2020年高考理科数学分类练习 专题十一 概率与统计第三十四讲 古典概型与几何概型
高中 古典概型 知识点+例题+练习
教学过程【训练2】(2014·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中
了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同
一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设
每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树形图法．
教
学
效
果
分
析。
高考数学专练题 随机事件、古典概型与几何概型(试题部分)
专题十一概率与统计【真题探秘】11.1随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.13B.12C.23D.56答案D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A.13B.23C.14D.34答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19答案B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为()A.13B.14C.16D.112答案B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.12B.23C.14D.13答案D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案310考点二几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组 教师专用题组考点一 古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415,P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟)25 3035 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.2 0.3 0.4 0.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二 几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2 D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y 2=9相交”发生的概率为 . 答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.12答案B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.16答案D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0答案C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A.16B.29C.518D.19答案B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.716答案B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为()A.2B.3C.4D.5答案B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是()图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案 18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 .答案 0.44。
专题十一概率与统计第三十四讲古典概型与几何概型答案十年高考数学(理科)真题题型分类汇编
专题十一 概率与统计第三十四讲古典概型与几何概型答案部分1.分析在全部重卦中随机取一重卦，基本领件总数 n 2664，该重卦恰有3个阳爻包括的基本个数mC 36C 3320 ，m20 5 ．应选A ．则该重卦恰有3个阳爻的概率p64 16 n分析从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本领件总数 nC 2510，选出的2名同学中起码有1名女同学包括的基本领件个数 m C 13C 12C 227， 所以选出的2名同学中起码有1名女同学的概率是Pm 7 ．n 103.分析由题意可得，一共比赛了 5场，且第5场甲获胜，前 4场甲队胜 3场，输1场，有2种状况：①甲队主场输1场，其概率为： P C 1C 22，2 21②甲队客场输1场，其概率为：P 2 C 22 2C 12因为第5场必然是甲队胜，所以 P P 1 P 2 2则甲队以4：1获胜的概率为．4.分析（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或许均由乙得分．所以P （X=2）×0.4+（1–）×（1–04）=05．2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分状况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．所以所求概率为×（1–）+（1–）×0.4]××0.4=0．.12010-2018年1．A 【分析】通解设直角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则地区I 的面积即ABC 的面积，为S 11 bc ，地区Ⅱ的面积S 2 1 ( c )22221b(a )2111 1) 2[22 2 2 )S 2，由几 2 ( 2 bc](c b a bc bc ，所以S 1 2 2 8 2 2何概型的知识知 p 1 p 2，应选A ．优解 不如设ABC 为等腰直角三角形， ABAC 2，则BC 2 2，所以地区 I的面积即 ABC 的面积，为S 1 1 2 2 2，地区Ⅱ的面积2S 2 2 [( 2)2 2] 2，地区Ⅲ的面积S 3 ( 2)22 2．1 2 2依据几何概型的概率计算公式，得pp 2 ，p2 p 3， ，所以p 112 232p 2 p 3，p 1 p 2 p 3，应选A ．2．C 【分析】不超出 30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中 随机选用两个不一样的数有 C 102 种不一样的取法，这10个数中两个不一样的数的和等于30 的有3对，所以所求概率P3 1 ，应选C ．C 102153．B 【分析】设正方形的边长为2a ，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一1a 2半，依据几何概型的概率计算，所求概率为2 ．选B ．4a 2 8 4．C 【分析】不放回的抽取2次有C 19C 1898 72，如图 12 ， ， ， ， ，，，9 1，3，4，5，6，7，8，9 2 3 4 5 6 7 8可知(1,2)与(2,1)是不一样，所以抽到的 2张卡片上的数奇偶性不一样有2C51C 14=40，所求 概率为405 ．72 85．B 【分析】由题意得图：7:508:008:108:208:30由图得等车时间不超出10分钟的概率为1． 26．C 【分析】由题意得： x i ，y i i 1，2，，n 在以下图方格中，而平方和小于 1的点均在以下图的暗影中π m 4m由几何概型概率计算公式知 41 ，∴π ，应选C ．n n7．B 【分析】基本领件总数为 C 152 ，恰有1个白球与 1个红球的基本领件为C 101C 51，所求 C 101C 51= 10．概率为 21C 215242 78．D 【分析】P 24 ． 89．B 【分析】掷两颗均匀的骰子的全部基本领件有 6 636 种，点数之和为 5的有4中，所以所求概率为 4 1 36 ．910．B 【分析】区间长度为 3( 2) 5，[2,1]的长度为1 (2)3，2故知足条件的概率为P ．3111．B 【分析】由几何模型的概率计算公式，所求概率P S 暗影=2S 长方形2412．B 【分析】5个点中任取 2个点共有10种方法，若 2个点之间的距离小于边长，则这2个点中一定有 1个为中心点，有 4种方法，于是所求概率 4 2P ．10 5 13．D 【分析】由题意作图，以下图，1的面积为12 2 2，图中暗影部分的面积21 22 7为2 2 2 ，则所求的概率2 4 P78，选D ．14．A 【分析】由题设可知矩形 ABCD 面积为 2，曲边形DEBF 的面积为2 2 故所求概率2为2 1，选A.2 415．D 【分析】总的可能性有 10种，甲被录取乙没被录取的可能性3种，乙被录取甲没被录取的可能性3种，甲乙都被录取的可能性 3种，所以最后的概率 p 3 3 310116．B 【分析】任取两个不一样的数有 1,2 ,1,3 ,1,4 ,2,3 ,2,4 , 3,4 共6 种，2个数之差的绝对值为 2的有 1，3，2，4 2 1，故P36 17．D 【分析】由已知，点 P 的分界点恰巧是边 CD 的四平分点，由勾股定理可得AB 2(3AB)2AD 2，解得(AD )27 ，即AD7，应选D ．4AB 16 AB418．C 【分析】以下图，令 AC=x,CB=y ，则x+y=12x>0,y>0，矩形面积设为S ，则S=xy=x12-x32，解得0<x4或8x<12，该矩形面积小于 32cm 2的概率为8 = 2，应选C.12 30 剟x 219．D 【分析】不等式组 剟y 表示坐标平面内的一个正方形地区，设地区内的点的坐0 2标为(x,y)，则随机事件：在地区D 内取点，此点到坐标原点的距离大于 2表示的地区 就是圆x 2y 2 4的外面，即图中的暗影部分，故所求的概率为 4 ．420．A 【分析】记三个兴趣小组分别为 1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本领件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，此中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”共3个，所以P(A)1．321．3【分析】记2名男生疏别为A，B，3名女生疏别为a，b，c，则从中任选2名10学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种状况，此中恰巧选中2名女生有ab，ac，bc，共3种状况，故所求概率为3．110 3个共有322．【分析】从5个砝码随机取C510种，总质量为9克共有9=5+3+1，9=5+2+25两种状况，所以三个砝码的总质量为221 9克的概率是．C5310523．5【分析】由6x x2≥0，解得2≤x≤3，依据几何概型的计算公式得概率为93(2)5．5(4)924．3．【分析】圆(x-5)2+y2=9的圆心为C(5,0)，半径r3，故由直线与圆订交可得4|5k 0|r，即|5k|13，整理得k29，得3k3．k21k2164425．5【分析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，此中这2只球颜色不一样有5 65．种结果，故所求概率为626．2【分析】设2本数学书分别为A、B，语文书为G，则全部的排放次序有ABC、ACB、3BAC、BCA、CAB、CBA，共6种状况，此中数学书相邻的有ABC、BAC、CAB、CBA，共4种状况，故2本数学书相邻的概率P426．9【分析】设小张与小王的到校时间分别为327．7：00后第x分钟，第y分钟，依据题意32可画出图形，以下图，则总事件所占的面积为(5030)2400．小张比小王起码早5分钟到校表示的事件A(x,y)|yx≥5,30≤x≤50,30≤y≤50，如图中阴影部分所示，暗影部分所占的面积为11515225，所以小张比小王起码早5分钟229到校的概率为P(A)．3228．1【分析】甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择13种的全部可能状况为（红，白），（白，红），（红，蓝），（蓝，红），（白，蓝），（蓝，白），（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共9种，他们选择同样颜色运动服的全部可能状况为（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种．故所求概率为P 1．1【分析】设329．3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a,b,c，甲、乙两人各抽取一张3的全部状况有ab,ac,ba,bc,ca,cb共六种，此中两人都中奖的状况有ab,ba共2种，所以概率为1330．1【分析】设f(x)x1x2，33,3x1则f(x)x1x22x1,1x2。
专题十一《概率与统计》
专题十一概率与统计概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定”的视角做出量化的、不确定性的推测，是不同与其它数学知识的重要特征.未来的众多社会规律，也都需要利用概率统计的方法去探究，所以概率统计对社会的良性和稳定发展必将起到至关重要的作用.高考以更加贴近学生日常生活的概率统计背景加强对概率统计知识的考查，也说明了高考改革的方向将更加生活化和理性化，更加贴合学生的日常.这也是提醒我们要自觉养成用“不确定性”眼光去研究生活、看待世界的习惯.一、真题再现（一）统计部分1．（2019年新课标Ⅱ理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差D．极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．2．（2019年新课标Ⅰ文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．故选：C．【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．3．（2019年江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅲ文理科）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2019年新课标Ⅱ文科）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）附：≈8.602．【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：＝0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数（﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7）＝0.3＝30%，产值增长率的方差s2＝＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296，∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题．6．（2019年新课标Ⅲ文理科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值为：＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅰ文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：K2＝，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P＝＝，女顾客对该商场服务满意的概率P＝＝；（2）由题意可知，K2＝＝≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题．（二）概率部分1．（2019年江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．2．（2019年新课标Ⅲ文科）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有A33A22＝12种排法，再所有的4个人全排列有：A44＝24种排法，利用古典概型求概率原理得：p＝＝，方法二：假设两位男同学为A、B，两位女同学为C、D，所有的排列情况有24种，如下：（ABCD）（ABDC）（ACBD）（ACDB）（ADCB）（ADBC）（BACD）（BADC）（BCAD）（BCDA）（BDAC）（BDCA）（CABD）（CADB）（CBAD）（CBDA）（CDAB）（CDBA）（DABC）（DACB）（DBAC）（DBCA）（DCAB）（DCBA）其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为（ABCD）、（ABDC）、（ACDB）、（ADCB）、（BACD）、（BADC）、（BCDA）、（BDCA）、（CDAB）、（CDBA）、（DCAB）、（DCBA），故两位女同学相邻的概率是：p＝＝，故选：D．【点评】本题考查排列组合的综合应用．考查古典概型的计算．3．（2019年新课标Ⅰ理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n＝26＝64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m＝＝20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2019年新课标Ⅱ文科）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为．即可得出概率．【解答】解：法一：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为，恰有2只测量过该指标的所有情况数为．∴p＝＝．法二：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a，b，c}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，A，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，A，B}，{c，A，B}10种，其中恰好有两只做过测试的取法有{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{b，c，A}，{b，c，B}6种，故恰有两只做过测试的概率为＝．故选：B．【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0.18．【分析】甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p＝p1+p2+p3+p4＝0.036+0.036+0.054+0.054＝0.18．故答案为：0.18．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019年上海）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．7．（2019年新课标Ⅱ理科）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P （X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（），由此能求出结果．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”的概率．【解答】解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A k（k＝1，2，3，…），则P（X＝2）＝P（A1A2）+P（）＝P（A1）P（A2）+P（）P（）＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（）+P（）＝P（A1）P（）P（A3）P（A4）+P（）P（A2）P（A3）P（A4）＝0.5×0.6×0.5×0.4+0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．8．（2019年天津文科）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M ）＝．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问题，是基础题目9．（2019年北京文科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，求出A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000元的概率．（Ⅲ）从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：1000×＝400人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m＝1，∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p＝＝．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．（三）随机变量部分1．（2019年新课标Ⅱ文理科）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【分析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：＝（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2019年浙江）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果【解答】解：E（X）＝0×+a×+1×＝，D（X）＝（）2×+（a﹣）2×+（1﹣）2×＝[（a+1）2+（2a﹣1）2+（a﹣2）2]＝（a2﹣a+1）＝（a﹣）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．3．（2019年天津理科）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．【分析】（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（），可求分布列及期望；（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X ＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B（3，），从而P（X＝k ）＝，k＝0，1，2，3．所以，随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．（II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y ＝0}＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．4．（2019年北京理科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【分析】（Ⅰ）从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A，B两种支付方式都使用的人数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率．（Ⅱ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，求出P（E）＝，答案示例1：可以认为有变化．P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，无法确定有没有变化．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p＝＝0.4．（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝＝，∴X的分布列为：X012P数学期望E（X）＝＝1．（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”，假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P（E）＝＝，答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额发生了变化，∴可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，∴无法确定有没有变化．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．5．（2019年新课标Ⅰ理科）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1。
高中数学总复习第11章 三年高考真题与高考等值卷(概率与统计)(理科数学)(原卷版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)三年高考真题与高考等值卷( 概率与统计 )(理科数学)1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.随机数与几何概型(1)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.4.随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性.(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.5.用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.6.变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.7.概率（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.8.统计案例了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题.(1)独立性检验了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.(2)回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.1．【2019年新课标3理科03】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.82．【2019年全国新课标2理科05】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差 D．极差3．【2019年新课标1理科06】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．4．【2019年浙江07】设0＜a＜1．随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大5．【2018年新课标1理科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6．【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p37．【2018年新课标2理科08】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．8．【2018年新课标3理科08】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（x＝4）＜P（X＝6），则p＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．【2018年浙江07】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小10．【2017年新课标1理科02】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．11．【2017年新课标3理科03】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳12．【2017年浙江08】已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝p i，P（ξi＝0）＝1﹣p i，i＝1，2．若0＜p1＜p2，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）13．【2019年全国新课标2理科13】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．14．【2019年新课标1理科15】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．15．【2019年江苏05】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．16．【2019年江苏06】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．17．【2018年江苏03】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．18．【2018年上海09】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．19．【2017年江苏03】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．20．【2017年江苏07】记函数f（x）定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是．21．【2017年新课标2理科13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝．22．【2019年天津理科16】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．23．【2019年新课标3理科17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．24．【2019年全国新课标2理科18】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．25．【2019年新课标1理科21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．26．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．27．【2019年江苏25】在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．28．【2018年新课标1理科20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？29．【2018年新课标2理科18】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．30．【2018年新课标3理科18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，31．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．32．【2018年天津理科16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．33．【2017年江苏26】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k＝1，2，3，…，m+n）．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）．34．【2017年新课标1理科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得9.97，s0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．35．【2017年新课标2理科18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2．36．【2017年新课标3理科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？37．【2017年上海19】根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n，b n＝n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n＝﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？38．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）39．【2017年天津理科16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．1、对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.2、以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.3、以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档或较难.1．如图是1990年-2017年我国劳动年龄（15-64岁）人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是（ ）A ．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B ．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C ．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D ．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%2．一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布()290,N σ，且()700.2P x <=，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ） A ．3B ．2.1C ．0.3D ．0.213．小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A ．5500B ．6000C ．6500D ．70004．若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4−中随机选取的两个不同元素，则使得函数()5ab f x x x =+是奇函数的概率为（ ） A ．320B ．310C ．925D ．355．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =−+，则a 的值等于（ ） A ．4.5B ．5C ．5.5D ．66．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ）A ．56B ．45C ．34D ．238．若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18B ．0.32C ．0.36D ．0.649．一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为_______.10．已知某中学高三理科班学生共有800人参加了数学与物理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001,002，003,…,800进行编号。
2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练
布直方图：
（Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50) 内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体
100 （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 (0.02 0.04) 10 100 60 ，所以样本中分数不 小于 70 的男生人数为 60 1 30 .所以样本中的男生人数为 30 2 60 ，女生人数为100 60 40 ，男生
2 和女生人数的比例为 60 : 40 3 : 2 ，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为 3: 2 .
【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应
注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1 ，当小矩形等高时，说明
频率相等，计算时不要漏掉其中一个． 【思维点拨】 1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少． 2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数 较多． 3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)专题10.5古典概型
第十篇计数原理、概率、随机变量及其散布专题 10.05古典概型【考试要求】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本领件数及事件发生的概率.【知识梳理】1.基本领件的特色(1)任何两个基本领件是互斥的 .(2)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成基本领件的和 .2.古典概型拥有以下两个特色的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1) 试验的全部可能结果只有有限个，每次试验只出现此中的一个结果.(2) 每一个试验结果出现的可能性同样.3.假如一次试验中可能出现的结果有n 个，并且全部结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率1A 包含的结果有m都是；假如某个事件m 个，那么事件 A 的概率 P(A)＝.n n 4.古典概型的概率公式P(A)＝事件 A包含的可能结果数.试验的全部可能结果数【微点提示】概率的一般加法公式P(A∪ B)＝ P(A)＋P(B)－ P(A∩ B)中，易忽略只有当 A∩B＝ ?，即 A，B 互斥时， P(A∪ B)＝P(A)＋ P(B)，此时 P(A∩ B) ＝ 0.【疑误辨析】1.判断以下结论正误 (在括号内打“√”或“×” )(1)“在适合条件下，种下一粒种子察看它能否抽芽”属于古典概型，其基本领件是“抽芽与不抽芽”. ()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从－ 3，－ 2，－ 1， 0，1， 2 中任取一数，取到的数小于0 与不小于 0 的可能性同样 .()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率 .()【分析】于 (1) ，芽与不芽不必定是等可能，所以(1) 不正确；于 (2) ，三个事件不是等可能，此中“ 一正一反” 包含正反与反正两个基本领件，所以(2)不正确；于(4)，全部可能果不是有限个，不是古典概型，利用几何概型求概率，所以(4)不正确 .【教材衍化】2.(必修 3P133A1 改 )袋中装有 6 个白球， 5 个黄球， 4个球，从中任取一球抽到白球的概率()243A. 5B.15C.5D. 非以上答案【答案】A【分析】从袋中任取一球，有15 种取法，此中抽到白球的取法有 6 种，所求概率 p＝62＝ . 1553.(必修 3P134B1 改 )某人有 4 把匙，此中 2 把能翻开 .随机地取 1 把匙着开，不可以开的就扔掉，第二次才能翻开的概率是________.假如的匙不抛弃，个概率又是________.【答案】1 1 3 4【分析】第二次翻开，明第一次没有翻开，2×21故第二次翻开的概率＝；2×21假如的匙不抛弃，个概率＝ .【真体】4.(2018 全·国Ⅱ卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任 2 人参加社区服，中的 2 人都是女同学的概率()【答案】D【分析】 2 名男同学和 3 名女同共 5 名同从中拿出2 人，有 C52＝ 10 种状况， 2 人都是女同学的状况有C32＝3 种，故中的 2 人都是女同学的概率3＝ 0.3.105.(2017 山· 卷 )从分有 1， 2，⋯， 9 的 9 卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 ，抽到的 2卡片上的数奇偶性不一样的概率是()5457A. 18B.9C.9D. 9【答案】C【分析】由意可知挨次抽取两次的基本领件数n＝ 9× 8＝ 72，抽到的 2 卡片上的数奇偶性不一样的基本领件个数 m＝ C51C41 A22＝ 40，所以所求概率 p＝m＝40＝5. n7296.(2019 杭·州模拟改编 )在装有相等数目的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中拿出一个白球的概率比原出处此口袋中拿出一个白球的概率大1，则口袋中原有小球的个数为 ________. 22【答案】10【分析】设本来口袋中白球、黑球的个数分别为n 个，依题意n＋1－n＝1，解得 n＝ 5. 2n＋ 12n22所以本来口袋中小球共有2n＝ 10 个 .【考点聚焦】考点一基本领件及古典概型的判断【例 1】袋中有大小同样的 5 个白球， 3 个黑球和 3 个红球，每球有一个差别于其余球的编号，从中摸出一个球 .(1)有多少种不一样的摸法？假如把每个球的编号看作一个基本领件成立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为区分基本领件的依照，有多少个基本领件？以这些基本领件成立概率模型，该模型是不是古典概型？【答案】看法析【分析】 (1)因为共有11 个球，且每个球有不一样的编号，故共有11 种不一样的摸法 .又因为全部球大小同样，所以每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本领件的概率模型为古典概型 .(2)因为 11 个球共有 3 种颜色，所以共有 3 个基本领件，分别记为 A：“摸到白球”， B：“摸到黑球”， C：15 个，“摸到红球”，又因为全部球大小同样，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为11，而白球有故一次摸球摸到白球的可能性为 5 ，113同理可知摸到黑球、红球的可能性均为11，明显这三个基本领件出现的可能性不相等，故以颜色为区分基本领件的依照的概率模型不是古典概型.【规律方法】古典概型中基本领件个数的研究方法：(1) 列举法：适合于给定的基本领件个数较少且易一一列举出的问题.(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确立基本领件时(x， y) 可当作是有序的，如(1， 2)与 (2， 1)不同，有时也可当作是无序的，如(1， 2)与 (2， 1)同样 .(3) 摆列组合法：在求一些较复杂的基本领件个数时，可利用摆列或组合的知识.【训练 1】甲、乙两人用 4 张扑克牌 (分别是红桃2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，反面向上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽 1 张 .(1)写出甲、乙抽到牌的全部状况；(2)甲、乙商定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，不然乙胜，你以为此游戏能否公正？为何？【答案】看法析【分析】 (1)设 (i， j)表示 (甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的全部状况(方片4 用 4′表示 )为 (2，3)， (2， 4)， (2，4′)，(3， 2)，(3， 4)， (3，4′)，(4， 2)，(4， 3)，(4， 4′)，(4 ′，2)，(4 ，′3)，(4 ′， 4)，共 12 种 .(2)由 (1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3， 2)， (4， 2)， (4， 3)， (4 ，′ 2)， (4 ，′3)，共 5 种状况，∴甲胜的概率 p＝5，∵5≠1，∴此游戏不公正 . 12122考点二简单的古典概型的概率【例 2】 (1)(2019 ·深圳一模 )两名同学分 3 本不一样的书，此中一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率为()1111A. 2B.4C.3D. 6(2)(2019湖·南六校联考 )设袋子中装有 3个红球， 2 个黄球， 1 个蓝球，规定：拿出一个红球得 1 分，拿出一个黄球得 2 分，拿出一个蓝球得 3 分，现从该袋子中任取(有放回，且每球获得的时机均等)2 个球，则拿出此 2 球所得分数之和为 3 分的概率为 ________.【答案】(1)B(2)13【分析】(1) 两名同学分 3 本不一样的书，基本领件有 (0 ，3)， (1a，2)， (1b，2)， (1c， 2)， (2， 1a )， (2，1b )，(2，1c) ，(3，0)，共 8 个，此中一人没有分到书，另一人分到 3 本书的基本领件有 2 个，∴一人没有分到书，2 1另一人分得 3 本书的概率 p＝8＝4.(2) 袋子中装有 3 个红球， 2 个黄球， 1 个蓝球，规定：拿出一个红球得 1 分，拿出一个黄球得 2 分，拿出一个蓝球得 3 分，现从该袋子中任取(有放回，且每球获得的时机均等)2 个球，基本领件总数n＝ 6× 6＝36，拿出此 2 球所得分数之和为 3 分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或许第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本领件个数 m＝ 2× 3＋ 3× 2＝ 12，所以拿出此 2 球所得分数之和为 3 分的概率 p＝m＝12＝1.n 36 3【规律方法】计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本领件总个数n；(2)计算事件A 所包含的基本领件的个数m； (3) 代入公式求出概率p.【训练 2】 (1)(2018 ·衡阳八中、长郡中学联考)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选用的概率为() 1125A. 3B.2C.3D. 6(2) 用 1，2， 3， 4， 5构成无重复数字的五位数，若用 a1，a2， a3， a4， a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率为 ______.【答案】 (1)B (2)1 20【分析】(1) 从四首歌中任选两首共有C24＝ 6 种选法，不选用《爱你一万年》的方法有C23＝3 种，故所求3 1的概率为 p＝6＝2.(2) 用 1， 2， 3， 4，5 构成无重复数字的五位数，基本领件总数n＝ A 55，用 a1， a2，a3，a4， a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数有： 12543，13542，23541，34521，24531， 14532，共 6 个，∴出现 a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率p＝61. 5＝20 A 5考点三古典概型的交汇问题多维研究角度 1古典概型与平面向量的交汇【例 3－ 1】设平面向量a＝(m，1)， b＝(2，n)，此中m，n∈{1，2，3，4}，记“ a⊥(a－ b)”为事件A，则事件 A 发生的概率为 ()1111A. 8B.4C.3D. 2【答案】A【分析】有序数对 (m，n)的全部可能状况为4× 4＝16 个，由a⊥ (a－b)得 m2－ 2m＋ 1－ n＝ 0，即 n＝ (m－1)2 .因为 m， n∈ {1 ， 2， 3，4} ，故事件 A 包含的基本领件为(2，1)和(3， 4)，共 2 个，所以 P(A)＝2＝1. 168角度 2古典概型与【分析】几何的交汇【例 3－ 2】将一颗骰子先后扔掷两次分别获取点数a， b，则直线 ax＋ by＝ 0 与圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2 有公共点的概率为 ________.【答案】7 12【分析】依题意，将一颗骰子先后扔掷两次获取的点数所形成的数组(a， b)有 6×6＝ 36 种，此中知足直线 ax＋ by＝0 与圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2有公共点，即知足2a≤2，即 a≤b 的数组 (a，b)有 (1， 1)， (1， 2)，a2＋ b221＝ 7(1， 3)， (1， 4)，⋯， (6，6)，共 6＋ 5＋4＋ 3＋ 2＋ 1＝ 21 种，所以所求的概率36 12.角度 3古典概型与函数的交1322三个数中任取的一个数， b 是从 0，1， 2【例 3－ 3】已知函数 f(x) ＝ x＋ax＋ b x＋ 1，若 a 是从 1， 2， 33三个数中任取的一个数，函数有两个极点的概率()7152A. 9B.3C.9D. 3【答案】D【分析】f′(x)＝ x2＋ 2ax＋ b2，由意知f′(x)＝0 有两个不等根，即＝ 4(a2－ b2)>0，∴ a>b，有序数 (a， b)全部果3× 3＝ 9 种，此中足 a>b 有 (1， 0)，(2 ，0)， (3，0)， (2， 1)， (3， 1)， (3， 2)共 6 种，故所求概率 p＝6＝2.93角度 4 古典概型与的交【例 3－ 4】 (2019 · 宁模 ) 某中学了一次数学学水平模，学校从合格的男、女生中各随机抽取 100 人的成行剖析，分制成了如所示的男生和女生数学成的率散布直方.( 注：分区[60， 70)，[70 ， 80)， [80 ， 90)，[90， 100])(1)若得分大于或等于 80 定秀，男、女生的秀人数各多少？(2)在 (1)中所述的秀学生顶用分抽的方法抽取 5 人，从 5 人中随意取 2 人，求起码有一名男生的概率 .【答案】看法析【分析】 (1)由题可得，男生优异人数为 100× (0.01 ＋ 0.02)×10＝ 30，女生优异人数为 100× (0.015＋ 0.03)×10＝ 45.(2) 因为样本容量与整体中的个体数的比是5＝ 1，所以样本中包含的男生人数为 30× 1＝ 2，女生人数30＋451515为 45× 1＝3.15则从 5 人中随意选用 2 人共有 C 25＝ 10 种，抽取的 2 人中没有一名男生有 C 23＝ 3 种，则起码有一名男生有C 25－ C 32＝ 7 种.故起码有一名男生的概率为 p ＝ 7 ，即选用的 2 人中起码有一名男生的概率为7 . 10 10【规律方法】求解古典概型的交汇问题，要点是把有关的知识转变为事件，而后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1) 将题目条件中的有关知识转变为事件；(2) 判断事件能否为古典概型；(3) 采用适合的方法确立基本领件个数；(4) 代入古典概型的概率公式求解 .【训练 3】 (2019 ·黄冈质检 )已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计以下表：若抽取学生 n 人，成绩分为 A(优异 )， B(优异 )，C(及格 )三个等级，设x ， y 分别表示数学成绩与物理成绩，比如：表中物理成绩为A 等级的共有 14＋ 40＋ 10＝ 64 人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人 .已知 x 与 y 均为 A 等级的概率是0.07.(1) 设在该样本中，数学成绩的优异率是 30%，求 a ， b 的值；(2) 已知 a ≥ 7， b ≥ 6，求数学成绩为 A 等级的人数比 C 等级的人数多的概率 . 【答案】看法析【分析】 (1)由题意知 14n ＝0.07，解得 n ＝ 200，∴14＋a＋28× 100% ＝30%，解得 a＝ 18，200易知 a＋ b＝ 30，所以 b＝ 12.(2) 由 14＋ a＋28>10 ＋ b＋ 34 得 a>b＋ 2，又 a＋b＝ 30 且 a≥ 7，b≥ 6， (a， b)的全部可能果 (7 ，23)，(8， 22)，(9，21)，⋯， (24， 6)，共 18 种，而 a>b＋ 2 的可能果 (17，13)， (18，12)，⋯， (24， 6)，共 88 4种，所求概率 p＝18＝9.【反省与感悟】1.古典概型算三步曲第一，本是不是等可能的；第二，本的基本领件有多少个；第三，事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确立基本领件个数的方法列法、列表法、状法或利用摆列、合.【易防备】1.古典概型的重要思想是事件生的等可能性，必定要注意在算基本领件数和事件包含的基本领件个数，它是不是等可能的.2.复的古典概型，其基本领件的个数常波及摆列数、合数的算，算要第一判断事件能否与序有关，以确立是按摆列理，是按合理.【分】【基稳固】(建用： 40 分 )一、1.会合 A＝ {2 ，3} ，B＝ {1 ， 2， 3} ，从 A， B 中各随意取一个数，两数之和等于 4 的概率是 ()2111A. 3B.2C.3D. 6【答案】C【分析】从 A，B 中随意取一个数，共有C21·C13＝ 6 种情况，两数和等于 4 的情况只有 (2，2)，(3，1)两种，2 1∴p＝6＝3.2. m， n∈ {0 ， 1， 2， 3， 4} ，向量a＝ (－ 1，－ 2)，b＝ (m，n) ，a∥b的概率 ()2331A. 25B.25C.20D. 5【答案】Bm ＝0， m ＝1， m ＝ 2，3 ＝ 3【分析】a ∥b ? － 2m ＝－ n? 2m ＝n ，所以 或 n ＝ 2 或 所以概率为n ＝ 0n ＝ 4，5× 5 25.3.某同学先后扔掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以 (x ， y)为坐标的点在直线 2x － y ＝ 1 上的概率为 ()1 1 51 A. 12 B.9C.36D. 6【答案】 A【分析】先后扔掷一枚骰子两次，共有6× 6＝36 种结果，知足题意的结果有 3 种，即 (1，1)，(2，3)，(3，315)，所以所求概率为 36＝ 12.4.齐王与田忌赛马， 田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马， 田忌的中等马优于齐王的低等马，劣于齐王的中等马，田忌的低等马劣于齐王的低等马，现从两方的马匹中随机选一匹进行一场竞赛，则田忌的马获胜的概率为 ()1 1 1 1 A. 3 B.4C.5D. 6【答案】 A【分析】分别用 A ， B ， C 表示齐王的上、中、低等马，用 a ， b ， c 表示田忌的上、中、低等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场竞赛有Aa ， Ab ， Ac ， Ba ， Bb ， Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共 9 场竞赛，此中田忌马获胜的有 Ba ， Ca ， Cb 共 3 场竞赛，所以田忌马获胜的概率为1 3.5.(2019 北·京旭日区调研 )将一个骰子连续掷 3 次，它落地时向上的点数挨次成等差数列的概率为()1 1 11 A. 12 B.9C.15D. 18【答案】 A【分析】一个骰子连续掷3 次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216(种 ).落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不一样，则为 (1，2， 3)，(1， 3， 5)，(2， 3， 4)， (2， 4， 6)， (3， 4， 5)， (4， 5，6)，共有 2× 6＝12 种状况；当向上点数同样，共有 6 种状况 .故落地时向上的点数挨次成等差数列的概率为12＋6＝ 1. 216 12二、填空题6.(2019 天·津和平区模拟 )小明忘掉了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母 A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字 4， 5， 6 中的一个，则小明输入一次密码能够成功登岸的概率是________.【答案】1 12【分析】小明输入密码后两位的全部状况有C41·C31＝ 12 种，而能成功登岸的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登岸的概率是112.22x＋y＝ 1 的焦距为整数的概率为 ________.7.若 m 是会合 {1 ，3，5，7，9，11} 中随意选用的一个元素，则椭圆m2【答案】1222【分析】m 是会合 {1 ，3， 5，7，9， 11} 中随意选用的一个元素，∴基本领件总数为 6，又知足椭圆x＋ym2＝ 1 的焦距为整数的 m 的取值有 1， 3， 11，共有 3 个，∴椭圆x2y2 3 1＋＝ 1 的焦距为整数的概率p＝＝ . m2 6 28.某食堂规定，每份午饭能够在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果同样的概率为________.1【答案】6【分析】甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C24，乙同学的选法种数为C24，则两同学的选法种数为C42·C42，两同学各自所选水果同样的选法种数为C42，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选2＝1的两种水果同样的概率为p＝C4.22C4C4 6三、解答题9.甲、乙两组各四名同学的植树棵数以下，甲：9，9， 11， 11，乙： X，8， 9， 10，此中有一个数据模糊，没法确认，在图中以X 表示.(1)假如 X＝ 8，求乙组同学植树棵数的均匀数和方差；(2) 假如 X＝ 9，分别从甲、乙两组中随机选用一名同求这两名同学的植树总棵数为19 的概率 .【答案】看法析－【分析】(1) 当 X＝ 8 时，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故 x＝8＋8＋9＋10＝35，s2＝1× [8－354444 222×2＋9－35 ＋3511 410－4]＝16.(2)当 X＝9时，记甲组四名同学分别为A1， A2，A3， A4，他们植树的棵数挨次为9，9， 11， 11；乙组四名同学分别为B1， B2， B3，B4，他们植树的棵数挨次为9，8， 9， 10.分别从甲、乙两组中随机选用一名同其包含的基本领件为 { A1， B1} ， { A1， B2} ，{ A1，B3} ， { A1， B4} ， { A2， B1} ， { A2， B2} ， { A2， B3} ， { A2，B4} ，{ A3， B1} ， { A3， B2 } ， { A3， B3} ， { A3， B4} ， { A4，B1} ，{ A4，B2} ， { A4， B3 } ， { A4， B4} ，共 16 个 .设“选出的两名同学的植树总棵数为 19”为事件 C，则事件 C 中包含的基本领件为 { A1， B4} ， { A2，B4} ， { A3， B2} ，4 1，B＝10.某市 A ，B 两所中学的学生组队参加争辩赛， A 中学介绍了 3 名男生、 2 名女生， B 中学介绍了 3 名男生、 4 名女生，两校所介绍的学生一同参加集训 .因为集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人、女生中随机抽取3 人构成代表队 .(1) 求 A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率；(2) 某场竞赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数许多于 2 人的概率 .【答案】看法析【分析】 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名 .参赛学生全从 B 中学抽取 (等价于 A 中学没有学生当选3 3 11 99C 3C 4代表队 )的概率为 C 63C 63＝100，所以， A 中学起码有1 名学生当选代表队的概率为1－100＝ 100.(2) 设“参赛的 4 人中女生许多于 2 人”为事件 A ，记“参赛女生有 2 人”为事件 B ，“参赛女生有3 人”为事件 C.223 1则 P(B)＝C 3C43＝ 3， P(C)＝C 3C43＝ 1.C 65C 65由互斥事件的概率加法公式，得 P(A)＝ P(B)＋ P(C)＝3＋ 1＝ 4，5 5 54故所求事件的概率为5.【能力提高题组】 (建议用时： 20 分钟 )11.已知函数 f(x)＝ 1 ax 2＋ bx ＋ 1，此中 a ∈ {2 ， 4} ， b ∈ {1 ， 3} ，从 f(x)中随机抽取 1 个，则它在 (－∞，－ 1]2上是减函数的概率为 ()1 3 1 A. 2B.4C.6D.0【答案】 B【分析】f(x) 共有四种等可能基本领件即 (a ，b)取 (2，1)，(2，3)，(4，1)，(4 ，3)，记事件 A 为 f(x)在 (－∞ ，－ 1]上是减函数， 由条件知 f( x)是张口向上的函数，对称轴是 x ＝－ b≥ － 1，事件 A 共有三种 (2，1)，(4，1)，a3(4， 3)等可能基本领件，所以P(A)＝4.12.甲在微信群中公布6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人起码领到 1 元，则乙获取“最正确手气” (即乙领取的钱数许多于其余任何人)的概率是 ()3132A. 4B.3C.10D. 5【答案】D【分析】 6 元分红整数元有 3 份，可能性有 (1， 1，4)， (1，2，3)， (2，2， 2)，第一个分法有 3 种，第二个分法有 6 种，第三个分法有1 种，此中切合“最正确手气”的有4 种，故概率为4210＝ .513.(2018 江·西要点中学盟校联考)从左至右挨次站着甲、乙、丙 3个人，从中随机抽取 2 个人进行地点调动，则经过两次这样的调动后，甲在乙左侧的概率是__________.【答案】2 3【分析】从左至右挨次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取 2 个人进行地点调动，则经过两次这样的调动，基本领件总数为n＝ C32·C32＝ 9，从左至右挨次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行地点调动，第一次调动后，对换后的地点关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调动后甲在乙的左侧对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∴经过两次这样的调动后，甲在乙的左侧包含的基本领件个数m＝ 6，m 62∴经过这样的调动后，甲在乙左侧的概率： p＝＝＝ . n9 314.(2019 日·照一模 )某快递企业收取快递花费的标准以下：质量不超出 1 kg 的包裹收费10 元；质量超出 1 kg 的包裹，除 1 kg 收费 10 元以外，超出 1 kg 的部分，每 1 kg( 不足 1 kg，按 1 kg 计算 )需再收 5 元 .该企业对近60 天，每天揽件数目统计以下表：包裹件数范围0～ 100101～ 200201～ 300301～ 400401～ 500包裹件数 (近似50150250350450办理 )天数6630126(1) 某人打算将 A(0.3 kg) ，B(1.8 kg) ，C(1.5 kg) 三件礼品随机分红两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超出30元的概率；(2) 该企业从收取的每件快递的花费中抽取 5 元作为前台工作人员的薪资和企业收益，节余的作为其余花费.前台工作人员每人每天揽件不超出150 件，薪资100 元，当前前台有工作人员 3 人，那么企业将前台工作人员减员 1 人对提高企业收益能否更有益？【答案】看法析【分析】 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：第一个包裹第二个包裹甲支付的总状况礼品质量 (kg)快递费(元)礼品质量(kg)快递费(元)快递费1A0.310B， C 3.325352B 1.815A， C 1.81530 3C 1.515A，B 2.12035全部 3 种可能中，有 1 种可能快递费未超出30 元，依据古典概型概率计算公式，所求概率为1 3 .(2)由题目中的天数得出频次，以下：包裹件数范围0～ 100101～ 200201～ 300301～ 400401～ 500包裹件数 ( 近似办理 )50150250350450天数6630126频次0.10.10.50.20.1若不减员，则每天可揽件的上限为450 件，企业每天揽件数状况以下：包裹件数 (近似办理 )50150250350450实质揽件数50150250350450频次0.10.10.50.20.1均匀揽件数50× 0.1＋ 150× 0.1＋ 250×0.5＋ 350× 0.2＋ 450× 0.1＝ 260故企业每天收益为 260× 5－ 3× 100＝1 000(元 )；若减员 1 人，则每天可揽件的上限为300 件，企业每天揽件数状况以下：包裹件数 (近似50150250350450办理 )实质揽件数50150250300300频次0.10.10.50.20.1均匀揽件数50× 0.1＋ 150× 0.1＋ 250×0.5＋ 300× 0.2＋ 300× 0.1＝ 235故企业每天收益为235× 5－ 2× 100＝975(元 ).综上，企业将前台工作人员减员 1 人对提高企业收益不利.【新高考创新展望】15.(多填题 )在政治、历史、地理、物理、化生物、技术7 门中任选 3 门 .若甲同学在物理、化学中起码选一门，则甲的不一样选法种数为________，乙、丙两名同学都不选物理的概率是________.【答案】16 2549【分析】因为甲在物理、化学中起码选一门，即不一样选法种数为C73－ C53＝ 25；乙、丙两名同学都不选物33C6·C616理的概率 p＝33＝.。
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专题十一 概率与统计第三十四讲 古典概型与几何概型2019年1.（2019全国I 理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11162.（2019江苏6）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .3．（2019全国I 理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利 时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客 主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则 甲队以4∶1获胜的概率是____________．4．（2019全国II 理18）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.（1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ． ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12=p pB ．13=p pC ．23=p pD ．123=+p p p2．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．1183．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8πC ．12D ．4π 4．（2017山东）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ．79 5．(2016年全国I)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年全国II)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n7．（2015广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A ．521B ．1021C ．1121D ．1 8．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．789．（2014江西）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）A ．118B ．19C ．16D ．11210．（2014湖南）在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15 11．（2014辽宁）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 12．（2014陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4513．（2014湖北）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A ．81B ．41C ． 43D ．87 14．（2013陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是A ．14π- B ．12π- C ．22π- D ．4π 15．（2013安徽）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为A ．23B ．25C ．35D ．91016．（2013新课标1）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 17．（2013湖南）已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB = A ．12 B ．14C．2 D．4 18．（2012辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为AB C BA ．16B ．13C ．23D ．4519．（2012北京）设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4πB ．22π-C ．6πD ．44π- 20．（2011新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题21．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．22．(2018上海)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）23．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈ 的概率是 ．24．(2016年山东)在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ．25．（2015江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．26．（2014新课标）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____．27．（2014重庆）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）28．（2014新课标2）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.29．（2014浙江）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是__________；30．(2013山东)在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为____．31．（2013福建）利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ，则事件“013<-a ”发生的概率为 ．32．（2013新课标）从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_______．33．（2013湖北）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 34．（2012江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．35．（2012浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则的概率是___________。
36．（2011湖南）已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．37．(2011江苏)从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______三、解答题38．(2016年全国II)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．39．（2015安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．40．（2014山东）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ｉ）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.41．（2014天津）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果（Ⅱ）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．42．（2013辽宁）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率；（II）所取的2道题不是同一类题的概率.43．（2013湖南）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。