素数、合数、分解素因数
3素数合数分解素因数
个性化辅导教案学生学校年级六年级课次3次科目初中数学教师刘翠翠日期时段课题素数，合数，分解素因数教学目标考点分析素数与合数的概念分解素因数教学重点难点分解素因数教学内容知识点1：素数与合数一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(prime number),也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫合数(composite number)，合数总可以写成几个素数相乘的形式1既不是素数也不是合数，这是人为规定的，因为大于1的自然数要么是素数要么是合数。
100以内的素数2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 6167 71 73 79 83 89 97熟记20以内的全部素数1、最小的素数是________，最小的合数是_________；2、既是奇数又是合数的最小的正整数是__________，最小的奇数素数是；3、既是偶数又是素数的数________；最小的偶素数是，最小的偶合数是。
4、以下各数中：1、2、4、6、27、43、57、65、67、70、87、97知识点2、分解素因数105分解素因数为，105的素因数有，因数有36分解素因数为，36的素因数有，因数有1.每个合数都可以写成几个相乘的形式，其中每个都是这个合数的，叫做这个合数的。
2.把一个合数用相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
3.分解素因数：38= ；16=35= ；88=1.最小的素数，最小的合数。
2. 既不是素数也不是合数。
3.在等式3⨯=⨯=中，4和6是24的；2和3是24的；⨯24⨯22642课后作业1. 将18分解素因数 .龙文教育课后作业龙文教育课后测试卷。
第04讲 素数、合数与分解素因数(6种题型)(原卷版)
第04讲 素数、合数与分解素因数（6种题型）【知识梳理】一、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 二、分解素因数 1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 2、口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 3.用树枝分解法分解素因数 例如：常常适用于较小数目 4、短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式． 例如：728×92×4×3×32×2×2×3×3355 7用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。
第二最后的商还是合数。
如：一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。
三、公因数1互素：指两个整数只有.这不一定两个整数是素数.【考点剖析】 题型一：素数与合数例1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）在1至10，这10个正整数中，素数共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式】（2021·上海·青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是______． 例2.判断37，39，47和49是素数还是合数．【变式】最小的素数是_____，最小的合数是____.例3．（2021·上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（ ） A ．奇数都是素数 B ．偶数都是合数 C ．合数不都是偶数 D ．素数都是奇数2 7 83 3 91 3 4 6 0 3 1 55 5 455 91【变式】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：(1) 是奇数又是素数的数是（ ）； (2) 是奇数不是素数的数是（ ）； (3)是素数而不是奇数的数是（）； (4) 是合数而不是偶数的数是（）．题型二：素数与合数的应用例4．（2021·上海黄浦·期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是_______． 【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：，其中A 既不是素数，也不是合数；B 是10以内最大的数；C 是最小的素数；D 是10以内最大的奇数；E 的倒数等于它本身；F 是最小的自然数；则这个六位数是 _________．【变式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（ ）A.413=+；B. 13211=+；C. 1679=+；D. 321319=+.【变式3】 阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.【变式4】如果m 和n 是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n 的值是 .【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：" l ＋1"。
分解素因数
分解素因数1.记住左边图案；2.左边的图案经过一定的旋转，可以得到下面哪张图片？3.并说出是怎样旋转而得。
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．理解素数与合数及素因数的概念，会用短除法分解素因数；2．理解互素的意义，会判断两个数是否互素；3．理解公因数与最大公因数的概念；会用短除法求两个数的最大公因数1.素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有l和它本身两个因数，这样的数叫做素数（也叫质数）．（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数．100以内的素数表2.素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数.3.分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数.4.公因数和最大公因数（1）公因数和最大公因数：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.（2）互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
注意：互素是指两个数之间的关系，与素数没有互为因果的联系，在以下情况可以直接判断两个数是互素：①两个不同的素数是互素；②1和任何正整数是互素；③两个相邻的正整数是互素；④一个素数和一个合数，且没有倍数关系，它们是互素．5.求最大公因数的方法（1）列举法：分别列出两个数的因数，从公因数中找出它们的最大公因数．（2）分解素因数法：把两个数分解素因数，最大公因数就是它们公有素因数的乘积．（3）短除法：用两个数的公因数去除，除到商是互素为止，所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数．（4）特征法：如果两个数是互素，它们的最大公因数是1．如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数题型一：素数和合数【例1】判断下列各数是素数还是合数：25，1，51，2，37．【例2】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）(1)奇数一定是素数，偶数一定是合数．（）(2)一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式．（）(3)两个素数的积一定是合数．（）(4)任何素数加上l都成为偶数．（）【借题发挥】1.判断下列数是不是素数：(1)667 (2)233．2.将下列各数填入相应的圈内：7、17、27、37、47、57、67、87、97.题型二：分解素因数【例3】把30分解素因数的正确算式是( )(A)30＝2×3×5×1 (B) 30＝5×6 (C) 30＝2×3×5 (D)2×3×5＝30【例4】把下列各数分解素因数．50，91，132．【借题发挥】1．写出45的所有因数；2．将45分解素因数．题型三：公因数和最大公因数【例5】说出下面哪一组中的两个数是互素．9和12；27和28；7和22；11和19．【借题发挥】1，11，14，16能组成几对互素？【例6】求下列各组数的最大公因数；(1)17和51；(2)23和32；(3) 24和60．【借题发挥】求18和42的最大公因数．1.填空题：(1)一个数，如果只有和两个因数，这样的数叫做；(2)_______既不是质数也不是合数；(3)最小的素数是，最小的合数是，最小的奇数素数是，最小的奇数合数是；(4)一个长方形周长是16分米，且长和宽都是素数，这个长方形的长是分米，宽是分米，它的面积是平方分米．2．下面各数按要求填人横线：1，2，3，5，7，9，13，15，17，19奇数：偶数：素数：合数：3．把以下各数分解素因数．(1) 45；（2）72；（3）238；（4）3384．求出下面每组数的最大公因数，并指出哪些是互素．(1)2和6；(2)12和18；(3)27和51；(4)28和l4；(5)32和56；(6)17和32．5．指出下面哪组数中，含有公因数是3．(1)3和6；(2)6和13; (3) 12和18;(4) 32和48; (5)9和133; (6) 15和12.6．根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，(1)是奇数又是素数的数是；(2)是奇数不是素数的数是；(3)是素数而不是奇数的数是；(4)是合数而不是偶数的数是；(5)是合数而不是奇数的数是．7．将20写成两个素数之和，这两个素数的最大乘积是多少？1．下列各组数中哪些是互素？12和39；2和5；36和42；11和12；21和91.2．求下列各组数的最大公因数．(1) 30和42; (2) 56和126; (3) 16和80; (4) 40和48.3．几个数的最大公因数是12，这些数的全部公因数是（）(A)1,2,3,12 (B)2,3,4,6(C)2,3,4,6,12 (D)1,2,3,4,6,124．在下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？请把合数分解素因数．31，47，58，83，121，143，279.5．用短除法，将下列各数分解素因数24，95，68，1446．面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．最小的素数是，最小的合数是．2．把下面各数填在适当的圈内．1,2,4,9,11,23,55,71,91.3．在1，2，6，9，10，18，23这7个数中，既是奇数又是合数的是，既是偶数又是素数的是，既不是素数也不是合数的是．4．12和18的全部公因数有，最大公因数是．5．A＝3×7，B＝2×5，A和B的最大公因数是．6．2，3，16，18四个数可以组成对互素．7．先分别把下面两个数分解素因数，再求它们的最大公因数21= ；39＝．21和39的最大公因数是．8．甲数＝3×A×7，乙数＝2×3×B，甲数和乙数的最大公因数是21，则A最小可取，B ＝．9．根据短除法计算并填空：A和B分别是；A和B的最大公因数是．10．几个素数的乘积一定是 ( )(A)素数(B)合数(C)偶数(D)奇数11．一个合数至少有因数的个数为( )(A)l (B)2 (C)3 (D)412．在自然数中，2是( )(A)最小的素数(B)最小的偶数(C)最小的合数(D)最小的自然散13．28分解素因数正确的式子是( )(A)28＝2×2×7 (B) 28＝4×7(C)2×2×7=28 (D)28＝1×2×2×714．甲数＝3×3×5，它的因数个数为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)615．五（1）班有36人，五（2）班有32人，现在分别要把两个班的学生平均分成若干个小组，要使两个班的各个小组人数相等，每组最多多少人？16．两根铁丝分别长65米和91米，用一根绳子分别测量它们，都恰好量完无剩余，这根绳子最多有多长？11。
1-100000分解素因数
1=既不是素数,也不是合数2=素数3=素数4=2^25=素数6=2×37=素数8=2^39=3^210=2×511=素数12=2^2×313=素数14=2×715=3×516=2^417=素数18=2×3^219=素数20=2^2×521=3×722=2×1123=素数24=2^3×325=5^226=2×1327=3^328=2^2×729=素数30=2×3×531=素数32=2^533=3×1134=2×1735=5×736=2^2×3^237=素数38=2×1939=3×1340=2^3×541=素数42=2×3×743=素数44=2^2×11 45=3^2×546=2×2347=素数48=2^4×349=7^250=2×5^251=3×1752=2^2×1353=素数54=2×3^355=5×1156=2^3×757=3×1958=2×2959=素数60=2^2×3×561=素数62=2×3163=3^2×764=2^665=5×1366=2×3×1167=素数68=2^2×1769=3×2370=2×5×771=素数72=2^3×3^273=素数74=2×3775=3×5^276=2^2×1977=7×1178=2×3×1379=素数80=2^4×581=3^482=2×4183=素数84=2^2×3×785=5×1786=2×4387=3×2988=2^3×1189=素数90=2×3^2×591=7×1392=2^2×2393=3×3194=2×4795=5×1996=2^5×397=素数98=2×7^299=3^2×11100=2^2×5^2101=素数102=2×3×17103=素数104=2^3×13105=3×5×7106=2×53107=素数108=2^2×3^3109=素数110=2×5×11111=3×37112=2^4×7113=素数114=2×3×19115=5×23116=2^2×29117=3^2×13118=2×59119=7×17120=2^3×3×5121=11^2122=2×61123=3×41124=2^2×31125=5^3126=2×3^2×7127=素数128=2^7129=3×43130=2×5×13131=素数132=2^2×3×11133=7×19 134=2×67 135=3^3×5 136=2^3×17 137=素数138=2×3×23 139=素数140=2^2×5×7 141=3×47 142=2×71 143=11×13 144=2^4×3^2 145=5×29 146=2×73 147=3×7^2 148=2^2×37 149=素数150=2×3×5^2 151=素数152=2^3×19 153=3^2×17 154=2×7×11 155=5×31 156=2^2×3×13 157=素数158=2×79 159=3×53 160=2^5×5 161=7×23 162=2×3^4 163=素数164=2^2×41 165=3×5×11 166=2×83 167=素数168=2^3×3×7 169=13^2170=2×5×17 171=3^2×19 172=2^2×43 173=素数174=2×3×29 175=5^2×7 176=2^4×11 177=3×59178=2×89179=素数180=2^2×3^2×5181=素数182=2×7×13183=3×61184=2^3×23185=5×37186=2×3×31187=11×17188=2^2×47189=3^3×7190=2×5×19191=素数192=2^6×3193=素数194=2×97195=3×5×13196=2^2×7^2197=素数198=2×3^2×11199=素数200=2^3×5^2201=3×67202=2×101203=7×29204=2^2×3×17205=5×41206=2×103207=3^2×23208=2^4×13209=11×19210=2×3×5×7211=素数212=2^2×53213=3×71214=2×107215=5×43216=2^3×3^3217=7×31218=2×109219=3×73220=2^2×5×11221=13×17222=2×3×37223=素数224=2^5×7225=3^2×5^2226=2×113227=素数228=2^2×3×19229=素数230=2×5×23231=3×7×11232=2^3×29233=素数234=2×3^2×13235=5×47236=2^2×59237=3×79238=2×7×17239=素数240=2^4×3×5241=素数242=2×11^2243=3^5244=2^2×61245=5×7^2246=2×3×41247=13×19248=2^3×31249=3×83250=2×5^3251=素数252=2^2×3^2×7253=11×23254=2×127255=3×5×17256=2^8257=素数258=2×3×43259=7×37260=2^2×5×13261=3^2×29262=2×131263=素数264=2^3×3×11265=5×53266=2×7×19 267=3×89268=2^2×67 269=素数270=2×3^3×5 271=素数272=2^4×17 273=3×7×13 274=2×137 275=5^2×11 276=2^2×3×23 277=素数278=2×139 279=3^2×31 280=2^3×5×7 281=素数282=2×3×47 283=素数284=2^2×71 285=3×5×19 286=2×11×13 287=7×41288=2^5×3^2 289=17^2290=2×5×29 291=3×97292=2^2×73 293=素数294=2×3×7^2 295=5×59296=2^3×37 297=3^3×11 298=2×149 299=13×23 300=2^2×3×5^2 301=7×43302=2×151 303=3×101 304=2^4×19 305=5×61306=2×3^2×17 307=素数308=2^2×7×11 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415=5×83416=2^5×13 417=3×139 418=2×11×19 419=素数420=2^2×3×5×7 421=素数422=2×211423=3^2×47 424=2^3×53 425=5^2×17 426=2×3×71 427=7×61428=2^2×107 429=3×11×13 430=2×5×43 431=素数432=2^4×3^3 433=素数434=2×7×31 435=3×5×29 436=2^2×109 437=19×23 438=2×3×73 439=素数440=2^3×5×11 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1497=3×4991498=2×7×1071499=素数1500=2^2×3×5^31501=19×791502=2×7511503=3^2×1671504=2^5×471505=5×7×431506=2×3×2511507=11×1371508=2^2×13×291509=3×5031510=2×5×1511511=素数1512=2^3×3^3×71513=17×891514=2×7571515=3×5×1011516=2^2×3791517=37×411518=2×3×11×231519=7^2×311520=2^4×5×191521=3^2×13^21522=2×7611523=素数1524=2^2×3×1271525=5^2×611526=2×7×1091527=3×5091528=2^3×1911529=11×1391530=2×3^2×5×171531=素数1532=2^2×3831533=3×7×731534=2×13×591535=5×3071536=2^9×31537=29×531538=2×7691539=3^4×191540=2^2×5×7×111541=23×671542=2×3×2571543=素数1544=2^3×1931545=3×5×1031546=2×7731547=7×13×171548=2^2×3^2×431549=素数1550=2×5^2×311551=3×11×471552=2^4×971553=素数1554=2×3×7×371555=5×3111556=2^2×3891557=3^2×1731558=2×19×411559=素数1560=2^3×3×5×131561=7×2231562=2×11×711563=3×5211564=2^2×17×231565=5×3131566=2×3^3×291567=素数1568=2^5×7^21569=3×5231570=2×5×1571571=素数1572=2^2×3×1311573=11^2×131574=2×7871575=3^2×5^2×71576=2^3×1971577=19×831578=2×3×2631579=素数1580=2^2×5×791581=3×17×311582=2×7×1131583=素数1584=2^4×3^2×11。
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数 知识结构知识精讲 内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 例题解析35 5 7【例9】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】36和54的公因数有_____________．【例11】126和630的最大公因数是________________．【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组 （1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A ．1B ．2C ．3D ．4例题解析知识精讲 模块二：公因数和最大公因数【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例19】已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．【例21】 下列说法中正确的个数为（ ）个 （1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n ÷=，则两个正整数m 、n 的最小公倍数是m ；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c ÷=（a 、b 、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c ．A ．0B ．1C ．2D ． 3模块三：公倍数与最小公倍数 例题解析知识精讲【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【例24】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【例25】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例26】已知四位数20【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【例29】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯B．1802259=⨯⨯⨯C．3362233729=⨯⨯⨯=D．362233=⨯⨯⨯【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【作业2】108的素因数有____________________．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【作业6】24的所有因数中，互素的数共有______对．【作业7】已知M a b c（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
1.4质数合数分解质因数
1、3 3的因数：
4的因数： 1、2、4 5的因数：1、5
6的因数：1、2、3、6
12的因数： 1、2、3、4、6、12
例：写出下面每个数的所有的因数。 有一个因数的是： 1 有两个因数的是： 2、3、5、7、11
有两个以上因数的是： 4、6、8、9、10、12
一个正整数，如果只有1和它本身两 个因数，这样的数叫做素数（或质数）。 一个数，如果除了1和它本身还有别 的因数，这样的数叫做合数。
1.4 素数合数分解素因数
素数和合数、分解素因数
找规律
我们学过求一个数的因数，那么 每个数的因数个数有什么规律？
例：写出下面每个数的所有的因数。
1 1的因数：
1、2 2的因数：
7的因数： 1、7
8的因数： 1、2、4、8 9的因数： 1、3、9 1、2、5、10 10的因数： 1、11 11的因数：
6=2×3
2和3是6的素因数
28 = 2 × 2 × 7
2和7是28的素因数
例：6、28和60可以写成哪几个素数相乘的形式
60 6 10 60 = 2 × 2 × 3 × 5
2
3
2
5
把一个合数用素因数相乘的形式 表示出来，叫做分解素因数。
合数=素因数相乘
• • • • 分解素因数的方法： 1)逐步分解法： 利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式。 一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的（ 1）两个素数的和一定是偶数。 × （ 2）最小的素数是奇数。 ×
（3）一个自然数，不是奇数就是偶数。
√
判断数字
一个正方体 6个面上分别写着1、2、3、4、
5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字
素数合数与分解素因数
素数、合数与分解素因数引言在数学中，素数和合数是基本的概念。
素数是只能被1和自身整除的正整数，而合数则是除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
本文将详细介绍素数、合数以及分解素因数的相关概念、性质及应用。
素数定义素数（Prime Number），也称质数，是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
性质•2是最小的素数。
•素数只有两个因子：1和它本身。
•质因子只有两个：1和它本身。
判断方法判断一个数字是否为素数有多种方法，其中常见且简单的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n不是素数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n 为素数。
应用•加密算法：许多加密算法（如RSA）依赖于大质量随机素数的产生。
•素性检验：在计算机科学中，常用于判断一个数字是否为素数。
合数定义合数（Composite Number）是指除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
性质•0和1既不是素数也不是合数。
•合数可以分解为若干个素数的乘积。
判断方法判断一个数字是否为合数有多种方法，其中一种简单且常用的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n为合数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n为素数。
应用•数论研究：在许多数论问题中，需要对合数进行分析和研究。
•加密算法：一些加密算法（如RSA）要求选择两个大质量随机合数作为公钥和私钥。
分解素因数定义分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2*2*3。
方法分解素因子有多种方法，其中最常用且简单的方法是试除法。
1.找到一个能整除待分解的数n的最小素数p。
2.将n除以p得到商q和余数r。
3.如果r为0，则p是n的一个素因数，将p记录下来，并继续将q分解为素因数。
素数、合数与分解素因数
第13讲 素数、合数与分解素因数知识点01 素数、合数与分解素因1、素数和合数素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数； 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
注：1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1、素数和合数三类。
2、判断一个正整数是不是素数的方法① 查素数表100以内的素数表② 试除法：即从小到大用每一个素数2，3，5，7，……，依次去试除所给的正整数，如果它能比被它小的某个素数整除，它就是合数，如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数3、素因数和分解素因数的概念以及分解素因数的方法素因数： 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每一个素数都是这个合数的素因数。
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注：（1）素因数相对于合数而言，不能单独存在，比如：不能说2是素因数，单独说时它只是一个素数（2）分解素因数时一定要分解到全部的因数都是素数为止，一个数分解素因数的形式是唯一的 （3）书写时一般写成“合数=素因数相乘”的形式2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 313741434753 59 61 67 71 7379838997分解素因数的方法：① 树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式，以24为例，如右图所示：注： 逐步分解法一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的数上 ② 短除法步骤：（1）用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除（2）得到的商如果是合数，再按上面的方法继续除下去，直到得到的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
注：（1）判断是不是分解素因数的关键是看每个因数是否为素数，且要符合正确的书写格式（2）分解的结果一般将素因数按从小到大的顺序排列起来写（3）在求一个数有哪些素因数时必须说出它的每一个素因数：例如：36=2×2×3×3的素因数有4个：2，2，3，3，不能说2个：2和3× ×× 2 2 424× 6 2 3。
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教学过程
一、复习预习
通过以下练习复习上节课知识点并引入本节课知识：
1.找出12的所有因数
2.找出3的所有因数
答案：1、1,2,3,4,6,12
2、1,3
大家总结以下这两题中的数字有什么区别？
总结：像上题中12的因数有很多个，除了1和它本身两个因数外还有很多个因数，像这种数字我们称为合数，而像3这样，所有因数中除了1和它本身两个因数之外没有其他因数的我们称为素数，也叫质数。
二、知识讲解
本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析
考点/易错点1：素数、合数的概念
1、素数的概念：1是不是素数？1有一个因数，故1既不满足素数概念又不满足合数的概
念，所以1既不是素数也不是合数
2、最小的素数和最小的合数分别是什么？根据上面概念可知，最小的素数是2，最小的合
数是4
考点/易错点2：偶数一定是合数，奇数一定是素数
偶数的定义不同于合数的定义，两者不能混为一谭，奇数和素数也是一样，比如2是偶数，却是素数，9是奇数，却是合数，要根据题意来运用概念。
考点/易错点3：短除法分解素因数找因数时一定要找素数
如将48进行分解素因数时，应先除以2，再除以2或者3，而不能直接除以4或者其他合数，这样分解出的就不是素因数了。
三、例题精析
【例题1】
【题干】判断下列各数是素数还是合数：25、1、51、2、37.
【答案】素数有：2,37.合数有25,51
【解析】本题考查素数合数的基本概念，比较容易错的1和51，其中1容易被误解为素数，因为只有1和它本身的因数，但并不是两个因数，故1既不是素数也不是合数，51容易误解为素数，不常见的数字我们可以试试多个因数相除
【例题2】
【题干】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）
（1）奇数一定是素数，偶数一定是合数
（2）一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式
（3）两个素数的积一定是合数
（4）任何素数加上1都成为偶数
【答案】（1）错（2）对（3）对（4）错
【解析】
（1）偶数的定义不同于合数的定义，两者不能混为一谭，奇数和素数也是一样，比如2是偶数，却是素数，9是奇数，却是合数，要根据题意来运用概念。
（2）对，分解素因数即是将一个合数写成几个素数乘积的形式
（3）合数是除了1和它本身两个因数外还还有其他的因数，两个素数乘积一定多于3个因数，故是合数。
（4）不是所有的素数加1都可以变成合数，如2
【例题3】
【题干】把30分解素因数的正确算式是
（A）30=2×3×5×1 （B）30=5×6 （C)30=2×3×5 （D）2×3×5=30
【答案】C
【解析】分解素因数时将一个数写成几个素数乘积的形式，A中1不是素数，B中6是合数不是素数，D格式不对。
【例题4】
【题干】有91个苹果，全部分给十几个人，若每人分得苹果的个数都相同，那么每个人分得苹果多少个？
【答案】7
【解析】本题主要考查分解素因数的应用，由于全部分，且每个人分得的苹果相同，故我们可以将91分解因数，91=13x7，所以人数为13，每人分得7个
四、课堂运用
【基础】
1.在正整数中，既不是素数也不是合数的数是_____，既是素数又是偶数的数是______
2.39、47、57、83中为素数的有（）
（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83
【巩固】
1.两个素数相乘的积一定是（）
（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数
2.根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，
（1）是奇数又是素数的数是（）；（2）是奇数不是素数的数是（）；
（3）是素数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）；
（5）是合数而不是奇数的数是（）
【拔高】
1.用210个边长为1厘米的正方形拼成一个长方形，如果它的长和宽都大于10厘米，问这个长方形的长和宽各是多少厘米？
2.小林是个中学生，在一次单元测试中，它的年龄、名次和考试分数的乘积是2910，请求出他的年龄、名次和考试分数。
答案与解析：
【基础】
1.1,2分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是素数，也不是合数。
而2是唯一一个属于素数的偶数，且2是最小的素数。
2.D，分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
【巩固】
1.分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个素数相乘所得来的数，除了含有这两个素数作它的因数外，至少还有1。
所以得数肯定不能为素数。
2.（1）43,59（2）9,21，51（3）2（4）9,21,51（5）64分析：采用素数，合数，偶数，奇数的概念进行判断
【拔高】
1．答案：解析：本题主要考查分解素因数的应用，210可以分解为以下几种情况210=2x105=3x70=6x35=7x30=10x21=15x14=42x5，由于题目要求，长和宽都大于10，所以符合题目只有14和15，所以长是15，宽是14
2．答案：年龄：15，分数：97，名次：2.解析：本题主要考查分解素因数的应用，2910可以分解为：2910=291x10=97x3x2x5，由此看出学生成绩是97，由于题目要求是中学生，所以年龄必须是3x5=15，所以名次是2
课程小结
（1）一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫素数（也叫质数）
（2）一个正整数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。
（3）分解素因数的方法：
逐步分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数的形式，如右图所示
逐步分解法一般运用在直接看出是哪两个因数相乘的数上
短除法：用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是合数，再按上面的方法继续除下去，直接得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。
课后作业
【基础】
1.下列说法中正确的是（）
（A）自然数包括素数和合数两类 (B）不存在最小的素数
（C）1既不是素数，也不是合数（D）2是最小的合数
2.在14＝2×7中，2和7都是14的（）。
（A）素数（B）互素数（C）素因数（D）公因数
【巩固】
1.18的因数有，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有.
2.2．在1，2，5，10四个数中是的倍数，其中奇数有，偶数有，素数有，合数有. 【拔高】
1.把15写成两个素数相加的形式是……………（）
（A）11＋4 （B）12＋3（C）13＋2 （D）14＋1
2.若210=2×3×5×7，除了1和210以外，因数的有多少个？
答案与解析：
【基础】
1.C，解析：自然数不能分为素数和合数两大类，素数有最小的，但没有最大的，最小的素数是2，C对，2是最小的素数，不是最小的合数，最小的素数是4.
2.C，一个数写成几个数乘积的形式，则这几个数都是该数的因数，由于2和7都是素数，所以也是素因数。
【巩固】
1.答案：1,2,3,6,9,18；1,3,9；2,6,18；2，3,；6,9,18；解析：本题考查素数，合数，
奇数，偶数的基本概念，注意1既不是素数也不是合数。
2.10,2和5；1,5；2,10；2,5；10；本题考查倍数，素数，合数的概念，注意1既不是素
数也不是合数。
【拔高】
1.C，本题主要考查素数的概念，A中4不是素数，B中12不是素数，D中14不是素数
2.答案：2,3,5,7,6,10,14,15,21,35,30,42,105本题主要考查因数的概念，从素因数中找因数注意不要漏解，每个素因数也是一个因数，每2,3,4个素因数相乘也是这个数字的因数。
课后评价
本教案主要以基本概念为主，重点在区分素数和合数的基本概念上，教师在教学过程中多注意引导孩子自主学习、认识素数和合数的基本概念，从而才能更好的运用该知识点。