2014.10.23四十一中陶春霞《勾股定理》教材分析
勾股定理教材分析
题。
1 、在探索结论阶段，应调动学生的积极性，让学生充分参与例如，教材设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积、比较这三个正方形的面积的关系，由此得到直角三角形三边的关系、通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论。
2 、在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到；而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数想到正方形的面积．3 、初步应用结论阶段的重点是让学生明确：在直角三角形中，知道两边的长度，可以求得第三边的长度教师应充分利用教材让学生体会勾股定理及其逆定理在现实世界中有着较为广泛的应用，如埃及人利用结绳的方法作出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4 、证明结论阶段主要是理清思路，而不只是介绍某一种证明方法教师在教学中应激发学生探索更多的证明方法。
5、应用结论解决实际问题要注意强调两类问题：探索性问题和应用性问题通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造能力6、注重介绍数学史，凸显数学的文化价值7、关注学生学习过程的评价对于本章的学习，除了考查勾股定理的解题应用外，还应该关注对学生学习过程的评价。
例如，让学生动手截、割、拼、补，使学生参与定理的发现、探索、验证过程，既能培养学生数学的直观能力，又能体现教学的针对性、活动性、开放性与合作性。
8、布置撰写小论文，充分发挥学生的主动创新能力教师要相信学生的能力，为学生创设自主学习的机会，布置他们撰写有关勾股定理知识的小论文，并在适当时间进行交流和评价。
这种学习方式的改变是新课程改革的核心。
ED本题学生容易错误地理解为梯子的顶端动的距离是CD ，因为梯子的长度没有改变，认为(5)湖水如何知深浅?例8 印度数学家什迦逻(1141平平湖水清可鉴，。
初中数学_八年级数学下学期第七章 《勾股定理》教学设计学情分析教材分析课后反思
《勾股定理》教案一、教学目标➢知识与技能：掌握勾股定理，会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. ➢过程与方法：1.经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想，积累数学活动经验.2.尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性，发展推理能力.➢情感、态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解，增强同学们的民族自信心与自豪感，激发学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：掌握勾股定理，会运用勾股定理解决与直角三角形有关的问题. 难点：勾股定理的验证三、教法、学法教法：学生自主探索，合作交流.学法：以创设情境，导入新课引导学生主动参与，通过不断地探究发现，在师生互动中，让学习过程成为主动的认知过程.四、教学过程（一）创设情境：观看视频动态演示勾股定理的仪器师：看视频，你是不是发现这种现象很神奇，很美妙呢？通过本节课的学习你就能解答这其中的奥妙！出示学习目标板书课题(设计意图:激发学生的求知欲望.)（二）探究发现用8个全等的直角三角形纸片摆放在如图所示的2个正方形内，观察两个图形，思考下面问题：1.图中两个大正方形的面积相等吗？2.两幅图中彩色部分的四个直角三角形总面积相等吗？3.两幅图中空白部分的面积有什么关系？你能用式子表示自己的发现吗？得出结论4. 对于这些直角三角形而言，a、b、c分别表示什么？你能用自己的语言叙述这个发现吗？(设计意图:小问题、小台阶的设计使学生较容易的发现直角三角形三边存在的关系.)（三）归纳概括1.勾股定理在直角三角形中，如果两条直角边分别为a、b,斜边为c，那么也就是说，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.这个结论称为勾股定理.2.证明方法总结这个结论的证明过程实际上是一种面积证法，它不同于八（上）学过的综合法。
面积证法的基本依据是图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
这种证明方法简单、直观、易懂。
这就是传说中毕达哥拉斯的证明方法。
(设计意图: 用动态图片鲜明、形象的解释验证了勾股定理的证明方法面积证法.)（四）微课小视频勾股史话看视频回答下面问题：1.我国是谁先发现勾股定理的？2.在西方又是谁首先发现并证明呢？3.我国和外国谁早呢？在我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此就把这一定理称为勾股定理. 在公元前1000多年，据《周髀算经》的记载，商高（公元前11世纪西周时期人）与周公的一段对话中明确指出，如果一个直角三角形的勾为3，股为4，那么弦就是5.这是勾股定理应用的一个特例。
《勾股定理》说课稿及反思
《勾股定理》说课稿及反思《勾股定理》说课稿及反思一、教材分析1．教材的地位和作用它也是几何中最重要的定理，它将形和数密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用。
因此他的教育教学价值就具体体现在如下三维目标中：知识与技能：1、经历勾股定理的探索过程，体会数形结合思想。
2、理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决一些简单的实际问题。
过程与方法：1、经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程，由特殊到一般的解决问题的方法。
2、在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生们的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力。
情感、态度与价值观：1、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣。
2、在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生们的合作意识和然所精神。
3、让学生们通过动手实践，增强探究和创新意识，体验研究过程，学习研究方法，逐步养成一种积极的生动的，自助合作探究的学习方式。
由于八年级的学生们具有一定分析能力，但活动经验不足，所以本节课教学重点：勾股定理的.探索过程，并掌握和运用它。
教学难点：分割，补全法证面积相等，探索勾股定理。
二．.教法学法分析：要上好一堂课，就是要把所确定的三维目标有机地溶入到教学过程中去，所以我采用了“引导探究式”的教学方法：先从学生们熟知的生活实例出发，以生活实践为依托，将生活图形数学化，然后由特殊到一般地提出问题，引导学生们在自主探究与合作交流中解决问题，同时也真正体现了数学课堂是学生们自己的课堂。
学法：我想通过“操作+思考”这样方式，有效地让学生们在动手、动脑、自主探究与合作交流中来发现新知，同时让学生们感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。
三、教学程序设计1、故事引入新课，激起学生们学习兴趣。
牛顿，瓦特的故事，让学生们科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的；生活中处处有数学，我们应该学会观察、思考，将学习与生活紧密结合起来。
《勾股定理教材分析》
《勾股定理》教材分析一、课标要求：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、中考要求：1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。
3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。
三、 本章结构图：互逆定理勾股定理的逆定理勾股定理 实际问题（判定直角三角形）实际问题（直角三角形边长计算）四、本章的地位和作用五、本章课时安排：本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时六、本章重要的数学思想和方法1. 在定理、逆定理探究过程中所体现出来的由特殊到一般的思想2.数形结合思想：面积法证明数学问题及由数到形、由形到数3、整体的方法.4.分类讨论思想5.方程思想贯穿始终6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直七、教学内容设计八、数学思想的贯穿2、数形结合思想例1、我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。
如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____例2 如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，他们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km。
现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少？3、整体思想例1、如图，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_________.4、分类讨论思想(1)对三角形的边进行分类例.在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c.(2)对三角形的高进行分类例.已知：在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求S△ABC．（锐角和钝角）5、方程思想（1）知一边与另两边关系例.在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 的对边①若c=10，a：b=1：3，求a；②若∠A=60°，a=2，求c.(2)例1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？例2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题.例3 折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm, 求（1）CF=？（2）EC=？例4 如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝.现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．6.转化思想：化斜为直，化空间为平面，化曲为直例1 已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，求AB 的长例2 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.例.如图7是一块长、宽、高分别是6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处，沿着长 方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物， 那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A. cm )9723(B.cm 97C. cm 85D. cm 9。
初中数学_勾股定理教学设计学情分析教材分析课后反思
勾股定理教学设计一、教材分析《勾股定理》是青岛版义务教育教材八年级下学期第七章第2节内容。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值。
是几何中重要定理，是学生后续学习的重要基础。
二、学习目标分析1、知识与技能掌握勾股定理，能熟练地运用勾股定理由直角三角形的任意两边求得第三边。
2、过程与方法通过探究勾股定理的发现与推导，渗透数形结合的思想方法，增强逻辑思维能力。
3、情感态度与价值观通过了解国内外在勾股定理研究方面的成就，激发热爱数学，尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题的多样性，发展推理能力。
三.教学重点、难点:【教学重点】让学生探索勾股定理，掌握勾股定理并用它来解决一些简单的实际问题。
【教学难点】用面积法发现勾股定理。
四、学情分析1、学生具备一定的自学能力，思维活跃，对自己动手的活动兴趣很高。
2、学生已经接触过三角形的很多性质，掌握情况比较理想。
3、学校强调大阅读及文化熏陶，学生对中国古文化很感兴趣。
四、教学策略的选择与设计学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到:细观察、多动手、勤思考:(通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习。
本节课采用“问题导学，自主探索” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。
五、课前准备让每组同学准备四个一样的三角板，或者全等的四个三角形纸片。
六、教学流程图学习目标，情境导入，小组交流预习内容并展示（史海漫游，溯本清源），导入新知，动手探索，精讲例题，变式训练，拓展延伸，感悟收获七、教学过程实录:一、情境引入——三种课堂导入方法1、世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系曾推荐过勾股定理。
《勾股定理》 教材分析
第十七章 《勾股定理》教材分析北京四十一中 陶春霞一、本章教材在学习中地位：本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系， 使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足222c b a =+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.二、本章知识结构框图：三、课时安排：本章教学时间约需9课时，具体安排如下：(仅供参考)17．1 勾股定理 4课时 17．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动小 结 2课时四、目标要求课标要求：1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。
2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力。
3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。
中考要求：1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
（A 级）2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。
（B 级）3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立。
（A 级）学习目标：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
《勾股定理》说课稿
《勾股定理》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《勾股定理》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《勾股定理》是初中数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
这一定理不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
本节课是在学生已经学习了直角三角形的相关性质的基础上进行的，通过对勾股定理的学习，将进一步加深学生对直角三角形的认识，为后续学习三角函数等知识奠定基础。
二、学情分析学生在此之前已经学习了三角形、全等三角形等相关知识，具备了一定的几何推理能力和逻辑思维能力。
但是，对于勾股定理这样较为抽象的数学定理，学生可能在理解和应用上会存在一定的困难。
此外，学生的个体差异较大，在教学过程中需要关注不同层次学生的学习需求，采用多样化的教学方法和手段，以激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解勾股定理的内容，能够运用勾股定理解决简单的直角三角形问题。
（2）掌握勾股定理的证明方法，培养学生的逻辑推理能力。
2、过程与方法目标（1）通过观察、猜想、验证等活动，让学生经历勾股定理的探索过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）在探索勾股定理的过程中，培养学生的动手操作能力、合作交流能力和数学应用意识。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对勾股定理历史的了解，激发学生的学习兴趣和民族自豪感。
（2）在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
四、教学重难点1、教学重点勾股定理的内容及其应用。
2、教学难点勾股定理的证明。
五、教法与学法1、教法根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我将采用以下教学方法：（1）情境教学法：通过创设生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生积极思考。
（2）启发式教学法：在教学过程中，通过提出问题、引导思考、启发诱导等方式，让学生自主探索，培养学生的创新思维能力。
4.“勾股定理”教材分析
“勾股定理”教材分析一、内容组织（一）内容简介：本章主要研究勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用.首先让学生通过观察猜想得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题．在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念，本章内容建议上9课时.知识结构如下图：（二）来龙去脉及定位：本章的内容被安排在人民教育出版社义务教育教科书《数学》八年级（下）第17章，是在学生已经学习了三角形三边之间的数量关系（两边之和大于第三边）、直角三角形的“两个锐角互余”、“30 的角所对的直角边等于斜边的一半”和无理数基础上接着学习的．勾股定理是欧氏平面几何的一个核心命题，是欧氏平面几何度量计算的基础定理，指出了直角三角形三边之间的数量关系，搭建起几何图形和数量关系之间的一座桥梁．勾股定理是直角三角形的性质定理，常常我们在解决非直角三角形、四边形及相关图形的折叠问题时，通过作辅助线，转化为在直角三角形环境中，利用勾股定理列方程解决；勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是判断一个三角形是直角三角形的重要依据.今后，勾股定理会被进一步推广成余弦定理，还可以用勾股定理来定义向量的数量积（内积）．（三）核心内容：勾股定理的探索、证明和应用，同时利用“面积法”证明勾股定理的方法也为今后的解决问题提供一种思路．（四）关键环节：对勾股定理的观察、猜想及证明的过程，从中体会证明的必要性．二、学生理解（一）学生理解的基础：对于勾股定理，在本节课以前，学生已了解三角形三边之间的数量关系（两边之和大于第三边）、直角三角形的概念，经历过用“面积法”证明有关平方问题（平方差公式和完全平方公式）和无理数的运算.对于勾股定理的逆定理，学生已经掌握全等三角形的证明方法．（二）学生自发的方法：对于勾股定理的探索，学生会自发地想到测量三边的长度来探求三边之间的数量关系，或者是把几个一样的直角三角形拼接成正方形或矩形来探求三边之间的数量关系，还有部分学生通过其他信息来源应经知道了勾股定理的结论．学生自发的方法都会有问题：测量会有误差、拼接因没有蓝图（计划）而拼不出来．对于勾股定理及其逆定理的证明，学生一般想不出方法．（三）学生的学习能力限度：勾股定理是欧式几何度量计算的基础定理，学生无相关知识经验，不能自己探索得出勾股定理及其逆定理．（四）具体内容的难易：本章的难点是通过构造图形，利用面积相等来证明勾股定理；通过构造三角形，利用三角形全等来证明勾股定理的逆定理．勾股定理的简单应用，对学生来说，相对容易．构造直角三角形来灵活应用勾股定理，对部分学生是难点．例如，如图1，在四边形ABCD 中，:::2:2:3:1AB BC CD AD =，且90ABC ∠=︒，求DAB ∠的度数．（五）学生的典型误解与认知重组：１．忽视题目中的隐含条件．例如：在Rt △ABC 中，90B ∠=︒，a 、b 、c 分别为三条边， 3a =，4b =，求边c 的长．不少学生会认为c=5，忽视了b 是斜边这一隐含条件．２．忽视定理成立的条件．例如，在直角三角形中，有的同学一看到三角形的两边是3和4，就会认为第三边是5．３．考虑问题不全面造成漏解．如已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边，有的同学可能只考虑13．三、教学目标1.课程标准中的教学要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用他们解决一些简单的问题．2. 把握课程标准教学要求的几个注意要点： （1）指导学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程，学生初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，体会证明的必要性，知道这两个定理的联系与区别，能用这两个定理解决一些实际问题和几何问题．（2）通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立．DC B A 图1（3）通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养学习数学的兴趣与民族自豪感．四、典型例题1.利用勾股定理的简单计算题．如图2，等腰三角形ABC 中，13AB AC ==，10BC =，求等腰三角形ABC 的面积．变式1：如图3，已知AB BC ⊥，CD BC ⊥，且8AB =，8BC =，2CD =，求AD 的长．变式2：如图4，中，ABC ∆30B ∠=︒，45C ∠=︒，AC =（1）求AB 的长；（2）求ABC ∆的面积．设计意图：解决非直角三角形、四边形及其他图形的计算问题，可以通过作垂线，转化为直角三角形，使用勾股定理或方程求解．2．利用勾股定理列方程求解的相对复杂计算题．如图5，有一张直角三角形纸片，两直角边6AC =cm ，8BC =cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求出CD 的长．变式1：如图6，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8AB =cm ，10BC =cm ，求EC 的长．变式2：如图7，在长方形ABCD 中，2AB =，4AD =，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，求CE 的长． D AE B CF C B OE DA DC B A C BA 图3图2 图4 图5 图6图7 CB A设计意图：解决折叠问题时，要抓住折叠前后的图形之间的对应相等关系，常设所求线段为x，然后把其他线段用含x的代数式表示出来，再选择相关的直角三角形，运用勾股定理列方程求解．3.利用勾股定理解决的实际问题．如图8，要借助一架云梯登上24米高的建筑物顶部，为了安全需要，需使梯子底端离墙7m.这个梯子至少有多长？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4米吗？为什么？设计意图：勾股定理在实际生活中的应用．图8五、关键环节的教学设计“勾股定理（第一课时）”教学设计与实践1.以“旧知新问”式引出新课题问题1：我们学过了三角形, 如果一个三角形一边长为6，一边长为8，第三边的长确定吗？你能说出第三边的范围吗？追问1：如果这两边的夹角确定了，第三边的长确定吗？追问2：如果这两边的夹角是90度，第三边的长确定吗？你能求出第三边的长吗？师生活动：让学生自行探索，提问回答，并发表自己的意见．设计意图：明确提出本节课的学习内容，激发学生探索勾股定理的兴趣.2.以“实验活动”猜想直角三角形三边关系问题2（地砖里的秘密）在2500多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．现在就让我们一同回到2500年前，体验一下毕达哥拉斯的经历，地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么“秘密”呢？（图1）追问1：地砖是由全等的等腰直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？你是怎样看出来的？追问２：如果用等腰直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？追问3：等腰直角三角形满足上述关系，是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？师生活动：学生听老师的讲述，从图中发现许多大大小小的等腰直角三角形，在三个问题的引领下，学生逐渐发现三个正方形面积间的关系，转化为等腰直角三角形的三边关系，即等腰直角三角形两直角边长的平方和等于斜边的平方，进而提出一般直角三角形三边关系的猜想.设计意图：通过历史情境引入，对地砖中图形的探索培养学生能够用数学的眼光认识生活中现象的能力；将面积关系转化为等腰直角三角形三边长之间的数量关系，让学生体验“面积法”在几何证明中的作用，为探索一般直角三角形三边关系提供了方法线索．问题３：上海世博会有一展品是一个由直角三角形和已知三边分别向外获得的三个正方形所组成的平面模型．转动时充盈在两个小正方形内的液体缓缓注入底下大正方形内，如此不断地循环反复，这个模型它究竟要告诉我们什么呢？不知道同学们有什么想法？追问１：如果老师将中间这个三角形标记为△ABC和三边a、b、c，那么你又能得到什么结论呢？师生活动：老师引导学生猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即2c22+．a=b设计意图：采用动态虚拟模型，使学生对直角三角形三边特殊关系直观感性认识，从观察中得出猜想，同时渗透以形示数的数学思想，为后续的证明做了预设．3.通过运算推演，证实猜想的成立问题4 已知：Rt c AB b AC a BC C ABC ====∠∆,,,90,．求证：222c b a =+． 追问1：我们进行这样的思考，对于我们所要证明的结论，同学们观察下，我们会从什么样的角度去着手证明呢？追问2：请用4个全等的直角三角形， 拼出一个不重叠可以有缺口的正方形．追问3：利用面积之间的关系动手证一证命题的猜想?师生活动：请两位同学上黑板用模具展示拼图结果．预案1：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形．证明：∵()ab b a c 21422⨯+-=． ∴222c b a =+．师生活动：这种证明也是我国历史上的数学家赵爽的证法，老师介绍赵爽和“赵爽弦图”．赵爽是我国三国时期杰出的数学家，赵爽对《周髀算经》作了深入研究后作注写《勾股圆方图注》，其中的弦图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，该图被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．预案2：将四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形．证明：∵()ab c b a 21422⨯+=+． ∴222c b a =+．预案３：由老师介绍：美国总统加菲尔德，他不是数学家，他却给出了一种非常经典的证法．利用第二种拼图方法，他做了一种连接，把图形分割成两个全等的直角梯形．根据图形的构成分析，老师相信你们可以从面积的角度来完成它的论证．证明：∵2111()()2()222a b b a c ab ++=+， ∴222a b c +=．师生活动：由学生自行动手完成论证．在由老师归纳这三种方法．设计意图：通过使用直角三角形模具完成拼图过程，让学生体会应用图形“割补拼接”面积不变的特点来验证直角三角形三边数量关系的猜想，培养学生由数到形再由形到数的数学思b ac B C A 想以及转化的能力．在实验拼图探究的过程中发展学生的空间想象力和合情推理能力，定理的探索按照由“特殊”到“一般”的思想方法进行，在思想认识上循序渐进，学生容易接受．学生在走完一步时，自然想到下一步是否可行，即在得到猜想后自然会设法验证自己的猜想的正确性．同时介绍勾股定理的形成和我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感，渗透了现代数学思想方法和勾股定理的历史价值、文化价值和应用价值．4.归纳总结，完成探究问题5 请用文字语言回答以上的结论？追问： 请借助图形，如何用数学语言表达？师生活动：学生问答“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”．同时老师解说：对于这个定理的发现，我国古代要比西方早五百多年，所以我们把这个定理命名为勾股定理。
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第十七章 《勾股定理》教材分析北京四十一中 陶春霞一、本章教材在学习中地位：本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系， 使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足222c b a =+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.二、本章知识结构框图：三、课时安排：本章教学时间约需9课时，具体安排如下：(仅供参考)17．1 勾股定理 4课时17．2 勾股定理的逆定理 3课时数学活动小 结 2课时四、目标要求课标要求：1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数 学与现实生活的紧密联系。
2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力。
3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会 它的文化价值。
中考要求：1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。
（A 级）2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。
（B 级）3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命 题成立，逆命题不一定成立。
（A 级）学习目标：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
五、本章教法建议：1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程教材安排从传说故事引入对勾股定理的探索，以及先从特殊的等腰直角三角形入手，直到让学生利用勾股定理解决三个问题（1是木板进门的问题，2是梯子滑动问题， 3，意在不仅激发学生学习的兴趣、降低难度鼓励学生认识规律，更是激励学生主动体验勾股定理的探索和运用过程的精神.2、结合具体例子介绍抽象概念本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程. 在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长222,,a b c a b c +=满足，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2. 命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念.3、注重介绍数学文化在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣. 人们对勾股定理的证明进行了大量的研究，这些证明不仅证出了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展. 除正文介绍的有关内容外，教科书在P30“阅读与思考 勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了数学活动P36鼓励学生收集一些证明方法与同学交流。
特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础.4、渗透勾股定理的应用意识教材安排了大量的勾股定理在实际中广泛应用的实例，让学生感受运用勾股定理可以解决很多问题. 并且在以后学习了四边形、圆及一元二次方程后，应用的范围就更大了.六、关注本章的数学思想1、方程思想的运用初中代数很多问题都是可以通过列方程、利用解方程的方法得到解决，因此重视方程思想的运用，对提高解题能力具有重要的意义. 如： 已知:如图，矩形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在同一平面内C '处，BC '与AD 交于点E ，AD=8，AB =4，求DE 的长.2、分类与整合思想如：作高分类 已知：△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC 边的长应为多少？3、突出数形结合思想1.勾股定理本身和应用就是数形结合的定理2.它的验证体现了数形结合的思想，数量关系转化到几何图形中去，运用勾股定理可以顺利解决某些具有平方特征的代数问题，反之亦然.如: 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．4、转化与化归思想 在运用数形结合思想考虑问题时，既可把数量关系的问题转化为图形的问题来解决，也可以把图形的问题转化为数量关系的问题来处理. 同时，构造直角三角形化非直角三角形问题为直角三角形，体现了化归思想.c b a c b ac b a c b a c c八、具体教学建议：§18.1、勾股定理1、勾股定理（1） 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2） 表示方法：如果直角三角形两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c +=2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+，大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 (方法一) (方法二) (方法三)注：《教师用书》勾股定理拓展里面介绍了我国清末数学家华蘅芳等的精彩的证法。
3、勾股定理的应用（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长；（2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系；（3） 可运用勾股定理解决一些实际问题（4） 勾股定理可以证明线段相等。
4、需要注意的问题：（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算.例：已知在△ABC 中，,,a b c 分别是A ∠、B ∠，C ∠的对边，且3,4a b ==，且b c <。
若c 为整数，则c = 分析：解法易受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b abc c b a E D C B A中的三角形是否为直角三角形.（2）在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当.例：已知三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为 .分析：由于此题中已知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论5、知识点知识点（一）：利用勾股定理求线段长的简单应用1、在ΔABC 中，a ,b ,c 为三边长.(1)当∠A =90°时，三边关系 .(2)当∠C =90°时，三边关系 . (3)当222b c a =+时， =90°.2、求下列图中直角三角形未知边长x 、y 、z 的值：x= ;y= ; z= ; 练习：1.（1）在Rt ∆ABC 中，90C ∠=︒，①若7,24,a b c ===则 ；②若5,13,a c ===则b ；③若15,25,b c ===则a 。
（2）等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为 .（3）在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= ，斜边AB 上的高线长为 .（4）在Rt ∆ABC 中，90ACB ∠=︒，且9,4c a c a +=-=，则b = .（5）如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是 .2、在△ABC 中，∠C =90°，AB =20.（1）若∠B=45°，求BC 、AC . （2）若∠A =60°，求BC 、AC .3、已知△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =5， 求AB 的长.知识点（二）勾股定理与直角三角形其他性质的运用探究1：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,AB=2,求AC 的长.若AC=a ，你会求AB 么？不妨试一试.（2）如图，∠C=90°，∠A=45°,AB=2,求AC 的长.（3）等边三角形的边长为a ，求等边三角形的高和面积.总结：1.直角三角形的性质：角的关系：直角三角形两锐角互余.边的关系：直角三角形斜边大于直角边.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.2. 双垂图：两种不同方法表示直角三角形的面积，得出三边长与斜边上高的关系式3.（1）含有30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3.（2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1.（3）等边三角形的边长为a ，则高为23a ，面积为243a . 探究2：任何有理数都可以用数轴上的点把它表示出来. 同样，任何无理数也都可以用数轴上的点把它表示出来. 你能在数轴上画出表示,513的点么？不妨试一试. 思考：你能在在数轴上画出表示,36…等的点么？探究3：把勾股定理中以各边为边长的正方形改为等腰直角三角形、正三角形或半圆，是否有类似结论？练习：1．△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm ，求AC 、AB 的长度.∠A=45°呢？若AC ＝3cm 呢？AB ＝3cm 呢？2．等边三角形的边长为6，则它的面积为3．已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，求这个三角形的周长.4．在数轴上作出表示17的点.5．如图，已知直角三角形ABC 的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积.6．（1）写出三种用“构造斜边长为7的直角三角形的方法”作长为7的线段的方案.（2）能否通过“构造直角边长为7的直角三角形的方法” 来作长为7 的线段？若能，写出三角形的三边；若不能，说明理由.（3）在（1）中，作长为7的线段，往往需要先作出其它长为无理数的线段才能求出长为7的线段，对于正整数k ，能否通过构造两边均为有理数的直角三角形求出作长为k 的线段？若能，请写出此时三角形三边之间的关系；若不能，请说明理由。