重庆西南师大附中高二上学期期末考试数学(文科)

合集下载

西南大学附属中学高二期末(数学定稿)

西南大学附中2022—2023学年度下期期末考试高二数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}32,M x x k k Z ==−∈ ，集合{}61,N x x k k Z ==+∈，则（） A ．M N =B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．MN =∅2．已知:0p x >，1:2q x x +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若不等式240x ax −+>在[]1,3x ∈上有实数解，则a 的取值范围是（）A ．(),4−∞B ．(),5−∞C ．13,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭ D ．()4,54．从装有3个红球和4个白球的袋子中不放回地随机取出3个球，若取出的球中有红球，则取出的球全是红球的概率为（）A ．135B ．131C ．115D ．175．甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（）种不同的参加方法 A ．72B ．144C ．216D ．2406．函数)2ln()1x f x x =−的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()2ln 62f x ax a x ⎡⎤=+−+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a 的取值范围是（） A ．(][),218,−∞+∞ B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞D ．[][)0,218,+∞8．已知001x y x y >>+=，，，则221x x xy−+的最小值为（）A ．4B ． 143C ．22+D ． 221+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(含答案)

秘密★启用前2022~2023学年度上期学情调研高二数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2332132243334201520172016a a a a a a a a a a a a ----=A ．1B ．2017C ．-1D ．-20172．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为22221(0)x ya b a b+=>>，下列选项中满足题意的方程为（）A ．2218116x y +=B ．2216581x y +=C ．22110064x y +=D ．22164100x y +=3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．4x =4．已知{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +成等比数列，且公比为q ，则q ＝（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-5．在等比数列{}n a 中，28,a a 为方程240x x π-+=的两根，则357a a a 的值为（）A ．B ．-C ．±D ．3π6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁? （）A ．38B ．35C ．32D ．297．已知双曲线()()220022:10,0,,x y C a b P x y a b-=>>是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点.则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(]1,2B ．(C ．()2,∞+D ．)+∞8．数列{}n a 满足11a =，对任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111...a a a +++=（）A ．20152016B ．20162017C ．40342017D ．40322017二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和，且11,*.n n n a a b n N +=∈若40,S =55a =，则（）A ．25n a n =-B ．24n S n n=-C ．16n T <-D ．()5n n a b +的最大值为210．关于函数()xf x e =，()lng x x =下列说法正确的是（）A ．对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立B ．对x ∀∈R ，()f x ex ≥恒成立C ．若a b e >>，()()ag b bg a <D ．若不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，则正实数a 的最小值为1e11．设数列{}n a 是公差为d 等差数列，n S 为其前n 项和，10a <，且20202023S S =，则（）A ．0d >B ．20220a =C ．56S S <D ．2021S ，2022S 为n S 的最小值12．已知双曲线22:1169x y C -=，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为34y x=±B ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为3C ．若直线l 与C 相交于A 、B 两点且AB 的中点为()8,3，则l 的斜率为32-D ．若直线y kx =与C 没有交点，则k 的取值范围是33,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．顶点在原点，经过圆2220C x y x +-+=：的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．14．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ），则2020a =__.15．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知2221cos cos sin sin sin 4A B C B C -+==，且ABC ∆，则a 的值为__________．16．已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝14，且a 1，a 3，a 11成等比数列，设bn ＝(－1)n ＋1an ，数列{bn }的前n 项的和为Sn ，则S 2 021＝________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k ∈N ．记2112n n b a n -=++，*n ∈N ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12n n a a S =+，且12a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n b n a =+，求221n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .19．对于数列A ：a 1，a 2，a 3，…，定义A 的“差数列” ∆A ：213243,,a a a a a a ---，…（I ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的通项公式121n n a -=+，写出∆A 的前3项；（II ）试给出一个数列A ：a 1，a 2，a 3，…，使得∆A 是等差数列；（III ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的差数列的差数列 ∆（∆A ）的所有项都等于1，且19a =92a =0，求1a 的值.20．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，直线0x y +=过其短轴的一个端点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(2,1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.21．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知132a a +=-，1575S =（*n ∈N ）．（Ⅰ）求9S ；（Ⅱ）若数列()()1144n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F，点M ⎛ ⎝在椭圆C 上，且椭圆C 上存在点N 与点F 关于直线y x =对称．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，点A ，B 是x 轴上关于原点对称的两点，且点A ，B 在直线l 上的射影分别为P ，Q ，判断是否存在点A ，B ，使得AP BQ ⋅为定值，若存在，求出A ，B 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n 为偶数时，2211n n n a a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=，所求式子最末项2015n =，从而可得结果.由题意得：21321a a a -=，22431a a a -=-，23541a a a -=，…∴当n 为偶数时，2211n n na a a ++-=-；当n 为奇数时，2211n n n a a a ++-=()()()()23321322433342015201720161a a a a a a a a a a a a ∴---⋅⋅⋅-=-本题正确选项：C本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律.2．A由方程的要求，排除两个选项，再由矩形ABCD 的面积确定正确选项．由题意椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，排除BD ，矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22a b ⋅144=，36ab =．在椭圆2218116x y +=中，9,4a b ==，36ab =，满足题意，在椭圆22110064x y +=中10,8a b ==，80ab =, 不满足题意．故选：A ．3．B试题分析：双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0 故抛物线22y px =中242p p =⇒= 故其准线方程为2x =-考点：抛物线的焦点，双曲线的焦点，抛物线的准线方程4．C设{}n a 是公差为d 的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简可得1d =-，再由等比数列的定义，计算可得所求值．解：设{}n a 是公差为d 的等差数列，若11a +，33a +，55a +成等比数列，可得2315(3)(1)(5)a a a +=++，即2111(23)(1)(45)a d a a d ++=+++，化为2210d d ++=，解得1d =-，则1(1)n a a n =--，则公比为3111323111a a q a a +-+===++，故选：C ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质和定义，考查方程思想和化简运算求解能力，属于基础题．5．C利用韦达定理可得28a a ，再根据等比数列的性质即可得出答案.解：在等比数列{}n a 中，因为28,a a 为方程240x x π-+=的两根，所以2258a a a π==，所以5a =所以33575a a a a ==±.故选：C.6．B由题意，将九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果.由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =，故选：B.本题主要考查等差数列的简单应用，考查等差数列前n 项和公式的基本量运算，属于基础题型.7．B由直线20bx ay a -+=与渐近线0bx ay -=的距离得到圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为2a d c=，再根据圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，由2a d c =求解.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为0bx ay -=，因为点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，又直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离为：2a d c=，即圆心()00,P x y 到直线0bx ay -=的距离为：2ad c=,因为圆()()22002x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，所以2ad c =c e a=≤1e >,所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线0bx ay -=与直线20bx ay a -+=.8．D利用累加法可得(1)2n n n a +=，再裂项相消求和即可由题意得，对11n n a a a n +=++，故11a =，212a a =+，323a a =+，…，1n n a a n -=+，累加可得(1)12...(2)2n n n a n n +=+++=≥，11a =满足，所以(1)2n n n a +=，则1112(1n a n n =-+，122016111a a a +++ 1111140322(1223201620172017=-+-++-= 故选：D ．9．ABD由题意，列方程组求出等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 即可求解n a 与n S ，选项A 、B 可判断；由n a 可得n b ，又111136T b ==>-即可判断选项C ，由()1515282n n a b n n+=+-，利用单调性即可求解最大值.解：因为数列{}n a 为等差数列，40S =，55a =，所以1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，()232542n n n S n n -+-==-，故选项A 、B 正确；又因为11n n n a a b +=，所以()()1112523n n n b a a n n +==--，因为1n =时，111136T b ==>-，所以选项C 错误；因为()()()2221515252341615282nnn n a b n n n n n n+===---++-，1n =时，()11235a b =+，2n =时，()2245a b =-+，3n ≥时，因为15282n n+-随着n 的增大而增大，且大于0，所以()()33255n n a b a b +≤=+，综上，()5n n a b +的最大值为2，故选项D 正确；故选：ABD.10．ABD选项A ：构造函数()()ln 10h x x x x =-+>，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项B ：构造函数()()x f x ex ϕ=-，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项C ：构造函数()()()0g x m x x x=>，根据导数判断函数在(),e +∞内单调递减，从而判断选项错误；选项D ：把不等式()()f ax ax x g x -≥-变形为ln ln ax x e ax e x -≥-，所以只需研究函数()x F x e x =-的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.选项A ：令()()ln 10h x x x x =-+>，则()111xh x x x-'=-=，因为0x >，所以由()0h x '>得01x <<；由()0h x '<得1x >，所以()h x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，所以()h x 的最大值为()10h =，所以对0x ∀>，()0h x ≤恒成立，即对0x ∀>，()1g x x ≤-恒成立，故选项A 正确；选项B ：令()()x x f x ex e ex ϕ=-=-，则()x x e e ϕ'=-，由()0x ϕ'>得1x >；由()0x ϕ'<得1x <，所以()x ϕ在()1,+∞内单调递增，在(),1∞-内单调递减，所以()x ϕ的最小值为()10ϕ=，所以对x ∀∈R ，()0x ϕ≥恒成立，即对x ∀∈R ，()f x ex ≥恒成立，故选项B 正确；选项C ：令()()ln ()0g x x m x x x x==>，则21ln ()xm x x -'=，所以由()0m x '>得0<<x e ；由()0m x '<得>x e ，所以()m x 在()0,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以当a b e >>时，()()m a m b <，即()()g a g b a b<，所以a b e >>，()()ag b bg a >成立，故选项C 错误；选项D ：因为不等式()()f ax ax x g x -≥-对1x ∀>恒成立，即不等式ln ax e ax x x -≥-对1x ∀>恒成立，又因为ln ln ln x x x e x -=-，所以不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立；令()x F x e x =-，则 ()1x F x e '=-，当0x >时，()10x F x e '=->恒成立，所以()x F x e x =-在()0,∞+单调递增，所以由不等式ln ln ax x e ax e x -≥-对1x ∀>恒成立，得ln ax x ≥对1x ∀>恒成立，即ln xa x≥对1x ∀>恒成立，由选项C 知，()ln ()1xm x x x=>在()1,e 内单调递增，在(),e +∞内单调递减，所以()m x 的最大值为1()m e e =，所以只需1a e ≥，即正实数a 的最小值为1e .故选：ABD.利用导数研究不等式恒成立问题，通常要构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，求出最值进而得到结论或求出参数的取值范围；也可分类变量构造函数，把问题转化为函数的最值问题.恒成立问题常见的处理方式有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）()f x a >恒成立型的可转化为min ()f x a >；（3）()()f xg x >恒成立型的可以通过作差法构造函数()()()h x f x g x =-，然后求min ()0h x >，或者转化为min max()()f x g x >.11．ABD根据题干条件找出1a 和d 的等量关系，分析出1a 和d 的符号后逐一判断即可.根据20202023S S =可知，2021202220230a a a ++=，由等差中项可得，202120222023202203a a a a ++==，即20220a =，故B 正确；10a <，2022102021a a d ==+，故102021a d =->，故A 正确；10a <，0d >可知，等差数列单调递增，但20220a =，说明()12021,n a n n ≤≤∈Z 都是负数，故2021S 最小，又20220a =，于是20212022S S =，它们均是最小值，故D 正确；据刚才分析，60a <，而6560S S a -=<，故C 错误.故选：ABD 12．AB结合双曲线的渐近线，焦点到渐近线的距离，点差法、直线与双曲线的位置关系判断出正确选项.依题意，双曲线22:1169x y C -=，4,3,5a b c ===，双曲线的渐近线方程为34=±=±b y x x a ，A 选项正确.焦点()5,0F 到渐近线340x y -=的距离为1535=，B 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,1169169x y x y -=-=，两式相减并化简得12121212916y y y y x x x x +-=⋅+-，若AB 的中点为()8,3，则12121212933,1682y y y y x x x x --=⋅=--，即l 的斜率为32，C 选项错误.双曲线的渐近线34y x =±与双曲线没有交点，34k =±，所以D 选项错误.故选：AB 13．试题分析：由题意圆的圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点代入得，解得，因此抛物线方程．考点：抛物线的标准方程．14．2020当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭，即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，所以20202020a =.故答案为：2020.本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.15．根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A 的值，再利用正弦定理和比例性质求得22bc a sinBsinC sin A=，结合△ABC 的面积求出a 的值．△ABC 中，由cos 2A ﹣cos 2B +sin 2C ＝sin B sin C 14=，得1- sin 2A -（1- sin 2B ）+sin 2C ＝sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ，∴b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理得cos A 222122b c a bc +-==，又A ∈（0，π），∴A 3π=；由正弦定理a b csinA sinB sinC==，∴22bc a sinBsinC sin A=，即22143bc a sin π=，化简得a 2＝3bc ；又△ABC 的面积为S △ABC 12=bc sinA =∴bc ＝4，∴a 2＝12，解得a ＝故答案为本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题．16．3032根据已知条件求得n a ，进而求得n b ，利用分组求和法求得2021S .设等差数列{}n a 的公差为d ，由于a 1，a 3，a 11成等比数列，∴23111a a a =⋅，即(a 5－2d )2＝(a 5－4d )·(a 5＋6d ).∴14d 2＝3a 5d .又d ≠0，a 5＝14，知d ＝3，因此an ＝a 5＋(n －5)×3＝3n －1，bn ＝(－1)n ＋1(3n －1).∴S 2 021＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 021＝b 1＋(b 2＋b 3)＋(b 4＋b 5)＋…＋(b 2 020＋b 2 021)2310103032=+⨯=.故答案为：303217．（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析.（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可．（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++，且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ，所以123112n n b a n --=+-+， (23122)b a =++，11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……．而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ，()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ，()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>．本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．18．（1）2nn a =；（2）()()221n n n ++.（1）由题意结合数列n a 与n S 的关系可得12n n a a -=，进而可得{}n a 是公比2q =的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意()22221111n n b n n +=-+，再由裂项相消法即可得解.（1）由12n n a a S =+可得当2n ≥时，1112n n a a S --=+，∴1122n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，又12a =，∴{}n a 是公比2q =的等比数列，∴112n nn a a q -==；（2）由（1）知，()()()221log 1log 21nn n b n a n n n =+=+=+，∴()()2222221211111nn n b n n n n ++==-++，∴()22222211111112231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()22222211111112231n n =-+-++-+ ()()()2221111n n n n +=-=++.本题考查了数列n a 与n S 关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19．（I ）1，2，4；（II ）数列A ：2，2，2，2，…；（III ）819（I ）先计算数列A 的前4项，然后利用差数列的定义写出∆A 的前3项；（II ）由差数列定义知常数列即满足题意；（III ）根据差数列的定义利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值.（I）数列A：2，3，5，9，数列 A：1，2，4（II ）数列A ：2，2，2，2，… （III ）数列∆（∆A ）：1，1，1，1，…，设数列∆A ：k ，k+1，k+2，k+3，…则数列A ：a 2－a 1=k a 3－a 2=k+1…()12n n a a k n --=+-以上叠加得()()()11212n n n a a n k ---=-+，即()()()11212n n n a n k a--=-++则19192118179914591a k a a k a =+⨯+⎧⎨=+⨯+⎩，则154819k a =-⎧⎨=⎩.本题考查等差数列定义和通项公式的应用，考查学生推理能力和计算能力.20．（1）22143x y +=；（2）直线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3(1,)2M ．（1）由离心率得12c a =，由直线过短轴端点得b =，从而可求出a ，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0∆=可求解．（1）直线l 与y轴交点为(0,，它是椭圆短轴端点，则b =又12c e a ==，所以22214a b a -=，解得2a =．∴椭圆方程为22143x y +=；（2）过(2,1)P 斜率不存在的直线为2x =，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M ．过(2,1)P 斜率存在的切线方程设为1(2)y k x -=-，由221431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得222(34)8(12)161680k x k k k k ++-+--=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0k k k k k k ∆=--+--=-+=，12k =-，此时121x x ==，1232y y ==，即3(1,2M ．直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．切线方程为2x =，(2,0)M 或240x y +-=，3(1,)2M ．本题考查由离心率求椭圆方程，考查直线与椭圆的相切问题．过椭圆外一点作椭圆的切线有两条，要注意考虑斜率不存在的情形．特别是设斜率k 求解时只有一解，说明还有一条是斜率不存在的．21．（Ⅰ）18；（Ⅱ）24n nT n =+.试题分析：（1）根据等差数列{}n a 满足132a a +=-，1575S =，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，根据等差数列的求和公式可得9S 递的值；（2）由（1）知3n a n =-，从而可得()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，则{112221510575a d a d +=-+=即{1111510575a d a d +=-+=，解得{121a d =-=，所以()998921182S ⨯=⨯-+⨯=. （也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I ）知()2113n a n n =-+⋅-=-，()()()()11111441212n n n b a a n n n n +===-++++++，∴ 123n n T b b b b =++++= 111111233412n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11.2224n n n =-=++ 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．（1）22142x y +=；（2），存在点)A ，()B 或()A ，)2,0B，使得AP BQ ⋅为定值，该定值为2．（1）依题意可得点M ⎛ ⎝，()0,N c -在椭圆上，代入得到方程组，解得即可；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，消元，根据0∆=，得到,k m 的关系，设()(),00A t t ≠，则(),0B t -，求出点到直线的距离AP 、BQ ，即可得到AP BQ ⋅为定值时t 的值，再计算斜率不存在时AP BQ ⋅也为定值；解：（1）因为点M ⎛ ⎝在椭圆C 上，所以221123a b +=．由题意知(),0F c -，因为点N 与点F 关于直线y x =对称，所以点N 的坐标为()0,N c -，代入椭圆C 的方程，得221c b =，即2221a b b-=，所以222a b =，与221123a b +=联立并求解，得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）存在点A ，B ，使得AP BQ ⋅为定值．当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，则()()()2224412240km km∆=-+-=，得2242m k =+．设()(),00A t t ≠，则(),0B t -，点(),0A t 到直线l点(),0B t -到直线l 所以()22222224211t km t k AP BQ k k -+-⋅==++，当242t -=，即t =时，2AP BQ ⋅=，为定值，所以存在点)A，()B 或()A ，)B，使得2AP BQ ⋅=．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，)A，()B 或()A ，)B均满足2AP BQ ⋅=．综上，存在点)A ，()B 或()A ，)B，使得AP BQ ⋅为定值，该定值为2．【得解】解决本题时，易忽略直线l 的斜率不存在的情况．一般地，解决关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，只要题设条件没有给定直线的斜率，都要对直线分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论．当直线的斜率存在时，按照常规的研究直线与圆锥曲线位置关系的方法求解；当直线的斜率不存在时，可以根据直线的斜率存在时得到的结论，借助几何图形直观求解．。

重庆高二上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（）(e = A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e = l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.2．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一,,OA OB OCP OP xOA yOB zOC =++ ,,,A B C P 组数对是（） (),,x y z A ．B ．C ．D ．111,,432⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,436⎛⎫- ⎪⎝⎭131,,442⎛⎫- ⎪⎝⎭121,,332⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则P OP xOA yOB zOC =++,,,A B C P 1x y z ++=选项A ：.判断错误； 11113143212x y z =++++=≠选项B ：.判断错误；111114364x y z =++=+-+≠选项C ：.判断正确；1311442x y z =-+++=+选项D ：.判断错误.121513326x y z =++=+-+≠故选：C3．设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（） ,αβαβ∥A ．内有无数条直线与平行 B ．垂直于同一条直线 αβ,αβC ．平行于同一条直线 D ．垂直于同一个平面,αβ,αβ【答案】B【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案. 【详解】对于A ，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A 错； αβ,αβ∥对于B ，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂,αβαβ∥αβ∥αβ直于该条直线，正确；对于C ，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误； ,αβ对于D ，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；故选：B ．4．在等比数列中，，则（） {}n a 2481,16a a a =⋅=4a =A ．2 B ． C ．4 D ．2-4-【答案】A【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.【详解】设等比数列的公比，则，而，，{}n a q 264282,a a q a a q ==21a =4816a a ⋅=于是得，即，解得，所以.2616q q ⋅=24()16q =22q =2422a a q =⋅=故选：A5．已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为0(0)x y m m ++=>22:1O x y +=,A B 23AOB π∠=m （）A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值. m m 【详解】圆的圆心，半径， 22:1O x y +=(0,0)O 1r =由，可得圆心到直线的距离为，23AOB π∠=O 0(0)x y m m ++=>1122r =，解之得或（舍） 12=m =m =故选：B6．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线2222:1(0)x y C a b a b+=>>A ,P Q C y 的斜率之积为，则的离心率为（）,AP AQ 13CA ．B C ．D 1323【答案】D【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合(),P m n (),Q m n -2223n a m =-，求出，求出离心率.222222b m a n a b +=2213b a =【详解】由题意得：，设，，故，(),0A a -(),P m n (),Q m n -222222b m a n a b +=，故， ,AP AQ n nk k m a m a ==+-+13n n m a m a ⋅=+-+解得：，2223n a m =-由，得到，即，22222a n m a b =-22223a n n b=2213b a =离心率e =故选：D7．如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的,120cm AB AB =AC BD =AB AB O 铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的OO '60 A B ''20cm AC 长为（）A ．B ．C ．D ．70cm 80cm 90cm 100cm 【答案】D【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M MN A MN '△A M '在中根据勾股定理求解.R t A MC A ¢【详解】设与交于点，过点作于，连 A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M 接，如图所示，则中，， MN 20,CM AC A MN ='-A 1602A N AB ='=，所以，在中，由勾 60,60MN A NM ∠'== 60A M '=R t A MC A ¢股定理得，，解得．222(20)60AC AC -+=()100cm AC =故选：D8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两2:4E y x =F l x C m C E ,A B 点，在线段上，若，则（） B AC AB BF ⊥AF =A ．B ．C ．D ．2+3【答案】C【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达AB BF⊥22x =m 定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果. 121=xx 12x =【详解】由题意可得：，()()1,0,1,0F C -设，则有，()()1122,,,A x y B x y 2222,11BC BF y yk k x x ==+-∵，则，可得，AB BF ⊥222222221111BC BF y y y k k x x x ===-+--22221x y +=又∵在抛物线上，则，B 2:4E y x =2224y x =联立，解得或（舍去），222222214x y y x⎧+=⎨=⎩22x =-22x =-设直线，联立方程，消去y 得，():1m y k x =+()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩()2222220k x k xk +-+=则，即， 121=xx 1212x x ==故132pAF x =+=+故选：C ．二、多选题9．有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（） 12,,,n x x x ⋯123,3,,3n x x x ⋯A ．新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍 B ．新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍 C ．新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍 D ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍【答案】ACD【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可. 【详解】设样本数据，，…，的最大值为，最小值为， 1x 2x n x max x min x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为，x x 2S max min x x -所以新的样本数据，，…，的最大值为，最小值为，13x 23x 3n x max 3x min 3x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为， 3x 3x 22239S S =()max min max min 333x x x x -=-即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍， 39新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍. 33故选：ACD10．记为数列的前项和，下列说法正确的是（） n S {}n a n A ．若对，有，则数列是等差数列*2,n n N ∀≥∈112n n n a a a -+=+{}n a B ．若对，有，则数列是等比数列 *2,n n N ∀≥∈211n n n a a a -+=⋅{}n a C ．已知，则是等差数列()2,n S pn qn p q =+∈R {}n a D ．已知，则是等比数列()0nn S a m a a =⋅-≠{}n a 【答案】AC【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. n 【详解】对A ，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A 正确；112n n n a a a -+=+{}n a 对B ，若，满足，，但不为等比数列，故B 错误；0n a =211n n n a a a -+=⋅2n ≥{}n a 对C ，当时，，当时，，时符合该式，易知1n =11a S p q ==+2n ≥12n n n a S S pn p q -=-=-+1n =是以为首项，为公差的等差数列，故C 正确；{}n a 1a p q =+2p 对D ，当时，，1n =11(1)a S m a ==-时，，2n ≥111(1)n n n n n n a S S a m a a m a a m m ---=-=⋅--⋅+=⋅-时符合该式，1n =当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 1m ≠{}n a 1(1)a m a =-m 当时，则是等于零的常数列，故D 错误. 1m ={}n a 故选：AC.11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的是（）A ．当点为中点时，P 11B D 1A P BD ⊥B ．当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 P 11B D P 1A BD C ．当点为中点时，二面角的余弦值为P 11B D 1B A P D --13D ．过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为P 1A BD α1111ABCD A B C D -【答案】ABC【分析】求得位置关系判断选项A ；求得点到平面的距离变化情况判断选项B ；1A P BD 、P 1A BD 求得二面角的余弦值判断选项C ；求得截面多边形的周长判断选项D. 1B A P D --【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以， A P 11B D 1111D C B A 111A P B D ⊥又，所以，故A 正确；11//BD B D 1A P BD ⊥对于，由于，平面，平面 B 11//B D BD 11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 则平面，又，11B D //1A BD 11P B D ∈所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B 正确；P 1A BD 对于，易得平面，平面，所以， C 1D D ⊥11BB D D 1A P ⊂11BB D D 11D D A P ⊥因为，平面，1BD D D D ⋂=1,BD D D ⊂11BB D D 所以平面，由平面可得，1A P ⊥11BB D D ,BP DP ⊂11BB D D 11,BP A P DP A P ⊥⊥则为二面角的平面角，，故C BPD ∠1B A P D --2221cos 23BP DP BD BPD BP DP ∠+-===⋅正确；对于，连接.D 11B C D C 、因为，所以四边形是平行四边形， 1111,A B //CD A B =CD 11A B CD 所以，又平面，平面 11//A D B C 1B C ⊄1A BD 1A D ⊂1A BD 则平面，又平面，1B C //1A BD 11B D //1A BD ，平面，平面， 1111B C B D B ⋂=1B C ⊂11B CD 11B D ⊂11B CD 则平面平面，则截面为， 11B CD //1A BD 11B CD A所以截面周长为错误. D 故选：ABC ．12．已知为双曲线上的动点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 22:13x C y -=M C ,P Q，设直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（） ,MP MQ 12,k k A ． B ． 23PMQ π∠=123k k =C ．D ． 38MP MQ ⋅=- 32PQ ≥【答案】ACD【分析】求出双曲线的渐近线即可判断选项A ；根据渐近线的方程即可判断选项B ；根据条件得出C ；利用余弦定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，，，故正y x =0x =π3POQ ∠∴=2π3PMQ ∠=A 确；分别与两条渐近线垂直，，故B 错误；MP MQ ､(123k k ∴==-设，则，即，00(,)P x y 220013x y -=220033x y -=MQ，故C 正确；2200313cos 428x y MP MQ MP MQ PMQ ∠-⎛⎫∴⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭222222π9||||||2||||cos||||||||3||||34PQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ =+-=++≥=当且仅当时等号成立，，故D 正确． MP MQ =32PQ ∴≥故选：．ACD三、填空题13．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生13加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好14有一个一等品的概率为__________．【答案】512【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，1111344⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，1111436⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.1156412+=故答案为：. 51214．写出与圆和都相切的一条直线的方程221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=__________．【答案】######0x =4y =-430x y -=34100x y ++=【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，0x =4y =-设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解. y kx b =+,k b 【详解】因为圆的圆心为，半径 1C ()11,3C --11r =圆的圆心为，半径2C ()23,1C -23r =又因为 14C C =>所以圆与圆相离，所以有4条公切线.1C 2C易得或是圆和的公切线:0a x =:4n y =-221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=设另两条公切线方程为： y kx b =+圆到直线1C y kx b =+圆到直线2C y kx b =+所以3133k b b k ++=-+所以或 31339k b b k ++=-+31339k b b k ++=-+-或34k b =+52b =-当52b =-1所以，切线方程为34k =-34100x y ++=当34k b =+3=所以 ()()225249b b +=++所以 240b b +=所以或 0b =4b =-当时，切线方程为 0b =43k =430x y -=当时，切线方程为4b =-0k =4y =-故答案为：或或或0x =4y =-430x y -=34100x y ++=15．已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为{}n a 13a ≥12350n a a a a +++⋯+=n ____．【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值. {}n a n 【详解】数列是递增的整数数列， {}n a 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，n ∴假设递增的幅度为， 11,3,2n a a n =∴=+ 则， ()232522nn n n n S +++==数列为递增数列，252n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 74250S =<， 85250S =>即为最大值． 7n =故答案为：716．已知正三棱柱的所有棱长为111ABC A B C -1A 11BCC B 的交线长为__________．【答案】4π3【分析】根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.【详解】设的中点为，易知，又因为面面，且面11B C M 111A M B C ⊥111A B C ⊥11BCC B 11B C =111A B C Ç面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，11BCC B 1A M ⊥11BCC B M为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧2==11,BB CC ,P Q面的交线如图所示，则 11BCC B 12,PM B M ==易知， 11π6PMB QMC ∠∠==所以该圆弧所对的圆心角为， 2π3PMQ ∠=故所求弧长为， 2π4π233⨯=故答案为：. 4π3四、解答题17．已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且{}n a d n S {}n a n {}n b q ． 73447,2S b b a ==(1)求；q (2)若，证明：． 684b a =11a b =【答案】(1)2； (2)证明见解析.【分析】（1）由,，得，再根据，得到即可.747S a =737S b =43a b =442b a =432b b =（2）由两式相除得，再将和代入，得，再由得68444,2b a b a ==842a a =1a d 1n a na =442b a =即可.11824b a =⋅【详解】（1）由等差数列得,{}n a ()1774772a a S a +==又， 737Sb =得， 43a b =又， 442b a =得， 432b b =因此.2q =（2）证明：由两式相除得， 68444,2b a b a ==842a a =即， ()11723a d a d +=+则，因此．1a d =1n a na =再由得，即．442b a =11824b a =⋅11a b =18．已知两点及圆为经过点的一条动直线． ()()4,2,5,0D M 22:(2)(1)5,C x y l -+-=M (1)若直线经过点，求证：直线与圆相切；l D l C (2)若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求的面积．l C ,A B ABD △条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．l C l 13-【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较得l l 出结论；(2) 选择条件①可得直线过圆心，直线的方程为，利用点到直线的距离和三l ()2,1C l 350x y +-=角形面积公式即可求解；若选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；【详解】（1）若直线经过点，则直线的方程为，即． l D l ()25y x =--2100x y +-=由题意，圆的圆心为，半径， C ()2,1C r =则圆心到直线，所以直线与圆相切．()2,1C l r =l C （2）选择条件①：若直线平分圆，l C 则直线过圆心，直线的方程为．l ()2,1C l 350x y +-=到直线的距离 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=此时圆心在直线上，则，点到直线的距离 ()2,1C l 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△19．已知数列的前项和． {}n a n 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求{}n b n n T 322115314,,,T a b a b a b =+++．n T 【答案】(1)； 21n a n =+(2).41162n n T -=-【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式；n {}n a （2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的{}n b {}n b 前项和.n n T 【详解】（1）当时，；1n =112123S a ==+=当时，，2n ≥2212(1)2221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦满足，故数列的通项公式． 13a =21n a n =+{}n a 21n a n =+（2）设等比数列的公比为， {}n b (0)q q >因为成等差数列，221153,,a b a b a b +++所以，即．()1225132a b a b a b +=+++()211123511b b q b q +=+++因为，所以．314T =211114b b q b q ++=联立，解之得或（舍）． ()21112111231614b b q b q b b q b q ⎧+=++⎨++=⎩1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩1832b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以． 418121161212n n n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫- ⎪⎝⎭20．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，ABCDCDEF //AB DC //DC EF 5AB =，，．设分别为的中点．3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠= ,M N ,AE BC(1)证明：；FN AD ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值． BM ADE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到CD ⊥CBF CD FN ⊥BCF △，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得CB FN ⊥DC ⊥FCB DC FN ⊥FN⊥ABCD 证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：由于，，平面， ,CD CB CD CF ⊥⊥CB CF C = ,CB CF ⊂CBF 则平面，又平面，所以． CD ⊥CBF FN ⊂CBF CD FN ⊥又，，，， 5AB =3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠=所以))CF CD EF CB AB CD =-==-=则是等边三角形，则，BCF △CB FN ⊥因为平面平面， ,,,DC FC DC BC FC BC C FC ⊥⊥⋂=⊂,FCB BC ⊂FCB 所以平面，因为平面，所以， DC ⊥FCB FN ⊂FCB DC FN ⊥又因为平面平面， ,DC CB C DC ⋂=⊂,ABCD CB ⊂ABCD 所以平面，因为平面，故； FN⊥ABCD AD ⊂ABCD FN AD⊥（2）解：由于平面，如图建立空间直角坐标系，FN ⊥ABCD于是，()()()()()0,,5,,0,0,3,1,0,3,B A F E D 则，，33,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()()3,2,,2,2BM DA DE ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量，ADE (),,n x y z =r则，，令00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20230x x z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩x =1,y z ==平面的法向量，∴ADE n =设与平面所成角为，则BM ADE θsin θ所以直线与平面 BM ADE 21．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105 [)105,115 []115,125 频数 62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为[)75,10540，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间[]105,125内的产品的质量指标值的方差．【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为100，方差为104.(3)300【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可；（3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.[)105,125y 3021i i y =∑【详解】（1）由题意可知，分组，，，，，对应的频率[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125分别为. 0.06,0.26,0.38,0.22,0.08则频率分布直方图如下图所示：（2）质量指标值的样本平均数为．800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=质量指标值的样本方差为2222(10080)0.06(10090)0.26(100100)0.38s =-⨯+-⨯+-⨯22(100110)0.22(100120)0.08+-⨯+-⨯104=（3）由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，[)75,105设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，1270,,,x x x 94x =240x s =质量指标值落在区间内的产品有30件，[)105,125设质量指标值分别为，则平均数为，方差为， 1230,,,y y y y 2y s 设这100件产品的质量指标值的平均数为，100z =方差为，则，2202z s =1007030z x y =+所以，又因为，则， 114y =702221170xi i s x x ==-∑7021621320i i x ==∑又因为，则， 7030222111100zi i i i s x y z ==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑3021398880i i y ==∑所以302221130030yi i s y y ==-=∑22．已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，2:4C y x =F :250l x y -+=()1,1P ,M N C 直线与直线交于点，线段的中点为． l MN Q MN D (1)求的最小值； 2PD MF NF ++(2)若，求的值．,QM aMP QN bNP ==a b +【答案】(1)4 (2)2【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，， C D P l 1d 2d 由抛物线定义得到，求出； 12MF NF d +=2224PD MF NF d ++≥=（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y 0011,11x a y ax y a a++==++方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到()00,Q x y :250l x y -+=22003640a a x y -+-=，故是关于的方程，求出两根之和.22003640b b x y -+-=,a b x 22003640x x x y -+-=【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为． C :1l x =-设点到准线的距离为，点到准线的距离为 D l 1d P l 2d 由抛物线的定义可知，，12MF NF d +=，()112222242PD MF NF PD d PD d d ++=++≥==故的最小值为4．2PD MF NF ++（2）设点，且，()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y ()1,1P 则， ()()101011,,1,1QM x x y y MP x y =--=-- 因为，所以，QM aMP =()()101011,1,1x x y y a x y --=--因此，即， ()()1011011,1x x a x y y a y -=--=-0011,11x a y ax y a a++==++又在抛物线上，所以， ()11,M x y 2:4C y x =()200411x a y a a a ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭故①．()220000322240a x y a x y ++-+-=由于点在直线上，()00,Q x y :250l x y -+=所以，把此式代入①式并化简得：②，00223x y +-=-22003640a a x y -+-=同理由可得③，QN bNP = 22003640b b x y -+-=由②③得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，,a b x 22003640x x x y -+-=由根与系数的关系，得．2a b +=【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

2024-2025学年重庆市西南大学附中高二(上)月考数学试卷(一)(含答案)

2024-2025学年重庆市西南大学附中高二（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z(1+i)=2−i ，则|−z−i|=( )A. 1B.22C. 2D.2622.设m ，n 为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为( )A. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n B. 若α⊥β，m ⊥α，n//β，则m ⊥n C. 若m ⊂α，n 与α相交，则m 与n 异面D. 若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β3.已知平面向量a =(4,2)，b =(m,1)，且(a +b )⊥b ，则m =( )A. −1B. 1C. −1或−3D. 34.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A =π3，B =5π12，c =2，则a =( )A.3B. 2C. 23 D. 225.函数f(x)=ln(x 2−mx−6)在(1,+∞)上单调递增，则m 的取值范围是( )A. m <−2B. m ≤−5C. m ≤2D. m >26.如图所示，四棱锥P−ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，PA =AD =2AB =2，M 为PD 的中点，则CD 与平面ACM 所成角的余弦值为( )A.33B.63C.32D. 127.已知函数f(x)=23sinωxcosωx +2cos 2ωx(ω>0,x ∈R)在[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是( )A. [1112,1712]B. [1112,1712)C. [56,32]D. [56,32)8.已知正四棱锥P−ABCD ，其中AB =4，PA =42，平面α过点A ，且面α⊥PC ，则面α截正四棱锥P−ABCD 的截面面积为( )A. 1633B. 833C. 123D. 3233二、多选题：本题共3小题，共18分。

重庆市20192020学年高二上学期期末考试数学(文)试题含解析

高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知直线l ：，则直线l 的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】 C【分析】【剖析】设直线 l 的倾斜角为，可得，即可得出．【详解】解：设直线l 的倾斜角为，．则，．应选： C．【点睛】本题考察了直线斜率、三角函数求值，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 【答案】 D【分析】【剖析】先把抛物线化为标准方程为，再求准线．【详解】解：抛物线的标准方程为，，张口向上，准线方程为，应选： D．【点睛】在解答的过程中间充分运用抛物线的方程与性质是解题的重点．3. 命题“，使”的否认为（）A.，B.，C.，D.，【答案】 A由于全称命题的否认是特称命题，因此命题“，使”的否认为“，使”，应选 A.4. 由点引圆的切线的长是（）．A. B. C. D.【答案】 C【分析】点到圆心的距离为，圆的半径为依据勾股定理可得切线长为，应选 C.5. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则 a 的值为A. B. C.3 D.【答案】 B【分析】【剖析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可获得所求值．【详解】解：函数的导数为，可得在点处的切线斜率为3，由切线与直线垂直，可得，应选： B．【点睛】本题考察导数的运用：求切线的斜率，考察两直线垂直的条件：斜率之积为，考察方程思想，属于基础题．6. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为A. B. C. D.【答案】 D【剖析】求得椭圆的焦点，可得双曲线的，由双曲线的渐近线方程可得， b 的关系，解方程可得aa ，b 的值，从而获得所求双曲线的方程．【详解】解：椭圆的焦点为，可得双曲线的，即，由双曲线的渐近线方程为，可得，解得，，则双曲线的方程为．应选： D ．【点睛】本题考察双曲线的方程和性质，主假如渐近线方程和焦点，同时考察椭圆的方程和性质，考察运算能力，属于基础题．7. 已知互不重合的直线, 互不重合的平面 , 给出以下四个命题 , 错误的命题是（）．．A.若 , , ,则B. 若 , ,则//C.若,,,则D.若,,,则【答案】 B 【分析】【剖析】由线线平行的性质定义能判断A 的正误；由面面平行的性质，可判断B 的正误，由线面垂直的性质，即可判断C 的正误，由线面平行的性质，即可判断D 的正误 .【详解】由题意，在A 中，若 , ,, 则由面面垂直和线面垂直的性质可得，因此是正确的；在B 中，若,, 则或 //，因此不正确的；在C 中，若,, , 则由线面垂直的判断定理和性质定理，即可得，因此是正确；在 D中，如下图，若,,, 过直线作平面订交的平面，记，可得，从而因此是正确的，应选B.【点睛】本题主要考察了线面地点关系的判断与证明，此中解答中熟记点、线与面的地点关系的判断定理和性质定理，联合几何体的构造特点是解答的重点，侧重考察了推理与论证能力，属于中档试题 . 8. 实数 x ， y 知足，则的取值范围是A. B. C.D.【答案】 C 【分析】【剖析】设，则与圆由交点在依据圆心到直线的距离小于等于半径列式，解不等式可得．【详解】解：设，则与圆由交点，圆心到直线的距离，解得．应选： C ．【点睛】本题考察了直线与圆的地点关系，属中档题．9. 已知过抛物线的焦点F 且斜率为 1 的直线交抛物线于， B 两点，A，则 p 的值为A.2B.4C.D.8【答案】 C 【分析】【剖析】设直线 AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可，，由抛物线的定义可知，，，即可获得p．【详解】解：抛物线的焦点，准线方程为，设，直线 AB的方程为，代入可得，，由抛物线的定义可知，，，，解得．应选： C．【点睛】本题考察了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考察直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．10. 我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如下图的堑堵，，，当堑堵的外接球的体积为时，则阳马体积的最大值为A.2B.4C.D.【答案】 D【分析】【剖析】由已知求出三棱柱外接球的半径，获得，进一步求得AB，再由棱锥体积公式联合基本不等式求最值．【详解】解：堑堵的外接球的体积为，其外接球的半径，即，又，．则．．即阳马体积的最大值为．应选： D．【点睛】本题考察多面体的体积、均值定理等基础知识，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，是中档题．11. 已知定义在上的函数知足，此中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】令，，求出函数的导数，依据函数的单一性求出m的范围即可．【详解】解：令，，则，，，函数在递减，，，，，即，故，解得：，故，应选： C ．【点睛】本题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用以及转变思想，是一道中档题．12. 已知双曲线的左、右极点分别为，点 F 为双曲线的左焦点，过点AF 作垂直于 x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C 于、 Q 两点，连结 PB 交 y 轴于点P连结，延伸线交于点，且，则双曲线的离心率为AE EAQFMCA.B. 2C. 3D. 5【答案】 C【分析】【剖析】利用已知条件求出P 的坐标，而后求解 E 的坐标，推出 M 的坐标，利用中点坐标公式获得双曲线的 a ， c 关系，由离心率公式可得所求值．【详解】解：由题意可得，，，可得 BP 的方程为：，时，，，，则 AE 的方程为：，则，由，可得 M 是线段 QF 的中点，可得，即，即，则，应选： C ．【点睛】本题考察双曲线的简单性质的应用，考察转变思想以及计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13. 在棱长为 1 的正方体中，与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ______．【答案】【分析】【剖析】作出正方体，易知即为所求角，简单得解．【详解】解：正方体中，底面 ABCD，即为与底面 ABCD所成角，易知，，故答案为：．【点睛】本题考察了斜线与平面所成角，属简单题．14. 已知函数，则的单一递加区间为______．【答案】【分析】【剖析】求出函数的导数，解对于导函数的不等式，求出函数的递加区间即可．【详解】解：的定义域是，，令，解得：，故在递加，故答案为：．【点睛】本题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用，是一道基础题．15. 某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．【答案】【分析】【剖析】由几何体的三视图获得该几何体是由底面直径为2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分构成，由此能求出该几何体的体积．【详解】解：由几何体的三视图获得该几何体是由底面直径为2，高为 2 的圆柱和底面直径为 2 高为 1 的半圆锥两部分构成，该几何体的体积为：．故答案为：．【点睛】本题考察几何体的体积的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意三视图的合理运用．16. 设，分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为 ______．【答案】【分析】【剖析】依据条件求出a，和 c 的值，联合椭圆的定义进行转变，利用三点共线的性质进行求解即可．【详解】解：椭圆中的，即焦点坐标为，，点 M在椭圆的外面，则，当且仅当M，，P三点共线时取等号，故答案为：，【点睛】本题主要考察椭圆定义的应用，利用椭圆定义转变为三点共线是解决本题的重点．三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）17. 已知命题；命题q：对于x的方程有两个不一样的实数根．若为真命题，务实数m的取值范围；若为真命题，为假命题，务实数m的取值范围．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】依据为真，则p 真 q 真，求出命题p， q 为真命题的等价条件即可为真命题，为假命题，则命题p， q 一个为真命题，一个为假命题，议论即可【详解】解：当命题 q 为真时，则，解得若为真，则 p 真 q 真，，解得，即实数 m的取值范围为若为真命题，为假命题，则p， q 一真一假，若 p 真 q 假，则，解得；若 p 假 q 真，则，解得综上所述，实数m的取值范围为【点睛】本题主要考察复合命题真假关系的应用，求出命题p， q 为真命题的等价条件是解决本题的重点．18. 已知方程C：，若方程 C表示圆，务实数m的范围；在方程表示圆时，该圆与直线l ：订交于M、N两点，且，求m的值．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】依据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得m的取值范围，即可得答案；依据题意，由圆C的方程剖析圆心，求出圆心到直线的距离，联合直线与圆的地点关系可得，解可得 m的值，即可得答案．【详解】解：依据题意，若方程C：表示圆，则有，解可得，即 m的取值范围为；依据题意，方程C：，其圆心为，圆心到直线的距离，若圆 C与直线 l ：订交于M、N两点，且，则有，解得；则．【点睛】本题考察直线与圆的地点关系，波及二元二次方程表示圆的条件以及弦长的计算，属于基础题．19. 如下图，在直三棱柱中，为正三角形，，M是的中点，N 是中点．证明：平面；若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长．【答案】（ 1）看法析；（ 2）【分析】【剖析】连结，利用中位线得线线平行，从而得线面平行；设底面边长为a，转变三棱锥的极点为M，利用体积不难列出方程求得 a 值．【详解】解：证明：连结C，是的中点，又 N是的中点，C，又平面，平面，平面解：，是的中点，到平面的距离是 C到平面的距离的一半，如图，作交 AB于 P，由正三棱柱的性质，易证平面，设底面正三角形边长为a，则三棱锥的高，，解得．故该正三棱柱的底面边长为．【点睛】本题考察了线面平行，三棱锥的体积等，难度适中．20. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，在处有极值．求的分析式．求在上的最小值．【答案】（ 1）；（2）【分析】【剖析】由题意获得对于a， b 的方程组，求解方程组即可确立函数的分析式；联合中求得的函数分析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确立函数的最小值即可．【详解】，．曲线在点 P 处的切线方程为，即在处有极值，因此，由得，，，因此由知．令，得，．当时，，单一递加；当时，；单一递减；当时，，单一递加 .．又因，因此在区间上的最小值为．【点睛】本题主要考察由函数的切线方程确立函数分析式的方法，利用导数研究函数的最值等，属于中等题．21. 如图，中，，ACDE是边长为 6 的正方形，平面底面ABC．求证：平面 EAB；求几何体 AEDCB的体积．【答案】（ 1）看法析；（ 2） 36【分析】【剖析】推导出，平面ABC，由此能证明平面EAB．取 AC的中点 G，连 BG，推导出平面ACDE，由此能求出几何体AEDCB的体积．【详解】证明：为正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ACDE，平面 ABC，．又，，．解：取 AC 的中点 G ，连 BG ，，且，，且，又平面平面 ABC平面 ACDE ，几何体 AEDCB 的体积【点睛】本题考察线面垂直的证明，考察几可体的体积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察数形联合思想，是中档题．22. 已知椭圆：，为 C 的下极点， F 为其右焦点，点的坐标为，CPG且，椭圆 C 的离心率为．求椭圆 C 的标准方程；已知点，直线 l ：交椭圆 C 于不一样的两点 A ，B ，求面积的最大值．【答案】（ 1）；（ 2） 1【分析】【剖析】由离心率公式及题中条件可得 a ， b ， c 的方程，解得 a ，b ，即可获得所求椭圆方程；设直线 l 的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式，联合基本不等式，可得所求最小值．【详解】解：由题意得，即有，，，，，所求椭圆的方程为；设直线 l 的方程为，由，得，得，即或，设，，则，，又由题意得，到直线的距离，的面积，当且仅当，即时取等号，且此时知足，因此的面积的最大值为1．【点睛】本题考察椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考察直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考察基本不等式的运用：求最值，考察化简运算能力，属于中档题．。

高二上学期数学期末试卷

高二上学期数学期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是（）A ．x e R x x <∈∃0,0B ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．x e R x x ≤∈∃0,0．2．设实数和满足约束条件，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．3．抛物线22y x =的准线方程为（）A ．14y =-B ．18y =-C ．1y =D ．12y =4．“α为锐角”是“0sin >α”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件5．设双曲线)0(19222>=-a ya x 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为() A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列四条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ）③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ）其中正确的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 8．若双曲线193622=-y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程是（） A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．014132=-+y x D ．082=-+y x 9．设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为（）A ．12B ．23C ．34D ．45 10．椭圆221259x y +=的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 若线段1PF 的中点M 在y 轴上, 则1PF =（） A ．415 B ．95 C ．6 D ．7 x y 1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩23z x y =+26241614二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若圆心在轴上、的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是 .12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是。

重庆市西南大学附属中学-12学年高二数学上学期期末考文[会员独享]

重庆市西南大学附属中学-12学年高二数学上学期期末考文[会员独享]西南大学附中2022—2022学年度上期期末考试高二数学试题（文科）（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线3某y10的倾斜角是（）A．6B．3C．23D．562．抛物线某214y的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（0，1C．（1，0）D．（116）16，0）3．已知命题p：某R，in某1，则（）A．p：某R，in某1B．p：某R，in某1C．p：某R，in某1D．p：某R，in某14．直线a∥平面的一个充分条件是（）A．存在一条直线b，b∥，a∥bB．存在一个平面，a，∥C．存在一个平面，a∥，∥D．存在一条直线b，b，a∥b5．已知函数yf(某)在点P（1，m）处的切线方程为y2某1，则f(1)f'(1)（）A．3B．2C．1D．06．若双曲线某2ky21的离心率是2，则实数k的值是（）A．–3B．13C．3D．137．若P（2，–1）为圆(某1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．某y30B．2某y30C．某y10D．2某y50椭圆某2y28．a2b21(ab0)的中心、右焦点、右顶点及在准线与某轴的交点依次为O、F、G、H，则FGOH的最大值为（）A．1B．1123C．4D．不确定9．已知F是抛物线y2某的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF||BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．34B．1C．54D．7410．若函数f(某)1(某2)22，对任意某1，某2，且2某1某23，那么有（）A．某1f(某2)某2f(某1)B．某1f(某2)某2f(某1)C．某1f(某2)某2f(某1)D．某1f(某1)某2f(某2)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．若双曲线某2y2a291(a0)的一条渐近线方程为3某2y0，则a=________________．12．f(某)113某32某2在区间[–1，1]上的最大值是_________________．13．若点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，PF2⊥F1F2，tanPF31F24，则椭圆离心率为__________________．14．已知动点P在曲线2某2y0上移动，则点A（0，–1）与点P连线中点的轨迹方程是__________________．byc0与曲线某2y215．已知非零实数a、b、c成等差数列，直线a某m291(m0)恒有公共点，则实数m的取值范围为___________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分13分)直线l经过点P（–1，1），且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．17．(本小题满分13分)已知函数f(某)某33a某22b某在点某=1处有极小值–1，试求出a、b的值，并求出f(某)的单调递增区间．18．(本小题满分13分)如图，SD⊥正方形ABCD所在平面，AB=1，SB3．S(1)求证：BC⊥SC；(2)设棱SA中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．MDCAB19．(本小题满分12分)设f(某)a某332(2a1)某26某．(1)当a=1时，求曲线yf(某)在点（–1，f(1)）处的切线方程；(2)当a13时，求f(某)的极大值和极小值．20．(本小题满分12分)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在某轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与某轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1．l(1)求椭圆的方程；yP(2)若点P在直线l上运动，求F1PF2的最大值．MA1F1OF2A2某21．(本小题满分12分)已知两定点F1（2，0），F2（2，0）满足条件|PF2||PF1|2的点P的轨迹方程是曲线C，直线yk某2与曲线C交于A、B两点，且|AB|253．(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C上存在一点D，使OAOBmOD，求m的值及点D到直线AB 的距离．（命题人：张珍俊审题人：梁雅峰）西南大学附中2022—2022学年度上期期末考试高二数学试题参考答案（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．A8．C9．C10．C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．212．013．1214．8某22y1015．m355三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(1)设直线l的方程为yk某∵过点P（–1，1）∴1k(1)∴k1∴y=–某即某+y=0(2)设直线l的方程为某aya1∵过点P（–1，1）∴1a1a1∴a=–2∴某2y21即某y20综上，直线l的方程为某y0或某y2017．解：f'(某)3某26a某2b 由已知得f(1)1即a1f'(1)013a2b1336a2b0∴b12∴f'(某)3某22某1(某1)(3某1)由f'(某)0得某13或某1S∴f(某)的单调增区间为(，13)，(1，+)18．解：(1)∵BC⊥CD，BC⊥SD，CDSDD∴BC⊥平面SCD∴BC⊥SCMDC(2)取AB中点N，连结MN，DN，MN1SB352ANB22，DN2，DM2∵DM2MN2DN2∴DMN90∴异面直线DM与SB所成角的大小为9019．解：(1)当a=1时，f(某)某33某26某，f'(某)3某223某6切线斜率kf'(1)6，f(1)13132∴切点为（–1，2）∴切线为y132(6)[某(1)]即12某2y10(2)当a13时，f(某)113某32某26某，f'(某)某2某6(某3)(某2)某2时，f'(某)0；2某3时，f'(某)0；某>3时，f'(某)0∴某=–2时，f(某)的极大值为8，某=3时，f(某)的极小值为27220．解：(1)由已知得2a=4，∴a=2|MA|a2ca|Aa211F1|ac∴(ca)2(ac)又∵a=2（舍去）∴bac3∴椭圆方程为某2y2∴c=1或c=2222431(2)设P（–4，y）（y>0）∵F1（–1，0），F2（1，0）∴KyyPF13KPF25(y∴tanF1PF25)(y3)2y21(yyy2152155)(y15215153)y∴tanF1PF2的最大值为151521．解：(1)由已知得2a=2，∴a=1，又∵c2，∴b2c2a21∴曲线C的方程为某2y21(某1)(2)由yk某22y1得(1k2)某24k某50，设A（某1，y，B（某2，y2）某21）1k20204k20则某1某24k0解之得：5k11k2某51某21k20|AB|1k2|某某2204k225212|1k|1k2|3解之得k=4又∵5k1∴k=–2∴某81某23y2某41y2(2某12)(22)2(某1某2)43由OAOBmOD，得D（1m(某1841某2)，m(y1y2)），即D（3m，3m）∵D在某2y21(某1)上，∴(83m)2(43m)21(m0)∴m433∴D（233，33）直线AB：2某y20|2(233)3∴d32|232515221255。

西师大附中高二数学(文科)练习卷(含答案)

高二数学（文科）测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，将答案直接填在下表中） 1.下列各数中，纯虚数的个数有（）个.27+，27i ，0i ，58i +，()13i -，0.618A.0个B.1个C.2个D.3个 2.用反证法证明：“a b >”，应假设为（）. A.a b > B.a b < C.a b = D.a b ≤3.设有一个回归方程ˆ2 2.5yx =-，变量x 增加一个单位时，变量ˆy 平均（） A.增加2．5 个单位 B.增加2个单位 C.减少2．5个单位 D.减少2个单位 4. 下列说法正确的个数是（）①若()()213x i y y i -+=--，其中,,I x R y C R I ∈∈为复数集。

则必有()2113x yy -=⎧⎪⎨=--⎪⎩②21i i +>+ ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数 ④若一个数是实数，则其虚部不存在A ．0B ． 1C ．2D ．35.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块. A.21 B.22 C.20 D.236. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是： A 2 B 3C 4D 57.复数()1cos sin 23z i θθπθπ=-+<<的模为 A ．2cos2θB ．2cos2θ- C ．2sin2θD ．2sin2θ-8.在如右图的程序图中，输出结果是（） A. 5 B. 10 C. 20 D .159.设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则 A.10<<P B.21<<P C.32<<P D.43<<P10. 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)1000,1500，[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的S =（）A ．6000B ．4000C ．5000D ．10000二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知一列数1，－5，9，－13，17，……，根据其规律，下一个数应为． 12.若(2i)i i a b -=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22a b += ． 13.若连续且不恒等于的零的函数()f x 满足'2()3()f x x x x R =-∈，试写出一个符合题意的函数()______.f x =14.则y 必过点．15．列命题中：①函数()2()(0,1)f x x x x=+∈的最小值是对于任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=且0x >时，'()0f x >， '()0g x >，则0x <时，'()'()f x g x >；③如果()y f x =是可导函数，则0()0f x '=是函数()y f x =在0x x =处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数x 使得不等式|1||1|x x a +--≤成立，则实数a 的取值范围是2a ≥。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

重庆市西南师大附中2007—2008学年度上学期期末考试高二数学试题（文科）（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线3270x y -+=在y 轴上的截距是（）A ．73B ．73- C ．72D ．72-2．抛物线24y x =-的焦点坐标是（）A ．（– 1，0）B ．（0，– 1）C ．（116-，0） D ．（0，116-）3．在空间，下列命题中正确的是（）A ．对边相等的四边形一定是平面图形B ．有一组对边平行的四边形一定是平面图形C ．四边相等的四边形一定是平面图形D ．有一组对角相等的四边形一定是平面图形4．圆22230x y x +--=的圆心到直线y = x 距离为（）A ．12B 2C D ．25．中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，两准线间的距离为8的椭圆方程为（）A ．22143xy+= B ．22134xy+= C ．2214xy +=D ．2214yx +=6．已知点F 1（– 3，0）和F 2（3，0），动点P 到F 1、F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为（） A ．22145xy-= B ．221(0)45x y x -=> C ．22145yx-=D ．221(0)45yxy -=>7．若直线2(1)20(1)(2)10m x m y m x m y ++-=+--+=与直线互相垂直，则m 的值为（） A ．– 1B ．– 2C ．– 1或 – 2D ．– 1或128．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是AA 1、A 1D 1、A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°9．如图，F为双曲线22221x ya b-=的左焦点，A是它的右顶点，B1B2为虚轴，若190FB A∠=︒，则双曲线的离心率是（）A B1C2D．12+10．如图，过抛物线22(0)y px p=>的焦点F且倾斜角为60︒的直线l交抛物线于A、B两点，若||3AF=，则此抛物线方程为（）A．23y x=B．26y x=C．232y x=D．22y x=11．在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，P A⊥平面ABC，P A = 8，则点P到BC的距离是（）A B．C．D．12．椭圆221259x y+=的两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限的一点，若△PF1F2的内切圆半径为43，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡相应位置上．13．直线2310x y-+=关于直线y = x对称的直线方程为_________________．14．双曲线221129x y-=-的渐近线方程为______________．15．已知实数x、y满足约束条件210yx y≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y=+的最大值是______________．16．A、B到平面α的距离分别为4cm和6cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为_________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(13分) 已知双曲线C与椭圆22925225x y+=有相同的焦点，且离心率e = 2(1)求双曲线C的方程；(2)若P为双曲线右支上一点，F1、F2为其焦点，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．A BCDEFGHA1 B11D1（8题图）（9题图）ABCP（11题图）18． (13分) 已知⊙C ：22(3)(3)4x y -+-=，直线l ：1y kx =+．(1) 若l 与⊙C 相交，求k 的取值范围；(2) 若l 与⊙C 交于A 、B 两点，且||2AB =，求l 的方程．19． (12分) 如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，点Q 是P A 的中点，P A = 4，AB = 2． (1) 求证：PC ⊥BD ；(2) 求点Q 到BD 的距离．20． (12分) 如图，D 是△ABC 所在平面外一点，DC ⊥AB ，E 、F 分别是CD 、BD 的中点，且AD = 10，CD = BC = 6，AB =． (1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 求异面直线AD 与BC 所成的角．21． (12分) 已知抛物线方程为22y x =，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程． 22． (12分) 已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>3(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l2，求△AOB面积的最大值，并求此时直线l 的方程．重庆市西南师大附中2007—2008学年度上学期期末考试高二数学试题参考答案（文科）（20题图）ABCDEF（19题图）D一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．A 11．D 12．B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13． 3210x y --=14．2y =±15．8 16．5cm 或1cm三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．解：(1) 设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b ab-=>>， ················································· 1分椭圆22229252251259xyx y +=+=可化为∴4c == ····························································································· 3分 ∵ 2c e a == ∴ a = 2∴ 22216412b c a =-=-= ∴ 所求双曲线方程为221412xy-= ··································································· 7分(2)由已知得122221212||||4|||||64PF PF PF PF F F -=⎧⎪⎨==⎪⎩①|+②············································· 10分122||||48PF PF = 2②-①得∴ 12||||24PF PF = ························································································ 12分 ∴ 12121||||122PF F S PF PF ∆== ········································································ 13分18．解：(1) 由已知C （3，3），r = 2 ··················································································· 2分 ∵ l 与⊙C2< ······························································· 4分25120k k ⇒-< ························································································· 6分 ∴ 1205k <<··································································································· 7分(2) ∵ l 与⊙C 相交于A 、B ，且 | AB | = 2，r = 2故222||()()4132AB r =-=-= ····················································· 9分261210k k ⇒-+= ······················································································· 11分∴16k =±所求l：(1)16y x =±+·············································································· 13分19．解：(1) 连结AC∵ P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，AB AD A = ∴ P A ⊥平面ABCD ··································· 2分 ∴ AC 为斜线PC 在平面ABCD 内的射影 ∵ ABCD 是正方形∴ AC ⊥BD ·········································································································· 4分 ∴ PC ⊥BD ·········································································································· 6分 (2) 设AC BD O = ，连结OQ∵ Q 为P A 中点，O 为AC 中点 ∴ OQ ∥PC ∵ PC ⊥BD ∴ OQ ⊥BD∴ OQ 的长就是点Q 到BD 的距离 ···································································· 9分 ∵ AB = 2，P A = 4 ∴AC = ∴O A =QA = 2∴OQ ==即点Q 到BD················································································ 12分20．解：(1) ∵ E 、F 分别是CD 、BD 的中点 ∴ EF ∥BC ············································· 2分∵ E F ⊄平面ABC ，B C ⊂平面ABC∴ EF ∥平面ABC ········································· 5分 (2) 分别取AC 、BC 的中点G 、H ，连结GH 、GF 、EG 、FH∵ F 、H 分别为BD 、BC 中点（19题图）BCDEF∴ FH ∥DC ，132FH D C == ······················ 6分又G 、H 分别为AC 、BC 中点 ∴ GH ∥AB，12G H AB ==·················· 7分∵ DC ⊥AB ，∴ FH ⊥GH在Rt △FGH中，GF ==······················································· 8分 ∵ EG ∥AD ，EF ∥BC∴ ∠GEF 就是异面直线AD 与BC 所成的角（或其补角） ···························· 10分 ∵ AD = 10，BC = 6 ∴ EG =12AD = 5，EF =12BC = 3在△EFG 中，222259191cos 22532EG EFG FG EF EG EF+-+-∠===⨯⨯∴ ∠GEF = 60°即异面直线AD 与BC 所成的角为60° ································ 12分21．解：设直线l 的方程为2+=kx y ····················································································· 1分由⎩⎨⎧+==222kx y xy 消去x 得：2240ky y -+= ······························································ 3分∵ 直线l 与抛物线相交 ∴1044160k k k k ≠⎧⎪⇒<≠⎨∆=->⎪⎩且 ······································································ 5分设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则124y y k= ······························································ 6分从而2212122422y y x x k==·························································································· 8分∵ OM ⊥ON ∴ 12120x x y y +=································································· 10分即442=+kk解得1k =-符合题意∴ 直线l 的方程为2+-=x y ··············································································· 12分22．解：(1) 由题意得3c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴1b ==∴ 椭圆C 的方程为2213xy += (3)分(2) 当AB ⊥x轴时，||AB =，当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+ ∵ O 到l2∴2=∴ 223(1)4k m +=···························································· 4分联立2233y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 222(31)63(1)0k x kmx m +++-= ························ 5分∵ 直线l 与椭圆相交∴ 22223612(31)(1)0k m k m ∆=-+-> 即 22310k m -+> ·························· 6分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则212122263(1)3131km m x x x x k k -+=-=++， ··················· 7分∴ 222212121222612(1)()()4()3131km m x x x x x x k k --=+-=--++222222212(31)273(31)(31)k m k k k -++==++ ··········································································· 8分∴ 22222221222222733(9101)||(1)()(1)(31)(31)k k k AB k x x k k k +++=+-=+=++··················· 9分22222222223[(31)4]121233(0)1(31)(31)96k k kk k k k k++==+=+≠++++34≤+= ·················································································· 10分当且仅当2m ax 219||23k k AB k==±=，即，当k = 0时，求得||AB =综上可知，m ax ||2AB =，此时△AOB的面积最大，为m ax 12222S =⨯⨯=，直线l的方程为13y =±12。