2018年秋八年级数学上册第13章13.2命题与证明第3课时三角形的内角和的证明作业(新版)沪科版

第3课时三角形的内角和的证明
知识要点基础练
知识点1三角形的内角和定理的证明与辅助线
1.如图,在证明“△ABC内角和等于180°”时,延长BC至点D,过点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE,由于∠BCD=180°,可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,这个证明方法体现的数学思想是(D)
A.数形结合
B.特殊到一般
C.一般到特殊
D.转化
知识点2直角三角形的两锐角互余
2.在Rt△ABC中,∠B是直角,∠C=22°,那么∠A的度数是(C)
A.22°
B.58°
C.68°
D.112°
3.如图,AC⊥BD,∠1=∠2,∠D=40°,求∠BAD的度数.
解:∵AC⊥BD,∠1=∠2,
∴∠1=45°,∠ACB=90°,
∵∠D=40°,∴∠CAD=50°,
∴∠BAD=∠1+∠CAD=95°.
知识点3有两个角互余的三角形是直角三角形
4.三角形有一个角的度数是36°角的余角,另一个角是144°角的补角,那么这个三角形是
(C)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
5.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE是直角三角形.
∴∠1+∠A=90°.
又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°,
∴△ABC是直角三角形.
综合能力提升练
6.如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为(B)
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
7.如图,△ABC的角平分线CD,BE相交于点F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于点G.下列结论:
①∠CEG=2∠DCB;②CA平分∠BCG;③∠ADC=∠GCD;④∠DFB=∠CGE.其中正确的结论有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,则图中∠α的度数是(C)
A.25°
B.20°
C.15°
D.10°
【变式拓展】把一副常用的三角板按如图所示的方式拼在一起,点B在AE上,那么图中的∠ABC= 75°.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC≠AB,AD是斜边BC上的高,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数是(A)
A.3
B.4
C.5
D.6
10.如图,在△ABC中,∠ACB=68°,若P为△ABC内一点,且∠1=∠2,则∠BPC=(D)
A.68°
B.120°
C.92°
D.112°
11.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,∠ABC的平分线BE分别交CD,CA于点F,E,则下列结论正确的是(A)
①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠A=∠4;④∠2与∠5互余.
A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③
12.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
13.直角三角形两锐角的平分线相交所成的角的度数为45°或135°.
14.如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为60°或90°.
15.如图,BD,CE是△ABC的高,BD和CE相交于点O.
(1)图中有哪几个直角三角形?
(2)图中有与∠2相等的角吗?请说明理由.
(3)若∠4=55°,∠ACB=65°,求∠3,∠5的度数.
解:(1)直角三角形有:△BOE,△BCE,△ACE,△BCD,△COD,△ABD.
(2)与∠2相等的角是∠1.
理由如下:∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠1+∠A=90°,∠2+∠A=90°,∴∠1=∠2,
∴与∠2相等的角是∠1.
(3)∵∠ACB=65°,BD是高,
∴∠3=90°-∠ACB=90°-65°=25°,
在△BOC中,∠BOC=180°-∠3-∠4=180°-25°-55°=100°,
∴∠5=∠BOC=100°.
16.在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D,CE是△ABC的角平分线.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若∠CEF=135°,求证:EF∥BC.
解:(1)∵∠B=30°,CD⊥AB,
∴∠DCB=90°-∠B=60°.
∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°.
(2)∵∠CEF=135°,∠ECB=∠ACB=45°,
∴∠CEF+∠ECB=180°,
∴EF∥BC.
拓展探究突破练
17.如图,在△ABC中,O是高AD和BE的交点.
(1)观察图形,试猜想∠C和∠DOE,∠C和∠AOE之间具有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)在这个解题过程中包含这样一个规律:如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,那么这两个角的数量关系为相等或互补.
(3)如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角比另一个角的3倍少60°,求这两个角的度数.
解:(1)连接OC,∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ACO+∠COE=90°,∠BCO+∠COD=90°,
∴∠ACO+∠COE+∠BCO+∠COD=180°,即∠ACB+∠DOE=180°.
∵∠DOE+∠AOE=180°,∴∠ACB=∠AOE.
(2)提示:两种情况分别如图所示.
(3)设较小的角为α,则另一个角为3α-60°,
∴α+3α-60°=180°或α=3α-60,解得α=60°或30°.。