平行关系的性质
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
2.2(小结)平行关系的判定与性质
从而达到证明a∥b的目的，这可以借助已知条件a∥α，
a∥β来实现.
【规范解答】经过a作两个平面γ和δ，与平面α和β分别 相交于直线c和d，∵a∥平面α，a∥平面β，
∴a∥c，a∥d，∴c∥d.
又∵d 平面β，c 平面β，
∴c∥平面β，
又c 平面α，平面α∩平面β=b，
∴c∥b. 又∵a∥c，∴a∥b.
【练习1】已知直线a、b,平面α ,且a∥b,a∥α ,a、b都在 平面α 外.
求证：b∥α .
【证明】过a作平面β,使它与平面α相 交，交线为c. ∵a∥α,a β,α∩β=c,
∴a∥c.又∵a∥b,
∴b∥c.又∵c α,b α.∴b∥α.
【练习2】
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面
ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，
例2.在正方体AC1中，E为BC中点， 求证：BD1∥平面C1DE
证明： 连CD1交C1 D于F , 则EF / / BD1 ,
BD1 面C1 DE , EF 面C1 DE , BD1 / / 面C1 DE.
F
思考:能不能用面面平行推出线 面平行来解题?
例3.如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面为正方形，PC与底面ABCD垂直（图1）
N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.
四．小结： 1.平行关系的判定和性质定理
2.掌握证明线线平行，线面平行，面 面平行常用的方法。
五．作业
世纪金榜P23 变式训练 P24 即时训练
，图2为该四棱锥的主视图和左视图，
它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形.
（1）根据图2所给的主视图、左视图画出相应的俯视图， 并求出该俯视图的面积.
（2）图3中，E为棱PB上的点，F为底面对角线AC上的点
高三第一轮复习 空间直线与平面的平行关系
空间直线与平面的平行关系【提纲挈领】主干知识归纳1． 直线与平面平行的判定定理和性质定理2．平面与平面平行的判定定理和性质定理规律方法总结：1．平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．【指点迷津】【类型一】线面平行、面面平行的基本问题【例1】有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m. 其中真命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选B 由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题，于是选B.【例2】过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案：6【类型二】直线与平面平行的判定与性质【例2】如图，直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． [解] (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB.又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D. 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.思考：在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连接DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC1⊂平面A1ACC1，∴DM∥平面A1ACC1.【类型三】平面与平面平行的判定与性质【例1】如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD -A1B1D1的体积．[解](1)证明：由题设知，BB1∥DD1且BB1=DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊆平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊆平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD -A1B1D1的高．又∵AO＝12AC＝1，AA1＝2，∴A1O＝AA21－OA2＝1.又∵S△ABD＝12×2×2＝1，∴V ABD -A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.【例2】如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF证明：∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.【例3】如图1,AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点，设Q 为PA 的中点，G 为ΔAOC 的重心，求证：QG//平面PBC解：如图2连接OG 交AC 于点E ，连接QE ∵点G 为ΔAOC 的重心 ∴点E 为AC 的中点 又点Q 为PA 的中点 ∴QE 为ΔPAC 的中位线 ∴QE ∥PCPBC PC PBC QE 平面，平面⊆⊄∴QE ∥平面PBC 同理OE ∥平面PBC 由E OEQE =⋂得平面QEO//平面PBCQEO QG 平面⊂∴QG//平面PBC【同步训练】【一级目标】基础巩固组1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b. 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )E图2图1A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析：选C 对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行，故选C.3．(2014·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，则a ∥α，a ∥β，故排除A.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C.故选D.4．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．5．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈线段FH6.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB.因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD.答案：平面ABC 、平面ABD7.（2016江苏．16，节选（1））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：⑴ 直线//DE 平面11A C F ；⑵ 平面1B DE ⊥平面11A C F ．解：,D E 为中点，DE ∴为ABC ∆的中位线 //DE AC ∴又111ABC A B C -为棱柱，11//AC AC ∴ 11//DE AC ∴又11AC ⊂平面11A C F ，且11DE AC F ⊄//DE ∴平面11A C F ；8. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证： (1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG . 证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC. ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC.∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG . ∵A 1G ∥EB 且A 1G ∥EB ∴四边形A 1EBG 是平行四边形． ∴A 1E ∥GB.∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E∴平面EFA 1∥平面BCHG .【二级目标】能力提升题组1．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线FEC BAC 1B 1A 1B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线解析：选A当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选C对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选B由直线l与点P可确定一个平面β，则平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，选B.4．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故D正确；而AC＝BD不确定，故选C．5.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN解析：选C显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，作AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB∩BN ＝B ，CD∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．6．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________． ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n.解析：若m ∥α，n ∥α，m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m ∥α，m ∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，④正确．答案：④7．在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.解析：假设Q 为CC 1的中点，因为P 为DD 1的中点，所以QB ∥PA.连接DB ，因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，所以D 1B ∥PO ，又D 1B ⊄平面PAO ，QB ⊄平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ，又D 1B ∩QB ＝B ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO.故Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO.答案：Q 为CC 1的中点8．设α，β，γ为三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ⊂γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ. 可以填入的条件有________．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C -MNB 的体积．解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′， ∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′，又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C -MNB ＝V M -BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝22，又三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点，∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2.又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′， ∴A ′N ⊥平面BCN. 又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22， ∴V C -MNB ＝V M -BCN ＝13×42×22＝43.10．如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB.过A作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA.证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG ＝E ， 所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC.因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB. 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA.【高考链接】1．（2016北京理．17），14分，节选（3）） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解：设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-M .因为⊄BM平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅BM ，∵平面PCD 的一个法向量)2,2,1(-=n即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM .2．（2016新课标Ⅲ．文19，12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.【解析】 (1)取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ， ∵N 是PC 中点，NQ//BC ，且NQ=12BC ，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ， ∴//QN AM ，且QNAM=．∴AQNM是平行四边形．∴//MN AQ ．又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，∴//MN平面PAB ．(2)由(1)//QN平面ABCD．∴1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===．∴11142363N BCM ABCV PA S-∆=⨯⋅=⨯⨯=．。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间直线的平行与垂直关系
空间直线的平行与垂直关系直线的平行与垂直关系是几何学中的基本概念之一，这个概念在我们日常生活中也是无处不在的。
在建筑、设计、城市规划、工程等领域中，了解直线的平行与垂直关系至关重要。
本文将介绍直线的平行与垂直的定义、性质以及应用。
首先，我们来看直线的平行关系。
当两条直线在平面上永不相交，且在同一平面上的任意两点之间连线都与这两条直线相交，我们可以说这两条直线是平行的。
以字母 "||" 表示直线的平行关系，如果直线a || 直线b，则可以写作 a || b。
直线的平行关系有以下几个重要性质：1. 平行性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线平行，那么这两条直线必定平行。
2. 平行性质二：如果两条直线分别与同一平面上的两条平行线平行，那么这两条直线也平行。
3. 平行性质三：如果直线a与b平行，直线b与c平行，那么直线a与c平行。
直线的垂直关系与平行关系相对应。
当两条直线在平面上相交且交角为90度，我们可以说这两条直线是垂直的。
以一个类似于 "⊥" 的符号表示直线的垂直关系，如果直线a ⊥直线b，则可以写作 a ⊥ b。
直线的垂直关系也有几个重要性质：1. 垂直性质一：如果两条直线都与同一平面上的第三条直线垂直，那么这两条直线必定垂直。
2. 垂直性质二：如果一条直线与平面上的一条直线垂直，那么与该平面上的另一条直线平行的直线也与该直线垂直。
3. 垂直性质三：如果直线a与b垂直，直线b与c垂直，那么直线a与c平行。
直线的平行与垂直关系在很多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：1. 建筑和设计：在建筑和设计中，了解平行和垂直关系对于设计合理的建筑和室内布局至关重要。
例如，在设计房间时，我们应该确保墙壁平行或垂直于地面，以获得更美观的效果。
2. 道路和交通：平行和垂直关系在规划和设计道路和交通系统时也非常重要。
道路的平行布局可以提高交通流畅性，而垂直的交叉路口可以确保交通的安全。
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间里的平行关系
空间里的平行关系引言在几何学中，平行是一个十分重要的概念。
在数学中，平行指的是两条线、平面或者其他几何体在没有交点的情况下保持在固定的距离上。
平行关系是几何学中的基础概念之一，不仅在几何学中有重要应用，也广泛应用于物理学、计算机科学等领域。
本文将介绍空间中的平行关系，并探讨相关的性质和应用。
一、平行线的定义在平面几何中，平行线定义为永不相交的两条线。
这意味着平行线上的任意两点都不会重合。
可以通过以下几个方式来判断两条线是否平行：•相邻内角相等法则：若两条线被横截线所切，而相邻的内角相等，则两条线是平行的。
•同位角相等法则：若两条直线被一横截线所分，同位角相等，则两条线是平行的。
•钝角异侧法则：若两条线被横截线所切，其中一条直线上的钝角和另一条直线上的锐角在同侧，则两条线是平行的。
二、平行平面的定义在空间几何中，平行平面定义为永不相交的两个平面。
类似于平行线的定义，我们可以通过以下的性质来判断两个平面是否平行：•法向量平行法则：若两个平面的法向量平行，则这两个平面是平行的。
•截线平行法则：若两个平面分别与一条直线相交并且相交线平行，则这两个平面是平行的。
三、平行关系的性质在平行关系中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决实际问题十分有用。
以下是一些平行关系的性质：1.平行关系具有传递性，即如果线段A平行于线段B，而线段B又平行于线段C，则可以推断出线段A平行于线段C。
2.平行关系具有对称性，即如果线段A平行于线段B，则线段B也平行于线段A。
3.平行关系具有自反性，即一条线段和自身平行。
4.平行线与平行平面的交线也是平行于这两个平面的。
四、平行关系的应用平行关系在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计中，在制定建筑结构时，平行关系可以用来确保墙壁、天花板等构件的平行性，从而使建筑结构更加稳定。
2.机械工程中，平行关系可以用来设计零件的装配关系，确保零件之间的平行关系，保证机械设备的正常运行。
高中数学知识点精讲精析 平行关系的性质
1.5.2 平行关系的性质（一）直线与平面平行的性质1.性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2.直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行.（二）平面与平面平行的性质1.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.2.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面.3.平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等.4.平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.4.两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”.用符号表示是：α∥β，a α，则a ∥β.5.如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”.用符号表示是：α∥β，α∩γ=a ，β∩γ=b ，则a ∥b.6.一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：α∥β，a ⊥α，则a ⊥β.7.夹在两个平行平面间的平行线段相等.8.过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.9.两平行平面的距离及求法两个平行平面的距离：我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离平行线间的距离说明：两个平行平面的公垂线段都相等.[例1] 下列说法正确的是（ ）.A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B. 平行于同一平面的两条直线平行C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行答案：D[例2]在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α.β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l .m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l .m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β答案：D[例3] 如右图，在正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，M .N .P 分别是 C 1C .B 1C 1.C 1D 1 d =的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明：连结B1D1，∵P.N 分别是D1C1.B1C1 的中点，∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN 不在平面A1BD 上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD. [例4] 下列说法正确的是（）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行答案：C[例5]下列说法正确的是（）.A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行答案：D。
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探究二:如果两个平面平行,那么两个平面内的 直线有什么位置关系？
结论:如果两个平面平行,那么两个平面内的 直线要么异面,要么平行.
2016/2/25
若 // , 平面、分别与平面相交于 探究三： 直线a、b, 那么直线a、b的位置关系如 何？为什么？
2016/2/25
平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平
面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
面面平行
线线平行
2016/2/25
1. 已知: 三个平行平面 , , 与两条直线 l, m
分别相并于点A, B, C和点D, E , F . AB DE 求证 : = . BC EF
证明:
G
H
l
m
2016/2/25
复习2：线面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行，那么这条直线和这个平面平行。 注明：
1、定理三个条件缺一不可。 2、简记：线线平行，则线面平行。 3、定理告诉我们：要证线面平行，需在平面内 找一条直线，使线线平行.
复习3：面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一 个平面,那么这两个平面平行。 注明：
§5.2 平行关系的性质
教学目标：
1.直线与平面平行的性质； 2.平面与平面平行的性质；
3.能熟练运用性质去解决问题.
复习1：直线和平面的位置关系
1.直线和平面有哪几种位置关系？ 平行、相交、直线在平面内 2.反映直线和平面三种位置关系的依 据是什么？
没有公共点：
平行
仅有一个公共点：相交
无数个公共点：直线在平面内
直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和
一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面 相交,那么这条直线和交线平行。 图形语言 作用: 判定直 线与直线平行 的依据。
符号语言:
2016/2/25
探究一：如果两个平面平行，那么一个平面 内的直线与另一个平面有什么位置关系？
结论:如果两个平面平行,那么一个平面内的 直线与另一个平面平行.
小结：
1.直线与平面平行的性质定理
2.平面与平面平行的性质定理
如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线 平行？ 怎样作平行 线？
l
a
a
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直 试用文字语言将上述原理表述出来 . 线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线 平行.
已知:直线a//平面 ,a .b 平面 , 求证：a∥b．
证明：
abຫໍສະໝຸດ 1、简记：线面平行，则面面平行。 2、定理告诉我们：要证面面平行，需在另一平 面内找相交直线，使相交线 在平行此面.
思考:如果一条直线与平面平行，那么这条
直线是否与这平面内的所有直线都平行？
a
c b
那么如何在平面 内找出与直线a平行的直线呢？
本节课研究的内容
思考:教室内日光灯管所在直线与地面平行，