江苏省常州市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案

常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：1=3V Sh 圆锥，其中S 是圆锥的底面积，h 是高. 样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．. 1.若集合{2,0,1}A =-，2{1}B x x =>，则集合AB = ▲ .2命题“[0,1]x ∃∈，210x -≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）. 3.若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z = ▲ .4.若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ .6.函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1，2，⋅⋅⋅，6），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为▲ .7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ .8.各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10x y ++=与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ .10.已知实数x ，y 满足0,220,240,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则x y +的取值范围是 ▲ .11.已知函数()ln f x bx x =+，其中b R ∈，若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，则k b -的值为 ▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ，B ，C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ .13.在ABC ∆中，5AB =， 7AC =，3BC =，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足1()4BP BA BC R λλ=+∈，则BA BP ⋅的取值范围为 ▲ ． 14.已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 3sin cos +b C c B c =， （1）求角B ； （2）若2b ac =，求11tan tan A C+的值. 16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P 、C 的一点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）过点Q 和的AD 平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：//QF BC . 17.已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O .点光源从M 发出，小明在地上的影子记作'AB .（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求'AB 扫过的图形面积； （2）若3OA =米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，13OAA π∠=，且110AA =米.t 秒时，小明在地面上的影子长度记为()f t （单位:米），求()f t 的表达式与最小值.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于M ，N 两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点.已知AM MN ⊥，且243OA OM b ⋅=.（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POE S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程. 19.已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*()n N ∈.数列{}n b 满足22*11()n n n n n a a b n N a a +++=∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b *(,)s t N ∈使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q .20.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲在ABC ∆中，N 是边AC 上一点，且2CN AN =，AB 与NBC ∆的外接圆相切，求BCBN的值.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵421A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求：（1）实数a 的值；（2）矩阵A 的特征向量. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=l与曲线C 交于M ，N 两点，求MN 的长. D.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，求证:3322a b ab a b+≥+. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制). （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ.23.记11(1)()()2x x x n+⨯+⨯⋅⋅⋅⨯+（2n ≥且*n N ∈）的展开式中含x 项的系数为n S ，含2x 项的系数为n T . （1）求n S ；（2）若2nnT an bn c S =++，对2,3,4n =成立，求实数,,a b c 的值； （3）对（2）中的实数,,a b c 用数字归纳法证明：对任意2n ≥且*n N ∈，2nnT an bn c S =++都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参考答案一、填空题1. {2}-2.真3.14. 25.76.567.310.[2,8] 11.1e 12.34π 13.525[,]84二、解答题15.解：（1sin cos C B c =+sin cos sin sin B C B C C ==，ABC ∆中，sin 0C >，cos 1s B B -=，所以1sin()62B π-=，5666B πππ-<-<， 66B ππ-=，所以3B π=；（2）因为2b ac =，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，11tan tan A C +=cos cos sin sin A C A C +=cos sin sin cos sin sin A C A C A C +sin()sin sin A C A C +=sin()sin sin B A Cπ-=sin sin sin B A C=所以，211sin 1tan tan sin sin 3B A C B B +====.16.（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PC ⊥，记AC ，BD 交于点O ，平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点，又PBD ∆中，PB PD =， 所以BD OP ⊥， 又PCOP P =，PC ， OP ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC所以BD AC ⊥；（2）四边形ABCD 是平行四边形，所以//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又AD ⊂平面ADQF ，平面ADQF 平面PBC QF =，所以//AD QF ，又//AD BC ，所以//QF BC .17.解：（1）由题意//AB OM ，则' 1.81' 3.62AB AB OB OM ===，3OA =，所以'6OB =， 小明在地面上的身影'AB 扫过的图形是圆环，其面积为226327πππ⨯-⨯=（平方米）； （2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由(1)知000'12A B AB OB OM ==，所以 000()'f t A B OA ===化简得()f t =010t <≤，()f t =32t =时，()f t 的最小值为2.答：()f t =010t <≤，当32t =（秒）时，()f t. 18.解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220cx ax b a ++=，解得1x a =-，222ab x c=-所以22M ab x c =-(,0)a ∈-， M A OA OM x x ⋅=22243ab a b c ==，2234c a =，所以e =（2）由（1）2(,)33M b b --，右准线方程为3x =， 直线MN的方程为y =，所以(,)33P b b ， 12POF P S OF y ∆=⋅2==2AMN AOM S S ∆∆==22M OA y b ⨯==，所以221033a +=，22033b =，所以b =，a = 椭圆C 的标准方程为22182x y +=.19.解：（1）方法一：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++①， 所以21(1)(2)(1)(2)n n n S n S n n +++=++++②，由②-①得，21(+1)S n n n nS ++-1(2)(1)2(1)n n n S n S n +=+-+++， 即2(1)n n S ++=1(22)(1)2(1)n n n S n S n ++-+++，又10n +>， 则2122n n n S S S ++=-+，即212n n a a ++=+.在1(1)(1)n n nS n S n n +=+++中令1n =得，12122a a a +=+，即212a a =+. 综上，对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以2为公差的等差数列. 又1a a =，则22n a n a =-+.方法二：因为1(1)(1)n n nS n S n n +=+++，所以111n nS S n n+=++，又11S a a ==， 则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以a 为首项，1为公差的等差数列， 因此1nS n a n=-+，即2(1)n S n a n =+-. 当2n ≥时，122n n n a S S n a -=-=-+，又1a a =也符合上式，故*22()n a n a n N =-+∈.故对任意*n N ∈，都有12n n a a +-=，即数列{}n a 是以2为公差的等差数列. （2）令12122n n n a e a n a +==+-+，则数列{}n e 是递减数列，所以211n e a<≤+.考察函数1(1)y x x x =+>，因为22211'10x y x x -=-=>，所以1y x x =+在(1,)+∞上递增，因此1422(2)n n e e a a <+≤++，从而n b =. 因为对任意*n N ∈，总存在数列{}n b 中的两个不同项s b ，t b ，使得s n t b c b ≤≤，所以对任意的*n N ∈都有n c ∈，明显0q >. 若1q >，当1log q n ≥+有111n n n c c q--=>≥，不符合题意，舍去；若01q <<，当1log qn ≥+有11n n c c q -=≤1n -≤故1q =.20.解：（1）当0a =时，ln ()xf x x=，定义域为(0,)+∞， 312ln '()xf x-=，令'()0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值. （2）312ln '()()axxf x x a +-=+，由题意'()0f x ≥对(0,)x a ∈-恒成立. (0,)x a ∈-，3()0x a ∴+<，∴12ln 0ax x+-≤对(0,)x a ∈-恒成立， ∴2ln a x x x ≤-对(0,)x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，(0,)x a ∈-，则'()2ln 1g x x =+， ①若120a e-<-≤，即120a e->≥-，则'()2ln 10g x x =+<对(0,)x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在(0,)a -上单调递减，则2()ln()()a a a a ≤----，0ln()a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e-<-，令'()2ln 10g x x =+=，得12x e-=，当120x e -<<时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12ex a -<<-时，'()2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，12min [()]()g x g e -=111122222ln()2ee ee ----=⋅-=-，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，2ln ()(1)x f x x =-，312ln '()(1)x x xf x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，(0,1)x ∈，则'()12(ln 1)h x x =-+2ln 1x =--，令'()0h x =，得12x e -=，①当121e x -≤<时，'()0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，12()(0,21]h x e -∈-，312ln '()0(1)x x x f x x x --∴=<-恒成立，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≤. ②当120x e -<≤时，'()0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，11112222()12ln()h e ee e ----∴=--⋅12210e-=->又2222()12ln()h e ee e ----=--⋅2510e =-<， ∴存在唯一120(0,)x e -∈，使得0()0h x =，0'()0f x ∴=，当00x x <<时，0'()0f x >，2ln ()(1)xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，0'()0f x <，2ln ()(1)x f x x ∴=-单调递减，且12()()f x f e -≥， 由①和②可知，2ln ()(1)xf x x =-在0(0,)x 单调递增，在0(,1)x 上单调递减，∴当0x x =时，2ln ()(1)xf x x =-取极大值.0000()12ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， 0020ln ()(1)x f x x ∴=-200011112(1)2()22x x x ==---，又120(0,2)x e -∈，201112()(,0)222x ∴--∈-，0201()2112()22f x x ∴=<---.常州市教育学会学业水平监测 高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21.A.解：记NBC ∆外接圆为O ，AB 、AC 分别是圆O 的切线和割线，所以2AB AN AC =⋅， 又A A ∠=∠，所以ABN ∆与ACB ∆相似，所以BC AB ACBN AN AB==，所以 23BC AB AC AC BN AN AB AN ⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭，BC BN =B.解：（1）由题意4201a =，即420a -=，解得2a =； （2）42021λλ--=--，即(4)(1)40λλ---=，所以250λλ-=，解得10λ=，25λ=10λ=时，42020x y x y --=⎧⎨--=⎩，2y x =-，属于10λ=的一个特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；25λ=时，20240x y x y -=⎧⎨-+=⎩，2x y =，属于10λ=的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C.解：曲线C ：22(1)4x y -+=，直线l ：20x y +-=，圆心(1,0)C 到直线l的距离为d ==MN ===D.证明：0a >，0b >，不妨设0a b ≥>，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a +≥+，所以51515151222222222222a ab b a b b a a b a b++≥=++22.解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形，ξ的可能取值为：0，3π，2π，共2828C =种情况，其中：0ξ=时，有2种；3πξ=时，有342420⨯+⨯=种；2πξ=时，有246+=种；（1）21(0)2814P ξ===； （2）4165()3287P πξ+===，63()22814P πξ===， 根据（1）的结论，随机变量的分布列如下表：根据上表，()0143721484E ξπ=⨯+⨯+⨯=. 23.解：（1）12!n nS n ++⋅⋅⋅+==12(1)!n n +-. （2）2223T S =，23116T S =，4472T S =， 则34221193671692a b c a b c a b c ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩解得14a =，112b =-，16c =-，（3）①当2n =时，由（2）知等式成立；②假设n k =（*k N ∈，且2k ≥）时，等式成立，即21114126k k T k k S =--； 当1n k =+时，由1()(1)()2f x x x =+⨯+⨯⋅11()()1x x k k ⋅⋅⨯+⨯++1[(1)()2x x =+⨯+⨯11()]()1x x kk ⋅⋅⋅⨯+⨯++ 211()()!1k k S x T x x k k =+++⋅⋅⋅++ 知111k k T S k +=++2111112[1()](1)!14126k k T k k k k +=+---+， 所以11k k T S ++=2111112[1()](1)!14126112!k k k k k k k ++---+=++⎛⎫ ⎪⎝⎭232(1)212k k k k k --+++(35)12k k +=， 又2111(1)(1)4126k k +-+-(35)12k k +=，等式也成立； 综上可得，对任意2n ≥且*n N ∈，都有2nnT an bn c S =++成立.。