浙江省温岭市学大培训学校中考数学专题复习 27相似(无答案)

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2023 数学浙教版新中考考点28图形的相似(解析版)

考点28图形的相似考点总结1．比和比例的有关概念及性质：(1)若a b ＝c d 或a ∶b ＝c ∶d ，其中b ，c 称为内项，a ，d 称为外项．(2)若a b ＝b c 或a ∶b ＝b ∶c ，则b 叫做a ，c 的比例中项．(3)把一条线段(AB )分成两条线段，使其中较长线段(AC )是原线段(AB )与较短线段(BC )的比例中项，这就叫做把这条线段黄金分割，即AC 2＝AB ·BC ，其中AC ＝ 5－12 AB ≈ 0.618 AB ．（4）比例的基本性质及定理：(1)a b ＝c d⇒ad ＝ bc ．2.平行线分线段成比例定理及推论（1）三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.（2）.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.3、相似多边形（1）定义各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等.（2）性质①相似多边形的对应角相等,对应边的成比例;②相似多边形周长的比等于相似比;③相似多边形面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形（1）定义三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.（2）判定①平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; ②两角对应相等,两三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;④三边对应成比例,两三角形相似;⑤斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.（3）性质①相似三角形的对应角相等,对应边的成比例;②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比; ③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方.真题演练一、单选题1．（2021·浙江温州·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '．若6AB =，则A B ''的长为（）A ．8B ．9C ．10D ．15【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3， ∵23AB A B =''， ∵6AB =， ∵623A B =''， ∵9A B ''=故答案为：B ．2．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽， ∵AB AC OP CP =, ∵353 4.5AB =+， ∵()2AB m =，故选A ．3．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（）A ．32B C D ．2【答案】D【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BD AD AB =．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB 的值，即CE AD的值．【详解】∵在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点， ∵12AD BD CD BC ===， ∵BAD B ADE ∠=∠=∠，∵//AB DE ．∵BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，∵在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵()ADE CDE SAS ≅，∵AE CE =，∵ADE 为等腰三角形，∵AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，∵ABD ADE ∼， ∵DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． ∵1cos 4AB B BC ==， ∵12AB BD =， ∵2CE BD AD AB==．故选D ．4．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∵BFD=∵DFE =∵DAE ，进而证得∵BDF=90°，证明Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∵AB ，由折叠性质得：∵DAE=∵DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∵∵BFD =∵DFE=∵DAE ，∵∵DAE +∵B =90°，∵∵BDF +∵B =90°，即∵BDF =90°，∵Rt∵ABC ∵Rt∵FBD ， ∵BD BC DF AC =即534AD AD -=，解得：AD =207，故选：D ．5．（2021·浙江龙湾·二模）如图，△A 'B ′C '和△ABC 是位似三角形，位似中心为点O ，OA '=2AA '，则△A 'B 'C '和△ABC 的位似比为（）A ．14B ．13C ．49D ．23【答案】D【分析】直接利用位似图形的性质求解．【详解】解：∵∵A 'B ′C '和∵ABC 是位似三角形，位似中心为点O ，∵∵A 'B 'C '和∵ABC 的位似比=OA ′：OA ，∵OA '=2AA '，∵OA ′：OA =2：3，即∵A 'B 'C '和∵ABC 的位似比为2：3．故选：D ．6．（2021·浙江·翠苑中学二模）如图，在ABC 中，//DE BC ，23AD BD =，若4DE =，则BC =（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】D【分析】因为//DE BC ，可ADE ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可求出BC 的长．【详解】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD BC AB=，又23AD BD =， ∴25AD AB =， ∴425BC =， 10BC ∴=．故选：D．7．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD连结AG并延长交BC于点M．若AEBE＝13，则CMBM的值为（）A．310B．27C．14D．29【答案】B【分析】延长BE交AD于N点，设AG交BE于R点，由题目条件可设AE=a，则BE=3a，利用相似三角形的判定与性质分别表示CM与BM的长度即可得出结论．【详解】解：如图，延长BE交AD于N点，设AG交BE于R点，∵AEBE＝13，∵设AE=a，则BE=3a，∵由题，四个直角三角形全等，∵AE=BF=DH=a，BE=DG=AH=3a，∵FG=EF=2a，在Rt∵AEB中，∵AEB=90°，AB，∵EA∵FG，∵∵AER∵∵GFR，∵12 AE ERGF FR==，∵ER=13EF=23a，FR=23EF=43a，∵BN∵DG，∵∵AEN∵∵AHD，∵13NE AE DH AH ==， ∵NE =13a ， ∵BN =BE +NE =103a ， ∵AN， ∵AN ∵BM ，∵∵ANR ∵∵MBR ， ∵12333473a a AN NR BM BR a a +===+， ∵BM =73AN， ∵CM =BC -BM =AB -BMa ，∵27CM BM ==，故选：B ．8．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，AD 是△ABC 的一条中线，G 是△ABC 的重心，过点G 作EF △BC ，交AB ，AC 于点E ，F ．若BC ＝6，则EG 的长为（）A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】A【分析】根据AD 是中线，得到132BD BC ==，由G 为∵ABC 的重心，可以得到23AG AD =，有EF∵BC，可以证明∵AEG∵∵ABD，得到23EG AGBD AD==，由此求解即可.【详解】解：∵AD是中线，∵132BD BC==，∵G为∵ABC的重心，∵23 AGAD=，∵EF∵BC，∵∵AEG∵∵ABD，∵23 EG AGBD AD==，∵223EG BD==，故选A.9．（2021·浙江鹿城·二模）三个大小相同的等边三角形ABC，CDE△，GCF按如图所示方式摆放，点A，C，E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，H为DE中点，以HB、HF为邻边作BHFI，交AE于点M，N，若MN为8，则图中阴影部分的面积和为（）A．B．C．18D．36【答案】A【分析】连接CH，可得CH垂直平分BF，从而得BHFI是菱形，阴影部分的面积和=BHF 的面积，过点N作NO∵CF，设CF=x，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理求得x的值，进而即可求解．【详解】解：连接CH，∵H 是DE 的中点，CDE △是等边三角形，∵CH 是DE 的垂直平分线，∵点A ，C ，E 在同一直线上，∵ACB =∵E =60°，∵BC ∵DE ，∵CH ∵BF ，∵C 为BF 的中点，∵CH 垂直平分BF ，∵HB =HF ，∵BHFI 是菱形，∵菱形BHFI 既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称中心为点C ，对称轴为BF ， ∵PCF 和QCB △关于点C 中心对称，BCM 和FCN △关于点C 中心对称， ∵PCF ≌QCB △，BCM ≌FCN △，∵阴影部分的面积和=BHF 的面积，CM =CN =12MN =4，过点N 作NO ∵CF ，∵∵NCO =60°，∵CO =12CN =2，ON=∵CH ∵NO ，∵ONF CHF ∽， ∵OF NO CF CH=，设CF =x ，则DE =CE =CF =x ，HE =12x ，CH=，∵2x x -=，解得：x =6， ∵阴影部分的面积和=BHF 的面积=1126622FB CH ⋅=⨯⨯= 故选A ．10．（2021·浙江诸暨·一模）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O 处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP ，OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA =a ，OB =b ，读出直尺与OP 的交点C 的标度就可以求出OC 的长度．当a =4，b =6时，读得点C 处的标度为（）A ．125BC ．245D 【答案】A【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解】解：如图所示，过C 点分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为点D 、点E ，因为∵AOB =90°，OP 平分∵AOB ，∵∵BOC =∵AOC =45°，∵∵BOC =∵OCE =∵AOC =∵OCD =45°，∵OE =CE =CD =OD ,设OE =CE =CD =OD =x ,∵BE =6-x ，∵CE ∵OA ， ∵BE CE OB OA =, ∵664x x -=， ∵125x =， ∵OP 上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,∵点C 处的标度等于CD 的长，即为125，故选：A ．二、填空题11．（2021·浙江衢州·中考真题）将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O 重合，AB 在x 轴正半轴上，且AB =E 在AD 上，14DE AD =，将这副三角板整体向右平移_______个单位，C ，E 两点同时落在反比例函数k y x =的图象上．【答案】12【分析】分别求出()6,6C ，()E ，假设向右平移了m 个单位，将平移后的店代入k y x =中，列出方程进行求解即可．【详解】过E 作EN ∵DB , 过C 作CM ∵BD ，∵90DNE ∠=︒，由三角板及AB =90OBD ∠=︒，BD =12，CM =BM =12DB =6，∵()6,6C ，∵90DNE ∠=︒，90DNE ∠=︒，∵EN //OB ， ∵14DE AD =∵11944EN OB DN DB ====，∵()E ．设将这副三角板整体向右平移m 个单位，C ，E 两点同时落在反比例函数k y x =的图象上．∵()6,6C，()E ， ∵平移后()6,6C m '+，()9E m '，，∵69⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵()()669m m +⨯=⨯，解得12m =经检验：12m =故答案为：12-12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E ， F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，AD 上，AF △EG ．若AB ＝5，AE ＝DG ＝1，则BF ＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE=，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ∵EG ，∵∵AGE +∵GAM =90°，∵F AB +∵GAM =90°，∵∵F AB =∵AGE ，又∵∵ABF =∵GAE =90°，∵ABF GAE ∽， ∵AB BF GA AE =，即：5511BF =-， ∵BF =54．故答案是：54． 13．（2021·浙江金华·中考真题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D ，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．已知,, 6.5AB BC MN BC AB ⊥⊥=，4,8BP PD ==．（1）ED 的长为____________．（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC '（如图2），点P 的对应点为P '，BC '与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P '反射后，在MN 上的光点为E '．若5DD '=，则EE '的长为____________．【答案】13232 【分析】（1）由题意，证明∵ABP ∵∵EDP ，根据相似三角形的性质，即可求出ED 的长度；（2）过A 作AH ∵BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ∵BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x ,在Rt ∵BDN 中，由勾股定理D′B 12=，可证∵ABH ∵∵BD′D ∵∵E′D′F ,=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．∵AHP′∵∵E′FP′，6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5．【详解】解：（1）由题意，∵,AB BC MN BC ⊥⊥，∵90ABP EDP ∠=∠=︒，∵从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在MN 上形成一个光点E ．∵APB EPD ∠=∠，∵∵ABP ∵∵EDP ， ∵AB BP ED DP =，即6.548ED =， ∵13ED =；故答案为：13．（2）过A 作AH ∵BN 交NB 延长线于H ，过E′作E′F ∵BN 于F ，设E′D =x ,E′D′=5+x , 在Rt ∵BDN 中，∵BD =12，DD′=5，由勾股定理D′B 13，∵∵AHB =∵ABD =∵E′FN =∵BDD′=90°，∵∵ABH +∵DBD′=∵DBD′+∵DD′B =FE D ''∠+∵E′D′F ,∵∵ABH =∵BD′D =∵E′D′F ,∵∵ABH ∵∵BD′D ∵∵E′D′F ,∵AB AH BH BD BD DD ==''，E D E F FD BD BD DD ''''==''， ∵6.513125AH BH ==,513125x E F FD ''+==， ∵=6=2.5AH BH ，，6012255,1313x x E F FD ++''==， ∵从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN 上形成一个光点E′．∵AP H E P F '''∠=∠，∵∵AHP′∵∵E′FP′，HP′=HB +BP =2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9，P′F = P′D′-FD′=9-25513x +， ∵AH P H E F P F '=''即6 6.560+1225591313x x =+-，解得x =1.5，经检验x =1.5是方程的解，EE′=DE -DE′=13-1.5=11.5=232．故答案为232． 14．（2021·浙江衢州·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，FA ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∵MFC AFB ∆∽， ∵54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ，∵CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∵BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∵AMD BEC ≌，∵DM CE =，∵8MC ED cm ==，∵488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点， ∵1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∵COD BOA ∽， ∵322483CO CD BO AB ===，图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∵15CHN DHN ∠=∠=︒，∵2sin15=8.32CD CH cm =︒， ∵28.323CO CD OB AB AB=⇔=，解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．15．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，ABC ∆与ODE ∆是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．【答案】()4,2【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．【详解】解：连接DB ，OA 并延长，交于点M ，点M 即为位似中心∵M 点坐标为()4,2故答案为：()4,2．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）DE =（3【分析】（1）根据ASA 证明BCE CDG △△≌；（2）由（1）得9CE DG ==，由折叠得BCF BFC ∠=∠，进一步证明HF HG =，由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可；（3）如图，连结HE ，分点H 在D 点左边和点H 在D 点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出DE 的长，再由勾股定理得2222HF FE DH DE +=+，代入相关数据求解即可．【详解】（1）如图，BFE △由BCE 折叠得到，BE CF ∴⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒．又四边形ABCD 是正方形，90D BCE ∴∠=∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又正方形,ABCD,BC CD ∴=，()BCE CDG AAS ∴△△≌．（2）如图，连接EH ，由（1）得BCE CDG △△≌， 9CE DG ∴==，由折叠得BC BF =，9CE FE ==，BCF BFC ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴，BCG HGF ∴∠=∠，又BFC HFG ∠=∠，HFG HGF ∴∠=∠，HF HG ∴=． 45HD HF =，9DG =， 4HD ∴=，5HF HG ==．90D HFE ∠=∠=︒2222HF FE DH DE ∴+=+，2222594DE ∴+=+，DE ∴=DE =-舍去）．（3）如图，连结HE ，由已知45HD HF =可设4DH m =，5HG m =，可令DE x EC=， ∵当点H 在D 点左边时，如图，同（2）可得，HF HG =，9DG m ∴=，由折叠得BE CF ⊥，90ECF BEC ∴∠+∠=︒，又90D ∠=︒，90ECF CGD ∴∠+∠=︒，BEC CGD ∴∠=∠，又90BCE D ∠=∠=︒，CDG BCE ∴△∽△，DG CD CE BC∴=， CD AB k BC BC ==， 91m k CE ∴=， 9m CE FE k∴==， 9mx DE k ∴=． 90D HFE ∠=∠=︒，2222HF FE DH DE ∴+=+，222299(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴=x =．DE EC∴=∵当点H 在D 点右边时，如图，同理得HG HF =，DG m ∴=，同理可得BCE CDG △∽△，可得m CE FE k ==，mx DE k∴=， 2222HF FE DH DE +=+，2222(5)(4)m mx m m k k ⎛⎫⎛⎫∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∴x =．DE EC∴= 17．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．（2）若5BE =，20AC =，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接AD ，根据题意证明ABF ABD △△≌，即可证明BF 是A 的切线；（2）根据题意即（1）的结论可得BEF CEA △∽△，列比例求出FB 的长，根据勾股定理求EF 即可．【详解】（1）证明如图，连接AD ，CA CB =，CAB ABC ∴∠=∠，AE AC ⊥，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，BAE BAD ∴∠=∠．又AB AB ，AF AD =，()ABF ABD SAS ∴△△≌，90AFB ADB ∴∠=∠=︒，BF ∴是A 的切线．（2）由（1）得：90AFB FAC ∠=∠=︒，//BF AC ∴，BEF CEA ∴△∽△，BE BF CE CA∴=， 20CB CA ==，5BE =，552020BF ∴=+， 4BF ∴=，3EF ∴=．18．（2021·浙江宁波·中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论；（2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解；（3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，∵EAD CAD ∠=∠，∵,==AE AC AD AD ，∵()EAD CAD SAS ≌，∵60ADE ADC ∠=∠=︒，∵18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，∵BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）∵FB FC =，∵EBD GCD ∠=∠，∵60BDE GDC ∠=∠=︒，∵EBD GCD ∽， ∵BD DE CD DG=． ∵EAD CAD ≌△△，∵3DE DC ==．∵2DG =， ∵92BD =；（3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．∵AC 平分BAD ∠，∵FAC DAC ∠=∠∵AC AC =，∵()AFC ADC SAS ≌，∵,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠． ∵2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，∵DCE BCF ∠=∠．∵EDC FBC ∠=∠，∵DCE BCF ∽， ∵,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠．∵5,BC CF CD ===∵4CE =．∵180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又∵EAD DAC ∠=∠，∵EAD DAC ∽ ∵12EA AD AD AC ==， ∵4AC AE =， ∵41633AC CE ==．。

人教版数学九年级下册数学：第27章相似专题练习(附答案)

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似．理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ，要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO，即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ，而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC，即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。

人教版初中九年级数学第27章相似知识点梳理(一)

第27章相似知识点梳理（一）姓名___________班级__________学号__________分数___________知识点1：比例性质与k换元1．若a︰b︰c＝2︰3︰7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？A．7；B．63；C．221；D．421；2．已知513ba=，则a ba b-+的值是()A．23；B．32；C．94；D．49；3．已知ac＝bd，下列各式中，一定成立的是()A．a cb d=；B．a db cd c--=；C．ad bcd c=；D．ab acd d=；4．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？( )A．舞蹈社不变，溜冰社减少；B．舞蹈社不变，溜冰社不变；C．舞蹈社增加，溜冰社减少；D．舞蹈社增加，溜冰社不变；5．若a∶b＝1∶2，则(a＋b)∶b＝.6．已知23a b=，则ab=．7．若12ab=，则a bb+＝____________．8．如果235x y z==，那么33x y zx y z+-=-+_____．※10．已知xxzy-+＝zzxy-+＝yyzx-+则xzzyyx）（）（+⨯+＝____________．知识点2：相似图形及其性质11．将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A．；B．；C．；D．；12．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )A．FG；B．FH；C．EH；D．EF；13．下列四组图形中，一定相似的是( )A．正方形与矩形；B．正方形与菱形；C．菱形与菱形；D．正五边形与正五边形；14．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A．1：4；B．1：2；C．2：1；D．4：1；15．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2︰1，则下列结论正确的是( )A．∠E＝2∠K；B．BC＝2HI；C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长；D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL；16．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD，(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AGGD的长．※17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB ∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．知识点3：平行线分线段成比例定理18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE ＝6，BD＝3，则BF＝( )A．7；B．7.5；C．8；D．8.5；A BC DE Fm nabc19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是( )A．4.5；B．8；C．10.5；D．14；AB CDE F（第19题图）（第20题图）20．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝53BC，则BE︰EA等于()A．3︰5；B．2︰5；C．2︰3；D．3︰2；21．已知：如图，12BDCD=，AE＝CE，则BGGE=()A．12；B．2；C．1；D．13；GAB CDE FECBA（第21题图）（第22题图）22．如图，E、F是△ABC两边的中点，若EF=3，则BC=_______．23．如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有____________对．AGEHFJIB C（第23题图）（第24题图）24．如图，AB∥CD，23AOBO=，则ACBD=________．25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥B C．(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长．AB CDE26．如图，AE∥HK∥DB，AG＝12，BG＝24，EF＝40，CD＝30，求CH、KF的长。

浙江省温岭市学大培训学校中考数学专题复习 4图形认识初步(无答案)

4图形认识初步重点题型总结及应用题型一计算几何图形的数量1．数直线条数例1 已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，…，P n在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设S n表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，…，由此推断，S n＝ .2．数线段条数例2 如图4—4—1所示，C、D为线段AB上的任意两点，那么图中共有多少条线段?例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢?小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：参加人数 2 3 4 5 …握手示意图握手次数 1 2＋1=3 3＋2＋1=6 4＋3＋2＋1=10…请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．3．数直线分平面的块数例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块?题型二两角互补、互余定义及其性质的应用例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )A．30° B．60° C．90° D．150°例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．题型三角的有关运算例8 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数．例9 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．例10 (1)用度、分、秒表示54．12°．(2)32°44′24″等于多少度?(3)计算：133°22′43″÷3．题型四钟表的时针与分针夹角问题例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是度．题型五图形的转化例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )例13 如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．题型六方位角例14如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．思想方法归纳1．分类讨论思想分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．例1 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( )A．1或3 B．3 C．2 D．12．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．例3 如图4—4—11所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC滚动一周，求B点转动的角度．3．转化思想解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．例4 将下列选项中的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到如图4—4—13所示立体图形的是( )中考热点聚焦考点1 线段考点突破：线段问题在中考题中一般难度不大，解题时要结合图形，认真分析，问题便会迎刃而解．例1已知线段AB=6，若C为AB中点，则AC= ．在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是．如图4—4—14所示，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段的条数是( )A．1 B．2 C．3考点2 余角和补角考点突破：此类题在中考中的考查为基础性题目，一般为选择题或填空题，只要牢记余角和补角的定义，便能准确求解．例2已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A.35°B.55°C.65°D.145°已知∠α=20°，则∠α的余角等于---------- ．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是（）A．B． C．D．例3 如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是( )A．30° B．60° C．90° D．120°30°角的补角是( )A．30°角 B．60°角 C．90°角 D．150°角考点3 钟表上的角度问题考点突破：此类题是近几年中考中的热点问题，考查形式为选择题或填空题．解决此类问题需明确：在钟表上，1分钟分针走6°，1小时时针走30°．例4 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是( )A．30° B．60° C．90° D．120°考点4 从不同方向看立体图形考点突破：从不同方向看立体图形是中考的热点问题，几乎每套中考题中都会出现，解决问题时应发挥空间想象能力，把立体图形转化为平面图形．例5如图4—4—15所示四个几何体中，从上面看得到的平面图形是圆的几何体共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例6如图4—4—16所示的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体从上面看得到的平面图形为( )综合验收评估测试题一、选择题1. 下列说法正确的是( )A．平角是一条直线B．周角是一条射线C．用2倍的放大镜看1 cm的线段，这条线段变成了2 cmD．用2倍的放大镜看30°的角，这个角变成了60°2．下列说法正确的是( )A．直线AB与直线BA不是同一条直线B．线段AB与线段BA不是同一条线段C．射线OA与射线AO不是同一条射线D．射线OA与射线AO是同一条射线3. 如图4—4—17所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是( )A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定4. 如果线段AB＝6 cm，BC=5cm，那么A、C两点间的距离是( )A．1 cm B．5．5 cm C．11 cm D．11 cm或1 cm5. 若∠α的补角是42°，∠β的余角是52°，则∠α和∠β的大小关系是( )A．∠α＞∠β B．∠α＜∠β C．∠α＝∠β D．不能确定6. 如图4—4—18所示，∠1＝15°，∠AOC＝90°，B、O、D三点在一条直线上，则∠3等于( )A．75° B．105° C．15° D．165°7. 一个角和它的补角的度数比为1∶8，则这个角的余角为( )A．10° B．20° C．70° D．80°8. 如图4—4—19所示，已知∠AOC＝∠BOD=∠78°，∠BOC＝35°，则∠AOD等于( )A．113° B．121° C．156° D．86°二、填空题9. 29°30′= 度，18．25°＝度分秒．10. 15分钟时间，时钟上的时针转了度，分针转了度．11. 如图4—4—20所示，由点B观测点A的方向是．12. 一个画家有14个棱长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图4—4—21所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为．三、解答题13. 请仔细观察如图4—4—22所示的折纸过程，然后回答下列问题：(1)求∠2的大小．(2)∠1与∠3有何关系?(3)∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系?14. 如图4—4—23所示，已知AC=CD＝DB，AC＝2AM，BN＝12BM，如果MN＝5cm，求AB、CN的长．15. 如图4—4—24所示，一只蚂蚁从O点出发，沿北偏东30°方向爬行2．5 cm，碰到障碍物B后，又沿西北方向爬行3 cm到达C处．(1)画出蚂蚁爬行的路线；(2)求∠OBC的度数；(3)测出线段OC的长度(精确到0．1 cm)．。

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学相似三角形判定同步作业(无答案) 浙教版

(2)若BE∶CE=3∶1，求ΔABE与ΔFDA的相似比。

练习11.在图3中，若DE∥BC，DB∶DA=9∶4，则ΔABC与ΔADE的相似比是______.2.如图4,AD∥EF∥BC,则图中的相似三角形共有____对,若AD∶BC=4∶6，则ΔDEF与ΔDBC的相似比是______.3.ΔABC的三边长为3、4、5,ΔA/B/C/的最短边为5,若ΔABC∽ΔA/B/C/,则ΔA/B/C/的面积为________.4.已知：如图，AB∥DE，BC∥EF。

求证:ΔPAC∽ΔPDF.5．如图，在ΔAB C中，DE∥BC，四边形EFGD是平行四边形，BG与CF的延长线相交于H。

求证：ΔBGD∽ΔBHA.一、相似三角形的判定定理1定理1 _____个角对应相等的两个三角形.推论：直角三角形被______边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图，若∠ACB=_____，且CD⊥AB于D，则ΔADC∽ΔACB∽Δ______.例2 如图，O是ΔABC的角平分线的交点，AO⊥OD。

求证：ΔOBD∽ΔCBO。

例3 如图，ΔABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，PA=PD，BP交AC于E，EF⊥BC，FE与BA的延长线相交于G。

求证：EF2=AE·EC。

练习21.如图,ΔABC中,∠BAC=900, D是BC的中点,DF⊥BC,交BA的延长线于F,交AC于E.求证:AD2=DE·DF.2.已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP. 求证:CE2=ED·EP.3.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.4.已知:如图,AD是RtΔABC的斜边BC上的高,E是AC的中点.求证:AB·AF=AC·DF.5.已知:如图,矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠,使点B落在AD边上的中点E处,求折痕FG的长.[提示:作AH∥FG]二、相似三角形的判定定理2、3定理2 两边对应成比例，并且____角相等的两个三角形相似。

浙江省温岭市学大培训学校中考数学专题复习整式的乘除与因式分解

15整式的乘除与因式分解同底数幂的乘法法则：a m - a n = a m n (m ，n 都是正整数) 幂的乘方法则：(a m )n = a mn (m ，n 是正整数)积的乘方法则：(ab)n = a n b n (n 是正整数)专题总结及应用专题1幕的运算法则及其逆运用【专题解读】同底数幕的乘法、除法、积的乘方、幕的乘方，它们都是整式运算的基础，作用非常大，在整个代数运算中起着奠基作用，幕的运算法则及其逆运用以及零指数幕都是中考必考内容.例 1 计算 2x 3 - ( — 3x ) 2=.例 2 计算[a (a — 4a ) — ( — 3a ) — (a ) ] — ( — 2a ).专题2 整式的混合运算【专题解读】幕的运算与整式的加减乘除混合运算是本章的核心内容，也是整个代数计算的重点•在进行混合运算时要注意：(1)确定运算顺序，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的或去括号；(2)计算要仔细认真，步步有依据，特别是要注意符号.例 3 计算[(a — 2b )(2 a — b ) — (2a + b ) + (a + b )( a — b ) — (3a ) ] — ( — 2a ). 专题3因式分解【专题解读】因式分解是整式乘法的逆运算，有两种基本方法：提公因式法和公式法•一般步骤是先知识网络结构图整式的乘法单项式乘以单项式法则: 单项式乘以多项式法则: 多项式乘以多项式法则: 单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加整式的乘除与因式公解乘法公式整式的除法平方差公式：(a + b)(a — b) = a 2— b 2完全平方公式：(a + b)2=a 2+ 2ab + b 2，(a — b)2= a 2 — 2ab + b 2同底数幂的除法法则：a m * a n = a m n (a 工0，m ，n 都是正整数且m ＞ n) 零指数幂的意义：a 0= 1(a 工0)单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加方法＜概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式幂的运算法则提公因式，再用公式，最后检查是否分解彻底.例4分解因式.(1) m- m (2)( x+ 2)( x+ 3) + X2—4.二、思想方法专题专题4转化思想【专题解读】转化思想是数学中的重要思想.利用这一思想，可以将复杂化为简单，将未知化为已知.整式的乘除法法则中多次用到转化思想.例5 分解因式a2- 2ab+ b2- c2.专题5整体思想【专题解读】整体思想是数学中常用的数学思想方法，利用此思想方法可以不求出每个字母的值而求出代数式的值，达到简化计算的目的，事半功倍.2例 6 (1) 已知x+ y = 7, xy = 12,求(x-y);(2)已知a+ b= 8, a- b= 2，求ab 的值.中考真题精选1. 计算（x+2）2的结果为x'+口x+4,则"□”中的数为（A. —2D. 42. 计算2a2?a3的结果是( )5 6 5 6A 2aB 2a C、4a D、4a2 33. 计算2x ? (-3x )的结果是( )5 56 6A -6xB 6xC -2x D、2x(a -b)2二a-b27. 计算多项式2x3- 6X2+3X+5除以（x- 2）2后，得余式为何（）A 1B 3 C、x - 1 D、3x - 32 38. 计算x （3x + 8）除以x后，得商式和余式分别为何（）A.商式为3，余式为8x2B•商式为3,余式为8C.商式为3x+ 8,余式为8x2D.商式为3x + 8，余式为09. 化简错误！未找到引用源。

浙江省温岭市学大培训学校中考数学专题复习：8二元一次方程组

二元一次方程组知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 运用某些概念列方程求解【专题解读】在学习过程中，我们常常会遇到二元一次方程的未知数的指数是一个字母或关于字母的代数式，让我们求字母的值，这时巧用定义，可简便地解决这类问题例1 若212135a b a b x y ++--==0,是关于x,y 的二元一次方程,则a =_______,b =_______.专题2 列方程组解决实际问题【专题解读】方程组是描述现实世界的有效数学模型,在日常生活、工农业生产、城市规划及国防领域都有广泛的应用，列二元一次方程组的关键是寻找相等关系，寻找相等关系应以下两方面入手；（1）仔细审题，寻找关键词语；（2）采用画图、列表等方法挖掘相等关系.例2 一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？二、规律方法专题专题3 反复运用加减法解方程组【专题解读】反复运用加减法可使系数较大的方程组转化成系数较小的方程组，达到简化计算的目的.例3 解方程组8359x1641y28359, 1641x8359y21641.+=⎧⎨+=⎩①②专题4 整体代入法解方程组【专题解读】结合方程组的形式加以分析,对于用一般代入法和加减法求解比较繁琐的方程组,灵活灵用整体代入法解题更加简单.例4 解方程组8,12,14,17.x y zx y mx z my z m++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩①②③④专题5 巧解连比型多元方程组【专题解读】连比型多元方程组通常采用设辅助未知数的方法来求解.例5 解方程组, 23427.x y t x y tx y t+++⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②三、思想方法专题专题6 转化思想【专题解读】对于直接解答有难度或较陌生的题型，可以根据条件，将其转化成易于解答或比较常见的题型.A.6个B.7个C.8个D.无数个专题7 消元思想【专题解读】将未知数的个数由多化少,逐一解决的思想即为消元思想.例7 解方程组3414,5217,22 3..x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③综合验收评估测试题 (时间：120分钟满分：120分)一、选择题1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．x+y-1=0 B．xy+5=-4C ．32x +y =89D ．x +1y=2 2.方程3x -4y =10的一个解是（）A ． 41x y =⎧⎨=⎩B ． 62x y =⎧⎨=⎩C ．03x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩3.下列方程中，与方程3x +2y =5所组成的方程组的解是 32x y =⎧⎨=-⎩的是（） A ．x -3y =4B ．4x +3y =4C ．y+x =1D ．4x -3y =24.若关于x,y 的方程组2,x y m x my n -=⎧⎨+=⎩ 的解是 21x y =⎧⎨=⎩则|m-n |的值为（） A ．1 B ．3 C ．5 D ．25．若关于x,y 的二元一次方程组 5,9x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x +3y =6的解，则k 的值为（）A ．-34B ．34C ．43D ．-436．若2(5)|2310|0x y x y +-+--=，则（）A ． 32x y =⎧⎨=⎩B ．23x y =⎧⎨=⎩C ．50x y =⎧⎨=⎩D ．05x y =⎧⎨=⎩7．已知-0.5a b a b x y +-与1323a x y -是同类项，那么（） A ． 12ab =-⎧⎨=⎩ B ．1-2a b =⎧⎨=⎩ C ．21a b =-⎧⎨=⎩ D ．21a b =⎧⎨=-⎩8.如果一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是6，那么这样的正整数有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个9.某年级学生有246人,男生人数比女生人数的2倍少2人,求男生、女生各有多少人.若设男生有x 人，女生有y 人，则可列方程组（）A．24622x yy x+=⎧⎨=-⎩B．24622x yx y+=⎧⎨=+⎩C．24622x yy x+=⎧⎨=+⎩D．24622x yx y+=⎧⎨=-⎩10.6年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，则A现在的年龄是（）A．12岁B．18岁C．24岁D．30岁二、填空题11.在3x-2y=5中,若y=-2,则x=_______.12.由4x-3y+6=0,可以得到用y表示x的式子为_______.13.若1,2xy=⎧⎨=⎩是方程3mx-2y-1=0的解,则m=________.14.已知2,1xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,1ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解，则a-b的值为______.15.若23135x y x y++==，则3x+4y=_______.16.若22,2,x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩则x,y之间的关系式为________.17.已知方程组23,1x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是关于x,y的方程组22,1x mynx y+=⎧⎨+=⎩，的解，则m=___,n=___.18.若230,2340x y zx y z-+=⎧⎨-+=⎩，则x：y：z=_________.19.已知4360,24140x y zx y z--=⎧⎨+-=⎩，(x,y,z≠0)，则22222223657x y zx y z++++的值为_______.20.如图8-5所示，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15.两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是________cm.三、解答题21．已知ax+by=16的两个解为1,xy=⎧⎨=⎩和2,5xy=⎧⎨=⎩，求a,b的值.22．已知方程组3,325ax yx y+=⎧⎨-=⎩的解中的x和y 互为相反数，求a的值.23.暑假期间，小明到父亲经营的小超市参加社会实践活动.一天小明随父亲从银行换回来58张共计200元的零钞用于顾客付款时找零.细心的小明清理了一下,发现其中面值为1元的有20张,面值为10元的有7张,剩下的均为2元和5元的钞票.你能否用所学的数学方法算出2元和5元的钞票各有多少张?请写出演算过程.24.某人若买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共需用18.5元；若买4个鸡蛋、2个鸭蛋、3个鹅蛋共需用6.2元；若买6个鸡蛋、5个鸭蛋、2个鹅蛋共需用8元.求鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋每个多少元.25.如图8-6所示，8块相同的长方形地砖拼成了一个矩形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽.附：中考真题精选1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．12xyx y=⎧⎨+=⎩B．52313x yyx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5132yxzxD．5723zx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩2.下列方程组中是二元一次方程组的是（）A．12xyx y=⎧⎨+=⎩B．52313x yyx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5132yxzxD．5723zx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩3.已知23xy=⎧⎪⎨=⎪⎩x，y3x y a=+的解，求（a＋1）（a－1）＋7的值．4.二元一次方程x ﹣2y =1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（）A ． 012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨=-⎩5.方程组224x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（）A 、12x y =⎧⎨=⎩B 、31x y =⎧⎨=⎩C 、02x y =⎧⎨=-⎩D 、20x y =⎧⎨=⎩一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，所列方程组正确的是（）A 、 ⎩⎨⎧=+=+yx xy y x 188B 、⎩⎨⎧+=++=+y x y x y x 1018108 C 、 ⎩⎨⎧=++=+yx y x y x 18108 D 、⎩⎨⎧=+=+yxy x y x )(108在早餐店里，王伯伯买5颗馒头，3颗包子，老板少拿2元，只要50元．李太太买了11颗馒头，5颗包子，老板以售价的九折优待，只要90元．若馒头每颗x 元，包子每颗y 元，则下列哪一个二元一次联立方程式可表示题目中的数量关系（）A 、⎩⎨⎧⨯=++=+9.09051125035y x y xB 、⎩⎨⎧÷=++=+9.09051125035y x y xC 、⎩⎨⎧⨯=+=+9.0905112-5035y x y xD 、⎩⎨⎧÷=+=+9.0905112-5035y x y x 某鞋店有甲．乙两款鞋各30双，甲鞋一双200元，乙鞋一双50元．该店促销的方式：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得1800元，还剩甲鞋x 双．乙鞋y 双，则依题意可列出下列哪一个方程式？（）A ．200（30－x ）＋50（30－y ）＝1800B ．200（30－x ）＋50（30－x －y ）＝1800C ．200（30－x ）＋50（60－x －y ）＝1800D ．200（30－x ）＋50＝1800 如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB ＝？（）A ．5：3B ．7：5C ．23：14D ．47：29甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%．结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x 吨，乙仓库原来存粮y 吨，则有（）A 、⎩⎨⎧=---=+30%)401(%)601(450y x y xB 、⎩⎨⎧=-=+30%40%60450y x y xC 、⎩⎨⎧=---=+30%)601(%)401(450x y y xD 、⎩⎨⎧=-=+30%60%0450x y y x 把方程2x+y=3改写成用含x 的式子表示y 的形式，得y=．若12x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程31ax y -=的解，则a 的值为（）A ．5-B ．1-C ．2D ．7某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米?（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工速度，能够比原来少用多少天完成任务?食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：A种产品B种产品成本（万元∕件） 3 5利润（万元∕件） 1 2（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润．。

浙江省台州温岭市第三中学九年级数学 27.2.3 相似三角形的周长与面积同步作业(2) 浙教版

一、基础练习1．如果两个相似多边形的面积之比为3：4，那么它们的周长之比为_______．2．•已知两个相似三角形的最长边分别为21cm•和14cm，•较大的三角形的面积为15cm2，则较小的三角形的面积为________．3．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，•则较大的一个多边形的周长为_____；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是________．4．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AD：BC=3：5，则AO：OC=______，S△ODA：S△OCB =•_______，S△AOB：S△AOD =_______，S△AOB：S△DBC =________．5．如图1，△ABC中，S△ABC=36，DE∥AC，FG∥BC，点D、F在AB上，E在BC上，G在DE 上，•且BF=FD=DA，则S四边形BEGF=_______．6．把一个矩形剪去一个正方形，若所剩矩形与原矩形相似，则原矩形长边与短边的比为_____．7．如图2，ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DG=13 AB，则四边形EFGH与正方形ABCD的面积的比为________．8．如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，△DCE的面积与△DCB的面积比为1：3，则△DEC的面积与△ABD的面积比为_______．二、整合练习1．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点O，已知△OCE和△OBC•的面积分别为2和8．（1）求△OAB和四边形AOED的面积；（2）若BE⊥AC，求BE的长．2．如图，△ABC的面积为16，AB=4，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE∥BC，FG∥BC，分别交AC于E、G，设AD=x．（1）把△ADE的面积S1用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．3．某校准备耗资1600元，在一块上、下两底分别为10m、20m的梯形ABCD•空地上种植花木，AD∥BC．（1）如果在△AMD和△BMC地上种植太阳花，单价为8元/m2，将△AMD地上种满花，共花了160元，请计算种满△BMC地上所需的费用；（2）如果其余地上要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，•单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完准备的1600元资金？4．下列图形中，图①是边长为1的阴影正三角形，连结它的各边中点，挖去中间的三角形得到图②，再分别连结剩下的每个阴影三角形各边中点，挖去中间的三角形得到图③．再用同样的方法得到图④．（1）请你求出图④中阴影部分的面积；（2）若再用同样的方法继续下去，试猜想图○n中阴影部分的面积．（3）试说出图⑤中三角形的个数．答案：一、基础练习1．3：2 2．203cm 2 3．49 100494．3：5 9：25 5：3 3：8 5．12 6．（1+5）：2 7．5：9 8．1：6二、整合练习1．（1）由已知，EO ：OB=1：4，又△EOC ∽△BCA ，S △EOC ：S △BOA =1：16．2116BOAS ∆=， S △BOA =32，S 四边形AOED =S △ADC -S △EOC =40-2=38．（2）由BE ⊥AC ，△EOC ∽△COB ，EO OC OC OB =，OC 2=EO ·OB ．设EO=t ，OB=4t ，OC=2t ，S △EOC =12·a ·2a=2，a 2=2，a=2，BE=5a=52．2．（1）DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，21()ABC S AD S AB ∆=，即21()164S x=，S 1=x 2．（2）FG ∥BC ，△AFG ∽△ABC ，2()AFG ABC S AF S AB ∆∆=，又F•为BD 的中点，DF=BF =12（4-x ），AF=BF=12（4-x ），AF=AD+DF=x+12（4-x ）=12（x+4）．242164AFG x S ∆+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，S △AFG =28164x x ++，S 2=S △AFG –S 1=-34x 2+2x+4 3．（1）AD ∥BC △AMD ∽△BMC ，2()AMD BMC S AD S BC ∆∆==14，种植△AMD 地花去160元，所以S △AMD =1608=20（m 2）．S △BMC =80（cm 2）．种植△BMC 地花费80×8=640（元）（2）设△AMD 、△BMC 的高分别为h 1、h 2，梯形ABCD 的高为h ．因为S △AMD =12×10×h 1=20，h 1=4，12h AD h BC ==12，h 2=8，h=h 1+h 2=12，S 梯形ABCD =12（AD+BC ）h=180，S △AMB +S △DMC =180-20-80=80（m 2），若种植玫瑰共花费160+640+80×12=1760元，若种植茉莉花，•共花费160+640+80×10=1600元，故种茉莉花刚好用完准备的资金．4．（1）图①中正三角形的面积为34，图②中空白三角形与原三角形的相似比为1：2，因此其面积比为1：4，所以图②中阴影部分的面积为34（34）．•同理图③中阴影部分面积为34（34）2，图④中阴影部分面积为3（34）3=3×2727364．（2）图○n中阴影部分的面积为3（34）n-1．（3）图⑤中三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33×4=161．。

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27相似一、知识性专题专题1 比例线段【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解．例1 如图27－96所示，A ，B ，D ，E 四点在⊙O 上，AE ，BD 的延长线相交于点C ，AE ＝8，OC ＝12，∠EDC ＝∠BAO ．(1)求证CD CE AC CB=； (2)计算CD ·CB 的值，并指出CB 的取值范围．专题2 乘积式或比例式的证明【专题解读】证明形如22a c b d =，33a c b d =或abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解决．如要证22a c b d =，可设法证a c b x =，a x b d=，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x 便是证题的关键。

例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC 中，过A 作AD ⊥BC ，过C 作CE ⊥AB ，又作DF ⊥CE ，FG ⊥AD ，求证23FG BD AG AD =．例3 如图27－98所示，在△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C =1：2：4，求证111AB AC BC +=.二、规律方法专题专题3：相似三角形的性质【专题解读】相似三角形是初中数学重要的内容之一，其应用广泛，可以证明线段相等、平行、垂直，也可以计算图形的面积及线段的比值等，解题的关键是识别(或构造)相似三角形的基本图形．例4 如图27－99所不，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm例5 如图27－100所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12 cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC.(1)求∠EDB 的度数；(2)求DE 的长．【解题策略】将比例式中的AE 转化为AB －DE ，逐步由未知转化为已知，建立关于DE 的关系式来求解．例6 如图27－101所示，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ，求证△ABC ∽△FDE ．例7 如图27－102所示，已知点正是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．三、思想方法专题专题4 分类讨论思想【专题解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想，我们在研究问题的解法时，应把可能出现的各种情况都加以考虑，这样才能全面、严谨地思考问题．例8 在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线l ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线l 有条．专题5 建模思想【专题解读】本章建模思想多用于将实际问题转化为几何图形，然后根据相似的性质解决问题．例9 如图27－104所示，小明想用皮尺测量池塘A ，B 间的距离，但现有皮尺无法直接测量池塘A ，B 间的距离，学习有关的数学知识后，他想出了一个主意，先在地面上取一个可以直接到达A ，B 两点的点O ，连接OA ，OB ，分别在OA ，OB 上取中点C ，D ，连接CD ，并测得CD ＝a ，由此他知道A ，B 间的距离是( )A ．12a B ．2a C ．a D ．3a 例10 如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1．6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，求旗杆AB 的高度．专题6 转化思想【专题解读】本章中的转化思想主要用于解决一些比例线段的问题．例11 如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．例12 在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为 ( )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6例13 已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为．例14 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ：S △A ′B ′C ′＝1：2，则AB ：A ′B ′＝．中考真题精选1.将左下图中的箭头缩小到原来的21，得到的图形是（）2.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述A 、舞蹈社不变，溜冰社减少B 、舞蹈社不变，溜冰社不变C 、舞蹈社增加，溜冰社减少D 、舞蹈社增加，溜冰社不变3.如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，A ． B ． D ．题3图且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比为何？（）A、1：2B、2：3C、2：5D、4：94.两个相似多边形的面积比是16:9，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为( )A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm5.已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60º，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F。

（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是DC、CB的中点，求证菱形ABCD对角母AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P。

①（4分）猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②（5分）拓展运用：如图3，猜想△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断11DM DN是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

6.已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD >AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。

（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE =10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.7.如图是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1．（1）证明：△ABE ≌△CBD ；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论；（4）求线段BD 的长．A B CDE F O8.某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在个、个、个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．9.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．①θ= 22.5度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，…），求出此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）．活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= 2θ，θ2= 3θ，θ3= 4θ（用含θ的式子表示）；（4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围．综合验收评估测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题1．要做甲、乙两个形状相同(相似)．的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有 ( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种2．如图27－107所示，在△ABC中，已知∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为( )A. 154B．7 C．152D.2453．如图27－108所示，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△ADE的面积为 ( )A．2 cm2 B．3 cm2 C．4 cm2 D．6 cm24．厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑色大理石，如图27—109所示，其余部分铺上白色大理石，那么黑色大理石与白色大理石的面积比为( )A．1：4 B．4：1 C．1：3 D．3：45．如图27－110所示，D是△ABC的边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于E，若AD：DB＝2：3，则S△ADE：S四边形BCED等于 ( )A．2：3 B．4：9 C．4；5 D．4：216．如图27－111所示，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，BF的延长线交AC于点H，则AH：HE等于 ( )A．1：1 B．2：1 C．1．3：27．△ABC2，△A′B′C′的两边长分别为1ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为 ( )D8．如图27－112所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE＝S四边形BDEC，则DE：BC等于( )A．1:2 B 2 C．1：4 D．2：39．如图27－113所示，在ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB等于 ( )A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：210．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，则满足这样条件的直线最多有 ( )A．2条 B．3条 C．4条 D．5条二、填空题11．如图27－114所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若AD＝3.2，DB＝2.4，AE＝2.8，则AC＝．12．一根2米长的竹竿直立在操场上，影长为1.6米，在同一时刻，测得旗杆的影长为17．6米，则旗杆高米．13．若△ABC∽△A′B′C′，AC＝5，A′C′＝8，则S△ABC：S△A′B′C′= ．14．已知两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4 cm，如果它们的面积和为50 cm2，则较大多边形的面积为 cm2．15．若一个多边形在图上的面积为4 cm2，比例尺为1：1000，则该多边形的实际面积为 m2．16．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，△ABC的周长为54 cm，若△DEF的三边长之比为2：3：4，则△DEF的最短边长为 cm．三、解答题17．如图27－115所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，在AB上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，这样的点E有几个?求出AE的长．18．如图27－116所示，已知在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝20，点M分BC为BM：MC＝1：2，DE⊥AM于点E，求DE的长．19．如图27－117所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，垂足为E，求DE的长．20．如图27－118所示，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，BC＝6，BD⊥AC于D，AE⊥BC于E，求CD的长．21．如图27－119所示，已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若AD＝10，BD＝5，求CD的长．22．如图27－120所示，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCE D＝1：3，求AD：DB．23．在Rt△ABC中，CD为斜边上的高，试确定AC是哪两条线段的比例中项，用比例式或等积式写出你的结论，并加以证明．24．如图27－121所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，EF⊥CE交AD于F．(1)求证△AEF∽△BCE；(2)求证AE AF CD BE.25．如图27－122所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形AEDC是什么四边形．26．如图27－123所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．(1)当△PQ C的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQ C的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．。