高中数学组卷表面积体积
高二数学立体几何的体积和表面积(经典含答案)
12．如图，棱长为1的正方体 中，点 为线段 上的动点，点 分别为线段 的中点，则下列说法错误的是（）
A． B．三棱锥 的体积为定值
C． D． 的最小值为
二、填空题
13．已知圆锥展开图的侧面积为 ，且为半圆，则底面半径为_______________．
14．如图，已知正方体 ，截去三个角 ， ， 后形成的几何体的体积与原正方体的体积之比为______．
15．如图，在棱长为4的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，过 ， ， 三点作正方体的截面，则以 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为______．
三、解答题
16．如图，多面体 中， ， ， ， ， 平面 ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）求平面 将多面体 分成上、下两部分的体积比.
【分析】
将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可．
【详解】
解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2， ，
所以 ，且 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ．
（2）解：依题意， ，所以 ，
因为 ， ，
体积和表面积
一、单选题
1．下列说法中正确的是（）
A．棱锥的侧面不一定是三角形
B．棱锥的各侧棱长一定相等
C．棱台的各侧棱的延长线交于一点
D．用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
专题11 空间图形的表面积与体积-高中数学专项训练测试卷(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题11空间图形的表面积与体积（一）几何体的表面积1．柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.2．把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.3．计算公式圆柱的侧面积rlS π2=圆柱的表面积)(2l r r S +=π圆锥的侧面积rlS π=圆锥的表面积)(l r r S +=π圆台的侧面积lr r S )(+'=π圆台的表面积)(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积24R S π=（二）几何体的体积圆柱的体积h r V 2π=圆锥的体积hr V 231π=圆台的体积)(3122r r r r h V '++'=π球体的体积334R V π=正方体的体积3a V =正方体的体积abcV =（三）球的内切、外接几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.题型一几何体的面积【典例1】（河南省郑州市2023届高三第二次质量预测文科数学试题）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）ABCD锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l ∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧.故答案为：39π.【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，1145A AB A AC ∠=∠=︒，则该斜三棱柱的侧面积是_________．【答案】2+##2【分析】过点B 作1BM AA ⊥于M ，证出CAM V ≌BAM ，得出1CM AA ⊥，证得1AA ⊥平面BCM ，得出1AA BC ⊥，结合11//AA CC 再证明出1CC BC ⊥，得出平行四边形11BCC B 为矩形，即可计算出斜三棱柱的侧面积．【详解】过点B 作1BM AA ⊥于M ，如图所示，45CAM BAM ∠=∠=︒ ，CA BA =CAM ∴△≌BAM ，22MC MB ∴==，几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．题型二几何体的体积【典例4】（2018·全国高考真题（文））在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30 ，则该长方体的体积为（）A．8B．C．D．【答案】C 【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =，所以该长方体的体积为22V =⨯⨯= C.【典例5】（2023·高一单元测试）已知正三棱锥的侧面积为2，高为3cm ，则它的体积为___________3cm .E 为BC 的中点，O 是内切圆的圆心，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为因为正三棱锥的侧面积为60均相切，设球与圆台的表面积分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若1247S S =，则12V V =______．所以()()(222112R r r r +-=+第二步：用1r ，2r 表示出圆台和球的表面积则21124π4πS R r r ==，2S =第三步：根据1247S S =得到1r 故()11222211224π2πS r r S r r r r ==++第四步：求出12V V（1）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（2）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（3）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．题型三几何体的展开、折叠、截问题【典例7】（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若23S S =甲乙，则VV =甲乙（）A ．7B C ．94D（扇形的一部分），若两个圆弧 DE 、 AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=︒，则该圆台的高为______；侧面积为______.【详解】因为两个圆弧 DE 、 AC 所在圆的半径分别是3和的长为2π32π3⨯=，即圆台上底面的周长为2π，解得11r =，同理可得， AC 的长为2π96π3⨯=，即圆台下底面的周长为6π，解得23r =，又因为圆台母线长936l =-=，如图，圆台的高为所以圆台的高为()2263142--=，侧面积为π故答案为：42，24π.】（2023·辽宁辽阳·统考一模）将3个6cm×6cm 点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为______3cm .【答案】108【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积的一半，即3316108cm 2⨯=.故答案为：108【典例10】（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以A 为球心，23为_________【答案】53π2.【分析】先得出球被由正方体的表面所截曲面，再由弧长公式得出所截得的曲线总长.【详解】如下图所示，易知球被由正方体的表面所截曲面为EFGHIJ ，由1133cos 223AA A AE AE ∠===，即1π6A AE ∠=，故π6EAF ∠=.球被面11ABB A ，面ABCD ，面11ADD A 所截的曲线长均为3π2363π⨯=，故在此三面上所截得的曲线长为3π33π3⨯=，球在面11BCC B ，面11CDD C ，面1111D C B A 所截得的曲线长均为3π322π⨯=，故答案为：53π2.【总结提升】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．题型四几何体的外接球【典例11】（四川省乐山市2023届高三下学期第二次调查研究考试数学（理）试题）在菱形ABCD 中，2AB =，60A ∠=︒，将BCD △绕对角线BD 所在直线旋转至BPD ，使得AP 则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为（）A ．8π3B ．20π3C D ．25π3【答案】B【分析】如图，取BD 的中点M 面PBD ⊥平面ABD ，设点E 为P ABD -的外接球的球心，外接球的半径为的表面积公式即可得解.【详解】如图，取BD 的中点M故选：B.【典例12】（2023春·辽宁朝阳111ABC A B C -的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且AD =外接球O 的表面积为12π，则1AA =_______________．【答案】22【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案.【详解】由该三棱柱的外接球得3r =，由题意，取上下底面三角形得中心，则3OC r ==，EF CF ⊂Q 平面ABC ，∴在等边ABC 中，CF 在Rt OFC △中，OF 1222AA OF ==.故答案为：22.【典例13】（2023·内蒙古赤峰且ABC 是边长为6的正三角形，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为24π，则三棱锥D ABC -的体积为___________.【答案】23【分析】根据等边三角形以及三棱锥的性质找外接球的球心，而由体积公式即可D 【详解】取AB ,BC ,则23AH BH CH ===设三棱锥D ABC -的外接球的半径由外接球表面积为24π设三棱锥D ABC -的外接球的球心为连结OH ，则OH ⊥平面过O 作OG AD ⊥，交22R DG OG OH ∴=+=所以4=AD ,故三棱锥故答案为：23【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．3.一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.题型五几何体的内切球【典例14】（2023春·河南濮阳·高三统考阶段练习）在正三棱锥-P ABC 中，6,AB PA ==若球O 与三棱锥-P ABC 的六条棱均相切，则球O 的表面积为（）A ．(16π-B ．(19π-C ．(76π-D ．(19π+【答案】C【分析】作出辅助线，找到球心O 的位置，求出三棱锥的高，设出棱切球的半径，求出30APE ∠= ，由半径相等列出方程，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】取ABC 的中心E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABC ，且与棱均相切的球的球心O 在PE 上，连接AE 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，AD BC ⊥，连接OD ，易证BC OD ⊥，过O 作OF PA ⊥，交PA 于点F ，设球O 的半径为r ，则OD OF r ==，3，则该圆锥的表面积的最小值为__________．【规律方法】1.求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.2．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：题型六空间几何体面积、体积的综合问题【典例16】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱锥S ﹣ABC 的底面边长为2，正三棱锥的高SO ＝1．(1)求正三棱锥S ﹣ABC 的体积；(2)求正三棱锥S ﹣ABC 表面积．【答案】(1)33(2)33【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；（2）连接CO 延长交AB 于E ，连接SE ，则E 为AB 的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．【详解】（1）在正三棱锥S ﹣ABC 中，13sin 6022324ABC S AB BC =⋅⋅⋅︒=⨯⨯⨯ ,所以11331333ABC V S SO =⋅=⨯⨯= .（2）连接CO 延长交AB 于E ，连接SE ，则E 为AB 的中点，如图所示，所以2213213,33CE OE CE =-===，在直角三角形SOE 中，22323()133SE =+=，在△ABS 中，SA ＝SB ，所以SE ⊥AB ，所以123232233ABS S =⨯⨯=，则表面积为：23333333ABS ABC S S +=⨯+= ．【典例17】（2023·高一单元测试）已知1111ABCD A B C D -是底面边长1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点．(1)设1AB 与底面1111D C B A 所成的角为arctan 2，求该棱柱的侧面积；(2)若点C 到平面11AB D 的距离为43，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积．一、单选题1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A．12B．2CD放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中23DHDA=，则在图1中EFEG=（）A ．49B ．481C ．427D ．827【答案】B【分析】设出正方体的边长，利用水的体积相等建立方程求解【详解】当DA ，DB ，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥D HJK -为正三棱锥，设正方体的棱长为3，则2DH DK DJ ===，所以11142223323D HJK DHJ V S DK -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，则题图1中2433V EF =⋅=，则427EF =，所以481EF EG =.故选：B3．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知正四面体的各棱长均为3，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（）A ．9πB ．12πC ．27π4D ．27π2【答案】D【分析】正四面体的外接球球心在正四面体的高上，由可构建外接球半径与棱长的关系，求出半径．【详解】如图，DM 是正四面体ABCD 的高，O 是外接球球心，设外接球半径为R ，111111的中点为S，则三棱锥S ABC-的外接球的表面积为（）A．41π4B．43π3C．45π4D．37π3二、多选题5．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图甲，在矩形ABCD中，2AB=，1BC=，E为AB上一动点（不含端点），且满足将AED△沿DE折起后，点A在平面DCBE上的射影F总在棱DC上，如图乙，则下列说法正确的有（）A ．翻折后总有BC AD⊥B ．当12EB =时，翻折后异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为13C ．当12EB =时，翻折后四棱锥A DCBE -5536D ．在点E 运动的过程中，点F 运动的轨迹长度为12【答案】ACD【分析】根据线面垂直得出线线垂直，可判断A ，作EP DC ⊥于P ，可得异面直线所成的角，判断B ，作AG DE ⊥，设AE x =，DF y =，利用三角形相似可得1x y=，利用函数性质求出y 的范围判断D ，求出棱锥的高AF ，再由四棱锥体积公式计算可判断C.【详解】在图乙中，因为点A 在平面DCBE 上的射影F 在棱DC 上，所以AF ⊥平面DCBE ，又BC ⊂平面DCBE ，所以AF BC ⊥，又BC DC ⊥，AF DC F ⋂=，,AF DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，所以BC AD ⊥，故A 正确；如图，在图乙中作EP DC ⊥于P ，连接AP ，则//EP BC ，所以AE 与BC 所成角即为AE 与EP 所成角，又由BC ⊥平面ADC 可得EP ⊥平面ADC ，所以EP AP ⊥而1EP =，322AE BE =-=，则2cos 3AEP ∠=，即AE 与BC 所成角余弦值为23，故B 错误；如上图，在图乙中作FG DE ⊥于G ，连接AG ，则由AF ⊥平面DCBE 可得AF D E ⊥，又FG AF F ⋂=，FG AF ⊂，平面AGF ，所以DE ⊥平面AGF ，又AG ⊂平面AGF ，则DE AG ⊥，在图甲中，如图，6.（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【答案】37．（2021春·陕西汉中·高一校考期中）已知球O 是四棱锥P ABCD -的外接球，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点P 在球面上运动且2PA =，则当四棱锥P ABCD -的体积最大时，球O 的表面积是___________.8．（2023·高一单元测试）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点,,,P A B C ，满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若三棱锥-P ABC 的体积为23，则该“鞠”的体积的最小值为______.【答案】9π2【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，位置，然后在直角三角形最小值.9．（2023·全国·高一专题练习）直三棱柱为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为______．【答案】2π3##2π3【分析】设11A B 的中点为M ，再根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解即可【详解】设11A B 的中点为M ，则又因为面111A B C ⊥面11ABB A ，且面所以该圆弧所对的圆心角为故所求弧长为π2π233⨯=.C 为该球面上的动点，当三棱锥C AOB -体积最大时的高为6，则球O 的表面积为__________．【答案】144π【分析】根据题意可得当6OC R ==时，三棱锥C AOB -的体积最大，即可求得半径6R =，代入计算即可求得球O 的表面积.【详解】如下图所示，易知三棱锥C AOB -的底面积AOB S 为定值，当其体积最大时只需三棱锥的高取最大即可；设球O 的半径为R ，所以高的最大值为6OC R ==，所以球O 的表面积为24π144πS R ==.故答案为：144π11．（2023·高一课前预习）如图，四边形11BCC B 是圆柱的轴截面，1AA 是圆柱的一条母线，已知4AB =，AC =13AA =，求该圆柱的侧面积___________；表面积______________.【答案】66π66π12π+【分析】由已知求圆柱的底面半径，根据圆柱的侧面积公式和表面积公式求解.【详解】因为四边形11BCC B 是圆柱的轴截面，所以BC 为底面圆的直径，又点A 为底面圆上异于点,B C 的点，所以AB AC ⊥，因为4AB =，22AC =，所以2226BC AB AC =+=，即底面圆的半径6r =，因为13AA =，所以圆柱的母线长3l =，所以圆柱的侧面积2π2π6366πS rl ==⨯⨯=，设圆柱的表面积为1S ，则212π2π66π12πS rl r =+=+．故答案为：66π；66π12π+.12.（2023·高一课时练习）若圆柱底面直径和高都等于球的直径，求圆柱与球的表面积之比.【答案】3∶2【分析】根据圆柱的侧面积公式，求出圆柱的表面积，再由球的表面积公式，即可求解.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .∴222226S R R R R πππ=⋅+⋅=圆柱，24S R π=球，∴22:6:43:2S S R R ππ==圆柱球，即圆柱与球的表面积之比为3:2.13．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱1OO 中有一内接长方体1111A B C D ABCD -，设矩形ABCD 的面积为S ，长方体1111A B C D ABCD -的体积为V ，AB x =，(1)将S 表示为x 的函数；(2)求V 的最大值．【答案】(1)24S x x =-(02)x <<；(2)2.【分析】（1）连接AC ，求出24BC x =-，即得解；（2）求出V 的解析式，再利用二次函数图象性质求解.【详解】（1）连接AC ，因为矩形ABCD 内接于⊙O ，所以AC 为⊙O 的直径．因为2AC =，AB x =，所以24BC x =-，所以24(02)S AB BC x x x =⋅=-<<，（2）因为长方体的高11AA =，所以()()2222214424V S AA x x x x x =⋅=-=-=--+，因为02x <<，所以204<<x ，故当22x =即2x =时，V 取得最大值，此时max 2V =.14．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在ABC 中，4AB AC ==，2π3BAC ∠=，E 为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF AB ⊥．现将BEF △沿EF 翻折到B EF ' ，如图2．(1)证明：EF AB ⊥'．(2)已知π3B FA ∠'=，求四棱锥B ACEF '-的体积．【答案】(1)证明见解析(2)154【分析】（1）根据条件，证明EF ⊥平面AFB '，再由线面垂直的性质得到线线垂直即可；（2）根据条件，求出四棱锥B ACEF '-的底面面积和高，再求出四棱锥B ACEF '-的体积即可.【详解】（1）证明：在ABC 中，EF AB ⊥，∴EF AF ⊥，EF FB '⊥，∵AF FB F ⋂'=，AF ⊂平面AFB ',FB '⊂平面AFB ',∴EF ⊥平面AFB ',又AB '⊂平面AFB '，∴EF AB ⊥'.（2）作B M AB '⊥交AB 于M ,∵EF ⊥平面AFB '，B M '⊂平面AFB '，∴B M EF '⊥，又AB EF F ⋂=,AB ⊂平面ACEF ，EF ⊂平面ACEF ，∴B M '⊥平面ACEF .在ABC 中，4AB AC ==，2π3BAC ∠=，6CBA π∴∠=，43B C =，又E 为BF 的中点，EF AB ⊥，3,3EF BF ∴==，又3B FA π∠'=，∴332B M '=.∴四边形ACEF 的面积12π15344sin 332322ACEF ABC BEF S S S =-=⨯⨯⨯-⨯⨯= ,两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．(1)若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？1是圆柱的母线，线段1的两个端点分别在圆柱的两个底面圆周上，它与圆柱的轴1OO 所成的角为30︒，且116A B =，轴1OO 到平面1AA B 的距离为3，求此圆柱的侧面积及体积.【答案】803π，2003π【分析】由题意求出圆柱的高和底面半径，根据圆柱的侧面积及体积.公式，即可求得答案.【详解】由题意知异面直线1A B 与轴1OO 所成的角为30︒，又11AA OO ∥，故直线1A B 与1AA 所成的角为30︒，连接AB ,由题意知1AA ⊥底面ABO ,AB ⊂底面ABO ,故1AA AB ⊥，∵116A B =，故在1Rt A AB △中，131683,82AA AB =⨯==，作OD AB ⊥,垂足为D ，则D 为AB 的中点，又1AA ⊂平面1A AB ,则平面1A AB ⊥底面ABO ，OD ⊂底面ABO ,平面1A AB 底面ABO AB =，故OD ⊥平面1A AB ,又因为111,OO AA AA ⊂∥平面1A AB ,1OO ⊄平面1A AB ,故1OO ∥平面1A AB ，所以OD 为轴1OO 到平面1AA B 的距离，即3OD =，则2283()52OA =+=，即圆柱的底面半径为5，高为83，故圆柱的侧面积2π583803πS =⨯⨯⨯=,体积为2π583200πV =⨯⨯=.。
高中数学-球的表面积和体积跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测 （二十三） 球的表面积和体积层级(一) “四基”落实练1．直径为6的球的表面积和体积分别是( )A ．144π，144πB ．144π，36πC ．36π，144πD ．36π，36π解析：选D 因为半径R ＝3.所以S 表＝4πR 2＝36π，V ＝43πR 3＝4π3×27＝36π.故选D.2．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cm解析：选D 由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.故选D.3．若两个球的半径之比为1∶3，则两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶1解析：选A 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 22＝1∶9.故选A.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V，R ＝ 33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2<3216V 2.故选A.5．设正方体的表面积为24 cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )A.6π cm 3B.323π cm 3 C.83π cm 3 D.43π cm 3 解析：选D 由正方体的表面积为24 cm 2，得正方体的棱长为2 cm ，故这个球的直径为2 cm ，故这个球的体积为43π cm 3.故选D.6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8，解得r 2＝7，所以r ＝7. 答案：77．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得②；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得③；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得①，只要是过球心就不可能截出④. 答案：①②③8.如图，在圆柱O1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记 圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.答案：329．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为O ，连接O ′A ，OA ，OO ′，设球的半径为R ，如图． 因为O ′A ＝23×23×2＝233.在Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2， 所以R 2＝ 2332＋14R 2，所以R ＝43，所以S 球＝4πR 2＝649π.层级(二) 能力提升练1．一飞行昆虫被长为12 cm 的细绳绑在房间一角，则飞虫活动范围的体积为 ( )A ．144π cm 3B ．288π cm 3C ．576π cm 3D ．864π cm 3解析：选B 飞虫活动的范围是以墙角为球心，半径为12 cm 的球在房间内的部分，即整个球的18，∴飞虫活动范围的体积为18×43×π×123＝288π(cm 3)．故选B.2．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器(底面半径为3 cm ，高为10 cm)，共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为________cm 2(损耗忽略不计)．解析：圆柱形容器的体积为V 圆柱＝π×32×10＝90π. 设棒棒糖的半径为r ，则每个棒棒糖的体积为 V 棒棒糖＝43πr 3＝90π20＝92π， 解得r ＝32，∴S 表＝4πr 2＝4π×94＝9π.答案：9π3．在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________．解析：当球的半径最大时，球的体积最大．在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱．所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.答案：9π24.如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10,8,15(单位：cm)，球的直径为5 cm ，求该组合体的体积和表面积． 解：根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．由已知可得V 长方体＝10×8×15＝1 200(cm 3)．又V 半球＝12×43πR 3＝12×43π× 523＝12512π(cm 3)， 所以所求几何体体积V ＝V 长方体＋V 半球＝1 200＋12512πcm 3. 因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)， 故所求几何体的表面积S ＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋254πcm 2. 所以该组合体的体积为 1 200＋12512πcm 3，表面积为 700＋254πcm 2. 5．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，球心O 与边BC ，AC 分别相切于点D ， E .连接AD ，OE . ∵△ABC 是正三角形， ∴CD ＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CDAC . ∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm. 设OE ＝r ，则AO ＝3－r ， ∴r 3－r ＝12，∴r ＝33 cm.∴V 球＝43π×3 33＝4327π(cm 3)，即球的体积为4327π cm 3.层级(三) 素养培优练1．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图①所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图②所示，已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 2V 1＝( )A ．2 B.32 C.12D ．1解析：选C 设酒杯上部分高为h ，则酒杯内壁表面积S ＝12×4πR 2＋2πRh ＝143πR 2，解得h ＝43R ，∴V 1＝πR 2h ＝43πR 3，V 2＝12×43πR 3＝23πR 3，∴V 2V 1＝122.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6 cm ，高8 cm (不含杯脚)，已知 水的高度是4 cm ，现往杯子中放入一种直径为1 cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变，如果放完珍珠后水不溢出，求最多可以放入珍珠的个数．解：如图，等腰△ABC 中，底边AB ＝6 cm ，高CD ＝8 cm ；等腰△CEF 中，底边为EF，高CP＝4 cm.∵△CAB∽△CEF，∴EFAB＝CPCD，即EF6＝48，∴EF＝3，∴放入珍珠的最大体积为V＝13π×32×8－13π×232×4＝21π.∵一颗珍珠体积为43π×213＝π6，21ππ6＝126，∴最多放入珍珠126颗．。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A．B．16C．9D．【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥底面中心为为E,则OE垂直棱锥底面，OE=4-R,所以（4-R）2+=R2，解得R=，所以球的表面积S=4=.【考点】正四棱锥的性质和球的表面积.2.在三棱锥中，底面为边长为的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】【解析】设M是中心，即面，∴是AE与面BCD所成角，EM是的内切圆半径r，，，在中，，∴，三棱锥外接球球心O在AM上，在中，，，即，，即，即.【考点】勾股定理、三棱锥的外接球的表面积.3.如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,点H、G分别是线段EF、BC的中点.（1）求证：平面AHC平面;（2）（2）求此几何体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）要证面面垂直，首先证线面垂直.那么在本题中证哪条线垂直哪个面？结合条件可得，，所以面AHC，从而平面AHC平面BCE.（2）可将该几何体切割为三部分：，然后分别求出三部分的体积相加即得.（1）在菱形ABEF中，因为，所以是等边三角形，又因为H是线段EF的中点，所以因为面ABEF面ABCD，且面ABEF面ABCD=AB，所以AH面ABCD，所以在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，，得到，从而，所以，又AH AC=A所以面AHC，又面BCE，所以平面AHC平面BCE .6分（2）因为，所以 .12分【考点】(1)空间直线与平面的关系；（2）几何体的体积.4.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2C．2D．【答案】B【解析】由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为a2·a＝2，得a＝2.由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，为宽的矩形．∴其面积为2.故选B.5.若一个正方体的表面积为S1，其外接球的表面积为S2，则＝________.【答案】【解析】设正方体棱长为a，则正方体表面积为S1＝6a2，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为a，因此外接球的表面积为S2＝4πr2＝3πa2，则＝＝.6.在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，.（1）求证：平面；（2）求四面体的体积；（3）线段上是否存在点，使平面？请证明你的结论.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）利用勾股定理得到，再结合并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明平面，从而得到为三棱锥的高，并计算的面积作为三棱锥的底面积。
高中数学必修2 空间几何体的表面积与体积最全试题及答案
空间几何体的表面积与体积一．相关知识点1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。
(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。
(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l。
(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。
2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。
(2)V锥体＝13Sh。
(3)V台体V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h，V球＝43πR3(球半径是R)。
一、细品教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。
2．(必修2P36A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。
细品教材答案：1．1∶47； 2.3365π cm2二、基础自测1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．72π D．108π3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。
5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。
基础自测答案1．C；2．B；3．2；4．32；5．94三．直击考点考点一空间几何体的表面积【典例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋2 2 D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积
高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积高中数学练习题附带解析立体几何的体积与表面积一、圆柱的体积与表面积问题1：一个圆柱的高度为12 cm，底面半径为8 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V 表示体积，π取近似值3.14，r表示底面半径，h表示高度。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14 × 8² × 12 = 2419.52 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
圆柱的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积为圆的面积，即 A₁ = πr²。
侧面积为矩形的面积，即 A₂ = 2πrh。
所以圆柱的总表面积为 A = 2A₁ + A₂ = 2πr² + 2πrh。
代入已知数据，计算得到 A = 2 × 3.14 × 8² + 2 × 3.14 × 8 × 12 = 659.84 cm²。
因此，该圆柱的体积为 2419.52 cm³，表面积为 659.84 cm²。
问题2：一个空心圆柱的高度为10 cm，内半径为4 cm，外半径为6 cm，求其体积和表面积。
解析：首先计算圆柱的体积。
由于是空心圆柱，体积需要减去内部圆柱的体积。
内部圆柱的体积为 V₁ = πr₁²h，外部圆柱的体积为 V₂ =πr₂²h。
所以空心圆柱的体积为 V = V₂ - V₁ = π(r₂² - r₁²)h。
代入已知数据，计算得到 V = 3.14((6²) - (4²)) × 10 = 376.8 cm³。
接下来计算圆柱的表面积。
空心圆柱的表面积也包括底面积和侧面积两部分。
底面积的计算方式与问题1相同。
侧面积为两个圆柱的高度差乘以底面周长，即 A₂ = 2π(r₂ - r₁)h。
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些
高中数学的几何体表面积和体积公式是哪些高中数学的几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)数学基础差的学生如何提高数学成绩基础薄弱的同学提高数学成绩的方法数学基础打牢，是个非常重要的事，很多及格成绩不到的同学，基本是连计算和公式都不是很过关。
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高中数学组卷表面积体积一．选择题（共12小题）1．（2015秋•安阳校级期末）如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π2．（2015秋•忻州校级期末）已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（）A．16πB．20πC．24πD．36π3．（2015秋•兴庆区校级期末）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS4．（2015秋•甘谷县校级期末）圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．5．（2016•聊城校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，P，E分别为AC1，CC1的中点，则三棱锥P﹣BDE的体积为（）A．B．C．2D．6．（2016•淮南一模）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1 C．D．7．（2015•广州二模）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A． B．C．D．8．（2016春•惠州校级期中）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（）A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm39．（2016春•海南校级期末）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．π C．8πD．4π10．（2016•长沙校级模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B．三棱柱C．球D．四棱柱11．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．12．（2016•大庆校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．π B．6πC．π D．π二．填空题（共11小题）13．（2016•闵行区一模）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．14．（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是．15．（2016•淮安模拟）已知圆锥的母线长为5，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为．16．（2016•普陀区一模）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为．17．（2016•嘉定区三模）某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．18．（2016•扬州四模）在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为．19．（2015春•厦门期末）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．20．（2016•南安市校级模拟）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．21．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．22．（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．23．（2016•南开区二模）一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为．三．解答题（共6小题）24．（2016春•邻水县期末）一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．25．（2015秋•德州校级月考）已知正四棱锥S﹣ABCD的高为，侧棱长为．（1）求侧面上的斜高；（2）求一个侧面的面积；（3）求底面的面积．26．圆锥的底面半径为10cm，高为20cm，△SAB为轴截面，点C位母线SB中点，一动点从点A出发在侧面上运动到点C，求最短路程．27．一个直径为6cm的铁球浸于一个圆柱形容器中，容器内底部半径为6cm，若取出铁球，则容器的水面下降多少厘米．28．已知球O1、球O2、球O3的体积比为1：8：27，求它们的半径比．29．球内有一内接正方体的棱长为，求球的表面积和体积．高中数学组卷表面积体积参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015秋•安阳校级期末）如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：圆锥的底面半径为1，高为，则母线长l==2圆锥的表面积S=S底面+S侧面=πr2+πrl=π+2π=3π故选C2．（2015秋•忻州校级期末）已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为（）A．16πB．20πC．24πD．36π【解答】解：圆锥的母线l==5，∴圆锥的表面积为π×42+π×4×5=36π．故选：D．3．（2015秋•兴庆区校级期末）圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是（）A．B．πS C．2πS D．4πS【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，∴圆柱的侧面积S=π××=πS．故选B．4．（2015秋•甘谷县校级期末）圆柱底面圆的半径和圆柱的高都为2，则圆柱侧面展开图的面积为（）A．4πB．C．8πD．【解答】解：圆柱的侧面积展开图的面积S=2π×2×2=8π，故选C．5．（2016•聊城校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，P，E分别为AC1，CC1的中点，则三棱锥P﹣BDE的体积为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，连接AC、BD交于O，连接PO，则PO∥CC1，∵CC1⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，则PQ⊥AC，又AC⊥BD，PO∩BD=O，∴AC⊥平面POD，∵P，E分别为AC1，CC1的中点，∴PE∥AC，则PE⊥平面POD．∵AB=2，CC1=2，∴，PO=，则，PE=，∴．6．（2016•淮南一模）如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1 C．D．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．7．（2015•广州二模）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长V A=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A． B．C．D．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AOA′=，则∠1=，过C作CF⊥OA，∵C为OB的三等分点，BO=3，∴OC=1，∵∠1=60°，∴∠OCF=30°，∴FO=，∴CF2=CO2﹣OF2=，∵AO=3，FO=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选：B．8．（2016春•惠州校级期中）从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（）A．160 cm3B．144cm3C．72cm3D．12 cm3【解答】解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），则盒子的容积V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），故选：B．9．（2016春•海南校级期末）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．π C．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．10．（2016•长沙校级模拟）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A．圆柱 B．三棱柱C．球D．四棱柱【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是三棱柱，故选：B11．（2016•河西区模拟）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形∴r=1，h=∴故选：D．12．（2016•大庆校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．π B．6πC．π D．π【解答】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．二．填空题（共11小题）13．（2016•闵行区一模）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．14．（2016•南通模拟）三棱锥S﹣ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S﹣ABC的表面积是3+．【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3××a2=3，底面积为×22=，表面积为3+．故答案为：3+．15．（2016•淮安模拟）已知圆锥的母线长为5，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为．【解答】解：圆锥的母线长为5，高为，可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的底面面积为：4π，侧面积为：=10π．此圆锥的底面积和侧面积之比为．故答案为：．16．（2016•普陀区一模）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为450．【解答】解：设棱柱的底面边长为a，高为h，则S侧=6ah=60h=180，解得h=3．S底==150．∴正六棱柱的体积V=S底h=450．故答案为：450．17．（2016•嘉定区三模）某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于．【解答】解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥P﹣ABCD，底面边长与侧棱长均为4，做棱锥的高PO，则O为底面正方形的中心，OA=2．∴PO==2．∴V P﹣ABCD===．故答案为：．18．（2016•扬州四模）在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1，则三棱锥P﹣ABC的体积为1．【解答】解：∵侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC，而PB、PC是平面PBC内的相交直线，∴PA⊥平面PBC，∵PA=3，PB=2，PC=1，∴三棱锥P﹣ABC的体积V=•S△PBC•PA=××3×2×1=1．故答案为：1．19．（2015春•厦门期末）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．【解答】解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，∵圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，∴∠S=，∴=，设圆锥SO的底面半径为r，则2πr=，∴r=．故答案为：．20．（2016•南安市校级模拟）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为12π．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．21．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．22．（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．23．（2016•南开区二模）一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是球体的一部分，则这个几何体的表面积为4π．【解答】解：由已知中该几何体是一个四分之三球，其表面积包括个球面积和两个与球半径相等的半圆面积∵R=1故S==4π故答案为：4π三．解答题（共6小题）24．（2016春•邻水县期末）一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．【解答】解：（1）由三视图知：几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，∴几何体的体积V=43+×42×2=；（2）正四棱锥侧面上的斜高为2，∴几何体的表面积S=5×42+4××4×=．25．（2015秋•德州校级月考）已知正四棱锥S﹣ABCD的高为，侧棱长为．（1）求侧面上的斜高；（2）求一个侧面的面积；（3）求底面的面积．【解答】解：（1）连接AC、BD，交于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD；过点O做OM⊥BC，垂足为M，连接SM，则SM⊥BC；∴SM是侧面SBC的斜高，在Rt△SBO中，OB==2；∴AB=2，斜高SM==；（2）侧面SBC的面积为BC•SM=×2×=；（3）底面ABCD的面积为AB2==8．26．圆锥的底面半径为10cm，高为20cm，△SAB为轴截面，点C位母线SB中点，一动点从点A出发在侧面上运动到点C，求最短路程．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为20cm，故圆锥的母线长l==30cm，故圆锥侧面展开图的圆心角α满足：，故α=120°，如下图所示：则AC的长度即为所求最短路程，连接AB，可得△SAB为边长为30cm的等边三角形，故AC==15cm，故从点A出发在侧面上运动到点C的最短路程为15cm．27．一个直径为6cm的铁球浸于一个圆柱形容器中，容器内底部半径为6cm，若取出铁球，则容器的水面下降多少厘米．【解答】解：设容器的水面下降x厘米，则，∴x=1，∴容器的水面下降1厘米．28．已知球O1、球O2、球O3的体积比为1：8：27，求它们的半径比．【解答】解：设球O1、球O2、球O3的半径分别为：x，y，z，由题意可知：，可得x：y：z=1：2：3．它们的半径比为1：2：3．29．球内有一内接正方体的棱长为，求球的表面积和体积．【解答】解：∵球的内接正方体的棱长是，∴它的对角线长为3，∴球的半径R=，∴这个球的表面积S=4π（）2=6π，体积为V==9π．。