新课标高考中导数内容常考题型拙见
导数常考题型归纳总结
导数常考题型归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的工具。
在高中数学中，导数是一个常考的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，本文将对导数常考题型进行归纳总结，以便同学们能够更好地应对考试。
一、常数函数求导常数函数的导数始终为零。
这个结论是很容易推导出来的，因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为零，所以导数为零。
二、幂函数求导对于幂函数（如x的n次方），我们可以利用求导的定义直接推导求导公式。
设y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = n*x^(n-1)。
例如，对于y=x^2，求导后得到dy/dx=2x。
对于y=x^3，求导后得到dy/dx=3x^2。
这个公式是求解幂函数导数的基础公式，需要同学们熟练掌握。
三、指数函数求导对于指数函数（如e^x），其导数仍然是指数函数本身。
即dy/dx = e^x。
这个结论在微积分中是非常重要的，往往与幂函数求导相结合，可以解决很多复杂问题。
四、对数函数求导对于对数函数（如ln(x)），其导数可以通过指数函数的导数求出。
根据求导的链式法则，我们可以得到对数函数的导数公式：dy/dx = 1/x。
这个公式对于解决对数函数的导数问题非常有用。
五、三角函数求导对于三角函数（如sin(x)和cos(x)），它们的导数也具有一定的规律性。
我们可以根据求导的定义和三角函数的性质，得到以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)；cos(x)的导数为-sin(x)；tan(x)的导数为sec^2(x)；cot(x)的导数为-csc^2(x)。
这些公式可以根据求导的定义进行推导，同学们需要牢记。
六、复合函数求导复合函数指的是由多个函数复合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以利用链式法则。
链式法则的公式为：如果y=f(u)，u=g(x)，则有dy/dx = dy/du * du/dx。
通过链式法则，我们可以将复合函数的导数求解转化为简单函数的导数求解。
高考导数的题型及解题技巧
高考导数的题型及解题技巧高考中，导数是数学必修内容之一，也是考生需要重点掌握的知识点之一。
导数作为微积分的基础，不仅能帮助我们求出函数的极值、最大值、最小值等，还能证明函数的性质，解决数学问题。
在高考中，涉及导数的题目类型有很多，以下是常见的几种题型及解题技巧。
一、求导数求导数是导数的基础操作，也是高考中出现频率最高的题型之一。
求导数的方法有很多，如极限法、公式法、差商法、反函数法等。
在解题时，需要掌握各种方法，依据题目的具体情况选择合适的方法求解。
二、函数的单调性和极值要判断函数的单调性和极值，需要先求出函数的导数，然后通过导数的符号来判断函数的单调性和极值。
如果导数为正，则函数单调递增；如果导数为负，则函数单调递减；如果导数为0，则函数取极值。
在解题时，需要注意导数为0时，还需要判断函数是否具有拐点。
三、曲线的凹凸性和拐点要判断曲线的凹凸性和拐点，同样需要求出函数的导数和二阶导数，然后通过二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性和拐点。
如果二阶导数为正，则曲线凹向上；如果二阶导数为负，则曲线凹向下；如果二阶导数为0，则曲线具有拐点。
在解题时，需要注意拐点处是否是函数的极值点。
四、函数的应用题导数在实际生活中有很多应用，如速度、加速度、最优化等。
在解决这类题目时，需要将问题转化为函数的导数问题，然后根据导数的性质求解。
在解题时，需要理解速度、加速度等概念，并注意题目中给定的条件。
总之，导数是高考数学的重点和难点，需要考生认真掌握，熟练运用。
在复习时，建议多做例题，掌握各种求导方法和计算技巧，熟悉各种题型的解题思路，才能在考试中发挥出自己的水平。
高中数学导数难题七大题型答题技巧全解析
高中数学导数难题七大题型答题技巧全解析，转给所有高中生
在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，今天，小编为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分，轻松拿下140+！
1 导数单调性、极值、最值的直接应用
2 交点与根的分布
3 不等式证明
（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
4 不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
5 函数与导数性质的综合运用
6 导数应用题
7 导数结合三角函数。
高考物理导数题型归纳总结
高考物理导数题型归纳总结高考物理中，导数题型是一种常见的考查题型，它要求考生利用导数的概念和相关公式进行计算和分析。
在备考过程中，针对这一题型进行归纳总结，有助于提高解题能力和应对高考的水平。
本文将对高考物理导数题型进行归纳总结，探讨其解题方法和技巧。
一、导数的定义与性质导数是描述函数变化率的数值指标，是微积分的重要概念。
在高考物理中，导数题型以函数图像、物理实际问题等形式出现。
解题时需要理解导数的定义和性质，并能够灵活应用相关公式。
二、函数的导数与图像特征在高考物理中，常见的导数题型是要求根据函数的图像特征或已知条件计算函数的导数。
这类题目通常涉及到函数的单调性、极值和拐点等问题。
解答这类题目时，需要注意以下几点：1. 函数的单调性判定：根据导数的正负可以判定函数的单调性。
导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。
2. 极值点的判断：极值点通常位于函数的拐点处。
根据导数的变化规律和函数的凹凸性可以确定极值点的位置。
3. 拐点判定：拐点处函数的导数发生两次变化，可以通过导数的变化趋势确定拐点的位置。
针对具体的函数形式和图像特征，可以采用不同的方法和技巧进行求解，包括直接计算、利用导数公式和应用已知条件等。
三、运动问题与导数的应用在高考物理中，还有一部分导数题目是与运动相关的问题。
这类问题主要通过知道物体的位移函数或速度函数，求解物体的速度、加速度等动力学参数。
解答这类题目时，需要注意以下几点：1. 位移函数与速度函数的关系：根据速度函数的导数可以得到位移函数。
即速度函数是位移函数的导函数。
2. 加速度的求解：加速度是速度函数的导数，通过对速度函数进行求导可以得到加速度函数。
3. 运动图像的分析：利用导数的定义和性质，可以分析运动过程中的速度变化和加速度变化等。
通过掌握导数的应用和相关知识，我们能够解决一些与运动相关的复杂问题，提高解题效率和准确率。
四、其他导数题型的解题技巧除了上述提到的常见导数题型外，高考物理中还存在一些其他类型的导数题目。
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =-2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即 ∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
高中数学导数题解题技巧
高中数学导数题解题技巧导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
在解题过程中，熟练掌握导数的相关技巧是非常重要的。
本文将从常见的导数题型入手，介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对导数题。
1. 导数的定义首先，我们需要了解导数的定义。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的概念表示。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义可以帮助我们计算函数在某一点处的导数。
2. 导数的基本性质在解题过程中，我们需要掌握导数的一些基本性质。
首先是导数的线性性质，即对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有：[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[a*f(x)]' = a*f'(x)[f(x)*g(x)]' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)这些性质可以帮助我们简化导数的计算过程。
3. 常见的导数题型接下来，我们将介绍一些常见的导数题型，并给出相应的解题技巧。
3.1 多项式函数的导数对于多项式函数f(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0，其中a_i为常数，n为正整数，导数可以通过对每一项求导得到。
例如，对于函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1，求导后得到：f'(x) = 6x + 2在求导过程中，注意常数项的导数为0。
3.2 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对指数部分求导得到。
例如，对于函数f(x) = 2^x，求导后得到：f'(x) = ln(2) * 2^x其中ln表示自然对数。
3.3 对数函数的导数对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，导数可以通过对函数取导数得到。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧知识总结一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2.导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线P T 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于P时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线P T的斜率k，即3.导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f （x）的导函数有时也记作，即。
二.导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2.函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值；3.函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
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新课标高考中导数内容常考题型拙见
胡彩云
(广西马山县马山中学㊀５３０６００)
摘㊀要:导数是高中数学十分重要的内容ꎬ是微积分的核心概念之一.在高中新课标中ꎬ导数已成为研究函数性质的一种重要工具.而在实际生活中ꎬ导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用ꎬ比如导数是解决变化率㊁最优解等问题的有力工具.那么在新课程背景下的高考ꎬ导数内容到底怎么考查呢?笔者想结合自己的理解谈谈看法.
关键词:新课标高考ꎻ导数ꎻ常考题型
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－００２１－０２
收稿日期:２０１８－１０－１５
作者简介:胡彩云(１９８２.１－)ꎬ女ꎬ广西省南宁人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
㊀㊀我们都知道在高中阶段ꎬ导数已成为研究函数性质的一种重要工具ꎬ尤其是利用导数探讨函数的单调性来解决相关的函数极值㊁最值㊁含参数以及不等式等问题ꎬ一直是高考命题的一大热点.现将常考的题型做一个小归纳.㊀㊀
一㊁导数的概念及其几何意义
函数ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率就是函数在该
点处的导数.即若函数ｙ＝ｆ(ｘ)在点ｘ０的某个邻域内有定义ꎬ当自变量ｘ在一点ｘ０上产生一个增量Δｘ时ꎬ(ｘ０＋Δｘ)也在该邻域中时ꎬ相应的函数取得增量Δｙ＝ｆ(ｘ０＋Δｘ)－ｆ(ｘ０)ꎻ如果Δｙ与Δｘ之比在当Δｘң０时极限存在ꎬ则称函数ｙ＝ｆ(ｘ)在点ｘ０处可导ꎬ并称这个极限为函数ｙ＝ｆ(ｘ)在点ｘ０处的导数记作:(１)ｆᶄ(ｘ０)ꎻ(２)ｙᶄ
ｘ＝ｘ０
ꎻ
(３)
ｄｙ
ｄｘ
ｘ＝ｘ０
即ｆᶄ(ｘ０)＝ｌｉｍ
Δｘң０Δｙ
Δｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ(ｘ０＋Δｘ)－ｆ(ｘ０)Δｘ
.如果函数ｙ＝ｆ(ｘ)在开区间(ａꎬｂ)内的每一点处都有导数ꎬ其导数值在(ａꎬｂ)内构成一个新函数ꎬ这个函数称为函数ｙ＝ｆ(ｘ)在开区间内的导函数.记作ｆᶄ(ｘ)或ｙᶄ.
函数ｙ＝ｆ(ｘ)在点ｘ０处的导数ｆᶄ(ｘ０)的几何意义是
在曲线ｙ＝ｆ(ｘ)上点(ｘ０ꎬｆ(ｘ０))处的切线的斜率.相应地ꎬ切线方程为ｙ－ｙ０＝ｆᶄ(ｘ０)(ｘ－ｘ０).
导数的几何意义是每年高考的必考内容ꎬ考查题型
既有选择题㊁填空题ꎬ也常出现在解答题的第(１)问中ꎬ难度偏小ꎬ属中㊁低档题.常见的命题角度有:(１)求切线方程ꎻ(２)求切点坐标ꎻ(３)根据参数切线的性质求参数.
例１㊀
(１)(２０１７高考全国卷１)曲线ｙ＝ｘ２＋
１ｘ
在点(１ꎬ２)处的切线方程为
.
(２)已知直线ｌ为曲线ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｘ－１６的切线ꎬ且经过原点ꎬ则它们的切点坐标为
.
(３)若曲线ｙ＝ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ａｘ２(ａ为常数)不存在斜率为负数的切线ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).
Ａ.(－
１２ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.[－１
２
ꎬ＋ɕ)Ｃ.(０ꎬ＋ɕ)
Ｄ.[０ꎬ＋ɕ)
㊀㊀
二㊁求函数的单调性或用单调性解决简单的
极值最值问题
㊀㊀这类问题要求考生会正确掌握求导公式和求导法则ꎬ理解并掌握用导数判断函数单调性的方法以及求极值㊁最值的方法步骤.函数的极值(最值)是每年高考的必考内容ꎬ题型既有选择题㊁填空题ꎬ也有解答题ꎬ难度适中ꎬ为中㊁高档题.常见的命题角度有:(１)知图判断函数极值(最值)ꎻ(２)已知函数求极值(最值)ꎻ(３)已知函数极值(最值)情况求参数值(范围).而所有这些问题的解决ꎬ都依赖于用导数研究函数的单调性.其相关结论是:若ｆｘ()函数在区间(ａꎬｂ)上可导ꎬ则在区间(ａꎬｂ)上ｆｘ()递增⇔ｆᶄ(ｘ)ȡ０ꎻｆｘ()递减⇔ｆᶄ(ｘ)ɤ０.
例２㊀(１)函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘ的单调递增区间为.
(２)(２０１７课标２ꎬ理１１)若ｘ＝－２是函数ｆ(ｘ)＝(ｘ２
＋ａｘ－１)ｅｘ－１的极值点ꎬ则ｆ(ｘ)的极小值为(㊀㊀).
１２
Ａ.－１㊀Ｂ.－２ｅ－３㊀Ｃ.５ｅ－３㊀Ｄ.１(３)(２０１７课标３ꎬ理１１)已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｘ＋ａ
(ｅｘ－１＋ｅ－ｘ＋１)有唯一零点ꎬ则ａ＝.
㊀㊀
三㊁利用导数解决不等式的证明问题
利用导数研究函数单调性来证明不等式ꎬ在高考的
压轴题中是最常见的也是难度较大的问题.在证明的过程中ꎬ需综合考虑不等式相关的特点ꎬ然后通过恒等变形不等式或构造出函数ꎬ接着利用导数证明构造出的函数的单调性达到证明不等式的目的.常见的有:一是直接构造函数ꎬ然后用导数证明该函数的增减性ꎻ二是先把不等式变形后再构造函数ꎬ然后利用导数证明该函数的单调性ꎬ达到证明不等式的目的.三是转化为用导数求函数的最值来证明不等式.
例３㊀证明:当ｘ>０时ꎬｘ－ｌｎ(１＋ｘ)>０.
证明㊀设ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｎ(１＋ｘ)ꎬ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)＝１－
１１＋ｘ＝ｘ
１＋ｘ
>０ꎬ所以当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)是增函数.故有ｆ(ｘ)>ｆ(０)＝０即ｘ－ｌｎ(１＋ｘ)>０.例４㊀证明:当ｘ>０时ꎬｘ>ｓｉｎｘ.
分析㊀先把不等式变形为ｘ－ｓｉｎｘ>０ꎬ就转化为例３类的问题ꎬ用同样的方法即可证明.
例５㊀证明:当ｘʂ０时ꎬｅｘ－ｘ>１.
证明㊀设ｆ(ｘ)＝ｅｘ
－ｘ－１(ｘʂ０)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ
－１.
令ｆᶄ(ｘ)＝０得到ｘ＝０ꎬ且当ｘ<０时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘ>０时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎻ所以ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ＋ɕ)上单
调递增.ｘ＝０为极小值点ꎬ也是最小值点.即ｆ(ｘ)>ｆ(０)
＝０ꎬｅｘ－ｘ>１.
当然ꎬ在利用导数证明不等式问题中ꎬ还有一类难度
较大的题型ꎬ那就是构造函数ꎬ证明数列不等式问题ꎬ在这里就不做阐述和举例.㊀㊀
四㊁不等式恒成立问题的处理方式
所谓不等式恒成立ꎬ其实就是指函数无论取最大值
或最小值时不等式都能成立.通过证明不等式的恒成立问题ꎬ将其转化成解决函数最值的问题ꎬ就可以利用其证明不等式是否成立.而要证明不等式的恒成立就会涉及参数的证明问题ꎬ通过变量分离ꎬ证明某个值大于或小于函数值ꎬ就可以证明不等式恒成立.也就是往往把变量分离后可以转化为ｍ>ｆ(ｘ)(或ｍ<ｆ(ｘ))恒成立ꎬ于是ｍ大于ｆ(ｘ)的最大值(或ｍ小于ｆ(ｘ)的最小值)ꎬ从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此ꎬ利用导数
求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.
而解决这类问题的策略常有:
①首先要构造函数ꎬ利用导数研究函数的单调性ꎬ求出最值ꎬ进而得出相应的含参不等式ꎬ从而求出参数的取值范围.②分离变量ꎬ构造函数ꎬ直接把问题转化为函数的最值问题.
例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ２＋ｘ.证明:当ａȡ２时ꎬ
关于ｘ的不等式ｆ(ｘ)<(
ａ
２
－１)ｘ２＋ａｘ－１恒成立.分析㊀本题可以根据不等式特点ꎬ构造函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－[(
ａ
２
－１)ｘ２＋ａｘ－１]ꎬ将恒成立问题转化为求函数ｇ(ｘ)的最大值问题来解决.
例７㊀设函数ｆｘ()＝ｘ２＋１ｘꎬｇｘ()＝ｘ
ｅ
ｘꎬ对任意ｘ１ꎬｘ２
ɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬ不等式ｇｘ１()ｋɤｆｘ２()ｋ＋１
恒成立ꎬ则正数ｋ的取值范围是
.
分析㊀对任意ｘ１ꎬｘ２ɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬ不等式
ｇｘ１()
ｋ
ɤｆｘ２()ｋ＋１恒成立ꎬ则等价为ｇｘ１()ｆｘ２()ɤｋ
ｋ＋１恒成立ꎬ即把要求的ｋ分离出来ꎬ转化为求新函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)
ｆ(ｘ)
在(０ꎬ＋ɕ)上的最大值问题来求解.
当然ꎬ在高中阶段ꎬ导数相关的题型还有很多ꎬ比如存在性问题ꎬ实际应用问题等等ꎬ高考考查的题目灵活多变ꎬ常考常新.虽然在２０１８年理科高考压轴题中ꎬ考查不等式问题的难度稍有下降ꎬ但是还是会常考不衰.这类题目的解答过程中ꎬ教师应引导学生选择正确的切入点ꎬ构建出不等式ꎬ只有这样ꎬ才能准确地利用导数知识证明不等式是否成立.因此ꎬ在实际的教学中ꎬ教师必须组织㊁引导学生学好导数的知识ꎬ不仅为高考考一个好分数ꎬ更要为日后的学习微积分知识奠定坚实的基础.㊀㊀
参考文献:
[１]杨怡宁.导数在不等式证明中的应用研究[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１８(０２):３２６.
[２]钟战.不等式证明中导数的应用[Ｊ].教育观察:下半月ꎬ２０１７ꎬ６(０６):１２１－１２２.
[３]马芬.导数在不等式证明中的应用[Ｊ].延安职业技术学院学报ꎬ２０１６ꎬ３０(０２):７２－７３ꎬ９４.
[责任编辑:杨惠民]
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