数值分析学习公式总结

第一章

1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a

输入=c

+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1

n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0b

Answer P （x ）=0b

该方法用于解决多项式求值问题P （x ）

=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a

2 注：p ˆ

为近似值

绝对误差：

|ˆ|p

p E p -=

相对误差：

|||ˆ|p p

p R p -=

有效数字:

210|||ˆ|1d p p p

p R -<

-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);

O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章

2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则

，可得到序

列值｛｝。 设函数g 。如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围

满足y ， 则函数g 在

内有一个不动点; 此外，设

定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使

得

，则函数g 在

内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，

（iii ）

。如果对于所有

如果对于所有x 在

这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。. 波尔

查

诺

二

分

法

(

二

分

法

定理

)

<收敛速度较慢>

试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意

越来越

小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.

牛顿—拉夫森迭代函数：)

(')

()(1111-----

==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用

泰勒多项式证明

第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b

一Gauss Elimination （高斯消元法 ）

第一步Forward Elimination 第二步 Back

Substitution

二LU Factorization

第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；

第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；

三Iterative Methods （迭代法）

2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++

n

n nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++

初始值

四 Jacobi Method

1.选择初始值

2.迭代方程为

五Gauss Seidel Method

1.迭代方程为

002

01,,,n x x x 002

01,,,n x x x nn

k n nn k n k n n k n k n

n k k k

n n k k a x a x a x a b

x a x a x a b

x a x a x a b x )

()()

(1122111

22

212121211

121211

1--++++++-=++-=++-=

k k k k

n n k k k

n n k k a x a x a b

x a x a x a b

x )()(1

1

1

22

21121212111212111++++++++-=++-=

2.选择初始值 判断是否能用

Jacobi Method 或者Gauss

Seidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）

第四章 插值与多项式逼近

·第一节 泰勒级数和函数计算

一些常用函数的泰勒级数展开：

for all x for all x for all x -1 -1

for

00201,,,n

x x x

定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。如果，

则有

其中为用来近似的多项式：

误差项形如

C为x和之间的某个值。

推论4.1 如果为定理4.1给出的N次泰勒多项式，则

=其中k=0,1,···，N

定理4.2（泰勒级数）设在包含的区间（a , b）中是解析的。设泰勒多项式

趋近于一个极限

则f(x)有泰勒级数展开

·第二节插值计算