第六章 假设检验

用区间估计法进行假设检验
当我们依据样本数据按照区间估计法，估计出待检验参数的置信区间时， 如果估计的区间与原假设一致，则不能拒绝原假设；如果与备择假设一 致，则拒绝原假设。 以总体均值µ的假设检验为例：对于双侧检验，如果参数 1 − α 的双侧置信
区间[ x －zα / 2σ x， + zα / 2σ x ]包含了则接受原假设，否则拒绝原假设；对于单侧检 x 验，如果参数的1− 2α 双侧置信区间 [ x － zα σ x ， x + zα σ x ]包含了,则接 受原假设，否则拒绝原假设 。
0
检验统计量服从t分布与其服从标准正态分布的检验结论判断方法一致
例6.3 某厂购买了一台新的生产机器，生产零件的长度规定为10厘米。为了 检验机器的性能是否良好，质检员随机抽取了25件产品，测得其平均长度为9.8厘 米，标准差为0.4厘米。假设生产的零件长度服从正态分布，问在显著性水平 α =0.05时，该机器的性能是否良好。 2 解：设 X 表示该机器生产零件的长度，则有 X ~ N (µ , σ )，样本容量n=25，样本 均值 x =9.8厘米，样本标准差 s = 0.4 厘米。根据问题提出的假设为： H0 ： = µ 0 =10厘米； H1 ： ≠ µ 0 =10厘米 µ µ 这是一个双侧检验问题，因为总体服从正态分布但总体方差未知，用检验的小 样本数据检验，故当 H 0 成立时，检验统计量为： x−µ
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第一节 假设检验的基本问题
接受域和否定域的关系图 （以总体均值的假设检验为例） 1. 双侧检验 否定域在左右两侧 2. 左侧检验 否定域在左侧 3. 右侧检验 否定域在右侧
四、假设检验的步骤
1. 建立统计假设 包括原假设 H 备择假设 0 H1 2. 确立合适的检验统计量， 确定其分布 3. 规定显著性水平 4. 根据样本观测值计算检验 统计量的取值 5. 均值的假设检验
一、 一个总体均值的假设检验 （一）总体为正态总体 1。总体为正态总体且方差已知 检验所使用的检验统计量为
Z
=
X
− µ n
0
H 在“假定 0 成立”的条件下，它服从标准正态分布。 检验结论按下列方法作出： 1．若采用双侧检验，即 H 0 : µ = µ 0 ; H 1 : µ ≠ µ 0，则检验的双侧临界值（分位数）为-Z α / 2 和Z α / 2 。当Z > Z α / 2 时，拒绝原假设；反之，接受原假设。 2．若采用左侧检验，即 H0 : µ ≥ µ0; H1 : µ < µ0 ，则检验的左侧临界值（分位数）为- Z 。当 α 时 Z < − Z α ，拒绝原假设；反之，接受原假设。 3. 若采用右侧检验，即 H 0 : µ ≤ µ0 ; H 1 : µ > µ0 ，则检验的右侧临界值（分位数）为Z α 。当 Z > Z α 时，拒绝原假设；反之，接受原假设。 互 < 4．当p 值（p -value） α 时，拒绝原假设；反之，接受原假设。 5. 当如果µ 的双侧置信区间[ x ± zα / 2σ x ]包含了则接受原假设，否则拒绝原假设；对于单侧检验， 动 如果µ的双侧置信区间 [ ± ]包含了,则接受原假设，否则拒绝原假设 。 zα σ x x 地
n 100 因为2＞1.645，落在否定域，所以否定 H 0 ，接受 H1 。通过对样本数据 观察表明管理人员的估计是不准确的。
互动地带 6-13
第二节 总体均值的假设检验
二、两个总体均值相等的假设检验 （一）两个总体为正态分布，方差已知 从两个方差已知的正态总体中分别抽取容量为 n1和 n2 的两个简单随机样本，且这两个样本相互独立。两个总 体均值之差 µ − µ 的假设检验所使用的检验统计量为
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第一节 假设检验的基本问题
做出检验决策的方法 1. 临界值法 将计算求得的检验统计量的观测值与计算或查表得到的临界值相比较，看其 是否落在否定域。如果落入否定域说明对检验统计量只进行一次实验，小概率事 件就发生了，从而违背了小概率原理，故拒绝原假设，而接受备择假设；如果观 测值落入接受域，则说明进行一次实验大概率事件发生，为正常情况，则没有理 由拒绝原假设，只有承认原假设。 2. p值法 p值就是在给定的原假设为真时，样本结果出现的概率。在统计量的分布图中， 值表示从统计量的观测值起向假设检验的拒绝域方向扩展的面积，即概率的值。 以总体均值的假设检验为例，Z为假设检验所用的统计量，z0为根据样本均值 计算的检验统计量的观测值，对于右侧检验，p值=p（z≥z0）；对于左侧检验，p 值=p（z≤z0）；对于双侧检验，当z0＞0时，值=2p（z≥z0）；当z＜0时，值=2p （z≤z0）。 在给定的显著性水平下，用p值法进行假设检验，无论是单侧检验还是双侧检 验，也不论检验的否定域的所在位置，只使用一个单一规则进行决策，即比较p值 与显著性水平的大小，如果p值＜ ，则拒绝原假设；如果p值≥ ，则不能拒绝原 α α 假设。
Z =
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X − µ0 S / n
例6.4 某停车场管理人员估计周末汽车的平均停靠时间不超过90分钟。 现抽查100辆汽车，测得平均停靠时间为96分钟，标准差为30分钟。规定显著 性水平 α =0.05，通过这些数据能否说明管理人员的估计是准确的。 解：设X表示每辆汽车停靠的时间，已知样本容量n=100，样本均值 x = 96 分钟，样本标准差 s = 30 分钟。根据问题提出的假设为： µ H0 ： ≤ 90 ； H 1 ：µ > 90 这是一个右侧检验问题。虽然总体的分布未知，但由于样本容量很大 n=100，近似服从正态分布，且可用样本标准差来估计，故检验统计量为： x − µ0 Z = s n 规定显著性水平为 α =0.05，查表得到临界值 Z 0.05 = 1.645 ，所以原假设 H0的否定域为 ：Z > 1.645 。 x − µ0 96 − 90 Z= = =2 计算检验统计量的值： s 30
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第六章
假设检验
学习目的： 1.明确假设检验的含义，理解假设检验的 基本思想，掌握假设检验的一般形式和基本步 骤，理解两类错误，明确假设检验与区间估计 的关系。 2.掌握不同条件下总体均值、总体比例以 及总体方差的假设检验的方法，并能运用这些 方法解决实际问题。
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第一节 假设检验的基本问题
t=
0
s n
规定显著性水平为α =0.05，查表得到临界值 tα / 2(24) = 2.064 ，所以原假设的否 定域为：t > 2.064 。 计算检验统计量的值： t = x − µ 0 = 9 . 8 − 10 = − 2 . 5
s 0 .4 n 100
因为 |-2.5|=2.5＞2.064，落在否定域，所以否定 H0 显著性水平 α =0.05时，不能说该机器的性能良好。 互动地带 6-11
互动地带
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第一节 假设检验的基本问题
五、假设检验与区间估计的关系 二者联系
假设检验和区间估计是统计推断两种基本方式，它们之间在一定条 件下可以相互转换。对同一实例的参数推断，两者用的是同一个样本， 同一个统计量，同一种分布，因而可由区间估计问题转换成假设检验问 题，也可由假设检验问题转换成区间估计问题。
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P值示意图
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第一节 假设检验的基本问题
四、两类错误 假设检验的 四种情况
接受H 0
拒绝H 0
H 0为真
正确决策 第Ⅰ类型错误
H 0 非真
α
第Ⅱ类型错误 正确决策
β
第Ⅰ类错误，也称弃真错误 本来是真的，却根据检验统计量的值把它给否定了。 发生这种错误的概率通常用 α 表示，即 α = P (拒绝H 0 / H 0为真）
•
第Ⅱ类错误，也称取伪错误 本来是非真的，却根据检验统计量的值把它给接受了。 发生这种错误的概率通常用 β 表示，即 β = P ( 接受 H 0 / H 0 非真） 在样本容量一定时，犯两种错误的风险是彼此消长的。两者要同时得到控制只 有增加样本容量。在样本容量受限时，通常根据研究问题的性质决定重点控制 第一类错误的风险还是控制第二类错误的风险。
举例6.2 举例
σ
带
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第二节 总体均值的假设检验
2。总体为正态分布且方差未知 总体为正态分布且方差未知时，用样本方差S 2作为 2 的估计量，用S 代 σ 替 ，这时检验统计量为 X − µ0 σ t = S / n H 0 成立”时，服从自由度为n-1的t 分布。 在“假定 检验统计量为t的检验结论按下列方法作出： 1．若采用双侧检验，则检验的双侧临界值为-tα / 2和 tα / 2。当 t > tα / 2 时，拒 绝原假设；反之，接收原假设。 2．若采用左侧检验，则检验的左侧临 界值为- tα 。当时 t < −tα ，拒绝原假设；反之，接收原假设。 3. 若采用 右侧检验，则检验的右侧临界值为 tα 。当 t > tα 时，拒绝原假设；反之， <α 接收原假设。 4．当 值 p 时，拒绝原假设；反之，接收原假设。5. 当总体均值的置信区间包含µ 时，接受原假设；反之，拒绝原假设。
，接受 H 1 。表明在
第二节 总体均值的假设检验
（二）总体为非正态分布或分布未知 当总体分布为非正态分布且大样本时，检验的 X − µ 统计量为 Z =
0
σ /
n
在“原假定成立”的条件下，只要样本容量充分 大（一般习惯上要求 n≥30），它近似服从标准正 态分布。 如果标准差σ未知，只需用样本标准差S作为它 的估计量代替式中的 σ即可，这时检验统计量为
一、假设检验的含义 假设检验 假设检验（hypothesis test），就是根据已掌握的资料对一个 总体参数是否等于某一个数值，某一随机变量是否服从某种概率 分布的假设，然后根据所取得的样本资料，利用一定的统计方法 计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则，以较小的风险 来判断估计数值与总体数值（或估计分布与实际分布）是否存在 显著差异，是否应当接受原假设的一种检验方法 。 假设检验是进行科学决策的有力工具。互动地带 参数假设检验 是指在总体的分布形式已知的条件下，对总体参数的某一假设 进行的检验 。 非参数假设检验 是指在总体分布未知时，对其分布的具体形式、特征值等信息 进行的假设检验。