高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.2 四种命题的相互关系(共24张)

第一章　常用逻辑用语1．1　命题及其关系1.1.2　四种命题的相互关系
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1.掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.
2.会利用命题的等价性解决简单问题.
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1．四种命题之间的关系：
逆命题，
若q则p
否命题，若﹁p则﹁q 逆否命题，
若﹁q则﹁p
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2．四种命题的真假性之间的关系：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．　例：命题“若 x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题；它的逆否命题：
“______________________
”也是真命题；否命题“_______________________”是假命题，逆命题“______________________
”也是假命题．相同的　
没有关系
若sin x ≠sin y ，则x ≠y 若x ≠y ，则sin x ≠sin y 若sin x ＝sin y ，则x ＝y
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1．下列说法，不正确的是(
)
B
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2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )
A．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数
B B
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3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )
A．0个 B．1个　
C．2个 D．3个栏目链接
解析：(1)是真命题．其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题，因为原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，所以其否命题是真命题．
(2)是假命题．原命题(如取 x＝1，y＝0)是假命题，所以其逆否命题是假命题．
(3)是假命题．该命题否命题为“若x>3，则x2－x－
6≤0”，显然是假命题．
(4)是假命题. 该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题．
答案：B 栏目链接
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题型一四种命题真假的判断
例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)若x＋y≠3，则x≠1或 y≠2；
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
分析：此类问题的一般解题步骤：①写出命题的条件、结论；②写出四种命题；③判断命题的真假．栏目链接
解析：(1)逆命题：若x≠1或y≠2，则 x＋y≠3；假命题．
否命题：若 x＋y＝3，则 x＝1且y＝2；假命题．
逆否命题：若x＝1且 y＝2，则x＋y＝3；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．栏目链接
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．
点评：要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．栏目链接
变 式
迁 移
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题型二　等价命题的应用
例2证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋
b≥0.
分析：本题若要直接证明，比较困难，可以考虑证
明它的逆否命题．
证明：原命题的逆否命题是“已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)
＜f(－a)＋f(－b)”．栏目链接
若 a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，又因为函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以 f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
即原命题的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题．
点评：原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．栏目链接
变 式
训 练
2．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0
有实数根”的逆否命题的真假．
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方法二　原命题的逆否命题为“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”．
方程x2＋2x－3m＝0无实数根，
所以Δ＝4＋12m<0.所以m<－≤0.
所以“若方程x2＋2x－3m＝0无实数根，则m≤0”为真命题．栏目链接
题型三　命题的否定与否命题
例3　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数是奇数．
解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y 不是偶数，为假命题．栏目链接
原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．
原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题．
(3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．栏目链接
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．
点评：命题的否定是：不否定条件只否定结论；命题的否命题是：既否定条件又否定结论．两者容易混淆，要注意区别．栏目链接
变 式
训 练
3．命题“若a＝－1，则a2＝1”的逆否命题是
__________________．
若a2≠1，则a≠－1
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