高等数学复习-多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
考研高数冲刺考点精华：多元函数微分法及其应用
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数冲刺考点精华：多元函数微分法及其应用距离考研已经越来越近了，为了帮助广大考生更好地进行考研数学高数冲刺复习，避免在高数答题的时候必要的丢分。
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考研要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数的概念及其性质。
4.掌握多元函数偏导数的求法。
5.掌握多元函数全微分的概，念会求全微分。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。
6.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
7.了解全微分的形式不变性。
8.理解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
9.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念。
会求它们的方程。
10.理解方向导数与梯度的概念，掌握其计算方法。
11.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。
12.会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单应用问题。
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《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
高等数学(二)复习指导-第8章 多元函数微分法及其应用
AC − B 2 = 0
无法判断
将 该 问 题 化 为 求 函 数 L( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) 的 无 条 件 极 值 ， 因 此 从
1、切线方程：
⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 = = 1 y x ' (M 0 ) z x ' (M 0 ) 2、法平面方程： ( x − x0 ) + y X ' ( M 0 )( y − y 0 ) + z x ' ( M 0 )( z − z 0 ) = 0
⎧ f x ( x, y ) + λϕ x ( x, y ) = 0 ⎪ ⎨ f y ( x, y ) + λϕ y ( x, y ) = 0 中 求 出 的 ( x0 , y 0 ) ， 就 是 函 数 f ( x, y ) 在 约 束 条 件 ⎪ ⎩ϕ ( x, y ) = 0
ϕ ( x, y ) = 0 下的可能的极值点。
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高等数学（二）复习指导
第八章 多元函数微分法及其应用
在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值 点，则该点就是所求的最值点
三、典型例题分析
1. 多元函数的定义域、极限和连续
1、求定义域 和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。
dz ∂z du ∂z dv = + 。 dt ∂u dt ∂v dt
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法是一种在多元复杂函数未知时可以对其进行微分求解的数学方法。
在求解函数的时候，会遇到各种各样的多元复杂函数，有的维度数量很多，比如非线性函数等，此时多元函数微分法可以有效地计算。
多元函数微分方法又分为后两种：一种是基于梯度的方法，另一种是基于偏微分的方法。
梯度法是以一阶导数的负梯度为搜索方向，不断迭代更新函数值求出最小值；而偏微分则是利用二阶偏导数来求解函数最小值，可以得到函数的极小值以及其极小值点，有时候可以结合梯度法和偏微分法来进行更加细节的计算。
多元函数的微分计算有很多应用场景，比如机器学习中常见的训练优化，多元函数的极小值可以有效地用来实现优化的目的；同样，多元函数的微分法也可以用于数学建模，物理建模，进行流体力学分析，科学事件预测等等。
总之，多元函数微分法是一种在多元复杂函数未知时比较有效的求解方法，并且还有多种应用场景，对提升工作效率等等都有很大的帮助，有较广泛的应用前景。
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
A. 538. 函数 z = xy + 50第八章 偏导数与全微分参考答案第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 u ( x,y) y = x 2 = 1,1 1A.-B.C. -1D. 122∂u ∂x y = x 2= x, 则∂u∂y y = x 2 = [A ]2.函数 z = x 2 + y 2 - 6x + 2 y + 6 [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数 f (x, y )在点 (x , y 0) 处的两个偏导数 f (x , y ), f x 0 0y (x , y )存在是函数 f 在0 0该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设 u= x 2 +2 y 2+3 z 2 +xy+3x-2y-6z 在点 O(0, 0, 0)指向点 A(1, 1, 1)方向的导数5 3 5 3 5 3 B. -C.D.-66335. 函数 z = x 3 + y 3 - 3xy [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数 f (x, y )在点 (x , y)处可微是 f (x, y )在该点连续的[ A ]0 0A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件∂u∂l= [ D ]7. 已知 y - ε sin y - x = 0(0 < ε < 1) , 则 dy dx= [ B ]A. 1 + ε cos yB. 1 1C. 1 - ε cos yD.1 - ε cos y 1 + ε cos y20 + （x>0，y>0）[ D ] x yA. 在点(2, 5)处取极大值B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值-1-C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=-t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]A.1条B.2条C.3条D.不存在11．设f(x,y)=xy x y，则f(,)=B y2-x2y xA.xyy4-x2 B.x2y2x2+y2y2-x2C.D.y4-x4y4-x4y4-x412．为使二元函数f(x,y)=为B x+yx-y沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择A.x x x2x=y B.=y C.=y D.=y 432313．设函数z=f(x,y)满足∂2z∂y2=2，且f(x,1)=x+2，f'(x,1)=x+1，则f(x,y)=ByA.y2+(x+1)y+2B.y2+(x-1)y+2C.y2+(x-1)y-2D.y2+(x+1)y-2 14．设f(x,y)=3x+2y，则f(x y,f(x,y))=CA.3xy+4x+4yB.xy+x+2yC.3xy+6x+4yD.3xy+4x+6y15．为使二元函数f(x,y)=xy2x2+y2在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16．已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f(x,y)∂f(x,y)+=C ∂x∂yA.2x-2yB.2x+2yC.x+yD.x-yy 17．若f()=x x2+y2x(x>0)，则f(x)=BA.x2-1B.x2+1C.∂z∂z 18．若z=y x，则在点D处有=∂y∂x x2+1x D.xx2-1A.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)20.函数f(x,y)=⎨11x sin+y sin,xy≠0y x4(C)(D)-119．设z=x y2，则下列结论正确的是AA.∂2z∂2z∂2z∂2z -=0B.->0∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂xC.∂2z∂2z-<0 D.两者大小无法确定∂x∂y∂y∂x⎧0,xy=0⎪⎪⎩，则极限lim f(x,y)（C）.x→0y→0(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数z=xy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数z=x2+y2在原点(0,0)处（A）.(A)连续，但偏导不存在(B)可微(C)偏导存在，但不连续(D)偏导存在，但不可微23．设u=f(r)，而r=x2+y2+z2，f(r)具有二阶连续导数，则（B）.12(A)f''(r)+f'(r)(B)f''(r)+f'(r)r r 1112f''(r)+f'(r)(D)f''(r)+f'(r) (C)r2r r2r ∂2u∂2u∂2u++∂x2∂y2∂z2=24．函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点偏导存在的（D）.00(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件25．函数z=1-x2-y2的极大值点是（D）.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设f(x,y)=arcsin yx，则f'(2,1)=（B）.x(A)14(B)-112227．极限limx→0x2yx4+y2（B）.∂x 0z = u 2ln v , u =xy , v = xy, 则 x 22 x x（D ） y 232．设f ( x , y) =xy(A) f x, ⎪ = f ( x , y) ；(B) f ( x + y , x - y) = f ( x , y) ；33．设 z = e x cos y ，则 ∂2z34．已知 f ( x + y , x - y) = x 2- y2 ，则∂f第八章 偏导数与全微分参考答案(A) 等于 0(B) 不存在(C) 等于 12(D) 存在且不等于 0 及 1228． z = f ( x , y) 若在点 P ( x , y ) 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.0 0(A) f ( x , y) 在点 P 连续(B) z = f ( x , y ) 在点 x 连续0 0(C) dz = ∂z|⋅dx +P ∂z| ⋅dy (D) A,B,C 都不对 ∂y P 029. 设函数 z = x y ，则 d z =（ A ）．(A)． yx y -1d x + x y ln x d y (B)． yx y -1d x + x y d y(C)． x y d x + x y ln x d y(D)． yx y -1d x + x y ln y d y∂z 30. 已知∂y =（ C ）2 x 2 （A ） y 3ln xy + x2 y3 2 x 2 （B ） y 3 ln xy - x 2y 3- 2 x 2（C ） y3ln xy +31．函数 z = 1 - x 2 - y 2 的定义域是（ D）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1} （B.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≥ 1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≤ 1} x 2 + y 2 ，则下列式中正确的是（ C）；⎛ y ⎫ ⎝ x ⎭(C) f ( y , x) = f ( x , y) ；(D) f ( x ,- y) = f ( x , y)∂x ∂y = （D）；(A)e x sin y ； (B) e x + e x sin y ； (C) -e x cos y ； (D) -e x sin y∂x + ∂f ∂y = （ C ）；∂x⎛x,y⎫,lim f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)f(x+∆x,y)-f(x,y)lim∆x∆xf(x+∆x,y)-f(x,y)f(x+∆x,y)lim∆x∆x37.设由方程e-xyz=0确定的隐函数z=f(x,y),则(((A)2x+2y；(B)x-y；(C)2x-2y(D)x+y．35.设z=2x2+3xy-y2∂z=，则∂x∂y（B）（A）6（B）3（C）-2（D）2.36.设z=f(x,y)则∂z=⎝00⎭（B）0000000（A）∆x→0（B）∆x→0lim （C）∆x→0000000（D）∆x→0z∂z∂x=（B）z z y y （A）1+z（B）x(z-1)（C）x1+z)（D）x1-z)38.二次函数z=ln(4-x2-y2)+1x2+y2-1的定义域是（D）A.1＜x2+y2≤4；B.–1≤x2+y2＜4；C.–1≤x2+y2≤4；D.1＜x2+y2＜4。
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学是微积分学的一个分支，研究的是多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
本文将从多元函数的导数、微分和应用等方面进行总结。
多元函数的导数是指多元函数在某一点处的切向量。
与一元函数的导数不同，多元函数的导数是一个向量，而不是一个数。
多元函数的导数可以通过偏导数来定义，偏导数是指多元函数在某一点处，对于某一个变量求导时，其他所有变量都视为常数的导数。
通过偏导数的定义，我们可以求出多元函数在某一点处的所有偏导数，再将这些偏导数组成一个向量，就是该点的导数。
多元函数的微分是指函数在某一点处沿着切向量的变化率。
对于一个多元函数，其微分可以通过求出该点的导数，再将其与自变量的变化量相乘得到。
多元函数的微分在实际应用中有着重要的作用，比如在经济学中，微分可以用来描述市场需求和供给之间的关系，从而帮助企业做出决策。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在物理学中，多元函数微分学可以用来描述物理量之间的关系。
比如在热力学中，温度、压力和体积之间的关系可以用多元函数来表示，通过求导和微分可以得到温度、压力和体积的变化率。
在机器学习中，多元函数微分学也有着重要的应用，比如在神经网
络中，通过求导和微分可以得到网络参数的更新量，从而提高模型的准确性。
多元函数微分学是微积分学中一个重要的分支，它可以用来描述多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
对于学习微积分学的同学们来说，多元函数微分学是一个重要的课程，需要认真学习，并通过实际应用来加深对其的理解。
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高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。