人教版五年级下册数学第三单元《长方体和正方体的认识》知识点

第三单元《长方体和正方体》
1.长方体：由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫长方体.长方体的任意一个面的对面都与它完全相同。

2.长、宽、高：长方体的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

3.长方体的特征
(1)长方体有6个面,每个面都是长方形,至少有两个相对的两个面完全相同。

特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且完全相同。

(3)长方体有12条棱，相对的棱长度相等。

可分为三组，每一组有4条棱。

还可分为四组，每一组有3条棱。

(3)长方体有8个顶点。

每个顶点连接三条棱。

(4) 长方体相邻的两条棱互相（相互）垂直。

长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

顶点个数面棱
个数大小关系条数长度关系
8 6 相对的面相
等 12 平行的棱长
相等
4.棱长总和公式：
长方体棱长总和=4条长+4条宽+4条高＝（长+高+宽）×4
宽=棱长之和÷4－长－高
长＝棱长之和÷4－宽－高
高＝棱长之和÷4－宽－长
二、正方体的认识：
1. 正方体的认识：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。

正方体有6个面，12条棱，8个顶点，每个面都是正方形，面积都相等。

每条棱的长度都相等。

正方体的长、宽、高都相等，统称棱长。

2.长方体和正方体的关系：正方体是一种特殊的长方体。

3．正方体棱长之和：
棱长×１２=棱长之和
棱长之和÷１２＝棱长
4.长方体的表面积
（1）长方体和正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

（2）表面积计算公式
①.因为长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面,相对的2个面相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。

②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
用字母表示： S=（ab＋ah＋bh）×2
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积S：
S = 2ab + 2bc+ 2ca = 2 ( ab + bc + ca)
长方体没盖的表面积＝长×宽＋长×高×2 ＋宽×高×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）
正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。

5.长方体的体积
.物体所占空间的大小叫做物体的体积。

．常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成cm3，dm3，m3
长方体的体积=长×宽×高
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V：
V = abc=Sh
6.长方体的棱长
长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4
长方体棱长字母公式C=4(a+b+c)
相对的棱长长度相等
长方体棱长分为3组，每组4条棱。

每一组的棱长度相等
7.正方体：
侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。

正方体是特殊的长方体。

8.正方体的特征
（1）有6个面，每个面完全相同。

（2）有8个顶点。

（3）有12条棱，每条棱长度相等。

（4）相邻的两条棱互相（相互）垂直。

9.正方体的表面积
因为6个面全部相等，所以正方体的表面积＝一个面的面积×6=棱长×棱长×6
设一个正方体的棱长为a，则它的表面积S：
正方体表面积＝棱长×棱长×6
正方体＝底面积×6
底面积＝表面积÷6
S=6×a×a或等于S=6a2;
正方体没盖的表面积＝棱长×棱长×5
10.正方体的体积
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：
V=a×a×a
11.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。

12．容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积
长方体体积（容积）＝长×宽×高 V=abh
a =Ｖ÷b÷h b=Ｖ÷a÷h h=Ｖ÷a÷b
正方体体积（容积）＝棱长×棱长×棱长 V=a³
长方体(或正方体)体积＝底面积×高 V=sh h=Ｖ÷ＳＳ=Ｖ÷h
13.1 m³ =1000 dm³ 1dm³=1000 cm ³
14.容积
(1). 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

(2). 计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。

(3). 长方体或正方体容器的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

(1)单位：常用容积单位升和毫升
(2). 1L=1000ml 1L=1 dm³ 1ml=1 cm³
(3）表面积扩大棱长倍数的平方倍，体积扩大棱长倍数的立方倍。

（4）.表面积的常用单位有：平方米、平方分米、平方厘米相邻两个面积单位之间的进率是100 1m2 =100dm2 1 dm2 =100 cm2
(5).生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。

(6).长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。

(7).长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。

三、长方体和正方体的体积
1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

是看物体含有多少个体积单位
2、常用的体积单位有： 立方米（m 3） 立方分米（dm 3 ） 立方厘米（cm 3 ） ① 棱长是1 cm 的正方体，体积是1 cm 3
② 棱长是1 dm 的正方体，体积是1 dm 3
③ 棱长是1 m 的正方体，体积是1 m 3
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1 m 3 =1000 dm 3 1 dm 3=1000 cm 3
7、容积： 容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。

8、容积单位有：升（L ）、 毫升（ml ） 1 L = 1000 ml
9、容积单位和体积单位的关系： 1 L = 1 dm 3 1 ml = 1 cm 3
10、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。

（所以物体的体积大于它的容积）。

11、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。

12、排水法：（计算不规则物体的体积）
13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

被浸没物体的体积等于
上升那部分水的体积
① 容器的底面积×上升那部分水的高度。

计算方法 ② 放入物体后的体积—原来水的体积。