高职数学中常微分方程的MATLAB辅助教学
matlab解常微分方程组
matlab解常微分方程组摘要：一、引言1.常微分方程组简介2.Matlab 在解常微分方程组中的应用二、Matlab 解常微分方程组的基本步骤1.安装并配置Matlab2.准备常微分方程组模型3.使用Matlab 求解器求解方程组4.分析解的结果三、Matlab 解常微分方程组的常用命令1.初始化常微分方程组2.定义方程组3.使用ode45 等求解器解方程组4.输出结果四、Matlab 解常微分方程组的实际应用1.物理模型中的应用2.工程领域中的应用3.生物学和经济学模型中的应用五、结论1.Matlab 在解常微分方程组方面的优势2.需要注意的问题和技巧3.展望Matlab 在常微分方程组求解领域的发展前景正文：一、引言常微分方程组在自然科学、工程技术和社会科学等领域中有着广泛的应用。
随着科技的发展，Matlab 作为一种功能强大的数学软件，已经成为常微分方程组求解的重要工具。
本文将介绍Matlab 解常微分方程组的基本方法、常用命令以及实际应用。
二、Matlab 解常微分方程组的基本步骤1.安装并配置Matlab：首先需要在计算机上安装Matlab 软件。
安装完成后，需要对Matlab 进行配置，以便更好地使用相关功能。
2.准备常微分方程组模型：根据实际问题，建立相应的常微分方程组模型。
这包括确定变量、方程和边界条件等。
3.使用Matlab 求解器求解方程组：Matlab 提供了丰富的求解器，如ode45、ode23、ode113 等。
根据问题特点选择合适的求解器，调用相关函数求解常微分方程组。
4.分析解的结果：求解完成后，需要对结果进行分析，检查其合理性和准确性。
可以使用Matlab 内置的图形功能绘制解的图像，直观地了解解的变化规律。
三、Matlab 解常微分方程组的常用命令1.初始化常微分方程组：使用`pdsolve`函数可以求解常微分方程组。
首先需要定义微分方程和边界条件，然后调用`pdsolve`函数求解。
一阶常微分方程的MATLAB辅助教学
从图 可以看出在 已 得到的近似解， 通过反复迭代得到当前的 ｆ 圈是用向前欧拉法解出来的值， ２ Ｙ
万方数据
第 ４期
李新酞： 一阶常微分方程的 Ｍ Ｔ Ａ 辅助教学 Ａ ＬＢ
初始值附近用向前欧拉法能得到比较精确的值， ％用解析法求出微分方程通解 圆 圈和实线比较吻合． 但离初值点越远越偏离精确值． ｅ ｌ（， ） ，］； ｚｏｙ［ １ ｐｔ ０ 向 前欧拉法的 精度不高， 用得很少［ 所以 ［ ３ ］ ％画出用解析法解出的积分曲线图形．
ｘｅ
ｅｓ ｌ ｅ
ｘ＝Ｘ＋ｈ ｉ ｉ ；
ｅｄ ｎ ｈｌ ｏ ｏｄ ｎ
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％绘出图 形
程齐Ｉ４ 、微＋方 等“ ．要＝，， 二’ｊ， ， 、Ｖ 方 Ｉ Ｖ 分 程１ 类如ｘ一一 ＋ 就 Ｉ Ｉ 次 程全 ＳＮ Ｉ ＇ ｉ－ ／ ｝ ｝／ ￣ ． ．几 ． ／＂ － ｄ －
将自 分成ｎ 定义 ｈ ｘ一 ｎ１ 称 积分曲线图形 变量ｘ 段， ＝ 。 ｘ＿， ｈ
为步长， 常用等间距步长， ｈ固定为一个数， 即 如精
确解为Ｉ ｎＩ 抓ｘ） ， 数值解是根据一定原理， 结合当前
执行上面命令得到的结果图形如图２ 所示． 图２ 中实线是用解析法解出来的积分曲线， 圆
１ １ ．５
在 Ｍ ＴＡ Ｂ中， ＡＬ 已提供有 ｏｅ３ｏ ４ 等命令用 ｄ ， ｅ５ ２ ｄ 于求微分方程的数值解， ｅ３ ｏ ２ 实现的是 ２ ３ ｄ 阶 级龙 格一 库塔方法， ｅ 实现的是 ４ ｏ４ ｄ５ 阶５ 级龙格 一 库塔 方法， 直接使用这些命令比自己编写命令容易得多， 精度也比上述所说向前欧拉法要高， 自己编写程 但 序容易理解数值的解法过程， 对初学者还是自己去 编写命令好． ｅ３ｏｅ５ ｏ ２， ４ 的命令格式如下： ｄ ｄ
matlab数值求解常微分方程快速方法
MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和交互式环境。
它在数学建模、模拟和分析等方面有着广泛的应用。
在MATLAB 中，常微分方程的数值求解是一个常见的应用场景。
在实际工程问题中，通常需要对常微分方程进行数值求解来模拟系统的动态行为。
本文将介绍MATLAB中对常微分方程进行数值求解的快速方法。
1. 基本概念在MATLAB中，可以使用ode45函数来对常微分方程进行数值求解。
ode45是一种常用的Runge-Kutta法，它可以自适应地选取步长，并且具有较高的数值精度。
使用ode45函数可以方便地对各种类型的常微分方程进行求解，包括一阶、高阶、常系数和变系数的微分方程。
2. 函数调用要使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，需要按照以下格式进行函数调用：[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)其中，odefun表示用于描述微分方程的函数，tspan表示求解的时间跨度，y0表示初值条件，t和y分别表示求解得到的时间序列和对应的解向量。
3. 示例演示为了更好地理解如何使用ode45函数进行常微分方程的数值求解，下面我们以一个具体的例子来进行演示。
考虑如下的一阶常微分方程：dy/dt = -2*y其中，y(0) = 1。
我们可以编写一个描述微分方程的函数odefun：function dydt = odefun(t, y)dydt = -2*y;按照上述的函数调用格式，使用ode45函数进行求解：tspan = [0 10];y0 = 1;[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0);绘制出解曲线：plot(t, y);4. 高级用法除了基本的函数调用方式外，MATLAB中还提供了更多高级的方法来对常微分方程进行数值求解。
可以通过设定选项参数来控制数值求解的精度和稳定性，并且还可以对刚性微分方程进行求解。
5. 性能优化在实际工程应用中，常常需要对大规模的常微分方程进行数值求解。
基于MATLAB的常微分方程教学方法的研究
ｐ ｌ ｏ ｔ （ ［ ｘ ， ｘ １ ］ ， 『 ｙ ， ｙ ＋ ｈ ２ ２ ／ ３ ］ ， ｋ ）
ｅ ｌ ｓ ｅ
或方程组 ， 所 以常微 分方程在科学技 术领 域 非 常 重要 。 传 统的常微分 方程 的教 学方 式主要
画 出该 曲线 又很 困 难 ， 采 用 ＭＡＴ Ｌ Ａ Ｂ语
ｅ ｎｄ ｈｏ ｌ ｄ ｏ ｎ
的解法 ， 以计算为主 ， 而对于抽 象的方程
的解对 应的积 分 曲线和 积分 曲线族 ， 以 及 一 些 与 几 何 联 系 紧 密 的 概 念 如 线 素 场、 包络 等是学生 不容 易直观想 象的 ， 致 使 学 生很 难 理 解 这 些 相 关 概 念 。 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 语 言起 源 于 矩 阵 运 算 ， 是 由美 国的 Ｃ ｌ ｅ ｖ ｅ Ｍｏ ｌ ｅ ｒ 博士 于 １ ９ ８ ０年 提 出的并 已经发展成 一种 高度集成 的计算 机语 言② 。在数值计 算 、 微分 方程 与模拟 仿 真 等领 域 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ语 言具 有其他 软 件 无法替代的优 势。在 常微分方程 教 学 过 程 中引进 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ软 件辅助教 学， 以 培 养学生使 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ直观演示微 分方程 的相关概念 ， 增 强学生想象力 、 激 发学 习 兴趣 。兴趣是 学 习的原动 力， 有 了兴趣 ， 学习才有动 力 ， 教 学过 程 才有生机 ， 进 而 达 到 理 论 的升 华 ＠ 。 常微分方程教 学改革 的实施与 探 索 常微 分方程课程理 论性 强，对学 生 的数 学能 力要 求较 高，学生学起 来不容
ｐ ｌ ｏ ｔ （ Ｉ ｘ ， ｘ ＋ ｈ ｌ ２ ／ ３ １ ， 【 ｙ ， ｙ １ ］ ， ｋ ）
matlab求解常微分方程组
matlab求解常微分方程组常微分方程组是数学中的一个重要分支，它描述了多个变量随时间变化的关系。
在实际应用中，常微分方程组经常被用来描述物理、化学、生物等领域中的动态系统。
本文将介绍如何使用MATLAB求解常微分方程组。
MATLAB是一种强大的数学软件，它提供了许多工具和函数来求解常微分方程组。
在MATLAB中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数是一种常用的数值求解器，它使用龙格-库塔方法来求解常微分方程组。
我们需要定义常微分方程组。
常微分方程组通常采用向量形式表示，例如：dy/dt = f(t,y)其中，y是一个向量，f(t,y)是一个向量函数。
在MATLAB中，我们可以使用匿名函数来定义f(t,y)。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2我们可以定义f(t,y)为：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];接下来，我们需要指定初值条件。
初值条件是指在t=0时，y的值。
在MATLAB中，我们可以使用一个向量来表示初值条件。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]我们可以定义初值条件为：y0 = [1; 0];现在，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数的语法如下：[t,y] = ode45(f,tspan,y0)其中，f是一个函数句柄，tspan是一个包含起始时间和结束时间的向量，y0是一个包含初值条件的向量。
ode45函数将返回一个包含时间和解向量的矩阵。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]时间范围为0到10秒，我们可以使用以下代码来求解：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];tspan = [0 10];y0 = [1; 0];[t,y] = ode45(f,tspan,y0);现在，我们可以绘制解向量随时间变化的图像。
浅谈MATLAB在常微分方程课堂教中的应用
浅谈MATLAB在常微分方程课堂教中的应用作者：崔仁浩王金凤来源：《教书育人·高教论坛》2016年第02期常微分方程是数学与应用数学专业中的一门重要的核心基础课程，是数学专业学生在大学一年级完成最基础的三门专业课（数学分析、高等代数、解析几何）后开始学习的课程。
在大学本科数学基础课程中，常微分方程是少数几个可以充分展示数学研究本质的课程之一，在课堂教学中我们所采用的是王玉文教授主编的教材《常微分方程简明教程》，本书已于2010年在国家级出版社“科学出版社”出版，并由于其数学研究方法的较强渗透性而入选了“大学数学科学丛书”。
在传统的常微分方程课程中，主要寻找一些特殊的技巧和方法，去发现这些方程的通解或初值问题的特解，然而可以找到解析方法进行求解的微分方程是很少的，因此在现代微分方程研究及应用中，寻求具体微分方程的解析解的特殊技巧已经不再是主流课题，而应用中提出的各种具有实际背景模型的微分方程又往往是非线性方程，寻找这些方程的解析解，绝大部分是不可能的，其有效的方法是利用定性分析方法与数值方法来考虑这些非线性方程的解的问题。
国际著名数学家、Wolf数学奖获得者V.I. Arnold在其编著的经典教材《常微分方程》中尤其注重体现关于常微分方程几何理论的深刻思想，从稳定性这一动力系统理论所要研究的核心问题出发，通过具体的例子引入稳定性、周期性等基本概念，对于平面动力系统做了详细的探讨。
在我们的课程教学过程中也力争为学生展示数学直觉与数学研究的本质余常微分方程几何理论的思想，由于几何理论这一思想方法具有高度的抽象性和概括性，尤其是介绍利用定性分析方法考虑微分方程时，抽象的概念和定理使得初学者难以直观地理解定性分析方法的实质，这时如果用MATLAB软件绘制出几何图形就能将抽象的概念与结论直观形象地体现出来，这毫无疑问将非常有助于学生对几何理论思想方法的理解，同时将极大地提高学生的学习效率与兴趣。
MATLAB是由美国Mathworks公司在上个世纪八十年代推出的数学软件，它将矩阵分析、数值计算、数据可视化以及程序设计等诸多强大功能集成在一个简单易用的交互式工作环境中，从而可实现数据的分析与计算、算法研究、模拟绘图、应用程序设计以及非线性动态系统的建模和仿真等功能，MATLAB在当今各个科学领域有着广泛的应用。
MATLAB软件在高职数学教学中的应用
经济研究导刊ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第147期2012年第01期Serial No．147No．01，2012M ATLAB 软件是由美国M athworks 公司推出的用于数值计算和图形处理的科学计算系统环境。
M ATLAB 是英文M atrix Laboratory 的缩写。
在M ATLAB 环境下，用户可以集成地进行程序设计、数值计算、图形绘制、文件管理等各项操作。
M ATLAB 从20世纪80年代出现3.0的DOS 版本，发展到现在流行的7.6版本，逐渐成为科技计算、视图交互系统和程序语言。
M ATLAB 可以运行在十几个操作平台上，比较常见的有基于Windows 9X/NT 、OS/2、M acintosh 、Sun 、Unix 、Linux 等平台的系统。
M ATLAB 程序主要由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，工具包则包括复杂系统仿真、信号处理工具包、系统识别工具包、优化工具包、神经网络工具包、控制系统工具包、μ分析和综合工具包、样条工具包、符号数学工具包、图像处理工具包、统计工具包等。
M ATLAB 还包含一套几十个的PDF 文件，从使用入门到其他专题应用均有详细的介绍。
M ATLAB 是数值计算的先锋，它以矩阵作为基本数据单位，在应用线性代数、数理统计、自动控制、数字信号处理、动态系统仿真方面已经成为首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。
M ATLAB 在输入方面也很方便，可以使用内部的Editor 或者其他任何字符处理器，同时它还可以与Word 以及其他应用软件结合在一起，在Word 的页面里直接调用M ATLAB 的大部分功能，使Word 具有特殊的计算能力。
一、MATLAB 软件包的特点1．强大的计算功能。
MATLAB 具有强大的计算功能，可以进行矩阵变换、多项式运算、微积分运算、线性与非线性方程求解，常微分方程求解、插值与数值拟合、统计、时间序列、金融衍生品定价、资产组合分析、固定收益证券定价和风险管理等，长于数值计算，能处理大量数据，而且效率很高。
matlab 解常微分方程
matlab 解常微分方程Matlab是一种功能强大的数学软件，它提供了解常微分方程的工具和函数。
常微分方程是数学中的一种重要的方程类型，描述了各种物理、工程和生物现象的变化规律。
本文将介绍如何使用Matlab 解常微分方程，并通过具体的实例来说明其应用。
我们需要了解常微分方程的基本概念。
常微分方程是指一个函数的导数与自变量之间的关系方程。
常微分方程的解是该函数在给定初始条件下的解析解或数值解。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程的数值解。
接下来，我们将以一个简单的一阶常微分方程为例来说明Matlab 的使用。
考虑以下的一阶常微分方程：dy/dx = x^2 - y我们将该方程转化为Matlab中的函数形式，并设定初始条件y(0) = 1。
代码如下：```matlabfunction dydx = myODE(x, y)dydx = x^2 - y;endxspan = [0 10];y0 = 1;[x, y] = ode45(@myODE, xspan, y0);plot(x, y)xlabel('x')ylabel('y')title('Solution of dy/dx = x^2 - y')```在上述代码中，我们首先定义了一个名为myODE的函数，该函数接受两个参数x和y，并返回dy/dx的值。
然后，我们使用ode45函数来求解该常微分方程的数值解。
最后，我们绘制了解的曲线图，并添加了相应的坐标轴标签和标题。
通过运行上述代码，我们可以得到常微分方程dy/dx = x^2 - y的数值解，并绘制出解的曲线图。
这个例子展示了Matlab解常微分方程的基本步骤和方法。
除了一阶常微分方程，Matlab还可以解决更高阶的常微分方程。
对于高阶常微分方程，我们可以将其转化为一组一阶常微分方程，并使用类似的方法来求解。
Matlab提供了一系列的函数和工具箱来处理不同类型的常微分方程，并提供了丰富的文档和示例来帮助用户理解和应用这些工具。
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解 析解 通常 用解 析 法 即初 等 积 分 法 来 求 解 ，常 微 分方 程 教 学 中主 要 就 讲授 如何 求 解 解 析 解 。解 析 法 能 求 出常 微 分方 程 的 通 解 ，并 且 求 出 来 的 是 精 确 解 。所 以对 于 一 些 简 单 的 微 分 方
程 ，尽 量用 初 等 积分 法 解 。ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ提 供 了 一个 专 门求微 分 方
’ ｃ ｏ ｎ ｄ ｌ ， ｃ ｏ ｎ ｄ ２ ， …’ ；默 认 的 自变 量 为 ｔ ，如 果 要 指 定 自变 量 ｖ，则 在 方 程 组 及 初 始 条 件 后 面 加 ｖ。并 用 逗 号 分 开 。在 常 微 分 方 程
图１ 图２
在ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 命令窗 Ｅ ｌ 输入 ：ｅ ｚ ｐ ｌ ｏ ｔ （ ｙ ， 卜２ ０ ０ ２ ０ ０ ］ ）
等 ，若命令找不到解析解 ，则返回一警告消息。
３典 型例 题
【 例题１ 】 求微分方程 ＋ ｓ ｉ ｎ ） ＝ ０的通解。
在ＭＡ Ｔ Ｌ ＡＢ 命令窗口输入 ：
ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ；
需要学生 具备扎实的微积分基 本功 ，学生不 易掌握 ，在有限的 课 时 内也 很 难 将 常 微 分 方 程 的 解 法 融会 贯通 地 讲 透 彻 ，是 教 学 的一个难点 。在高职数学常微分方 程的教学 中，寻求科学有效 的辅助教学手段是大家共同关心的一个话题。
该未知函数 ，这种关 系式就是微分方程 ．鉴于高职数学力求贯 彻 “ 以应 用为 目的，以必须 、够用为度 ”和 少而精原则 ，高职 数 学 涉 及 的微 分 方 程 一 般 限 于 常 微 分方 程 ，理 论 上 常 微 分 方 程
有解 析 法 、数 值 法 、几 何 法 三 种解 法 ．但 在 实 际 教 学 中教 学 中 限 于常 规 的教 学 手 段 ，一 般 只 讲 授解 析 法 ，对 于 解 某 些 方 程 ，
程 、微 分方 程组 解 析 解 的 命 令 ：ｄ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ 。ｄ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ 能 求 出通 解 和 特 解 ，并 可用 ｅ ｚ ｐ ｌ ｏ ｔ ￣ 图 命令绘 出通解 的 积分 曲线 。 ．
具体命令格式 ：ｄ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ（ ’ ｅ ｑ ｌ ， ｅ ｑ ２ ， …’ ， ’ ｃ ｏ ｎ ｄ ｌ ， ｃ ｏ ｎ ｄ ２ ， …’ ， ｖ） 。 输 入符号形 式的常微分 方程 （ 组 ）ｅ ｑ ｌ ， ｅ ｑ ２ ， …吸 初 始条件
析 问题 、解 决 问 题 的 能 力 ，又拓 展 了学 生 的 视野 ，兼 顾 了 学生 的 后 续 发 展 ，为 他 们 在 今 后 的工 程 技 术 实 践 应 用 打 下 坚 实 的基
础。 ２算 法简 介
ｙ ＝ ｄ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ （ ｘ Ｄｙ ＋ ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ （ ｘ ） ’ ， ’ ｙ （ ｐ ｉ ） ＝ ｌ ’ ， ’ ）
的特 解 。
ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 课程 ，它是数值线性代数以及其他一些高等应用数学
课 程 进 行 辅 助 教 学 的优 良工 具 。ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ内提 供 了 一 系 列求 解
在 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ命令 窗 口输入 ：
ｃ ｌ ｅ ａ ｒ ；
高等数学问题的命令 和绘 图命令 。利用ＭＡＴ Ｌ Ａ Ｂ 可以有效地弥 补 常 微 分 方 程 教 学 的 一 些 不足 ，既 锻 炼 了学 生 的 基本 运算 、分
数。
ＭＡ Ｔ Ｌ ＡＢ软 件 是 美 ｌ 玉 Ｉ Ｍａ ｔ ｈ ｗ ｏ ｒ ｋ ｓ 公 司推 出的 用 于 数值 计 算 和 图形 处 理 的 一 个 优 秀 数 学 软 件 ，具有 强 大 的 计 算 、仿 真 、绘 图 等 功 能 。在 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 环 境 下 ，用 户 可 以集 成 地 进 行 程 序 设
学 术研 讨 ｌ １ ０ １
高职数 学 中常微 分
ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 辅 助 教 学
◇南京 工业 职业技 术 学院文理 学院 郁 凯荣
在 研 究 自然 科 学 、工 程 技 术 和 经 济 管 理 的 许 多 实 际 问题 时 ，往 往 需 要 通 过 未 知 函 数 及 其 导 数 （ 或微分 ） 的 关 系 式 来求 （ 组 ）的 表达 式 ｅ ｑ ｎ ＠ ，大 写字 母 Ｄ 表 示 对 自变 量 的微 分 算 子 ； Ｄ ＝ ｄ ／ ｄ ｔ ，Ｄ ２ ＝ ｄ ２ ／ ｄ ｔ ＾ ２ ，… 。算子 Ｄ后面 的 字 母表 示 凶 变 量 ，即 待 求 解 的 未 知 函 数 ，返 回 的 结 果 中 可 能 会 出现 任 意 常 数 Ｃ １ ，Ｃ ２
１ 软 件 简 介
ｙ ＝ ｄ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ （ Ｄｙ ＋ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ） ｙ ＝ ０ ’ ， ’ ｘ ’ ）
输出为 ：
Ｙ＝ Ｃ２ ｅ ｘ ｐ （ ｃ ｏ ｓ （ ｘ ） ）
即 微 分 方 程 的 通 解 为Ｙ＝ Ｃ ２ ｅ ｘ ｐ （ ｃ ｏ ｓ （ ｘ ） ） ，其 中ｃ ２ 为 任 意 常
输 出为 ：
Ｙ＝ （ ｐ ｉ ＋ｓ ｉ ｎ （ ｘ ） ） ／ ｘ
即微 分方 程 的特 解 为Ｙ ＝ （ ｐ ｉ ＋ｓ ｉ ｎ （ ｘ ） ） ／ ｘ ，其 ｄ Ｐ ｐ ｉ 为兀。 在 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 命 令 窗 口输入 ：ｅ ｚ ｐ ｌ ｏ ｔ （ ｙ ）
输 出 图像 见 图１ 。
用符 号 来 表示 的 微分 方 程 的通 解 为 ＝ｃ ２ ｅ ，其 中 ｃ ，为
任意常数。
计 、数值计算 、图形绘制 、输入输 出 、文件管理等各项操 作 ，
广 泛 用 于 工 程 技 术 界 。 在 国 内 外 的 一 些 大 学 ， 开 设 专 门 的
【 例题２】 求微分方程 ｘ Ｙ ＋ｙ ＝Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ满足初始条件 ｙ ） ＝１