步步高大一轮复习讲义高三数学5.3平面向量的数量积

§5.3 平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量________叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________．规定：零向量与任一向量的数量积为______．两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是__________，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是__________． 2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影____________的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝__________；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔__________； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝__________；当a 与b 反向时，a·b ＝____________，a·a ＝____________，|a |＝__________； (4)cos θ＝____________； (5)|a·b |______|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝__________(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝____________.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝__________或|a |＝__________.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝____________. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔____________. [难点正本 疑点清源] 1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b )c 不一定等于a (b·c )．这是由于(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．1．(课本改编题)已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________． 3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．4．(课本精选题)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有________(填序号)． ①(a·b )c －(c·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b·c )a －(a·c )b 不与c 垂直； ④(3a ＋4b )·(3a －4b )＝9|a |2－16|b |2.5．(2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12题型一 平面向量的数量积的运算例1 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．(1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →等于( ) A ．2 3B.32C.33D. 3题型二 向量的夹角与向量的模例2 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)(浙江高考改编)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角． 题型三 平面向量的垂直问题例3 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算中，a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )．3.三审图形抓特点试题：(5分)如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝x AB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________. 审题路线图图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB |＝1，|AC |＝1↓(一副三角板的两斜边等长) |DE |＝|BC |＝ 2↓(非等腰三角板的特点) |BD |＝|DE |sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD ＝45°＋90°＝135°)AD →在AB →上的投影即为x↓x ＝|AB |＋|BD |cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD →在AC →上的投影即y↓y ＝|BD |·sin 45°＝62×22＝32.正确答案 1＋32 32解析 方法一 结合图形特点，设向量AB →，AC →为单位向量，由AD →＝x AB →＋y AC →知，x ，y 分别为AD →在AB →，AC →上的投影．又|BC |＝|DE |＝2，∴|BD →|＝|DE |·sin 60°＝62. ∴AD →在AB →上的投影x ＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32，AD →在AC →上的投影y ＝62sin 45°＝32. 方法二 ∵AD →＝x AB →＋yAC →，又AD →＝AB →＋BD →， ∴AB →＋BD →＝x AB →＋y AC →，∴BD →＝(x －1)AB →＋yAC →. 又AC →⊥AB →，∴BD →·AB →＝(x －1)AB →2. 设|AB →|＝1，则由题意|DE →|＝|BC →|＝ 2. 又∠BED ＝60°，∴|BD →|＝62. 显然BD →与AB →的夹角为45°.∴由BD →·AB →＝(x －1)AB →2，得62×1×cos 45°＝(x －1)×12.∴x ＝32＋1. 同理，在BD →＝(x －1)AB →＋y AC →两边在AC →取数量积可得y ＝32. 点评 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，比较方法一，略显繁杂.方法与技巧1．向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(λa ＋μb )·(s a ＋t b )＝λs a 2＋(λt ＋μs )a·b ＋μt b 2(λ，μ，s ，t ↔R )．2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .3．一般地，(a·b )c ≠(b·c )a 即乘法的结合律不成立．因a·b 是一个数量，所以(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c )a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a·b )c ≠(b·c )a .4．a·b ＝a·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，〈AB →，BC →〉应为120°，而不是60°.课时规范训练(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题1．(2011·大纲全国)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b |等于( )A. 2B. 3C. 5D.72．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛－79，－73 3．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32二、填空题4．(2011·课标全国)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.5．(2011·江西)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.6．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________． 三、解答题7．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．B 组 专项能力提升题组一、选择题1．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．22．已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋b＋c |>1，则实数k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)二、填空题4．(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．5．已知向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________．6．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 三、解答题7．设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．8．设两向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．答案要点梳理1．|a ||b |cos θ a ·b ＝|a ||b |cos θ 0 a·b ＝0 a·b ＝±|a||b| 2．|b |cos θ3．(1)|a |cos θ (2)a·b ＝0 (3)|a||b| －|a||b| a 2 a·a (4)a·b|a||b|(5)≤4．(1)b·a (2)λ(a·b ) a ·(λb ) (3)a·c ＋b·c 5．x 1x 2＋y 1y 2 (1)x 2＋y 2x 2＋y 2(2)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(3)x 1x 2＋y 1y 2＝0基础自测1．－32 2.32 3.655 4.②④ 5.D题型分类·深度剖析 例12变式训练1 (1)－3 (2)D例2 解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a·b －27＝61， ∴a·b ＝－6. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积． |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3， ∴∠ABC ＝π－2π3＝π3又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， ∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 变式训练2 解 (1)∵β＝(2,0)， ∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )·a ＝a 2＋a·b ＋a·c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2a·c ＋2b·c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b ＋c )·a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°. 例3 (1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos (β－α)＋1， |a －k b |＝1－2k cos (β－α)＋k 2. ∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.而0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.变式训练3 (1)证明 ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解 ∵c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，∴c·d ＝[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b ) ＝－k a 2＋t (t 2－3)b 2＋[t －k (t 2－3)]a·b ＝0， 又a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝1，a·b ＝0， ∴c·d ＝－4k ＋t 3－3t ＝0，∴k ＝f (t )＝t 3－3t4 (t ≠0)．课时规范训练 A 组1．B 2.D 3.D 4．1 5．－66．(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，327．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0 (n >1)，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5. 又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)， (c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．8．解 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0， 得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.B 组1．B 2．A 3．C 4.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 5．4 6．37．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0， 故a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ↔Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.8．解 e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.∵向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴2t 2＋15t ＋7<0.∴－7<t <－12. 假设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝t λ ⇒2t 2＝7⇒t ＝－142，λ＝－14. ∴当t ＝－142时，2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π，不符合题意． ∴t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.。