(人教B版)数学必修四同步ppt课件：1-1-1
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2019-2020人教B版数学必修4第1章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课件PPT
[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角 度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
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D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角 的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D 项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]
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弧度制与角度制的区别与联系 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以
[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，
否则产生混乱，正确的表示方法应为αα＝2kπ＋π6，k∈Z
或{α|α＝
k·360°＋30°，k∈Z}．
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5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长
απr l＝__1_8_0_°_
的弧长与面积的计算，培养学生的 和面积公式．(难点)
数学运算核心素养.
栏目导航
自主预习 探新知
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1．角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ．角度制 规定 60 分等于 1 度，60 秒等于 1 分． (2)弧度制：长度等于 半径长 的圆弧所对的 圆心角 叫做 1 弧度 的角，记作__1__ra_d__.以 弧度 为单位来度量角的制度叫做弧度制．
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[解] (1)要确定角 α 所在的象限，只要把 α 表示为 α＝2kπ＋ α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由 α0 所在象限即可判定出 α 所在的象限．
α1＝－570°＝－169π＝－4π＋56π， α2＝750°＝265π＝4π＋π6. ∴α1 在第二象限，α2 在第一象限．
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D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角 的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以 D 项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]
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弧度制与角度制的区别与联系 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以
[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，
否则产生混乱，正确的表示方法应为αα＝2kπ＋π6，k∈Z
或{α|α＝
k·360°＋30°，k∈Z}．
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5．扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长
απr l＝__1_8_0_°_
的弧长与面积的计算，培养学生的 和面积公式．(难点)
数学运算核心素养.
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1．角度制与弧度制的定义 (1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ．角度制 规定 60 分等于 1 度，60 秒等于 1 分． (2)弧度制：长度等于 半径长 的圆弧所对的 圆心角 叫做 1 弧度 的角，记作__1__ra_d__.以 弧度 为单位来度量角的制度叫做弧度制．
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[解] (1)要确定角 α 所在的象限，只要把 α 表示为 α＝2kπ＋ α0(k∈Z,0≤α0<2π)的形式，由 α0 所在象限即可判定出 α 所在的象限．
α1＝－570°＝－169π＝－4π＋56π， α2＝750°＝265π＝4π＋π6. ∴α1 在第二象限，α2 在第一象限．
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-3
答案 D
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
例2
→ → → 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA＝a，OB＝b，OC
＝c，求作 b＋c－a.
剖析
考查向量的三角形法则和平行四边形法则．
解析
→ → 解法 1： 以OB， OC为邻边作▱OBDC， 连接 OD、 AD，
→ → → 则OD＝OB＋OC＝b＋c， → → → ∴b＋c－a＝OD－OA＝AD，如图(1)所示．
(1)
(2)
→ → 解法 2：作CD＝OB＝b，连接 AD， → → → 则AC＝OC－OA＝c－a， → → → ∴b＋c－a＝b＋(c－a)＝CD＋AC＝AD，如图(2)所示．
规律技巧
运用三角形法则，作两个向量和的关键是作平
移，首尾连．作两个向量差的关键是作平移，共起点，两尾连， 指被减．当两向量不共线时，也可采用平行四边形法则．多个 向量相加减时要注意灵活运用运算律．
解析
→ → → → → → → OF－OE＝OF＋EO＝EO＋OF＝EF.
答案 B
4．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( → → A.AB＝DC → → → B.AD＋AB＝AC
)
→ → → → → C.AB－AD＝BD D.AD＋CB＝0
→ → → → 解析 AB－AD＝DB≠BD，故选C.
→ → → → (2)OP－QP－SQ－TS → → → → ＝OP＋PQ＋QS＋ST → ＝OT.
规律技巧
(1)向量的加、减法运算满足交换律、结合
律；(2)将向量的减法运算转化为向量的加法运算，一个向量 减去另一个向量就等于加上这个向量的相反向量．
变式训练1
化简下列各式：
→ → → → → → → ①AB＋BC＋CA；②AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → ③OA－OD＋AD；④NQ＋QP＋MN－MP. 结果为零向量的个数是( A．1 B．2 ) C．3 D．4
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-2
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函数 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
答Байду номын сангаас C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-3
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第三课时
正弦型函数y＝Asin(ω x＋φ )
课前预习目标
课Hale Waihona Puke 互动探究课前预习目标梳理知识 夯实基础
学习目标 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．会用图象变换法画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自学导航 1.正弦型函数 2π (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)中，周期T＝ ω ，频率f 1 ω ＝ ＝ . φ 叫做初相． T 2π (2)一般地，函数y＝Asinx的值域为[－|A|，|A|]φ，最大值为
|A| ，最小值为 －|A|， |A| 的大小，反映曲线y＝Asinx波动的大
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
π 指出将 y＝sinx 的图象变换为 y＝sin(2x＋3)的图象的
两种方法． 剖析 1 π π x→2x→2(x＋ )＝2x＋ . 6 3
解析 1 y＝sinx
y＝sin2x
π π y＝sin 2 x＋6 ＝sin(2x＋3)．
)
A．最小正周期是π π B．直线x＝ 是f(x)图象的一条对称轴 12
π C．函数f(x)图象关于点－6，0对称
π D．f(x)的图象向右平移3个单位，可得到y＝sin2x的图象
π π 解析 f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝fx－3＝ π π π sin2 x－3＋3＝sin2x－3.
答案
D
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)
π A＞0，ω＞0，|φ|＜ 2
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
人教B版新教材高中数学必修第四册课件平面的基本事实与推论
是否在平面 A∈α，B∈α 内； ⇒直线 AB⊂ ②判断一个 α
面是否是平
面
如果两个不重合 的平面有一个公 基本事 共点，那么它们 实 3 有且只有 一条 过该点的公共直 线
①判定两个
平面相交的
P∈α，P∈β 依据；②判定
⇒α∩β＝l， 点在直线上；
且 P∈l
③证明三点
共线或三线
共点
2.平面基本事实的推论 推论 1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2 ． 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 MNPQ 表 示 的 平 面 不 能 记 为 ()
A．平面 MN
B．平面 NQ
C．平面 α
D．平面 MNPQ
A [MN 是平行四边形 MNPQ 的一条边，不是对角线，所以不
能记作平面 MN.]
3．能确定一个平面的条件是( )
若四点共面，可确定 1 个平面，若四点不共面，可确定 4 个平面，∴
空间中四点可确定的平面有 1 个或 4 个或无数个．]
3．设平面 α 与平面 β 交于直线 l，A∈α，B∈α，且直线 AB∩l ＝C，则直线 AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]
1．平面的基本事实
公理
内容
图形
经过不在一条直 基本事 线上的 3个点 ，
实 1 有且只有一个平 面
符号
作用
A，B，C 三 ①确定平面
点不共线⇒ 的依据；
存在唯一的 ②判定点、线
面是否是平
面
如果两个不重合 的平面有一个公 基本事 共点，那么它们 实 3 有且只有 一条 过该点的公共直 线
①判定两个
平面相交的
P∈α，P∈β 依据；②判定
⇒α∩β＝l， 点在直线上；
且 P∈l
③证明三点
共线或三线
共点
2.平面基本事实的推论 推论 1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2 ． 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 MNPQ 表 示 的 平 面 不 能 记 为 ()
A．平面 MN
B．平面 NQ
C．平面 α
D．平面 MNPQ
A [MN 是平行四边形 MNPQ 的一条边，不是对角线，所以不
能记作平面 MN.]
3．能确定一个平面的条件是( )
若四点共面，可确定 1 个平面，若四点不共面，可确定 4 个平面，∴
空间中四点可确定的平面有 1 个或 4 个或无数个．]
3．设平面 α 与平面 β 交于直线 l，A∈α，B∈α，且直线 AB∩l ＝C，则直线 AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]
1．平面的基本事实
公理
内容
图形
经过不在一条直 基本事 线上的 3个点 ，
实 1 有且只有一个平 面
符号
作用
A，B，C 三 ①确定平面
点不共线⇒ 的依据；
存在唯一的 ②判定点、线
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-2-1
解析 π μ＝x＋ 6 x y＝cosμ 0 π － 6 1 π 2 2 π 6 0 π 5 π 6 －1 3 π 2 8 π 6 0 2π 11 π 6 1
描点作图(如图)．
例2
求下列函数的值域．
π π π (1)y＝3－2cos2x－3，x∈6，2；
(2)y＝－3sin
∴函数的值域为[1,4]． (2)y＝－3sin2x－4cosx＋4＝3cos2x－4cosx＋1.
π 2π 1 1 设t＝cosx，x∈3， 3 ，∴t∈－2，2.
∴y＝3t
2
1 1 －4t＋1在t∈－2，2时单调递减，
1 15 ∴当t＝－2时，ymax＝ 4 ，
π x＋ 2
的图象相同，
π 于是把正弦曲线向左平移 2 个单位就可以得到余弦函数的图 象． (2)余弦函数图象上有五个起关键作用的点，这五个点是
(0,1) 、π，0、 (π，－1) 、3π，0、 (2π，1)． 2 2
2．余弦函数的性质： (1)定义域为R，值域为 [－1,1] ，周期为2π.
)
答案 C
名师点拨 1.正弦曲线与余弦曲线的关系 把y＝sinx的图象向左平移 π 2 个单位就得到y＝cosx的图
象．这说明余弦曲线的形状和正弦曲线相同，只是位置不同而 已．学了余弦曲线以后，应在同一坐标系中，画出[0,2π]上的 正弦曲线和余弦曲线，标出两条曲线与坐标轴的交点坐标并观 察曲线，弄明白它们的相同点和不同点．抓住[0,2π]上这一周 期的曲线的区别，就不会将两条曲线混淆．
自测自评
π 1.下列函数中，在 0，2 上为增函数且以π为周期的函数是
(
) x A．y＝sin 2 C．y＝－cosx B．y＝sin2x D．y＝－cos2x
山东省高中数学必修四(人教B版)同步教学课件：第一章+基本初等函数(14份)123
6
tanα＝csoinsαα＝
3＝ 3
2.
3
当α是第四象限角时，
sinα＝－ 1－cos2α＝－ tanα＝csoinsαα＝－ 2.
1－
332＝－
6 3.
(3)∵tanα＝－ 22<0，∴α是第二、四象限角．
由tanα＝csoinsαα＝－ 22， sin2α＋cos2α＝1，
解析
(1)由tanα＝
sinα csα＝－3sinα，代入所求
式得45s－inα3－sin2α－ ＋33ssininαα＝－1012sisninαα＝－56.
(2)原式＝2sin2α－c32ocso2αs＋ α·ssiinnα2＋α 5cos2α
＝2tan2α－32tanα＋5·1＋t1an2α
2．商数关系： tanα＝csoinsαα .
思考探究 1.同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？ 提示 平方关系对任意角都成立．商数关系对任意不等于 kπ＋π2(k∈Z)的角都成立．
2．你知道“同角”的含义吗？ 提示 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对 “任意”一个角(在使函数有意义的前提下)的关系式都成立， 与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等.
变式训练2 已知tanα＝2，求下列各式的值： (1)2ccoossαα＋－23ssiinnαα； (2)4sin2α－1 9cos2α； (3)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.
由csoinsAA＝
2 3
sin2A＋cos2A＝1
得，cos2A＝191，∴sin2A＝121.
∴sinA＝
22 11 .
答案
22 11
名师点拨 1.当已知一个角的某一个三角函数值时，利用两个关系 式，就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时 注意符号的选取． 2．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形 式： sin2α＋cos2α＝1⇔sin2α＝1－cos2α⇔cos2α＝1－sin2α； tanα＝csoinsαα⇔sinα＝tanα·cosα.
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2．象限角 要熟练的掌握并能够写出各象限角的取值范围． 第一象限角：{α|k· 360° <α<k· 360° ＋90° ，k∈Z}； 第二象限角：{α|k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z}； 第三象限角：{α|k· 360° ＋180° <α<k· 360° ＋270° ，k∈Z}； 第四象限角：{a|k· 360° ＋270° <α<k· 360° ＋360° ，k∈Z}．
答案 B
3．已知角α是第二象限角，则180° －α是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
)
解析 ∵α是第二象限角，故－α是第三象限角， ∴180° －α是第一象限角．
答案 A
4．在(－360° ，0° )内，终边与585° 终边相同的角为( A．225° C．－135° B．－45° D．－225°
解析 对于选项A，推广之后就会出现正角，负角和零 角，负角都小于90° ，但它们都不是锐角，例如－45° <90° ，但 －45° 不是锐角；对于选项B，锐角的集合：{α|0° <α<90° }，第 一象限角的集合：{α|k· 360° <α<k· 360° ＋90° ，k∈Z}，当k＝0 时，两个集合就会相等，所以锐角是第一象限角；对于选项 C,390° ＝360° ＋30° ，所以390° 的终边与30° 的终边相同，30° 是 第一象限角，所以390° 也是第一象限角，但390° 不是锐角；对 于选项D,390° 与30° 终边相同，但两个角不相等．综上分析， 正确答案为B. 答案 B
答案 B
2．下列各组中，终边相同的角为( A．390° ，690° C．480° ，－420°
)
B．－330° ，750° D．－240° ，160°
解析 与角α终边相同的角可表示为β＝k· 360° ＋α，k∈ Z，故β－α＝k· 360° ，k∈Z，即终边相同的两个角的差等于 360° 的整数倍．通过观察可知，B正确．
旋转的大小并没有确定，所以角也就不能确定． 2．终边相同的角一定是相等的角吗？ 提示 不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的
角不一定相等，它们相差360° 的整数倍．
3．第一象限的角与锐角有什么关系？ 提示 锐角是指{α|0° <α<90° }内的角，锐角的终边一定落 在第一象限内，但第一象限的角除锐角外，还有负角以及大于 90° 的一些正角，可表示为{α|k· 360° <α<360° ＋90° ，k∈Z}.
)
解析 终边与585° 相同的角为β＝k· 360° ＋585° ，k∈Z.令 －360° <k· 360° ＋585° <0° ，k∈Z，令k＝－2，得β＝－135° .
答案
C
名师点拨 1.角的概念 用“旋转”定义角之后，角的范围扩大了． 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零 角．注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转角，它的正 负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正 负，就好象数零无正负一样．角的大小比较与实数类似．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1
下列命题正确的是(
)
A．小于90° 的角都是锐角 B．锐角都是第一象限角 C．第一象限角都是锐角 D．终边相同的角一定相等
剖析 锐角α满足0° <α<90° ，故锐角是第一象限角，小于 90° 的角包括0° 和负角，第一象限角是终边落在第一象限的 角．
4．终边相同的角 所有与α终边相同的角连同α在内可构成集合： S＝{β|β＝α＋k· 360° ，k∈Z}． 需注意以下几点： (1)k是整数； (2)α为任意角； (3)k· 360° 与α之间用“＋”连接，如k· 360° －30° 应看成 k· 360° ＋(－30° )(k∈Z)；
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相 同； (5)终边相同的角有无数多个，它们相差360° 的整数倍．
自学导航 1.角的概念 在平面内，一条射线绕它的端点按照 逆时针 方向旋转
而成的角叫做正角，按照 顺时针方向旋转而成的角叫做负角， 没有旋转时，叫做 零角
2．角的加减运算 角的减法可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋ (－β)，这就是说，各角和的旋转量等于 各角旋转量的和． 3．终边相同的角的表示 α表示任意角，所有与角α 终边相同的角，包括α本身构成
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．1 任意角的概念与弧度制
1．1.1 角的概念的推广
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.了解用“旋转”定义角的概念． 2．理解“正角”“负角”“零角”“终边相同的 角”“象限角”的含义． 3．掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.
3．轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与x的正半轴重合，角的 终边落在坐标轴上，这样的角不属于任何一个象限，称它们为 轴线角． 终边在x轴的正半轴的角的集合： {α|α＝k· 360° ，k∈Z}； 终边在x轴的负半轴的角的集合： {α|α＝k· 360° ＋180° ，k∈Z}；
终边在y轴的正半轴的角的集合： {α|α＝k· 360° ＋90° ，k∈Z}； 终边在y轴的负半轴的角的集合： {α|α＝k· 360° ＋270° ，k∈Z}； 终边在x轴上的角的集合： {α|α＝k· 180° ，k∈Z}； 终边在y轴上的角的集合：{α|α＝k· 180° ＋90° ，k∈Z}； 终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k· 90° ，k∈Z}．
自测自评 1.下列关于角的说法不正确的是( )
A．角可以看成是一条射线绕其端点旋转形成的图形 B．最小的角是0° ，最大的角是360° C．终边相同的两个角相差360° 的整数倍 D．研究象限角时，角的始边与x轴的正半轴重合
解析 角的概念推广后，角可以分为正角、负角、零角， 角的度数的取值范围为R，故B错．
360° ，k∈Z} ．集合中的 一个集合，这个集合记为 {β|β＝α＋k·
每一个元素都与角α的终边相同．
4．象限角 平面内任意一个角可以通过移动，使角的顶点与坐标原点 重合，角的始边与 x轴正半轴 重合，这时角的终边在第几象
限，就把这个角叫做 第几象限角.
思考探究 1.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示 不是的．虽然始边和终边确定了，但旋转的方向和