数学思想方法在二次函数中的运用
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。
关键词：二次函数综合问题数学思想方法中图分类号：g633.6 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2012）10-0087-02函数是“数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。
解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。
本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。
1 数学实例【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线ac：y=■x+8与x轴交与点a，与y轴交与点c，抛物线y=ɑx2+bx+c过点a、点c，且与x轴的另一交点为b（x0，0），其中x0>0，又点p是抛物线的对称轴l上一动点。
⑴求点a的坐标，并在图1中的上找一点p0，使p0到点a与点c的距离之和最小；⑵若△pac周长的最小值为10+2■，求抛物线的解析式及顶点n 的坐标；⑶如图2，在线段co上有一动点m以每秒2个单位的速度从点c向点o移动（m不与端点c、o重合），过点m作mh∥cb交x轴与点h，设m移动的时间为t秒，试把△p0hm的面积s表示成时间t 的函数，当t为何值时，s有最大值，并求出最大值；⑷在⑶的条件下，当s=■时，过m作x轴的平行线交抛物线于e、f两点，问：过e、f、c三点的圆与直线cn能否相切于点c？请证明你的结论。
解：⑴直线ac与x轴的交点为a，令y=0得，x=-6，即点a（-6，0）；如图1，连接cb与直线l交于点p0即为所求。
数学思想方法妙解二次函数
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有效运用数学思想解答二次函数综合题
有效运用数学思想解答二次函数综合题梁遐（四川省旺苍县双河中学四川广元628200）中图分类号：G62 文献标识码：A文章编号：ISSN1004-1621渊2015冤03-076-02二次函数在整个初中数学教学以及中考中均占有相当大的比例，是整个初中教学的重点内容，也是一个难点内容。
很多同学一看到二次函数，总觉得头疼，尤其是二次函数中相对较综合性比较强的题目，更是摸不着头脑。
那么，怎样才能很好的掌握二次函数的相关知识、运用二次函数解决数学问题呢？这是所有数学教师一直在探究的一个问题。
笔者将与大家一起来探讨：如何在中考二次函数的复习中，有效地贯穿数学思想，解答二次函数综合题。
运用分类思想解决二次函数的综合题，主要考查一次函数、二次函数解析式的确定，三角形面积的求法，相似三角形的判定和性质以及直线与圆的位置关系等知识；需要注意的是要认真审题，全面考虑试题中涉及到的方方面面，因此在解题时，充分运用分类讨论的思想，要将所有的情况都考虑到，以免漏解。
例在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax +bx+c 与x轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，点A 的坐标为（﹣3，0），若将经过A、C 两点的直线y=kx+b 沿y 轴向下平移3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）如果P 是线段AC 上一点，设△ABP、△BPC 的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P 的坐标；（3）设⊙Q 的半径为1，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切．（1）根据" 过A、C 两点的直线y=kx+b 沿y 轴向下平移3 个单位后恰好经过原点"，即可得到c﹣3=0，由此可得到C点的坐标，根据A、C 的坐标即可求出直线AC 的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C 的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由于△ABP和△BPC 等高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，由此可求出AP、PC 的比例关系，过P 作x轴的垂线，通过构建的相似三角形的相似比即可求出P 点的坐标；（3）①此题要分成两种情况讨论：讨论1：⊙Q 与x 轴相切，可设出Q 点的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，若⊙Q 与x 轴相切，那么Q 点的纵坐标的绝对值即为⊙Q 的半径1，由此可列方程求出Q 点的坐标；讨论2：⊙Q 与y 轴相切，方法同上。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题在数学学科中，二次函数和一次函数都是比较基础和常见的函数类型。
它们具有广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等各种学科和实践中。
在解决一些实际问题时，常常需要运用数学思想和知识，来分析和计算给定的数学模型或方程式。
下面，本文将通过几个例子，来展示运用数学思想解决二次函数、一次函数及方程等综合问题的方法和技巧。
第一个例子是二次函数应用题，涉及到物理中的自由落体问题。
问题描述如下：一个物体从100米高的地方自由落下，当它下落到80米高时，它的速度是多少？解题思路：这是一个典型的自由落体问题，可以利用物理学的基本公式来求解。
首先，判断物体下落时所处的位置和速度，可以通过二次函数的解析式来表示。
设物体下落的时间为t，下落时的速度为v，则由物理学的基本公式得：h=100-0.5gt^2 (1)v=gt (2)其中，h表示物体的高度，g为重力加速度，取9.8m/s^2。
根据题目，物体下落到80米高时，即解得t=2s。
将t=2带入公式(2)，得物体下落到80米高时的速度为16m/s。
第二个例子是一次函数应用题，涉及到经济中的成本和收益问题。
问题描述如下：某公司生产某种产品，每生产10个产品需要40元的固定成本和20元的可变成本，卖出一个产品可获得30元的收益，问该公司每月需要生产多少个产品才能盈利？解题思路：这是经济学中常见的成本和收益问题，可以利用一次函数的解析式来计算。
设该公司每月生产x个产品，则该公司的收益为y，有：y=30x-20x-40该公司的成本是固定成本和可变成本之和，即：C=40+20x该公司盈利当且仅当收益大于成本，即y>C将y和C代入得：10x-40>40+20x解得x>8因此，该公司每月需要生产至少9个产品才能盈利。
第三个例子是方程应用题，涉及到物理中的加速度问题。
问题描述如下：一辆车行驶了1200米，速度从40m/s逐渐降到停车。
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门精确的科学，常常被用来解决各种实际问题。
在解决二次函数、一次函数及方程等综合问题时，我们可以运用数学的思想和方法，来得到准确的答案。
我们来看二次函数的问题。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在解决二次函数的问题时，我们可以利用一些基本的性质和定理。
要判断二次函数的开口方向。
如果a>0，则二次函数开口向上；如果a<0，则二次函数开口向下。
根据开口方向，我们可以判断二次函数的最值及其位置。
要求解二次函数的零点。
零点即函数f(x)的解，即f(x)=0。
我们可以利用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a来求解零点。
除了这些基本性质和定理，还有一些与二次函数相关的应用问题。
给定二次函数的图像，我们可以求出其顶点坐标、对称轴等相关信息；或者给定二次函数的零点，我们可以根据这些零点求出二次函数的表达式。
在解决一次函数的问题时，我们可以利用直线的性质和定理。
要求解一次函数的解。
解即函数f(x)的零点，即f(x) = 0。
对于一次函数，解的存在与唯一性是显然的，可以直接求解。
要求出一次函数的斜率。
斜率即直线的倾斜程度，可以用来描述直线的陡峭程度。
一次函数的斜率可以通过函数的表达式直接求出。
我们还可以利用一次函数的直线方程解决一些几何问题。
给定一次函数的两个点的坐标，我们可以通过求解直线的方程，来计算直线与坐标轴、直线之间的夹角等几何量。
我们来看方程的问题。
方程是数学中的基本概念，常常被用来描述物理、化学等实际问题。
在解决方程的问题时，我们可以利用方程的性质和定理。
要求解方程的解。
解即方程的等式成立时的未知量的取值。
对于一次方程，我们可以直接求解；而对于二次方程，我们可以利用一元二次方程的一些基本方法来求解。
要判断方程的解的个数。
对于一次方程，解的个数可以通过方程的系数来判断；而对于二次方程，我们可以通过判别式来判断。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
数形结合思想在二次函数问题中的应用探析
2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。
在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。
初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。
一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。
在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。
有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。
华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。
数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。
通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。
二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。
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数学思想方法在二次函数中的使用
数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．本章主要的数学思想有函数思想和数形结合思想，主要方法有待定系数法和配方法．
一、函数思想
函数思想即使用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思想．用函数思想解题常可达到化难为易、避繁就简的目的．
二、数形结合思想
数形结合思想即把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，是抽象思维和形象思维的结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的．
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛，在二次函数中常用于求抛物线的顶点坐标、对称轴和最值．
例1 求抛物线223y x x =-+的顶点坐标、对称轴．
分析：可利用配方法把二次函数关系式化为2()y a x h k =-+的形式，再确定顶点坐标、对称轴．
解：2223(1)2y x x x =-+=-+．
所以它的顶点坐标是(12)，，对称轴是1x =．
四、待定系数法
在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种方法叫待定系数法．在二次函数中常利用待定系数法求二次函数的关系式．
例2 已知二次函数，当4x =时取得最小值，且最小值为3-，它的图象与x 轴相交，有一个交点的横坐标为1，求此二次函数关系式．
分析：因为二次函数当4x =时有最小值3-，所以顶点坐标为(43)-，，图象与x 轴交点的横坐标为1，即抛物线过(10)，点．
解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(43)-，，所以设此抛物线所对应的二次函数关系式为2(4)3y a x =--．
又因为抛物线过点(10)，，
所以2(14)30a --=． 解得13
a =．
所以此二次函数的关系式为21(4)33
y x =--． 注：其它的思想方法在此不再一一举例，希望同学们在平时学习时认真体会．。