理科数学第一次过关检测答案
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析
四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试理科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}23100,{33}A xx x B x x =+-<=-<<∣∣，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}x x -<<∣C.{33}x x -<<∣D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i + C.1i-+ D.1i --3.设函数()()()121log 2(1)31x x x f x x +⎧-<⎪=⎨⎪⎩，则()()32log 8f f -+=（）A.8B.9C.22D.264.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中x 的系数为（）A.560B.35C.－35D.－5605.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.76.华为在过去几年面临了来自美国政府的封锁和限制，但华为并没有放弃，在自主研发和国内供应链的支持下，成功突破了封锁，实现了5G 功能.某手机商城统计了最近5个月华为手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且线性回归方程为2ˆ0.4ˆyx a =+，则下列说法不正确的是（）A.样本中心点为()3,1.0 B.由表中数据可知，变量y 与x 呈正相关C.ˆ0.28a =D.预测7x =时华为手机销量约为1.86（万部）7.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，112n n S a +=，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.数列{}n a 是等差数列C.数列{}n S 是等比数列D.数列{}n S 是等差数列8.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）9.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11310.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（）A.12 B.715C.713D.111511.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x 的图像关于1x =对称，且()22g x +为奇函数，()()()11,31g f x g x ==-+，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.14.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.15.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.16.正方体1111ABCD A B C D -的校长为1，点P 为线段1CC 的中点，则三棱锥1P BDD -外接球的表面积为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值.19.（12分）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在[70,80)内的学生获三等奖，得分在[80,90)内的学生获二等奖，得分在[90,100]内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：（1）若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；（2）若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布(65,100)X N ~，利用所得正态分布模型解决以下问题：（i ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y ，求随机变量Y 的分布列及数学期望.附参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则：()6827.0≈+<<-σμσμX P ，()9545.022≈+<<-σμσμX P ，()9973.033≈+<<-σμσμX P .20.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.（12分）已知()ln 1f x x x x =--，记()f x 在1ex =处的切线方程为()g x .（1）证明：()()g x f x（2）若方程()f x m =有两个不相等的实根()1212,x x x x <，证明：12122x x m e e->+--.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：∵{}{}2501032<<-=<-+=x x x x x A ，∴{}23<<-=x x B A .2.B解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.C 解析：()()[]222log 221-=--=-f .∵18log 3>，∴()243338log 24log 3log 8log 18log 33333====++f ，∴()()222428log 23=+-=+-f f .4.D 解析：由题意知712⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式()()rr r r rr rr xC x x C T 27777712112---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令127=-r ，得3=r ，∴x 的系数为()5602137373-=--C .5.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .6.D解析：由表格数据可以计算出3554321=++++=x ，0.155.12.10.18.05.0=++++=y ，则样本中心点为()0.1,3，即A 说法正确；从表格数据可得：y 随着x 的增加而增加，∴变量y 与x 正相关，即B 说法正确；将样本中心点为()0.1,3代入a x yˆ24.0ˆ+=，可得28.0ˆ=a ，即C 说法正确；由C 可知线性回归方程为28.024.0ˆ+=x y，将7=x 代入可得96.128.0724.0ˆ=+⨯=y，则D 说法不正确.7.C解析：因121+=n n a S ①可得，当2≥n 时，n n a S 211=-②，①－②得：n n n n a a S S 212111-=-+-，即n n n a a a 21211-=+，可得31=+n n a a ，因11=a ，在121+=n n a S 中，取1=n ，可得2212==S a ，即3212≠=a a ，故数列{}n a 不是等比数列，选项A ，B 错误；又因当*∈N n 时，都有n n n S S a -=++11，代入121+=n n a S 中，可得()n n n S S S -=+121，整理得：31=+nn S S ，故数列{}n S 是等比数列，即选项C 正确，D 错误.8.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xexx x f ，故排除B.9.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.10.B解析：用A 表示事件“代表队既有男生又有女生”，B 表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为()A B P .∴()30333437=--=C C C A n ，()1468241412=+=+=C C C AB n ，∴()()()1573014===A n AB n A B P .11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()22+x g 为奇函数，∴()()2222+-=+-x g x g ，则()()22+-=+-x g x g ，∴()x g 对称中心为()0,2，又∵()x g 对的图象关于1=x 对称，则()()x g x g =+-2，∴()()x g x g =+-2，则()()()x g x g x g =+-=+24，∴()x g 的周期4=T ，①()()()5833g g g =+-=-，∴①正确；②∵()11=g ，()()x g x g =+-2，()x g 对称中心为()0,2，∴()()020==g g ，∴()()002024==g g ，∴②正确；③∵()()13+-=x g x f ，∴()()2112=+=g f ，∵()()x g x g =+-2，∴()()11g g -=-，则()()()011114=+-=+-=g g f ，∴()()242=+f f ，∴③错误；④∵()()13+-=x g x f 且()x g 周期4=T ，∴()()()()x f x g x g x f =+-=++-=+131434，则()x f 的周期为4=T ，∵()()1121=+=g f ，()22=f ，()()1103=+=g f ，()04=f ，∴()()()()44321=+++f f f f ，∴()()()()()[]20244506432150620241=⨯=+++=∑=f f f f n f n ，∴④正确.二、选择题13.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .14.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .15.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .16.825π解析：以D 为坐标原点，DA ,DC ,1DD 方向分别为z y x ,,轴建立如图所示空间直角坐标系.则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛21101000110001，，，，，，，，，，，P D B D ，M 为线段1BD 的中点，则⎪⎭⎫⎝⎛21,21,21M ，显然点M 为1BDD ∆的外接圆圆心.则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===0,21,210111001PM DB DD ，，，，，，，∴，，0212101=-=⋅=⋅DB PM DD PM 即PM 为平面1BDD 的一个法向量，即⊥PM 平面1BDD .则三棱锥1BDD P -外接球的球心O 在直线PM 行，连接OD ，则设R OP OD ==.设⎪⎭⎫⎝⎛-==0,2,2λλλPM OP ，即⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=21,21,20,2,22110λλλλ，，OP DP DO .=，即222222121222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ，解得45-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,83,85DO ，∴32252183852222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=R .则三棱锥1BDD P -外接球的表面积为82542ππ=R .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+nn n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）延长ED 、AC 相交于点N ，连接BN ，则BN 为平面BDE 与平面ABC 的交线.∵AE ∥CD ，CD AE 2=，则DC 为ABC ∆的中位线，∴42==AC AN ，即BC CN AC ==，∴BN AB ⊥，∴3222=-=AB AN BN .而5222=+=AN AE EN ，2222=+=AB AE BE ，∴222EN BNBE =+，即BNBE ⊥∴EBA ∠即为平面BDE 与平面ABC 所成二面角的平面角.∴22222sin ===∠BE AE EBA 故平面BDE 与平面ABC 所成二面角的正弦值为22.19.解：（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为2100C ,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为190110C C ,∵每个基本事件出现的可能性都相等，∴()1122100190110==C C C A P 故抽取的两名学生中锋恰有一名学生获一等奖的概率为112.（2）（i ）∵852=+σμ，∴()02275.029545.0185=-≈>X P ,∴参赛学生中成绩超过85分的学生数约为22802275.010000≈⨯人.（ii ）由65=μ，得()2165=>X P ，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在65分以上的概率为21，∴随机变量Y 服从二项分布Y ~⎪⎭⎫ ⎝⎛214，B ，∴()161210404=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41211414=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()83212424=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()41213434=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P ；()161214444=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P .∴随机变量Y 的分布列为：∴期望为()216144138324111610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E.20.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，m y y 421=+，b y y 421-=，∴()b m b y y m x x 24222121+=++=+，()22212116b y y x x ==，∵()4,411--=y x P A ，()4,422--=y x PB ，()()324421212121++-++-=⋅y y y y x x x x PB P A ()32161216324442442222=+---=+⨯--+-=m b m b m b b m b ∴41616361222++=+-m m b b ，即()()22246+=-m b ，当6-b 与24+m 同号时，246+=-m b ，即84+=m b ，此时()04284222>++=++=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()8484++=++=y m m my x 过定点()48-，，当6-b 与24+m 异号时，246+=-m b ，即44+-=m b ，此时()0244222≥-=+-=+m m m b m ，∴直线AB 的方程()4444+-=--=y m m my x 过定点()44，，则此时与点B A P ,,中任意两点不重合矛盾，故直线AB 过定点，定点坐标为()48-，.21.解：（1）证明：()1ln --=x x x x f 的定义域为()∞+，0，∵()()x x x f ln 1ln 1-=+-='，∴11=⎪⎭⎫ ⎝⎛'e f ，121111-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e ef ，∴()e x e xg 112-=⎪⎭⎫⎝⎛--，即()11-+=e x x g .令()()()()x x ex x e x x f x g x F ln 11ln 11+=----+=-=，()+∞∈,0x ，()x x F ln 1+='，令()0='x F ，解得ex 1=，∴当e x 10<<时，()0<'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛e 10，单调递减，当e x 1>时，()0>'x F ，()x F 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 单调递增，∴()01min =⎪⎭⎫⎝⎛=e F x F ，∴()0≥x F 恒成立，即()()x f x g ≥.（2）由（1）知()x x f ln -='，令()0='x f ，得1=x .∴当10<<x 时，()0>'x f ，()x f 在()1,0单调递增，当1>x 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+，1单调递减，∴()()01max ==f x f ，当0→x 时，()1-→x f ；当e x >时，()()1-=<e f x f ，∵方程()m x f =有两个不相等的实根()2121,x x x x <，∴01<<-m 且e x x <<<<2110，∵()1-='e f ，()1-=e f ，∴函数()x f 在e x =处的切线方程为()()e x y --=--1，即1-+-=e x y .下证：()1-+-≤e x x f 令()()e x x x x f e x x h ++-=--+-=ln 21，()+∞∈,0x ∵()x x x h ln 11ln 2+-=++-='，令()0='x h ，解得e x =，∴当e x <<0时，()0<'x h ，()x h 在()e ,0单调递减，当e x >时，()0>'x h ，()x h 在()∞+，e 单调递增，∴()()0min ==e h x h ∴()0≥x h 恒成立，即()1-+-≤e x x f ，当且仅当e x =时等号成立.∵e x <<21，∴()122-+-<=e x x f m ，即12+->-e m x ，由（1）知，()()11-+=≤e x x g x f ，∵101<<x ，∴()1111-+≤=e x x f m ，即111+-≥em x ，∴ee m x x 12221--+>-.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。
2023年甘肃省第一次高考诊断考试第一次理科数学答案
故 ｇ（ｘ）≤ｇ（１）＝０，
所以当 ａ＝１时，ｌｎｘ≤ｘ－１，即 ｆ（ｘ）≤ｘ－１． ４分
⑵①解：令 ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ，则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ－１＝ａｘ－ｘ，
当 ０＜ｘ＜ａ时，ｈ′（ｘ）＞０，函数 ｈ（ｘ）为增函数；当 ｘ＞ａ时，ｈ′（ｘ）＜０，函数 ｈ（ｘ）为减函数，
令 Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ， ２
则 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ， 由（１）知 ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知 ｅｌｎｘ≤ｘ，即 ｌｎｘ≤ ｘ ｅ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案 第 ５页 （共 ６页）
得 ２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
( ) ∴曲线 Ｃ是以点 １２，０为焦点，直线 ｘ＝－１ ２为准线的抛物线，
其方程为：ｙ２＝２ｘ． ４分
（２）设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－１），设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
{联立
ｙ２ ＝２ｘ ，可得
ｙ＝ｋ１（ｘ－１）
ｋ２ １ｘ２ －（２ｋ２ １ ＋２）ｘ＋ｋ２ １ ＝０，
则 Δ＝（２ｋ２ １＋２）２－４ｋ４ １＝４（２ｋ２ １＋１）＞０， 且 ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ １ｋ２ １＋２＝２＋ｋ２２ １，ｘ１ｘ２＝ｋ ｋ２ １ ２ １ ＝１， ６分
第一次诊断理科数学答案 第 ４页 （共 ６页）
故 Ｐ（１＋ｋ１２ １，ｋ１１），同理可得 Ｑ（１＋ｋ１２ ２，ｋ１２），
则直线
ＰＱ的方程为
ｙ－ｋ１１
１ ＝ｋ１２
ｋ２ ２
－ －ｋ ｋ１ １１ ２ １（ｘ－１－ｋ１２ １），又
ｋ１ ＋ｋ２ ＝２，
直线 ＰＱ的方程可化为 ｙ＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１－ｋ１２ １）＋ｋ１１ ＝ｋ１２ｋ２ｘ－ｋ１２ｋ２－ｋ２２ｋ－１２＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１）＋１２，
2024届四川省大数据精准教学联盟高三下学期第一次统一监测【答案】理科数学改
四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测理科数学答案解析与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等基础知识；考查数学抽象、数学运算等数学核心素养。
【解析】集合A=x|-1<x<0，B=x|-12<x<12，则A∪B=x|-1<x<12．2．【答案】C【考查意图】本小题设置体育锻炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运算求解、推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象、数学建模等数学核心素养。
【解析】基本事件的总数为25，甲、乙参加同一项活动包含的基本事件有2×23=24，所以甲、乙参加同一项活动的概率为2425=12．3．【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
【解析】由a+2b⋅a=0得a 2+2a⋅b=0，又a =b =2，所以a⋅b=-22，cos a，b=a⋅b a b =-222×2=-22，故向量a，b的夹角为135°．4．【答案】B【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法等基础知识；考查数学运算等数学核心素养。
【解析】x-2 x26展开式的通项公式为T r+1=C r6x6-r-2x2r=-2 r C r6x6-3r，令6-3r=0，得r= 2，所以该展开式的常数项为-22C26=60．5．【答案】B【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知识；考查数学运算、数学抽象等数学核心素养。
【解析】易知程序框图的功能是求S=lg2+lg 32+lg43+⋯+lg n+1n=lg n+1，由S=lg n+1≥2得n≥99，所以输出n=99．6．【答案】D【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前n 项和与通项公式等基础知识；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养。
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（ ） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（ ） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（ ） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？ 附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--， 又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】 解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】 【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得； 【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】 【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==． 故选：AD ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】 【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解； 【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】 【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤， 依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠， 即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =， 则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==， 在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】 【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值； 【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥， 当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点， 所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可； （2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得； 【详解】解：（1）由己知得221a b -=， 因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+， 联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-， 记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<， 所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>， 所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<， 根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数， 又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。
高三毕业班数学(理)第一次质量检查(附答案)
高三毕业班数学（理）第一次质量检查注意事项：准考证号码填写说明：准考证号码共九位，每位都体现不同的分类，具体如下：7 0 0 0答题卡上科目栏内必须填涂考试科目一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡上) 1．设集合B A B N x x x A ⋃=∈≤<-=则},3,2{},,21{等于 A ．{1，2，3} B ．{0，1，2，3}C ．{2}D ．{-1，0，1，2，3}2．集合{|1}P x y x ==-,集合{|1}Q y y x ==-,则P 与Q 的关系是A.P=QB.PQ C .P ≠⊂Q D.P ∩Q=∅3．若函数f(x)＝2log (a ax x 32+-)在区间[2,+∞)上递增,则实数a 的范围是 A.(-∞,4] B.(-4,4]C.(-4,2)D.(-∞,-4)∪[2,+∞)4．若一系列函数的解析式相同,值域也相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为2x y =,值域为{1,4}的“同族函数”共有A.4个B.8个C.9个D.16个5．函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为A. －2B.2C .6D. 86设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x)可能为级别代号科类代号教学班代号行政班代号行政班座号xyOAxyOB xyOC yODxxyO图17．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝A ．2B ．3C ．4D ．58．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 9．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是A ．223 B ．1813 C ．2213 D ．6110．定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[1,1]-； （2）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <．上述命题中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧--=1)21()1(log )(2x x x f )2()2(<≥x x 若3)(0>x f 则0x 的取值范围是12．当0<x<1时，2212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是___________ 13．如果奇函数y=f(x) (x ≠0)，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x -1，则使f(x -1)<0的x 的取值范围是14．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ . 15. 设函数)0)(x 3cos()x (f π<ϕ<ϕ+=，若)x (f )x (f /+是奇函数，则ϕ=_________三、解答题(共6题,共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．（本小题13分）设}015{2≥--=ax x x A ，}02{2<+-=b ax x x B ，}65{<≤=⋂x x B A ，求B A ⋃ 17．（本小题13分）设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.求函数f(x)的最大值和最小正周期。
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。
若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。
高三(普通班)第一次大检测数学试题(理)含答案试卷分析详解
高三普通班第一次质量大检测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i=-的实部为（ ）A ．12B ．2iC ．－12D ．－2i 2.集合,则P Q =（ ）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是 （ ）A.81,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.41,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.84,95⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.[]1,0-4.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若的展开式中的系数为，则（ ）A ．B ．C ．D ． 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）2101()()x a x x-+6x 30a =12-2-122A ．B ．C ．D ． 7.已知，则（ ） A ． B ． C ． D ． 8.函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为A.B. C. D. 10. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为A ．B ．C ．D ．11.已知，两直角边，是内一点，且， 设，则316381418tan()4πα-=sin 2α=79-7919-19()ln(1)f x x x =-+{}n a n n S 912162a a =+24a =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1112101191089()f x (1,)-+∞(2)y f x =-1x ={}n a 5051()()f a f a ={}n a 200-100-050-Rt ABC 1,2AB AC ==D ABC ∆60DAB ∠=(,)AD AB AC R λμλμ=+∈λμ=A.C. D. 12.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：①； ②；③；④.其中为“三角形函数”的个数是 A.B.C. D.第 Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） （13）若，且，则的最小值是__________ （14）若，则 +−+…+的值为（15）已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的表面积为___________ （16）已知外接圆的半径为1，且.若，则的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：1132n T ≤<．18．（本小题满分12分）33()f x D ,,,(),(),()a b c D f a f b f c ∀∈()f x 23()ln ()f x x e x e =≤≤()4cos f x x =-12()(14)f x x x =<<()1xx e f x e =+12340,0a b >>()ln 0a b +=11a b+()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈12a -222a 332a 201820182a A B C O 2AB =AC =60ABC ∠=O ABC -O ABC ∆O BO BA BC λμ=+60ABC ∠=λμ+据统计，国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅰ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）之间的关系为12022040340xy xx<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅰ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.分组频数b1849245[)20,30[)10,20[)30,40[)50,60[)40,50（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）证明：直线过定点.21.（本题满分12分）设函数f (x )=ax 2+b ，其中a ,b 是实数.(Ⅰ)若ab >0，且函数f [f (x )]的最小值为2，求b 的取值范围；(Ⅰ)求实数a , b 满足的条件，使得对任意满足xy =1的实数x , y ，都有f (x )+f (y )≥f (x )f (y )成立.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数.（1）若的最小值不小于，求的最大值；（2）若的最小值为，求的值.xOy 1C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ[0,]θπ∈1C ''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩2C x 2C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t 1C 2C AB 1AB =α()1()f x x a a R =--∈()f x 3a ()()2g x f x x a a =+++3a参考答案CAAB DCBA BBAC13. 4 14. -1 15.48 16.17.解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）即数列}{n a 的通项公式为：*4(n n a n N =∈）． ……………………………6分 （II ）由（I ）有22log log 42nn n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列{}n T 为递增数列∴ 112n T T ≤<，即2131<≤n T . ………………………………………12分 18.解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =， 由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=； 由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． ………………………4分π（II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人； 年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人； 故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分 （III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知：()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===； ()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望为：2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 19.【答案】证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析： （Ⅰ）取的中点为，连接，，结合条件可证得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．试题解析： 证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.在底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，∴.（Ⅱ）∵平面面，，∴平面，由此可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．∵直线与平面所成角为，即，由，知，得.则，，，，，，，设平面的一个法向量为.由，得．令，则．设平面的一个法向量为，由，得．令，则，∴，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.【试题解析】（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率；直线的斜率..由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.21.解：(1)由题， f [f (x )]=a 3x 4+2a 2bx 2+ab 2+b ，记t =x 2当ab >0时，二次函数b ab bt a t a y +++=22232的对称轴abt -=<0, 显然当0<a 时，不符合题意，所以0,0>>b a ， 所以当0=t 时，f [f (x )]取到最小值，即有22=+b ab从而 02>-=bbab ，解得20<<b ； (2)∵ 1xy =，即1y x=，且()()()()f x f y f x f y +≥，∴ ()()11f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即22222211()2()a x b ab x a b x x +++++≥.令221[2,)t x x=+∈+∞，则22(1)2a b t a b b -+-≥要恒成立，需要(1)0a b -≥，此时(1)y a b t =-在[2,)+∞上是增函数，所以222(1)2a b a b b -+-≥，即2()2()0a b a b +-+≤，⇒02a b +≤≤ 所以实数a ,b 满足的条件为(1)002a b a b -⎧⎨+⎩≥≤≤22.解：（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，， ∴的方程为. 令，， 所以的极坐标方程为. （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由得，由得1C 221(0)x y y +=≥'x x ='y y =22''1('0)3y x y +=≥2C 221(0)3y x y +=≥cos x ρθ=sin y ρθ=2C 22233cos sin ρθθ=+232cos 1θ=+([0,])θπ∈l ()R θαρ=∈1ρθα=⎧⎨=⎩1A ρ=2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩ρ=第11页 共11页，∴. 而，∴或. 23.解：（1）因为，所以，解得，即. （2）.当时，，，所以不符合题意.当时，，即，所以，解得.当时，同法可知，解得.综上，或.11=1cos 2α=±[0,]απ∈3πα=23πmin ()(1)f x f a ==-3a -≥3a ≤-max 3a =-()()2g x f x x a a =+++12x x a =-++1a =-()310g x x =-≥03≠1a =-1a <-(1)2(),()(1)2(),1(1)2(),1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩312,()12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩min ()()13g x g a a =-=--=4a =-1a >-min ()()13g x g a a =-=+=2a =2a =4-。
四川省大数据精准教学联盟2024届高三下学期第一次统一监测试题 数学(理)含答案
四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测理科数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､班级､考场/座位号用05毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码贴码区”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效：在草稿纸上､试卷上答题无效，3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2110,22A xx x B x x ⎧⎫=+<=-<<⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭2.一次课外活动中，甲､乙､丙､丁､戊五名同学准备从羽毛球和兵乓球活动中随机选择一项参加，每个人的选择相互独立，则甲､乙两名同学参加同一项活动的概率为（）A.14 B.13 C.12D.233.已知平面向量,a b 满足||||2a b == ，若()0a a +⋅= ，则向量,a b 夹角为（）A.30B.45C.135D.1504.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（）A.120B.60C.-60D.-1205.执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（）A.9B.99C.100D.9996.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n n S -=-，则数列{}n a 的通项公式为（）A.1,1,22,2n n n a n ⎧=⎪=⎨⎪⎩ B.12n n a -=C.2(2)n n a -=- D.22n n a -=7.函数()()3113221x f x x x ⎛⎫=--⎪+⎝⎭的图象大致是（）A.B.C.D.8.已知213π,43,log 2a bc ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>>C.c b a>> D.b c a>>9.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[]0,1上恰好有两个最值，则ω的取值范围为（）A.7π13π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.2π5π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.4π7π,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.5π11π,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，与直线1AC 垂直的平面α截该正方体所得的截面多边形为M ，则M 的面积的最大值为（）C.32D.11.已知双曲线22:13x C y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若OAB 为直角三角形，则OAB S = （）B.334C.332D.3212.已知函数()()1e xf x x =+和()()lng x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（）A.e 2B.eC.2e 2D.2e二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i为虚数单位，复数1z =+，计算2z=__________.14.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9S =__________.15.如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，点E 为线段CD 的中点.沿直线AE 将ADE 翻折，点D 运动到点P 的位置.当平面PAE 与平面ABCE 所成角为60 时，三棱锥P ABC -的体积为__________.16.已知点M 在抛物线2Γ:4x y =上运动，过点M 的两直线12,l l 与圆22:(3)4C x y +-=相切，切点分别为,A B ，当AB MC ⋅取最小值时，直线AB 的方程为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h （单位：cm)，得到如下的样本数据的频率分布直方图.（1）估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[)30,45的概率；（3）已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为3%，果苗高度位于区间[)40,50的棵数占该果苗总棵数的20%.从该苗圃中任选一棵高度位于区间[)40,50的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率（以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率）.18.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1cos 2c b a C +=.（1）求角A ；（2）若3,5,b c BAC ∠==的角平分线交BC 于D ，求AD 的长.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ∥,BC AD PD ⊥，平面PAD ⊥平面PCD ，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）已知2,23AD PD DC PC ====.若直线l 与直线AB 所成的角为π4，求直线l 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（12分）已知定点)3,0F，定直线43:3l x =，动点()00,M x y 在曲线22:14x C y +=上.（1）设曲线C 的离心率为e ，点M 到直线l 的距离为d ，求证：MF e d=；（2）设过定点F 的动直线与曲线C 相交于,P Q 两点，过点P 与直线l 垂直的直线与l 相交于点R ，直线QR 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()2ln f x ax x x a =+--.（1）若()1f x ，求a 的值；（2）若()f x 有2个零点12,x x ，证明：()()1212ln 2f x x x x a +++>-.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，过点()2,4P --且倾斜角为45 的直线l 与x 轴相交于点Q ，以点Q 为圆心的圆半径为2.以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 的一个参数方程和圆Q 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆Q 相交于点,M N ，求MON 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()122f x x x =++-.（1）求不等式()5f x x - 的解集；（2）令()f x 的最小值为M ，若正数,a b 满足2a b +=，证明：22b a M a b+ .四川省大数据精准教学联盟2021级高三第一次统一监测理科数学答案解析与评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查一元二次不等式解法，集合的并集运算等基础知识；考查数学抽象､数学运算等数学核心素养.【解析】集合11{10},22A xx B x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭∣，则112A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭.2.【答案】C【考查意图】本小题设置体育段炼相关的数学应用情境，主要考查概率等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查概率统计等思想方法；考查数学抽象､数学建模等数学核心素养.【解析】基本事件的总数为52，甲､乙参加同一项活动包含的基本事件有34222⨯=，所以甲､乙参加同一项活动的概率为452122=.3.【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查平面向量的数量积运算，两个向量的夹角公式等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】由()0a a +⋅=得2||0a b ⋅= ，又2a b ==，所以,222a b a b b a b⋅-⋅=-===-⨯ ，故向量,a b 的夹角为135 .4.【答案】B【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查二项式定理，展开式系数与常数项的求法等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.【解析】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66316622C (2)C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得r =2，所以该展开式的常数项为226(2)C 60-=.5.【答案】B【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查循环结构的程序框图及对数运算等基础知识；考查数学运算､数学抽象等数学核心素养.【解析】易知程序框图的功能是求()341lg2lglg lg lg 123n S n n+=++++=+ ，由()lg 12S n =+ 得99n ，所以输出99n =.6.【答案】D【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查数列前n 项和与通项公式等基础知识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】由1122n n S -=-，当1n =时，01111222a S ==-=，当1221112,222,2n n n n n n n a S S a ----=-=-== 也满足，所以数列{}n a 的通项公式为22n n a -=.7.【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，以指数函数､幂函数构成的复合型函数为载体，主要考查函数图象和性质等基础知识；考查数形结合思想､化归与转化等数学思想，考查直观想象､逻辑推理等数学核心素养.【解析】()()()()33311121211333221221221x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=--+=--+=--+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3113221x x x f x -⎛⎫=--+= ⎪+⎝⎭，可知()f x 为偶函数，排除C,D ；当0x >时，110221x->+，若0x <<330x x -<，则()0,f x x <>330x x ->，则()0f x <，B 不符题意，故选A.8.【答案】A【考查意图】本小题设置数学学习情境，考查指数式与对数式的互化､指数函数与对数函数的图象和性质等基础知识，考查化归与转化等数学思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】依题意，34log π1;log 3a b =>=，且201;log 3e b c <<=，且01c <<.由于42log 3log 3e >，所以b c >，故a b c >>.9.【答案】C【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数图象与性质等基础知识；考查数形结合思想，应用意识；考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】由()πcos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当πππ01,666x x ωω++ ，函数()f x 在区间[]0,1上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知3ππ5π262ω+< ，得4π7π33ω< .10.【答案】B【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，以正方体为载体，主要考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等核心素养.【解析】易知平面α为平面11AB D 或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形.当M 为三角形时，其面积的最大值为242⨯=；当M 为六边形时，此时的情况如图所示，设KD x =，则)1,1,AK x KL x KM =-=-=，依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，其中LP ∥KO ∥,MN KO =()12x -，2x ，则())(2211111221)2222224LKOPS x x x x x x ⎫=⋅-+-+⋅=-++=-+⎪⎭四边形，当且仅当12x =.11.【答案】C【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，主要考查双曲线的标准方程､双曲线的简单几何性质等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查数学运算､逻辑推理及直观想象等数学核心素养.【解析】该双曲线的渐近线方程为33y x =±，则60AOB ∠= ，若OAB 为直角三角形，则只可能90OAB ∠= 或者90OBA ∠= ，这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可.如图所示，在Rt 1OAF 中，有111,2,AF b OF c AO a ======又60,AOB OB ∠== ，3AB =，所以332OAB S = .12.【答案】A【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，设计函数与方程､导数综合应用问题，主要考查利用导数研究函数性质等基础知识；考查函数与方程､数形结合､分类与整合､化归与转化等思想方法，考查数学抽象､逻辑推理等数学核心素养.【解析】依题意，()()2e xf x x =+'，可知2x <-时，()0,2f x x <>-'时，()0f x '>，则x =-2时，()f x 取得极小值()212ef -=-，也即为最小值；又()1ln 1,0e a g x x a x --'=++<<时，()10,e a g x x --<>'时，()0g x '>，则1e a x --=时，()g x 取得极小值()11e e a a g ----=-，也即为()g x 最小值.由121e ea ---=-，解得1a =.因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >->，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1ttt t x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln th t t --='，当()120e ,0t h t -<'<>，当()12e ,0t h t ->'<，故12et -=时，()h t 取极大值12e e 2h -⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】13i 22-【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查复数的概念及除法运算等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养.【解析】21i 22z ==-.14.【答案】27【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查等差数列的性质､前n 项和等基础知识；考查数学运算等数学核心素养.【解析】{}n a 为等差数列，4763a a a +=+得5663a a a +=+，所以53a =，则()199599272a a S a +===.15.【答案】263【考查意图】本小题设置数学探索创新情境，考查空间点､线､面位置关系､直线与平面所成的角､三棱锥的体积公式等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】如图，取AB 的中点F ，连接DF ，与AE 交于点H .由翻折前后的不变性可知，PH AE ⊥.由已知，四边形DEFA 为正方形，则,DF AE AE ⊥⊥平面PDF ，所以PHF ∠为平面PAE 与平面ABCE 所成角的平面角；且平面ABCE ⊥平面PDF ，即P 在平面ABCE 上的射影O 在直线DF 上（点O 在线段DH 或HF 上均可）.由题意可知，在Rt PHO中，60,PHO PH ∠==，则62PO =，又4ABC S = ，则16264323P ABC V -=⨯⨯=.16.【答案】1y x =±+【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与抛物线的位置关系载体，考查抛物线的定义､标准方程和几何性质､圆的方程､直线与圆的位置关系等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】如图，设200,4x M x ⎛⎫⎪⎝⎭，设AB 与MC 交于.H AB MC ⊥，Rt ACM 中，2AH MC AC MA MA ⋅=⋅==，而2AB AH =，则2AB MC AH MC ⋅=⋅=CM 最小时，AB MC ⋅取最小值.而CM ===，当且仅当204x =时，取得最小值，此时()2,1M ±.此时，AB 的直线方程为1y x =±+.亦可构造一个以M 为圆心，MA 为半径的圆：22(2)(1)4x y +-= ，与圆22:(3)4C x y +-=的方程相减，可得AB 的直线方程：1y x =±+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.（12分）【考查意图】本小题设置生活实践情境，设计果苗病虫害调查相关的概率与统计问题，主要考查离直方图识别､统计量计算和概率等基础知识；考查数据分析､数学建模及数学运算等数学核心素养.【解析】（1）由频率分布直方图得该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度为：()0.02522.50.05527.50.06532.50.04537.50.02542.50.01547.533cm h =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间[)30,45的频率为：()0.060.040.0250.6++⨯=.所以，估计该苗圃一颗受到这种病虫害的果苗高度位于区间[)30,45的概率为0.6.（3）设从苗圃中任选一棵高度位于区间[)40,50的果苗为事件A ，该棵果苗受到这种病虫害为事件B ，则()()()()3%0.020.0150.022520%P AB P BA P A ⨯+⨯===∣.18.（12分）【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查正弦定理､余弦定理，三角形面积公式，角平分线定义及性质等基础知识；考查化归与转化思想，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】（1）解法一：由1cos 2c b a C +=及正弦定理，可得1sin sin sin cos 2C B A C +=.又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以1sin cos sin 02C A C +=.又在ABC 中，sin 0C ≠，故1cos 2A =-，所以2π3A =.解法二：由1cos 2c b a C +=及余弦定理，可得222122a b c c b a ab+-+=⋅.即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-.故2π3A =.（2）由（1）知2ππ,33BAC BAD DAC ∠∠∠===.又3,5,ABC ABD ACD b c S S S ===+ ，所以12π1π1πsin sin sin 232323bc c AD b AD =⋅⋅+⋅⋅.所以158AD =.说明：本小题可用平面几何的方法解答：过点D 作AC 的平行线交AB 于点E ，则ADE 为等边三角形（边长为x ），于是535x x -=，解得158x =.19.（12分）【考查意图】本小题设置数学学习､探索创新情境，以四棱锥中的线面关系为载体，主要考查多面体的结构特征､平面与平面垂直的性质定理等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法，考直观想象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）因为平面PAD ⊥平面,PCD AD PD ⊥，所以，AD ⊥平面PCD .又AD ∥BC ，所以，BC ⊥平面,PCD BC ⊂平面PBC .所以，平面PBC ⊥平面PCD .（2）AD ∥,BC BC ⊂平面,PBC AD ⊄平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又平面PAD ⋂平面PBC 的交线,l AD =⊂平面PAD ，所以l ∥AD （可知直线l 与平面PAB 所成角等于直线AD 与平面PAB 所成角）.由直线l 与直线AB 所成的角为π4，知3π4DAB ∠=.可推出4,BC AB ==.由（1）可知，AD ⊥平面PCD ，即平面ABCD ⊥平面PCD .过P 作直线CD 的垂线，垂足为H ，则PH ⊥平面ABCD .方法1：PC =，则30CPD DCP ∠∠== ，则120,2,PDC PD PH ∠=== .PA AB PBC ==是一个直角三角形，222,PB BC PC PB =+=，12sin1352,2DAB PAB S S =⨯⨯== 设点D 到平面PAB 的距离为h ，由D PAB P ABD V V --=，得1133PAB DAB S h S PH ⋅⋅=⋅⋅ ，解得7h =.直线l 与平面PAB所成角的正弦值为221727h AD ==.方法2：以H 为坐标原点，分别以向量,,DA HD HP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系.则()()()(2,1,0,4,3,0,0,1,0,0,0,A B D P ，()()(2,0,0,2,2,0,2,1,DA AB AP ===-- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,20.x y x y +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩取x =，得1y z ==，则平面PAB的一个法向量为)n = .又()2,0,0AD = ，令直线AD 与平面PAB 所成角为α，则sin7AD nAD nα⋅==⋅.所以，直线l与平面PAB所成角的正弦值为7.20.（12分）【考查意图】本小题设置探索创新情境，以直线与椭圆的位置关系为载体，主要考查椭圆的方程､椭圆的简单几何性质､直线与椭圆的位置关系；考查数形结合､函数与方程､化归与转化､分类与整合等思想方法，考查数学运算､逻辑推理等数学核心素养.【解析】（1）由题意，曲线C的离心率0,2e d x==.显然，2214x y+=，即22044xy-=.又因为MF=，所以((2220220022004344434333xxx yMFdx x-++⎛⎫===⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2MFd=，即MFed=.（2）设点,P Q的坐标分别为()()1122,,,x y x y.由题意，当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x ty=+.联立方程组221,4x tyx y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x并整理得，()22410t y++-=.此方程有两个不等实根，分别为12,yy，且满足1212221,44y y y yt t+=-=-++.由已知，点R的坐标为143,3y⎛⎫⎪⎪⎝⎭，则直线QR 的方程为12433433y x y⎛⎫=-+⎪⎪⎭.根据椭圆的对称性可知，如果直线QR 过定点，则此定点一定在x 轴上.令0y =，可得211124333x y y x y y --=-.而221224x ty y y t =+=-+，所以2111211212433333x y y ty y y x y y y y ---==--123436t y t --==-=-.此时，736x =为定值.当直线PQ 的斜率为0时，直线QR 与直线PQ重合，必然过点,06⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.综上，直线QR过定点，定点的坐标为,06⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.21.（12分）【考查意图】本小题设置探索创新情境，以函数与不等式为载体，设计不等式､函数零点问题，主要考查函数性质､导数应用等基础知识；考查化归与转化､函数与方程等数学思想，考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）令()()21ln 1(0)g x f x ax x x a x =-=+--->，则()()121,10g x ax g x=+-='.①当0a >时，知()g x '在()0,∞+上单调递增.又()()2222125120,140442a g a g a a a a⎛⎫=>='+-+--< ++⎝⎭'⎪ ，则()0021,1,04x g x a ⎛⎫∃⎪⎭'∈= +⎝.当0x x >时，由于()g x '单调递增，则()0g x '>，所以()g x 在()0,x ∞+上单调递增.又()10g =，所以当01x x <<时，()0g x <，即()1f x <，不符题意.②当0a =时，()()()111ln 1(0),1x g x f x x x x g x x x -=-=-->=-='.可知当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.所以当1x =时，()g x 取得极小值，也即为最小值，该最小值为()10g =.所以()()10g x f x =- ，即()1f x ，不等式成立.③当0a <时，可x ∞→+时，()g x ∞→-，故()1f x 不恒成立，不符题意.综上所述，a 的值为0.（2）欲证()()1212ln 2f x x x x a +++>-，只需证()()()()212121212ln ln 2a x x x x x x a x x a +++-+-++>-，即证明()()212122a x x x x +++>，因为22111222ln 0,ln 0ax x x a ax x x a +--=+--=，两式相减，得()()()()12121212ln ln 0a x x x x x x x x +-+---=，整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=--，所以，只需证明不等式()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫--+++> ⎪-⎝⎭，即证明()121212ln ln 2x x x x x x -+>-，即证明121122ln 121x x x x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-，不妨设120x x <<，令12x t x =，则01t <<，只需证明()ln 121t t t +>-，即证明()()1ln 210(01)t t t t +--<<<即可，令()()()1ln 21(01)h t t t t t =+--<<，则()1ln 1h t t t =+-'，又令()()1ln 1(01)u t h t t t t '==+-<<，则()221110t u t t t t'-=-=<，所以，当01t <<时，()u x ，即()h t '单调递减，则()()10h t h '>='，则01t <<时，()h t 单调递增，则()()10h t h <=，所以，原不等式成立，故不等式()()1212ln 2f x x x x a +++>-得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【考查意图】本小题设置数学学习情境，主要考查直线的参数方程､圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系等基础知识；考查化归与转化､数形结合等思想方法；考查数学运算､推理论证､直观想象等数学核心素养.【解析】（1）直线l的一个参数方程为2,242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.由上，直线l 与x 轴的交点坐标()2,0Q .所以，圆Q 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）由（1）可知，直线l 的倾斜角为45 ，圆Q 的圆心为()2,0Q ，半径为2.如图，易知2M N y y OQ ===，所以MON的面积11222M N S OQ y y =-=⨯说明：本小题亦可用几何关系求出点O 到直线l 的距离d ，用12d MN 求出面积；还可在直角坐标系内用普通方程､在极坐标系内求出点,M N 的坐标求解.23.[选修45-：不等式选讲]（10分）【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查均值不等式､不等式证明方法等基础知识；考查化归与转化等思想方法，考查逻辑推理､数学运算等数学核心素养.【解析】（1）当1x <-时，()315f x x x =-+- ，解得21x -<- ；当()11,35x f x x x -=-+- ，得11x - ；当1x >时，()315f x x x =-- ，可得312x -.综上所述，()5f x x - 的解集为322x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（2）由（1）知，当1x <-时，()314f x x =-+>；当11x - 时，()32;f x x x =-+> 1时，()312f x x =->，则()f x 的最小值为2，即2M =.故2,02,02a b a b +=<<<<，()222222(2)(2)4444448b a a b a a b b a b a b a b a b a b---+-++=+=+=+++-()4411626a b a b a b ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭2262262b a a b ⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==取“=”.所以222b a a b + .。
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潍坊实验中学第一次单元检测数学（理）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．A 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．11．212．713．114．1415．92三、解答题：本大题共6小题，共75分．16. 解：（Ⅰ）π()sin(cos)cos cos)2f x x x x x x x=++=+---------1分211π1cos cos2cos2sin22262x x x x x x⎛⎫=+=++=++⎪⎝⎭， ------3分所以()f x的最小正周期为πT=，---------------------------------------4分∵x∈R∴π1cos213x⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭，故()f x的值域为13[]22-，. --------------6分Ⅱπ1()sin(2)162f A A=++=，得π1sin(2)62A+=，(0π)A∈，，ππ7π2()666A+∈，，π3A∴=. _8分在ABC△中，由余弦定理，得222π2cos3a b c bc=+-=2()3b c bc+-，又a=，3b c+=，所以2bc=，-----------------------------------10分所以，ABC△的面积1π1sin223222S bc==⨯⨯=. ----------------12分17．解：(Ⅰ) 设等差数列{a n}的公差为d，由a2＋a6＝6，S3＝5得11266335a da d+=⎧⎨+=⎩，---------------------------2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d＝23，-----------------------------------------------4分∴a n＝23n＋13.------------------------------------------------5分(Ⅱ)当n≥2时，b n＝1a n a n－1＝1⎝⎛⎭⎫23n＋13·⎝⎛⎭⎫23n－13＝92⎝⎛⎭⎫12n－1－12n＋1,--------6分当n＝1时，上式同样成立，-----------------------------------7分∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝92⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝92⎝⎛⎭⎫1－12n＋1,----------------9分又92⎝⎛⎭⎫1－12n＋1随n递增，且92⎝⎛⎭⎫1－12n＋1＜92·1≤m，----------------10分又m∈*N，∴m≥5，----------------------------------------11分∴m的最小值为5．--------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件A，则2323551()10A AP AA==．--------------------------------------3分(Ⅱ)随机变量X的可能的值为0，1，2，3．---------------------4分1424552(0),5C AP XA===------------------------------------5分113323553(1),10C C AP XA===----------------------------------7分21123222551(2),5C C C AP XA===--------------------------------9分1323551(3).10C AP XA===-----------------------------------10分因为321101231510510EX=⨯+⨯+⨯+⨯=．------------------12分18．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)1//,,2AD BC BC AD=Q为AD的中点，//,DQ BC DQ BC∴=且所以四边形BCDQ是平行四边形，-----------------------1分//.BQ CD∴90,ADC∠=︒90,AQB∴∠=︒即.BQ AD⊥-----------------------2分∵P A=PD，.PQ AD∴⊥又,PQ BQ Q=.AD PBQ∴⊥平面-----------------------4分,AD PAD⊂平面所以平面PQB⊥平面P AD. -------------5分(Ⅱ) ∵平面P AD ⊥平面ABCD ,且平面P AD ∩平面ABCD =AD ， 又PQ AD ⊥，且,PQ PAD ⊂平面.PQ ABCD ∴⊥平面 -----------------------6分以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为z 轴建立空间直角坐标系，则平面BQC的一个法向量(001)(),(()Q P C =-，，，0,0,00,0,10.n ---7分 设满足条件的点(,,)M x y z 存在，则(,,(1,),PM x y z MC x y z ==---令,PM tMC =其中0,t >(1)),()x t x y t y z t z =--⎧⎪∴=⎨⎪=-⎩,1t x t y z ⎧=-+⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪=⎪⎩在平面MBQ中，(1t QB QM t ==-+ ----------9分设平面MBQ 的一个法向量111(,,).x y z =m则有11110,0.tx ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴平面MBQ的一个法向量).t =m -----------------------10分 二面角M BQ C --为30,︒cos30||||⋅∴︒===|n m |n m解得 3.t = -----------------------11分 所以满足条件的点M 存在，M 是棱PC 的靠近点C 的四等分点. ------12分 20．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）设右焦点的坐标为(,0)c依题意知，22214,1,2a b c c a =+===2223,a c b =-=∴-------------2分 所以，椭圆C分（Ⅱ）设过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为(1)y k x =-，22224)84120k x k x k +-+-=，-------4分其中，2144(1)k ∆=+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，----------------------------5分 312122286()223434k ky y k x x k k k k-+=+-=-=++∴，----------------6分 因为P 为线段AB 的中点，所以，点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭．故点P 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，-----------------------------7分又直线PD 的斜率为1k-， 直线PD 的方程为222314()3434k k y x k k k --=--++，------------------9分 令0y =得，2234k x k =+，则点D 的坐标为22,034k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以，||DP ==，-------10分又||AB ==2212(1)34k k +==+．-----------------11分所以，22||3412(1)||34DP k k AB k +===++，-------------12分 又211,k +> 2101,1k <<+∴1.40<∴< 所以，||||DP AB 的取值范围是1(0,).4------------------------------13分 21．（本小题满分14 分） 解：（Ⅰ）由题意，()2(2)2af x x x x '=->-+，-----------------1分 ∵函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <， ∴关于x 的方程202ax x -=+， 即2240x x a +-=在(2,)-+∞内有两个不相等实根．--------------2分令2()24x x x a ϕ=+-，则1680,(2)0.a ϕ∆=+>⎧⎨->⎩-----------------------------------------3分解得20a -<<．所以，实数a 的取值范围(2,0)-．-------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12122,22,10.a x x x x x ⎧=-⎪⎪+=-⎨⎪-<<⎪⎩21122222ln(2)42(2)ln()4x a x x x x x x -+==+-+-+，---------10分令2x x -=，则01x <<42(2)ln 4x x x x=--+-+， 令4()2(2)ln 4(01)F x x x x x x=--+-+<<，则------------------11分 2242(2)44()12ln 2ln 1(01)x F x x x x x x x x-'=-+++=-++<<------12分 ∴23238422(24)()x x F x x x x x+-''=-++=， ∵01x <<，∴()0F x ''<即()F x '在(0,1)上是减函数，∴()(1)10F x F ''>=>，∴()F x 在(0,1)上是增函数，------------13分 ∴()(1)1Fx F <=-1<-， 所以，12()10f x x +<．------------------------------------14分。