2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷(12月份组卷)(四)
2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合M ={m ∈Z|?3 2. 设i 为虚数单位，则复数z =2?i i(1+i) 的共轭复数z ˉ =( ) A.?32?1 2i B. 32+1 2i C.3 2?1 2i D.?3 2+1 2i 3. 某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影长为2的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱长的投影长分别是a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A.2√2 B.2√7 C.4 D.2√6 4. 已知cos (π 6?α)=√3 3，则sin (5π6 ?2α)的值为（ ） A.1 3 B.?1 3 C.2 3 D.?2 3 5. 若(1?2x)2010=a 0+a 1x+...+a 2010x 2010(x ∈R)，则a 12+a 222+a 323+?+a 2010 22010的值为（ ） A.2 B.0 C.?1 D.?2 6. 若直线x cos θ+y sin θ?1=0与圆(x ?1)2+(y ?sin θ)2= 1 16 相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（ ） A.?√3 3 B.?√3 C.√3 3 D.√3 7. 函数y =1 x?sin x 的一段大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 随机变量Y ～B(n,?p)，且E(Y)=3.6，D(Y)=2.16，则（ ） A.n =4?p =0.9 B.n =9?p =0.4 C.n =18?p =0.2 D.N =36?p =0.1 9. 在△ABC 中，若sin 2A +sin 2C +cos 2B <1，则△ABC 一定是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 10. 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是各棱的中点，则几 何体B 1?EFGHMN 的体积为（ ） A.1 8a 3 B.3 8a 3 C.1 2a 3 D.2 3a 3 11. 已知F 1、F 2为双曲线x 2 ?y 24 =1的左右焦点，点P 为双曲线上一点且满足PF 1⊥x 轴，则|PF 2|为（ ） A.6 B.2 C.4 D.5 12. 若a =log 63，b =log 105，c =log 147，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.a >c >b D.c >b >a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 已知向量a → =(2,?sin θ)，b → =(1,?cos θ)，若a → ?//?b → ，则sin θ+2cos θ2sin θ?3cos θ =________． 若函数f(x)=cos x +2xf′(π 6)，则f(x)在点（0,?f(0)）处的切线方程是________． 如果函数f(x)=x 2+mx +m +2的一个零点是0，则另一个零点是________． 若抛物线C:y 2=2px 的焦点在直线x +y ?3=0上，则实数p =________；抛物线C 的准线方程为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16 （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，问a 9是不是数列{b n }中的项，如果是求出是第几项；如果不是说明理由． 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图： (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由． (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填 入下面的列联表： (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K 2=n(ad?bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， 已知等边△AB′C′边长为 √2，△BCD 中，BD =CD =1,BC =√2（如图1所示），现将B 与B′，C 与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得AD =√3（如图2所 示）． 若BC 的中点O ，求证：平面BCD ⊥平面AOD ； 在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30°角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由； 求三棱锥A ?BCD 的外接球的表面积． 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C:x 24 + y 23 =1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1,?m)(m >0)． (1)证明：k 2； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP → +FA → +FB → =0→ ．证明：|FA → |，|FP → |，|FB → |成等差数列，并求该数列的公差． 设函数f(x)=ln x +ax 2+bx(a,?b ∈R)，其图象在点（1,?f(1)）处的切线平行于x 轴． （1）若a =1，求函数f(x)的极值； （2）试讨论函数f(x)的单调性． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选 修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0,?π ]． 2 （1）求C的参数方程； （2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f(x)=|x+1|+|x?2|． (1)请写出函数f(x)在每段区间上的解析式，并在图中的直角坐标系中作出函数f(x)的图象； (2)若不等式|x+1|+|x?2|≥a2+2a对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析 2019年爱云校西藏高考模拟高中数学试卷（12月份组卷）（四） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】 B 【考点】 交集及其运算 【解析】 先化简N，再利用两个集合的交集的定义，求出M∩N． 【解答】 解：∵集合M={m∈Z|?3 ∴M∩N={0,?1}， 故选B． 2. 【答案】 D 【考点】 共轭复数 复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：z=2?i i(1+i)=2?i i?1 =(2?i)(i+1) (i?1)(i+1) =3+i ?2 =?3 2?1 2 i， ∴zˉ=?3 2+1 2 i. 故选D. 3. 【答案】 B 【考点】 简单空间图形的三视图 【解析】 由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，三视图中的三个投影，是三个面对角线，设出三度，利用勾股定理，基本不等式求出最大值． 【解答】 将已知中的棱和它在三视图中的投影扩展为长方体， 三视图中的三个投影，是三个面对角线， 则设长方体的三度：x、y、z， 所以x2+y2+z2＝9，x2+y2＝a2，y2+z2＝b2， x2+z2＝4可得a2+b2＝14 ∵(a+b)2≤2(a2+b2) a+b≤2√7， ∴a+b的最大值为2√7， 4. 【答案】 B 【考点】 求二倍角的余弦 两角和与差的余弦公式 求二倍角的正弦 【解析】 注意目标角与已知角之间的关系，先利用诱导公式，结合二倍角公式，即可求得结论． 【解答】 解：sin(5π 6 ?2α)=sin(π 2 +π 3 ?2α)=cos(π 3 ?2α)=cos[2(π 6 ?α)]=2cos2(π 6 ?α)?1 ∵cos(π 6 ?α)=√3 3 ， ∴sin(5π 6 ?2α)=2×(√3 3 )2?1=?1 3 故选B． 5. 【答案】 C 【考点】 数列的求和 二项式定理的应用 【解析】 因为(1?2x)2010=a0+a1x+...+a2010x2010(x∈R)，为二项式展开式，可考虑用赋值法求项的系和．因为a1 2 +a2 2 +a3 2 +?+a2010 2 中没有a0，可先求a0，只需x=0代入(1?2x)2010=a0+a1x+...+a2010x2010(x∈R) 即可求出a0，可发现当x=1 2 时，，出现a0+a1 2 +a2 22 +a3 23 +?+a2010 22010 ．，再减a0，即可得a1 2 +a2 22 +a3 23 +?+a2010 22010 的值． 【解答】 解：当x=0时，得a0=1， 当x=1 2 时，得，a0+a1 2 +a2 22 +a3 23 +?+a2010 22010 =0 ∴a1 2+a2 22 +a3 23 +?+a2010 22010 =0?a0=?1 故选C 6. 【答案】 A 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 直线的斜率 【解析】 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的 距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到关于cosθ的方程，求出方程的解即可得到cosθ的值，然后根据θ为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的值，然后把θ代入?cosθ sinθ 中即可求出直线的斜率． 【解答】 解：根据圆的方程(x?1)2+(y?sinθ)2=1 16 ， 得到圆心坐标(1,?sinθ)，半径r=1 4 ， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离 d=2 2=r=1 4 ， 化简得：cosθ?cos2θ=1 4 ， 即(2cosθ?1)2=0，解得：cosθ=1 2 ， 由θ为锐角，得到θ=π 3 ，则直线的斜率， k=?cosθ sinθ =?cotθ=?cot π 3 =?tanπ 6=?√3 3 ． 故选A． 7. 【答案】 A 【考点】 函数的图象变换 函数的单调性与导数的关系【解析】根据函数解析式，分析函数的性质，四个选项中与此性质不符的即可排除． 【解答】 解：根据函数为奇函数，排除B、C两项； 又y′=cos x?1 (x?sin x)2 ≤0，所以，函数在(?∞,?0)，(0,?+∞)上均为减函数，D不正确． 故选：A． 8. 【答案】 B 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 二项分布的应用 【解析】 由随机变量Y～B(n,?p)，且E(Y)=3.6，D(Y)=2.16，知{ np=3.6 np(1?p)=2.16，由此能求出n和p． 【解答】 解：∵随机变量Y～B(n,?p)，且E(Y)=3.6，D(Y)=2.16， ∴{np=3.6 np(1?p)=2.16， 解得n=9，p=0.4． 故选B． 9. 【答案】 A 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 由已知可得sin2A+sin2C 【解答】 解：∵sin2A+sin2C+cos2B<1， ∴sin2A+sin2C<1?cos2B=sin2B， ∴由正弦定理可得：a2+c2 ∴由余弦定理可得：cos B=a2+c2?b2 2ac <0， ∴π 2 <∠B<π． 故选：A． 10. 【答案】 B 【考点】 组合几何体的面积、体积问题 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ 点E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是各棱的中点， ∴ EF =FG =GH =HM =MN = √2 2 a ， ∴ 六边形EFGHMN 的面积为(√2 2a +√2a)×(√2 2a ×√32 )×1 2×2= 3√34 a 2 ， 又∵ B 1到平面EFGHMN 的距离等于B 1D 的一半， 故B 1到平面EFGHMN 的距离=1 2√a 2+a 2+a 2= √3 2 a ， 则几何体B 1?EFGHMN 的体积为1 3×3√34 a 2 × √32 a =3 8a 3. 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 双曲线的特性 【解析】 求得双曲线的a ，b ，c ，由题意可得P 在双曲线的左支上，令x ＝?c ，求得y ，可得|PF 1|＝4，再由双曲线的定义，计算即可得到所求值． 【解答】 双曲线x 2 ? y 24 =1的a ＝1，b ＝2，c =√a 2+b 2=√5， 即有F 1(?√5,?0)，F 2(√5,?0)， 由PF 1⊥x 轴，可得点P 在左支上， 令x =?√5，代入双曲线的方程可得y ＝±2√5?1=±4， 即有|PF 1|＝4， 由双曲线的定义可得|PF 2|?|PF 1|＝2a ＝2， 可得|PF 2|＝2+|PF 1|＝2+4＝6． 12. 【答案】 D 【考点】 对数值大小的比较 换底公式的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为a =log 231+log 2 3，b =log 251+log 2 5，c =log 27 1+log 2 7， 所以令f(x)= x 1+x =1? 1x+1 ， x >0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又0 所以f(log 23) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 【答案】 4 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 同角三角函数间的基本关系 【解析】 根据两个向量共线的性质可得tan θ＝2，再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为 tan θ+2 2tan θ?3，运算求得结果． 【解答】 解：∵ 向量a → =(2,?sin θ)，b → =(1,?cos θ)， 若a → ?//?b → ，则2cos θ?sin θ=0， 即 tan θ=2． ∴ sin θ+2cos θ2sin θ?3cos θ= tan θ+22tan θ?3 = 2+24?3 =4. 故答案为：4. 【答案】 y =x +1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 利用导数先求f′(0)，即切线的斜率k =f′(0)，代入点斜式方程，即可求出对应的切线方程． 【解答】 解：∵ f(x)=cos x +2xf′(π 6)， ∴ f(0)=cos 0=1，f′(x)=?sin x +2f′(π 6)， 即f′(π 6)=?sin π 6+2f′(π 6)， 则f′(π 6)=1 2， 即f′(x)=?sin x +1， f′(0)=?sin 0+1=1， ∴ 所求切线方程为y ?1=x ，即y =x +1， 故答案为：y=x+1 【答案】 2 【考点】 函数的零点 【解析】 先由题意求出m的值，然后解方程求出另一个零点． 【解答】 解：依题意知：m=?2． ∴f(x)=x2?2x， ∴方程x2?2x=0的另一个根为2， 即另一个零点是2． 故答案：2． 【答案】 6,x=?3 【考点】 抛物线的求解 直线与抛物线的位置关系 【解析】 求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出p，即可得到抛物线的准线方程． 【解答】 解：直线x+y?3=0，当y=0时，x=3， 抛物线的焦点坐标为(3,?0)，可得p=6， 抛物线的标准方程为：y2=12x， 它的准线方程为：x=?3． 故答案为：6；x=?3． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 【答案】 解：（1）a1=2，a4=16得2?q3=16q=2 所以a n=2?2n?1即a n=2n （2）因为b3=a3=8，b5=a5=32，所以2d=b5?b3=32?8=24，d=12， 由等差数列的性质得b1=b3?2d=8?24=?16，所以b n=12n?28， 因为a9=512，由12n?28=512得n=45 所以a9是数列{b n}中的第45项． 【考点】 等比数列的通项公式 【解析】 （1）设出等比数列的公比为q，根据a1=2，a4=2?q3=16，求出q，然后写出等比数列的通项公式即可；（2）设等差数列{b n}的公差为d，根据b3=a3=8，b5=a5=32求出公差d，根据求出首项b1=b3?2d= 8?24=?16，得到b n的通项公式，然后利用（1）求出a9的值，代入b n的通项公式判断满足即可知道a9是 数列{b n}中的项，然后求出第几项即可． 【解答】 解：（1）a1=2，a4=16得2?q3=16q=2所以a n=2?2n?1即a n=2n （2）因为b3=a3=8，b5=a5=32，所以2d=b5?b3=32?8=24，d=12， 由等差数列的性质得b1=b3?2d=8?24=?16，所以b n=12n?28， 因为a9=512，由12n?28=512得n=45 所以a9是数列{b n}中的第45项． 【答案】 解:(1)第二种生产方式的效率更高． 理由如下（任写一种即可）： ①由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人中， 有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟， 用第二种生产方式的工人中， 有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ②由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟， 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ③由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ④由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多， 关于茎8大致呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多， 关于茎7大致呈对称分布． 又因为用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同， 故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高． (2)由茎叶图可知中位数m=79+81 2 =80． 列联表如表所示： (3)由于K2=40×(15×15?5×5)2 20×20×20×20 =10>6.635， 所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【考点】 茎叶图 众数、中位数、平均数 独立性检验 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:(1)第二种生产方式的效率更高． 理由如下（任写一种即可）： ①由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人中， 有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟， 用第二种生产方式的工人中， 有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ②由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟， 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ③由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟； 用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟． 因此第二种生产方式的效率更高． ④由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多， 关于茎8大致呈对称分布； 用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多， 关于茎7大致呈对称分布． 又因为用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同， 故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高． (2)由茎叶图可知中位数m=79+81 2 =80． 列联表如表所示： (3)由于K2=40×(15×15?5×5)2 20×20×20×20 =10>6.635， 所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【答案】 证明：∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形， 且O为中点， ∴BC⊥AO，BC⊥DO， ∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD， 又BC?面ABC ∴平面BCD⊥平面AOD （法1）作AH⊥DO，交DO的延长线于H， 则平面BCD∩平面AOD=HD，则AH⊥平面BCD， 在Rt△BCD中，OD=1 2 BC=√2 2 ， 在Rt△ACO中，AO=√3 2 AC=√6 2 ， 在△AOD中，cos∠ADO=AD 2+OD2?AO2 2AD?OD =√6 3 ， ∴sin∠ADO=√3 3 ，在Rt△ADH中AH=AD sin∠ADO=1， 设CE=x(0≤x≤√2)，作EF⊥CH于F，平面AHC⊥平面BCD，∴EF⊥平面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角． 由EF AH =CE AC ，∴EF=√2 2 x(※)， 在Rt△CDE中，DE=√CE2+CD2=√x2+1， 要使ED与面BCD成30°角，只需使 √2 2 x √x2+1 =1 2 ， ∴x=1，当CE=1时，ED与面BCD成30°角 （法2）在解法1中接(※)，以D为坐标原点， 以直线DB，DC分别为x轴，y轴的正方向， 以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系 则D(0,0,0),E(√2 2 x，1，√2 2 x)，DE → =(√2 2 x,1,√2 2 x)， 又平面BCD的一个法向量为n → =(0,0,1)，要使ED与面BCD成30°角，只需使DE → 与n→成60°， 只需使|DE → ?n→| |DE → |?|n→| =cos60°，即 √2 2 x 2 =1 2 ，∴x=1， 当CE=1时ED与面BCD成30°角； 将原图补形成正方体，由AC=√2，可得正方体边长为1， 则外接球的直径为√3，即半径r=√3 2 ， 表面积：S=4πr2=3π 【考点】 球内接多面体 平面与平面垂直 【解析】 (1)运用平面几何中等腰三角形的三线合一，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证； (2)（法1）作AH ⊥DO ，交DO 的延长线于H ，运用平面几何中有关性质，以及线面垂直和面面垂直的性质，可得∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角．运用直角三角形的知识，计算可得CE ； （法2）以D 为坐标原点，以直线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设CE =x ，求出E 的坐标，运用法向量，以及向量的夹角公式，计算即可得到所求； (3)将原图补形成正方体，由AC =√2，可得正方体边长为1，可得外接球的直径即为正方体的对角线长，由球的表面积公式，计算即可得到所求． 【解答】 证明：∵ △ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形， 且O 为中点， ∴ BC ⊥AO ，BC ⊥DO ， ∵ AO ∩DO =O ，∴ BC ⊥平面AOD ， 又BC ?面ABC ∴ 平面BCD ⊥平面AOD （法1）作AH ⊥DO ，交DO 的延长线于H ， 则平面BCD ∩平面AOD =HD ，则AH ⊥平面BCD ， 在Rt △BCD 中，OD =1 2BC = √22， 在Rt △ACO 中，AO = √3 2 AC = √62 ， 在△AOD 中，cos ∠ADO =AD 2+OD 2?AO 2 2AD?OD = √6 3 ， ∴ sin ∠ADO = √3 3 ，在Rt △ADH 中AH =AD sin ∠ADO =1， 设CE =x(0≤x ≤√2)，作EF ⊥CH 于F ，平面AHC ⊥平面BCD ， ∴ EF ⊥平面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角． 由 EF AH = CE AC ，∴ EF = √2 2 x(※)， 在Rt △CDE 中，DE =√CE 2+CD 2=√x 2+1， 要使ED 与面BCD 成30°角，只需使 √22 x √x 2+1 =1 2 ， ∴ x =1，当CE =1时，ED 与面BCD 成30°角 （法2）在解法1中接(※)，以D 为坐标原点， 以直线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正方向， 以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 则D(0,0,0),E(√2 2x ，1， √2 2 x)，DE →=(√2 2x,1, √2 2 x)， 又平面BCD 的一个法向量为n → =(0,0,1)，要使ED 与面BCD 成30°角， 只需使DE → 与n → 成60°， 只需使 |DE → ?n → | |DE → |?|n →| =cos 60° ，即 √22 x √x 2+1 =1 2 ，∴ x =1， 当CE =1时ED 与面BCD 成30°角； 将原图补形成正方体，由AC = √2 ，可得正方体边长为 1， 则外接球的直径为√3，即半径r =√32 ， 表面积：S =4πr 2=3π 【答案】 (1)证明：设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)， ∵ 线段AB 的中点为M(1,?m)， ∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m . 将A ，B 代入椭圆C: x 24 + y 23 =1中，可得 {3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12 ， 两式相减可得， 3(x 1+x 2)(x 1?x 2)+4(y 1+y 2)(y 1?y 2)=0， 即6(x 1?x 2)+8m(y 1?y 2)=0， ∴ k =y 1?y 2x 1 ?x 2 =?68m =?3 4m 点M(1,?m)在椭圆内，即1 4+m 23 <1，(m >0)， 解得0 2 ∴ k =? 34m 2 ． (2)解：设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，P(x 3,?y 3)， 可得x 1+x 2=2， ∵ FP → +FA → +FB → =0→ ，F(1,?0)， ∴ x 1?1+x 2?1+x 3?1=0， y 1+y 2+y 3=0， ∴ x 3=1，y 3=?(y 1+y 2)=?2m ， ∵ m >0，可得P 在第四象限， 故y 3=?3 2，m =3 4，k =?1， 由椭圆的焦半径公式得|FA|=a ?ex 1=2?1 2x 1， |FB|=2?12x 2，|FP|=2?12x 3=3 2． 则|FA|+|FB|=4?1 2(x 1+x 2)=3， ∴ |FA|+|FB|=2|FP|， 联立{ y =?x + 74 3x 2 +4y 2 =12 ， 可得|x 1?x 2|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2= 3√21 7 ， 所以该数列的公差d 满足2|d|=±1 2|x 1?x 2|=±3√21 14 ， ∴ 该数列的公差为± 3√21 28 ． 【考点】 与椭圆有关的中点弦及弦长问题 等差关系的确定 等差数列的通项公式 直线的斜率 【解析】 （1）设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，利用点差法得6(x 1?x 2)+8m(y 1?y 2)=0，k =y 1?y 2x 1 ?x 2 =?68m =?3 4m 又点M(1,?m)在椭圆内，即1 4+ m 23 <1，(m >0)，解得m 的取值范围，即可得k 2， （2）设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，P(x 3,?y 3)，可得x 1+x 2=2 由FP → +FA → +FB → =0→ ，可得x 3?1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a ?ex 1=2?1 2x 1，|FB|=2?1 2x 2，|FP|=2?1 2x 3=3 2．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A ，B 坐标再求公差． 【解答】 (1)证明：设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)， ∵ 线段AB 的中点为M(1,?m)， ∴ x 1+x 2=2，y 1+y 2=2m . 将A ，B 代入椭圆C: x 24 + y 23 =1中，可得 {3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12 ， 两式相减可得， 3(x 1+x 2)(x 1?x 2)+4(y 1+y 2)(y 1?y 2)=0， 即6(x 1?x 2)+8m(y 1?y 2)=0， ∴ k =y 1?y 2x 1 ?x 2 =?68m =?3 4m 点M(1,?m)在椭圆内，即1 4+m 23 <1，(m >0)， 解得0 2 ∴ k =?34m 2． (2)解：设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，P(x 3,?y 3)， 可得x 1+x 2=2， ∵ FP → +FA → +FB → =0→ ，F(1,?0)， ∴ x 1?1+x 2?1+x 3?1=0， y 1+y 2+y 3=0， ∴ x 3=1，y 3=?(y 1+y 2)=?2m ， ∵ m >0，可得P 在第四象限， 故y 3=?3 2，m =3 4，k =?1， 由椭圆的焦半径公式得|FA|=a ?ex 1=2?1 2x 1， |FB|=2?1 2 x 2，|FP|=2?1 2 x 3=3 2 ． 则|FA|+|FB|=4?1 2(x 1+x 2)=3， ∴ |FA|+|FB|=2|FP|， 联立{ y =?x +7 4 3x 2+4y 2=12 ， 可得|x 1?x 2|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2= 3√21 7 ， 所以该数列的公差d 满足2|d|=±12 |x 1?x 2|=±3√21 14 ， ∴ 该数列的公差为±3√21 28 ． 【答案】 解：（1）f(x)=ln x +ax 2+bx 的定义域为(0,?+∞)，f′(x)=2ax +1 x +b ， ∵ 图象在点（1,?f(1)）处的切线平行于x 轴， ∴ f′(1)=2a +b +1=0，b =?2a ?1， f′(x)=2ax +1 x ?2a ?1=(2ax?1)(x?1) x ， 当a =1时，f′(x)= (2x?1)(x?1) x =0，x 1=12 ，x 2=1． 当0 时，f′(x)>0，f(x)单调增； 12 x >1时，f′(x)>0，f(x)单调增． ∴ f(x)的极大值为f(1 2)=?5 4?ln 2，f(x)的极小值为f(1)=?2． （2）由（1）知：f′(x)=2ax +1 x ?2a ?1= (2ax?1)(x?1) x ． ∴ a ≤0时，x ∈(0,?1)f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(1,?+∞)f′(x)<0，f(x)单调减； 0 2时，x ∈(0,?1)f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(1,1 2a )f′(x)<0，f(x)单调减， x ∈(1 2a ，+∞)f′(x)>0，f(x)单调增； a =12时，x ∈(0,?+∞)f′(x)>0，f(x)单调增； a >12时，x ∈(0,12a )f′(x)>0，f(x)单调增，x ∈(1 2a ，1)f′(x)<0，f(x)单调减， x ∈(1,?+∞)f′(x)>0，f(x)单调增． 【考点】 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】 （1）先求出函数f(x)的导数，将a =1代入，求出f′(x)=0的根，从而求出函数的单调性，求出函数的极值； （2）先求出函数g(x)的导数，通过讨论a 的范围，从而求出的单调性． 【解答】 解：（1）f(x)=ln x +ax 2+bx 的定义域为(0,?+∞)，f′(x)=2ax +1 x +b ， ∵ 图象在点（1,?f(1)）处的切线平行于x 轴， ∴ f′(1)=2a +b +1=0，b =?2a ?1， f′(x)=2ax +1 x ?2a ?1= (2ax?1)(x?1) x ， 当a =1时，f′(x)= (2x?1)(x?1) x =0，x 1=12 ，x 2=1．