 则决策方法，简单、实用，特别适用 于人的定性判断起重要作用，对决策 结果难于直接准确计量的问题。
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二、层次分析法的原理与步骤
层次分析法的基本思路与人们对 复杂问题的决策过程大体一致。当决 策者在对问题进行分析时，首先要对 分析对象的因素建立起彼此相关的层 次递阶结构，这种层次递阶结构可以 清晰地反映出诸相关因素 ( 目标、准 则、对象 ) 的彼此关系，使得决策者 能够把复杂的问题理顺，然后用一定
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恒有 max； (3) max 为A的单特征值，因而它 所对应的特征向量除相差一个常数因 子外是唯一的。 下面再给出两个定理，这两个定 理分别是权重排序原理和一致性检验 原理的理论基础。 定理1 若A为一致矩阵，则
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(1) A必为正互反矩阵； (2) A的任意两行(列)成比例； (3) A的最大特征值 max n，n为 A的阶，从而A的其余特征值均为零; (4) 若A的最大特征值 max 对应的 T 特征向量为 W w1 , w2 ,, wn ，则 aij wi w j ，即
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从调动职工工作积极性，提高职 工文化技术水平和改善职工物质文化 生活条件来看，这些方案都有其合理 因素。如何使得这笔资金更合理地使 用，就是企业领导面临的决策问题。 注意 在建模实际问题中, 如需用 层次分析法，则首先要根据问题的特 点建立适当的层次。
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时称A为一致矩阵。 单凭经验构造出的比较判断矩阵 不一定满足一致性，如例 1 中的判断 矩阵。 比较判断矩阵严格满足一致性是 极为困难的，层次分析法要求比较判 断矩阵按一定程度满足一致性。
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2. 方案层比较判断矩阵的构造 类似地可以构造出各方案对每个 准则的比较判断矩阵。 例如，例 1 中的各方案对每个准 则的比较判断矩阵可以设为
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其理论依据是什么？ 8. 如何进行一致性检验，如何理解一 致性指标 CI 、平均随机一致性指标 RI、一致性比例CR？ 9. 何谓层次总排序？ 10. 层次总排序的步骤和原理。 11. 如何进行层次总排序的一致性检 验？
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12. 当一致性检验未通过时，如何对 判断矩阵进行调整？ 13. 层次分析法的缺陷及解决办法。 14. 层次分析法软件的使用。 15. 层次分析法建模实例。
请大家揣摩本题中构造层次结构 的思路与过程。 通过分析，上述方案都是为了更 好地调动职工工作积极性，提高企业 技术水平和改善职工物质文化条件， 而最终目的是为了企业进一步发展， 增强企业的竞争力。 据此，可以建立下列层次结构：
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资金使用问题的层次分析结构图
目标层 资金合理使用 Z
7 5 2 3 1
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P1 1 1 P2 1 1 B3 P3 1 3 1 3 P4 1 3 1 3
3 3 1 1
3 3 1 1
构造出判断矩阵后，即可对判断 矩阵进行单排序计算。在各层次排序 后还要进行各层次总排序，其中还存 在着判断矩阵的一致性检验问题。
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检验的方法即可。 根据定理 1中的结论 (4) ，可以得 出确定排序向量的下列方法： 求出比较判断矩阵 A最大特征值 max 的特征向量 W，经归一化后即为 各准则对目标或各方案对某准则的排 序权重向量。 可借助软件求特征值特征向量。
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2. 比较判断矩阵的一致性检验 虽然构造比较判断矩阵时，不要 求具有严格的一致性，但一个混乱、 不一致的比较判断矩阵有可能导致决 策的失误，所以我们希望在判断时应 大体一致，从而对每一层在做单准则 排序时，均需要做一致性检验。 根据定理2， max n 且A为一致矩
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w1 w 1 w2 A w1 w n w1
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w1 w2 w2 w2 wn w2
w1 wn w2 wn wn wn
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定理2 若A为n阶正互反矩阵，则
(1) max n ； (2) A为一致矩阵 max n 。 尽管上述结论的证明并不复杂， 有些内容还是考研中的常见内容，如 定理1的(2)和(3)，但绝大部分学生理 解起来还是比较困难。 不过这并没有关系，因为我们只 要利用这两个定理得出排序和一致性
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标度将人的主观判断进行客观量化， 在此基础上进行定性和定量分析。 层次分析法大致可分为下面四个 步骤： (1) 建立递阶层次结构； (2) 构造比较判断矩阵； (3) 单准则排序和一致性检验； (4) 层次总排序和一致性检验。
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三、递阶结构层次的建立
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P1 1 2 3 4 P2 1 2 1 3 2 B1 P3 1 3 1 3 1 1 2 P4 1 4 1 2 2 1 P5 1 7 1 5 1 2 1 3 P2 1 1 7 1 3 1 5 P3 7 1 5 3 B2 P4 3 1 5 1 1 3 P5 5 1 3 3 1
准则层
调动职工 积极性C1
提高企业 技术水平C2
改善职工 生活水平C3
方案层
发奖金P1
建福利 设施P2
请职工 进修P3
建图 书馆P4
引进新 设备P5
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也就是说，对于资金使用这个问 题来说，模型结构分为三层。最高为 目标层，即合理使用资金；中间为准 则层，即合理使用资金的三个准则： 调动职工积极性，提高企业技术水平 和改善职工生活；最下一层为方案层, 即可供选择的方案。
层次分析法首先要把决策问题层 次化。所谓层次化就是根据问题的性 质以及要达到的目标，将问题分解为 不同的因素，并按各因素间的隶属关 系和关联程度分组，形成一个不相交 的层次。 下面通过一个实例来说明构造层 次以及层次分析法的决策过程。
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例1 假设某企业领导要决定一笔 资金如何使用。经过调研，现有下列 方案可供选择： (1) 作为奖金发给职工； (2) 扩建宿舍和食堂等福利设施; (3) 举办职工进修班； (4) 建图书馆、俱乐部等； (5) 引进新设备进行技术改造。
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结果用矩阵A=(aij)表示，称为准则层 的比较判断矩阵。 显然，aij =1/aij，称A为正互反矩 阵。 对于如何确定 aij 的值， Saaty 提 出用数字1～9及其倒数作为标度。 下表中列出了1～9标度的含义：
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1. 准则层比较判断矩阵的构造 下面介绍准则C1,C2,…,Cn对目标 Z的权重的确定方法。 在复杂问题中，准则的权重很难 直接获得且不易定量化。 Saaty 提出 可用对准则两两比较的方法来确定权 重，即每次取两个准则Ci和Cj，用aij 表示Ci和Cj对Z的影响之比, 全部比较
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阵 max n ，就这意味着max比n大 得越多， A的不一致程度就越严重。 因此，可以用 max n CI n 1 作为衡量不一致程度的数量指标， CI称为一致性指标。 CI 其实即为除最大特征值以外 的其余特征值的负平均值。