学习k12精品专题11 几何体面积、体积的计算-2018年高考数学(文)母题题源系列(天津专版)
空间几何体的表面积和体积的解题方法-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱试卷 (word版含答案)
一．命题类型1.几何体的体积2.与球有关的面积问题3.空间几何体的体积、面积与函数的综合4.面积、体积的最值问题5.折、展、转等问题6.与三视图有关的几何体表面积和体积【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系是S′＝24S. (2)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.3.特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.二．命题类型举例及防陷阱措施1.几何体的体积例1. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如 “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12A A A B ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D∴当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时， AC BC ==此时“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积： 1222V ⎛=⨯=⎝ 故选D练习1. 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( ) A. 4π∶6π∶1 B. 6π∶4π∶2 C. 1∶3∶12π D. 1∶32∶6π【答案】D【解析】球中， 33331144,33266D V R D k D k ππππ⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭； 等边圆柱中， 23322,244D V D D k D k πππ⎛⎫=⋅==∴= ⎪⎝⎭； 正方体中， 3333,1V D k D k ==∴=； 所以12336::::11::642k k k πππ==.故选D. 练习2. 正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( ) A. 32 B. 92 C. 34 D. 94 【答案】B【解析】设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h 2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h 2，∴V V '＝92.选B. 练习3. 已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径R 的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ， E 是AB 的中点， PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于__________．【答案】33R 【解析】画出如下图形，练习4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.【答案】94【解析】因为E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，所以棱柱1111EFBC E F B C -的体积393344EFBC ABC ABC V S S S ∆∆=⨯=⨯=，设甲中水面的高度为h ，则99,44ABC ABC S h S h ∆∆⨯=∴=，故答案为94. 练习5. 已知球O 的直径PQ ＝4，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，△ABC 是等边三角形，且∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【解析】设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为O ，∵ABC 是等边三角形， 30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒∴P 在面ABC 的投影O 是等边ABC 的重心（此时四心合一）PQ 是直径，9043030330PCQ PC cos PO cos OC ∴∠=︒∴=︒=∴=︒==︒．．O 是等边ABC 的重心23OC OH ∴=∴等边ABC的高2360OH AC sin ===︒． 三棱锥P ABC -体积1113333224ABC V PO S =⋅=⨯⨯⨯⨯=练习6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A －B 1D 1D 的体积为________ cm 3.【答案】3 【解析】长方体 1111ABCD A BC D -中的底面ABCD 是正方形．连接AC 交BD 于O ，则AC BD ⊥，又1D D BD ⊥，2.与球有关的面积问题例2. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒， BC ， PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 163π B. 4π C. 323π D. 16π 【答案】C【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得(22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=， 此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.练习1. 18．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面0,90,4,ABC BAC AB AC PA PC ∠===== ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π【答案】D【解析】建系以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以A 点为原点，建系，球心一定在底面三角形ABC 的外心的正上方，设球心点坐标为O （2，2，z ）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知|OC|=|OP|即()224+1+z-1=4+4+ 1.z z ⇒=- 故圆心为()2,2,1-，半径为OC=3表面积为36π.故答案为：D.【方法总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。
专题11 几何体面积、体积的计算-2018年高考数学(文)母题题源系列
母题十一 几何体面积、体积的计算【母题原题1】【2018天津，文11】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为__________．【答案】13【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【母题原题2】【2017天津，文11】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=．【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法．【命题意图】 高考对本部分内容重点考查球的体积与表面积的计算．【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一是计算球的体积与表面积；二是已知球的体积与表面积求解相关问题．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求正方体的边长 根据正方体的表面积为18，求正方体的边长； 第二步：求外接球的半径 正方体的体对角线的一半； 第三步：下结论． 根据球的体积公式计算． 【方法总结】（1）若球的半径为R ，则其表面积为24R S π=，体积为334R V π=．（2）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a ．（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a2＋b2＋c2． （4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．（5）解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．1．【2018天津河北区二模】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．2．【2018天津上学期期末考试】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】由三视图可得该四棱柱的高为6；底面为梯形，且梯形的上、下底分别为2、4，梯形的高为2．故四棱柱的体积为．选C．3．【2018天津静海期中考试】已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果．详解：【名师点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．4．【2018天津实验中学期中考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥与正方体的组合体，所以体积为，选C．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．5．【2018天津耀华中学期中考试】一个球受热膨胀，表面积增加，那么球的半径增加了（）A．B．C．D．【答案】D8．【2018天津七校联考期中考试】在梯形ABCD中，π2ABC∠=，AD BC，222BC AD AB===．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．2π3B．4π3C．5π3D．2π【答案】C【解析】几何体为一个圆柱去掉一个圆锥，体积为2215121133πππ⨯⨯-⨯⨯⨯=，选C9．【2018天津耀华中学模拟三】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A ． 372cmB ． 390cmC ． 3108cmD ． 3138cm 【答案】B10．【2018天津南开中学模拟】一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________．【答案】．【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式求得结果．详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，利用相关数据可知圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故答案是．【名师点睛】该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的11．【2018天津部分区二模】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为_______．【答案】【名师点睛】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目．12．【2018天津河东区二模】麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．【答案】解得：r2=9，即r=3，可得一个麻团的体积V==36π．故答案为：36π【名师点睛】本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力．13．【2018天津市十二校二模】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，分别求出圆锥与球体的体积，求和即可．详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为，高为，体积为；球半径为，体积为，所以，该几何体的体积为，故答案为．【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．14．【2018天津9校联考】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】123π-15．【2018天津十二重点中学模拟】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________．【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：【名师点睛】本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法，属于中档题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．16．【2018天津部分区期末考】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________．【答案】36【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA 1=6，∴该四棱柱的体积为V=()12426362⨯+⨯⨯=．故答案为：36． 17．【2018天津实验中学期中考试】已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则这个长方体外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】长方体外接球的直径为长方体对角线长：方体外接球的表面积为18．【2018天津耀华中学期中考试】已知圆锥侧面展开图为中心角为的扇形，其面积为，圆锥的全面积为，则为__________．【答案】19．【2018天津七校联考期中】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为__________．【答案】()36πm + 【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体， 体积为213132163ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+20．【2018天津河东区期中】如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a 的取值范围为__________．【答案】356a 【解析】该几何体为棱长为a 的正方体截去一个三棱锥得到，则323115326V a a a a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭． 21．【2018天津一中月考五】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【名师点睛】本题考查由三视图还原几何体和组合体体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算能力，解答的关键是正确的由三视图得到几何体．22．【2018天津一中月考三】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】几何体如图，体积为()1124432⨯+⨯=23．【2018天津一中月考二】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．【答案】2 43π+【名师点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．。
(完整word)高中数学立体几何表面积与体积复习.docx
空间几何体的表面积与体积考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝S 圆锥侧＝S 圆台侧＝3.柱、锥、台、球的表面积和体积名称表面积体积几何体柱体 (棱柱和圆柱 )S 表面积＝S 侧＋ 2S 底V＝锥体 (棱锥和圆锥 )S表面积＝V＝台体 (棱台和圆台 )S表面积＝V＝球S＝V＝【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，①若球为正方体的外接球，则2R＝ 3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝ a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝ 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋ b2＋ c2题型一求空间几何体的表面积1.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________．3.各棱长均为 2 的正三棱锥的表面积是________．4.正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是 1cm，则它的侧面积为________cm2.已知圆锥的表面积等于π2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.5.12 cm题型二求空间几何体的体积1.如图，在正三棱柱 ABC－ A1B1C1中，已知 AB ＝ AA1＝ 3，点 P 在棱 CC1上，则三棱锥 P －ABA 1的体积为 ________．2. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个正三角形组成，则该多面体的体积是________．3.已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为 3，则该棱台的体积为 ________．4. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a， a 的矩形，求该圆柱的体积．题型三简单的等积变换1. 正三棱柱 ABC－ A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC 1的体积为 ________．高考汇编1.(2013 江·苏 )如图，在三棱柱 A1B1C1－ABC 中， D ，E，F 分别是 AB， AC，AA1的中点，设三棱锥 F－ ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1－ ABC 的体积为 V2，则 V1∶V2＝ ________.2.(2014 江·苏 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为V ，V .若它们的侧面积1212相等，且S1＝9，则V1的值是 ________．S4V223.(2015 江·苏 )现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，各一个，则新的底面半径为 ________．4 的圆锥和底面半径为2，高为 8 的圆但底面半径相同的新的圆锥和圆柱4.(2017.6)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1的值是 ______．O2V2O．O1（第 4 题）5. (2018.10) 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．6.(2016 江·苏 )现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P—A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD —A1B1C1D 1(如图所示 )，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的 4 倍．(1)若 AB＝ 6m， PO1＝ 2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V＝1× 62× 2＋ 62× 2× 4＝312(m3) ． 3(2)设 PO1＝ x，则 O1B1＝62－ x2， B1C1＝2· 62－ x2，∴ S A B C D＝2(62－x2)，1111又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.126则仓库容积 V＝3x·2(62－ x2)＋ 2(62－ x2) ·4x＝3 x(36－ x2)．由V′＝0 得 x＝ 2 3或 x＝－ 2 3(舍去 )．由实际意义知 V 在 x＝ 2 3(m) 时取到最大值，故当 PO1＝ 2 3(m) 时，仓库容积最大．。
2018高考数学热点题型--立体几何文科有解析
2018高考数学热点题型--立体几何（文科有解析）立体几何热点一平行、垂直关系的证明与体积的计算以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论证命制，主要考查公理4及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等.【例1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BE.又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)解设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，得BE⊥BG，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝13×12ACGDBE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋25.【类题通法】第一步：由线面垂直的性质，得AC⊥BE.第二步：根据线面、面面垂直的判定定理，得平面AEC⊥平面BED.第三步：由体积公式计算底面菱形的边长.第四步：计算各个侧面三角形的面积，得出结论.第五步：查看关键点，检验反思，规范步骤.【对点训练】在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB ＝3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C－VAB的体积等于13OCS△VAB＝33.又因为三棱锥V－ABC与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为33.热点二平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.【例2】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE的体积.(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD ＝CFCD，故AC∥E F，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝13×694×22＝2322.【类题通法】(1)①利用AC与EF平行，转化为证明EF与HD′垂直；②求五棱锥的体积需先求棱锥的高及底面的面积，结合图形特征可以发现OD′是棱锥的高，而底面的面积可以利用菱形ABCD与△DEF面积的差求解，这样就将问题转化为证明OD′与底面垂直以及求△DEF的面积问题了.(2)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.【对点训练】如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示.(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.(1)证明由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.热点三线、面位置关系中的开放存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型.【例3】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明如图所示，连接AC，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F为对角线BD的中点.所以对角线AC经过点F，又在△PAC中，点E为PC的中点，所以EF为△PAC的中位线，所以EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面解存在满足要求的点G.证明如下：在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC，因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中点G，连接FG，EG.因为F为BD中点，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD，又FG∩EF＝F，所以CD⊥平面EFG，又CD⊂平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.【类题通法】(1)在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本.(2)第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.【对点训练】如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC；若不存在，试说明理由.(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥S－ABCD是正四棱锥，所以SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD.(2)解在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.连接OP.设正方形ABCD的边长为a，则SC＝SD＝2a.由SD⊥平面PAC得SD⊥PC，易求得PD＝2a4.故可在SP上取一点N，使得PN＝PD.过点N作PC的平行线与SC交于点E，连接BE，BN.在△BDN中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，NE⊂平面BNE，BN⊂平面BNE，BN∩N E＝N，PO⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PO∩PC＝P，所以平面BEN∥平面PAC，所以BE∥平面PAC.因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1.。
专题16 几何体的表面积和体积 -2018年全国2卷文科数学高考模拟题分类汇编
专题16 几何体的表面积和体积【母题原题1】【2018课标2卷文16题】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【母题原题2】【2017课标II ，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.【母题原题3】【2017课标II ，文7】右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ).A.20πB.24πC.28πD.32π【答案】C【命题意图】通过考查几何体的表面积和体积等相关知识，考查数形结合思想和运算求解能力. 【命题规律】本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算．命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想. 【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步： 第一步：根据三视图还原几何体； 第二步：利用相关几何体的体积公式计算； 第三步：得结论。
【方法总结】1．空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 2．空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 3．空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图h形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．1．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD 是边长为23的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．92π【答案】C2．(2018·沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是( )A ．36＋610B ．36＋310C ．54D ．27【答案】A【解析】由三视图知该几何体的表面积为S ＝2×12×(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×10＝36＋610.3．(2018·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．45π＋96 B．(25＋6)π＋96C．(45＋4)π＋64 D．(45＋4)π＋96【答案】D4．【2018安徽六安市模拟】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为．选B．5．【2018东北师范大学附中模拟】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A． B．C． D．【答案】C【解析】6．【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． 1 B． 2 C． 3 D． 6【答案】B【解析】7．【2018江西南昌模拟】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱（如上右图），在直三棱柱中取的中点，取中点，,.故答案为：C8．(2017·青岛模拟)如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —PAC 与三棱锥D —PAC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶3【答案】DV 三棱锥D —PAC ＝V 三棱锥P —ACD ＝13S △ACD ·PP ′＝13S △ABC ·PP ′. ∴V 三棱锥N —PAC ∶V 三棱锥D —PAC ＝19∶13＝1∶3.9．【2018海南琼海模拟】把边长为3的正方形沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】10．(2018·大连调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．【答案】 1∶1【解析】由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V 圆锥＝13×π×23＝83π，V 半球＝12×43π×23＝163π，所以V 剩余＝V 半球－V 圆锥＝83π，故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1. 11. (2018·广州调研)已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．【答案】 16a 312.(2018·长沙质检)如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r＝________.【答案】233【解析】由水面高度升高r ，得圆柱体积增加了πR 2r ，恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有43πr 3＝πR 2r .故R r ＝233.13.(2018南昌一模)如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．【答案】(2＋3)π。
专题10 几何体的表面积与体积-2018年高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
精品高考数学2018年全揭秘《高考母题题源》系列母题十 几何体的表面积与体积【母题原题1】【2018江苏，理10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．【母题原题2】【2017江苏，理6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【母题原题3】【2015江苏，理9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【命题意图】 高考主要考查几何体的表面积和体积，考查基本求解能力.【命题规律】1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．同时还能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题．【方法总结】1. 几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．2. 有关几何体体积的类型及解题策略1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为__________．2．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．3．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．5．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为______.6．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则__________．7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．8．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．9．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知在体积为的圆柱中，，分别是上、下底面直径，且，则三棱锥的体积为__________．10．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．。
2018届高考数学考点突破—空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积【考点梳理】1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.考点一、空间几何体的表面积【例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案](1)B (2)A[解析](1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【类题通法】1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81[答案]B[解析]由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.2．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案]B[解析]如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.考点二、空间几何体的体积【例2】(1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.[答案](1)C (2)2[解析](1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2. 【类题通法】1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.[答案]83π[解析]由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.2．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD．1＋26π[答案]C[解析]由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.考点三、多面体与球的切、接问题【例3】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3[答案]B[解析]由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.[变式1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解析]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[变式2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解析]如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16. 【类题通法】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 【对点训练】已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π[答案]C[解析]如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O-ABC最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.。
【高三数学试题精选】2018届高考文科数学第一轮空间几何体及其表面积与体积单元练习题(附答案)
2018届高考文科数学第一轮空间几何体及其表面积与体积
单元练习题（附答案）
5 c 第十单元立体几何
第一节空间几何体及其表面积与体积
一、填空题
1 (22a2=12-a22，所以体积为V=13a2h=13a212-12a2=
1312a4-12a6，设=12a4-12a6，则′=48a3-3a5，令′=0解得a=0或4，易得当a=4时，V最大，此时h=2
10 设球的半径为R，则43 R3= 3，解得R3=14，而正三棱柱底面内切圆半径r=36 2=33，则R6=116，r6=127，则R6＞r6，即R＞r，故这样的桶里不能放进一个体积为 3的小球．
11 (1)当仓库底面直径比原大4 时，底面半径为8 ，高为4 ，体积V1=13 82 4=2563 3；
当仓库的高比原大4 时，底面半径为6 ，高为6 ，体积为V2=13 62 8=96 2
(2)当仓库底面直径比原大4 时，底面半径为8 ，高为4 ，
侧面积为S1= 8 82+42=325 3
当仓库高度比原大4 时，底面半径为6 ，高为8 ，
侧面积为S2= 6 82+62=60 2
(3)∵V1S1=835，V2S2=85，且835＜85
所以第二个方案更经济一些．
5 c。
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母题十一 几何体面积、体积的计算【母题原题1】【2018天津，文11】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为__________．【答案】13【名师点睛】本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 【母题原题2】【2017天津，文11】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=．【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法．【命题意图】 高考对本部分内容重点考查球的体积与表面积的计算．【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一是计算球的体积与表面积；二是已知球的体积与表面积求解相关问题．【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：求正方体的边长 根据正方体的表面积为18，求正方体的边长； 第二步：求外接球的半径 正方体的体对角线的一半； 第三步：下结论． 根据球的体积公式计算． 【方法总结】（1）若球的半径为R ，则其表面积为24R S π=，体积为334R V π=．（2）正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a ．（3）长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a2＋b2＋c2． （4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．（5）解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．1．【2018天津河北区二模】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．2．【2018天津上学期期末考试】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】C【解析】由三视图可得该四棱柱的高为6；底面为梯形，且梯形的上、下底分别为2、4，梯形的高为2．故四棱柱的体积为．选C．3．【2018天津静海期中考试】已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：该几何体的表面积由两个直角三角形的底面与三个矩形的侧面组成，求出直角三角形的面积与矩形的面积即可得结果．详解：【名师点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．4．【2018天津实验中学期中考试】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥与正方体的组合体，所以体积为，选C ．【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 5．【2018天津耀华中学期中考试】一个球受热膨胀，表面积增加，那么球的半径增加了（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D8．【2018天津七校联考期中考试】在梯形ABCD 中， π2ABC ∠=， AD BC ， 222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．2π3 B ． 4π3 C ． 5π3D ． 2π 【答案】C【解析】几何体为一个圆柱去掉一个圆锥，体积为2215121133πππ⨯⨯-⨯⨯⨯=，选C 9．【2018天津耀华中学模拟三】某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 372cmB ． 390cmC ． 3108cmD ． 3138cm【答案】B10．【2018天津南开中学模拟】一个几何体的三视图如图所示（单位：)，则该几何体的体积为__________．【答案】．【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，分析得到其为一个圆柱和一个圆锥的组合体，所以其体积为圆柱和圆锥的体积之和，结合图中所给的数据，利用体积公式求得结果．详解：根据题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，可以得到几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，利用相关数据可知圆柱的体积为，圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故答案是．【名师点睛】该题考查的是有关根据几何体的三视图求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体是解题的关键，之后利用图中的相关数据，结合体积公式求得结果，注意组合体的体积在求解的11．【2018天津部分区二模】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_______．【答案】【名师点睛】本题考查了应用空间几何体的三视图求体积的问题，是基础题目．12．【2018天津河东区二模】麻团又叫煎堆，呈球形，华北地区称麻团，是一种古老的中华传统特色油炸面食，寓意团圆．制作时以糯米粉团炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等馅料，有些没有．一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团，它们彼此相切，同时与长方体纸盒上下底和侧面均相切，其俯视图如图所示，若长方体纸盒的表面积为576 ，则一个麻团的体积为_______．【答案】解得：r2=9，即r=3，可得一个麻团的体积V==36π．故答案为：36π【名师点睛】本题主要考查球的体积，考查几何体的内切球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间观察想象能力．13．【2018天津市十二校二模】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，分别求出圆锥与球体的体积，求和即可．详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为，高为，体积为；球半径为，体积为，所以，该几何体的体积为，故答案为．【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状．14．【2018天津9校联考】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】123π-15．【2018天津十二重点中学模拟】如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________．【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：【名师点睛】本题主要考查三棱柱外接球表面积的求法，属于中档题．要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径．16．【2018天津部分区期末考】一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________．【答案】36【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA 1=6，∴该四棱柱的体积为V=()12426362⨯+⨯⨯=．故答案为：36． 17．【2018天津实验中学期中考试】已知一个长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则这个长方体外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】长方体外接球的直径为长方体对角线长：方体外接球的表面积为18．【2018天津耀华中学期中考试】已知圆锥侧面展开图为中心角为的扇形，其面积为，圆锥的全面积为，则为__________．【答案】19．【2018天津七校联考期中】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为__________．【答案】()36πm + 【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体， 体积为213132163ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+20．【2018天津河东区期中】如图，一个几何体的三视图的轮廓均为边长为a 的取值范围为__________．【答案】356a 【解析】该几何体为棱长为a 的正方体截去一个三棱锥得到，则323115326V a a a a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭． 21．【2018天津一中月考五】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【名师点睛】本题考查由三视图还原几何体和组合体体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算能力，解答的关键是正确的由三视图得到几何体．22．【2018天津一中月考三】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】几何体如图，体积为()1124432⨯+⨯=23．【2018天津一中月考二】如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．【答案】2 43π+【名师点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．。