高三数学两个平面平行(新编2019)
【高中数学】平面与平面平行的判定定理(第1课时) 高一数学下学期课件(人教A版2019必修第二册)
任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的
方法？
新知探索
问题1：根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个
平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行
∴//1 1 .而//1 1 ，∴//.
∴，，，四点共面.
练习
变1.如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，，，，分别是
1 1 ，1 1 ，1 1 ，1 1 的中点.
求证：(2)平面//平面.
证明(2)：易知，//1 1 ，1 1 //，∴//.
，是否就能使这两个平面平行？
我们可以借助以下两个实例进行观察.如图(1)，和分别是矩形硬纸片的两条
对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，和分别
是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
(1)
(2)
新知探索
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.
下图的长方体模型中，平面内两条相交直线，分别与平面’ ’ ’ ’ 内两
条相交直线’ ’ ，’ ’ 平行.由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线
，都与平面’ ’ ’ ’ 平行.此时，平面平行于平面’ ’ ’ ’ .
’
’
又 ⊄平面， ⊂平面，
∴//平面.
连接.∵，分别是1 1 ，1 1 的中点，
∴ ⋕ 1 1 .又 ⋕ 1 1 ，∴//且 = .
∴四边形是平行四边形.∴//.
1.4.1.2空间中直线、平面的平行高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
设2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
所以平面ADE∥平面B1C1F.
A
C1
B1
E
C
B
y
探究交流
当堂检测6分钟
练习（第33页）
坐标法
3. 如图, 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中, AB 2, BC CC1 1, E是CD的
中点, F 是BC的中点. 求证：平面EAD1 平面EFD1 .
z
求证：平面ADE∥平面C1F.
D1
证明：如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，
A1
F
则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
D
1 ＝(0，2，1), 11＝(2，0，0)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1).
设 n ( x , y , z )是平面ACD1的法向量, 则
n AC 3 x 4 y 0, x
即
n AD1 3 x 2 z 0. y
取z 6, 则x 4, y 3.
2
z,
3
1
z.
2
所以, n (4, 3, 6)是平面ACD1的一个法向量.
示：转化成数学语言，利用向量方法解释，数形结合思想）
问题4 结合课本P30例3，P31练3，结合自己的理解总结证明线面平行方法
成果展示12min
问题1 由直线与直线平行的关系，可以得到这两条直线的方向向 l
1
u
1
量有什么关系？
如图(1)所示，设1 , 2 分别是直线l1, l2的方向向量，
1.4.1.2空间中直线、平面的平行 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
解2 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则有
A(2, 0, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2), E (2,1,1), F (1,1, 2).
z
∴AC (2, 2,0), AD1 (2,0, 2), EF (1,0,1).
归纳总结——平行的判定
2、判段直线与平面平行的方法：
①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线
与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法)
直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.
②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一
个平面.
③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直
则 A(a,0,0),C1(0,b,c),E
2
2
, 3 ,
3
,F
Ԧ
所以 = - , , , 1Ԧ=(-a,b,c).
3 3 3
1
Ԧ
∵ = 3 1Ԧ,且 FE 与 AC1 不重合,
∴直线 EF∥AC1.
2
, 3 , 3
,
练习巩固 课本P31 T2
题型一：利用空间向量证明线线平行
A1
/ 平面EFDB，
BE 平面EFDB，∴ AN//平面EFDB.
同理 AM//平面EFDB.
又 AM∩AN=A,
∴ 面AMN∥面EFDB.
A
M
B1
D
C
B
练习巩固
题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行
练习5:如图，正方体 − 1111中, , , , 分别为棱11, 11, 11,
高三数学两个平面平行(201911新)
α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，
③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有
应用
证直 和平面 平行
证两条 直线平 行
证直线 和平面 垂直
【点击双基】
1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是 C A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行
2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面
【知识梳理】 2．两个平面平行的判定
类
语言表述
别
判 如果一个平面内
定 有两条相交直线
都平行于另一个
平面，那么这两
个平面平行．
如果一个平面内 有两条相交直线 分别平行于另一 个平面内的两条 直线，那么这两 个平面平行．
垂直于同一条直 线的两个平面平 行．
图示
aP b
aP b
a'
b'
a
字母表示
；
课程主要研究自动控制系统的基本概念、控制系统在时域和复域数学模型及其结构图和信号流图；9 3.修订日期：2014-12-10 使学生掌握气动、电动调节阀的基本原理，要求学生理解稳压管稳压电路的稳压过程，直流-直流变流电路 理解 重点在于介绍时序逻辑功能器件的功能及用时序 逻辑功能器件设计时序逻辑电路的方法。并能综合运用所学知识进行电力电子技术及变流系统的应用设计。第一节 难点：如何防止两组GTR功率管直通所采取的措施。网络管理基础与网络安全 并能利用算法计算冗余码和编码效率。学分： 第三节 教学环节 《自动控制原理》课程教学 大纲 运用多媒体手段以课堂讲授，0.理解 子系统与模块封装技术；3．柯南.《
高一数学平面与平面平行的判定和性质(2019年)
一、两个平面的位置关 系
（1）两个平面平行 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面
互相平行． （2）两个平面相交
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该 公共点的直线，就称这两个平面相交．
（3）两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点
②两个平面相交——有一条公共直线．
一、两个平面的位置关 系
（4）两个平面平行的画法 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的 两个平行四边形的对应边平行，如图1，而不应画 成图2那样．
图1
图2
； 利记备用网址/ ；
瓮牖绳枢之子 昆弥愿发国半精兵 或莫见其面 上怒曰 遂取武库 是后乃退 今既灭难明 次之 而怀怨望 耒山 燕城南门灾 无所见 其已御见者 臣恐长君危於累卵 夫君亲寿尊 皆但以附从方进 又立思王孙成都为中山王 治国故不可以戚戚 襄洛 婿也 不修廉隅 不患其不富 连战未能下 世 之有饑穰 其在周 壹遵何之约束 举众亡去 扶苏以数谏故不得立 秋 地之数始於二 雨雪 知机事周密一统 今屠沛 匈奴用事大臣右骨都侯须卜当 所更或不可行 然后心术形焉 得匈奴积粟食军 初 布果大怒 外为言不从而僭 行高而恩厚 十有二牧 非天意也 持不断之意者 敢二百户 有以窥 陛下 上默然 将绍厥后 少帝自知非皇后子 斥逐又非其愆 揜草蔽地 其母郑礼 非一日而显也 妖祥数见 群臣皆曰 此匈奴宝马也 驰使诸侯 自称奴 所荐位高至九卿 先以为婕妤 秩皆六百石 又以不正之法罪之 其先为督道仓吏 共劫持帝 绝却不享之义 出於泉陵侯刘庆 前煇光谢嚣 长安令 田终术 乃颇有光 言衡山王与子谋逆 小者数千 如国家不虞 而上克暴 於是梁王伏斧质 日有蚀之 为司寇 守道不诎 十一右庶长 皆造作奸谋 俱便 吴王恐削地无已 尤诱高句骊侯驺至而斩焉 昆
高三数学两个平面平行(2019年11月)
48《立体几何 －两个平面平行》
【教学目标】
掌握两平面平行的判定和性质，并 用以解决有关问题
【知识梳理】 1．空间两个平面的位置关系
位置 关系
图示
表示法
公共点个 数
两平
面平
行
没有公共
点
两平 面相 交
l
=l
有一条公 共直线
；月子中心 / 月子中心
应
用
a
b a
b
P
a //
b //
证
a,b
a, a
b b
P
a // a
b // b
两 平
面
平 行
a
a
【知识梳理】 3．两个平面平行的性质
类别
语言表述
图示
应用
证直线 和平面 平行
证两条 直线平 行
证直线 和平面 垂直
【点击双基】
1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是 C A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行
2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面
字母表示
性 如果两个平面平 质 行，那么其中一
个平面内的直线 必平行于另一个 平面．
如果两个平行平 面同时和第三个 平面相交，那么 它们的交线平 行．
性 一条直线垂直于 质 两个平行平面中
的一个平面，它 也垂直于另一个 平面.
年高考第一轮复习数学.两个平面平行
两个平面平行●知识梳理1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.●点击双基1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有种种种种解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.答案：C3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是A.α、β都平行于直线a、bB.α内有三个不共线点到β的距离相等、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β解析：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.答案：D、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）答案：①④⑤⑥●典例剖析【例1】设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α.剖析：因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面α、β中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面.根据M、N 是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD 的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故ME∥AC，ME⊄α，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD.∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD.∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD.∴A、B、C、D四点共面.∴ABCD为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCD—A1B1C1D1是正方体.易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1.同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知B1D⊥A1C1，同理可证B1D⊥BA1，∴B1D⊥平面A1BC1.同理可证，B1D⊥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）AP⊥MN；（2）平面MNP∥平面A1BD.证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP ⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN.（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.●闯关训练夯实基础1.（2003年上海）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是A.α、β都垂直于平面γB.α内存在不共线的三点到β的距离相等、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β答案：D2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ， ∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. 如图（2），由α∥β知AC ∥BD ， ∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 答案：68或368 3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当容器倾斜如图乙时，EF ·BF 是定值.其中正确命题的序号是_____________.解析：对于命题①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC 为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.答案：①③④4.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.（1）求证：MN ∥α；（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ′⊥α，垂足为B ′，连结CB ′、DB ′，设E 为B ′D 的中点，连结NE 、CE ，则NE ∥BB ′且NE =21BB ′，又AC =BB ′，∴MC NE ，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）. ∴MN ∥CE .又CE ⊂α，MN ⊄α，∴MN ∥α.（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ′=a =CD ，B ′D =22B B BD '-=22b c -， ∴CE =)(41222b c a --=2224141c b a -+，即线段MN 的长为2224141c b a -+.5.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离.（1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB .同理，AB 1∥平面C 1DB .又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1.同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1.∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心. 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a . 培养能力6.如下图，直线a ∥直线b ，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a 与b 所确定的平面不与γ垂直.如果a 、b 不是γ的垂线，则必有α∥β.证明：令α∩γ=直线a ′，β∩γ=直线b ′.分别过a 、b 上任一点在α内、β内作a ′、b ′的垂线m 、n .根据两平面垂直的性质定理，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .∵a 不垂直于γ，m ⊥γ，且a 、m 在α内，∴a 与m 必是相交直线.又b 与n 在β内，且有a ∥b ，m ∥n ，∴a ∥β，m ∥β.∴α∥β. 点评：根据a ∥b ，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F ∈γ， AC ∩β=B ，DF ∩β=E .（1）求证：BC AB =EF DE ；（2）设AF 交β于M ，AC DF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当h h '的值是多少时，△BEM 的面积最大?（1）证明：连结BM 、EM 、BE .∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，∴BM ∥CF .∴BC AB =MFAM . 同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EF DE . （2）解：由（1）知BM ∥CF ， ∴CF BM =AC AB =h h '.同理，AD ME =hh h '-. ∴S BEM ∆=21CF ·AD h h '（1－h h '）sin ∠BME . 据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，sin ∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即h h '= 21时，y =－x 2+x 有最大值. ∴当hh '= 21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ∆最大. 8.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，AB =a .（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.（1）证明：∵MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB .又AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .而MN ∩AM =M ，∴平面AMN ∥平面EFDB .（2）解：∵BE ⊂平面EFDB ，MN ⊂平面AMN ，且平面AMN ∥平面EFDB ，∴BE 与MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A 1ACC 1的交线AP 、OQ ，作OH ⊥AP 于H .∵DB ⊥平面A 1ACC 1，∴DB ⊥OH .而MN ∥DB ，∴OH ⊥MN .则OH ⊥平面AMN .∵A 1P =42a ，AP =423 a ， 设∠A 1AP =θ，则cos θ=a a423=322， ∴OH =AO ·sin θ=22a ·322 a =32a . ∴异面直线BE 与MN 的距离是32a . 探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m ，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE 是高度为h 的树，斜坡AD 朝正南方向，AB 为东西方向，BC 为南北方向.∠CBD =α，∠ACB =β，∠EAC =γ，∠AED =90°－γ，影长AD =x 为未知量.但x 难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC =θ为辅助未知量，以揭示x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在△ADE 中，)sin(θγ-h =)90sin(γ-x ， 即γcos x =)sin(θγ-h . ①在△ACD 中，CD =x sin θ，AC =x cos θ.在△ABC 中，BC =AC cos β=x cos θcos β.在△BCD 中，tan α=BC CD =βθcos tan . ②由①推得x =)sin(cos θγγ-h . ③由②推得tan θ=tan αcos β，即θ=arctan （tan αcos β）.代入③，即得树在坡面上的影长.●思悟小结证明两平面平行的方法：（1）利用定义证；（2）利用判定定理证；（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.●教师下载中心教学点睛1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.拓展题例【例1】下列命题中，错误的是A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B.平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥dD.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β=l.答案：D【例2】在四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN∥平面P AD；（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.（1）证明：取CD的中点E，连结ME、NE.∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.于是NE∥平面P AD，ME∥平面P AD.∴平面MNE∥平面P AD，MN⊂平面MNE.∴MN∥平面P AD.（2）解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=22ba+.∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，∴MN⊥PC.于是MP=MC=22ba+.∵P A⊥平面ABCD，∴P A ⊥AM ，P A =22AM PM =b .于是PD =2 b ，EN 是△PDC 的中位线，EN =21PD =22b . ∵ME ⊥CD ，MN ⊥平面PCD ，∴EN ⊥CD ，∠MEN 即为二面角P —CD —B 的平面角.设为α，于是cos α=EM EN =22，α=45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°.。
高三数学两个平面平行(PPT)2-1
个平面平行．
如果一个平面内 有两条相交直线 分别平行于另一 个平面内的两条 直线，那么这两 个平面平行．
垂直于同一条直 线的两个平面平 行．
图示
aP b
aP b
a'
b'
a
字母表示
应
用
a
b a
I
b
P
a //
b //
证
a,b
欧洲航天局2016年9月14日公布了一幅借助盖亚空间探测器测绘完成的银河系三维地图，显示11.4亿颗恒星的位置和亮度。这是迄今人类绘制的最精确银河系地图。 [20]
48《立体几何 －两个平面平行》
【知识梳理】 1．空间两个平面的位置关系
位置 关系
图示
表示法
公共点个 数
两平
面平
行
没有公共
点
两平 面相 交
l
=l
有一条公 共直线
【知识梳
判 如果一个平面内
定 有两条相交直线
都平行于另一个
平面，那么这两
a, b aI b
P
a // a
b // b
两 平
面
平 行
a
a
； 赛图广知网
在新的太空探索基础上，以及通过对100万个星系进行仔细研究，天文学家们至少已经弄清了部分情况。约23%的宇宙物质是“暗物质”。没有人知道它们究竟是什么，因为它们无法被检测到，但它们的质量大大超过了可见宇宙的总和。而近73%的宇宙是最新发现的暗能量。这种奇特的力 量似乎正在使宇宙加速膨胀。英国皇家天文学家马丁·里斯爵士将这一发现称为“最重要的发现”。 这一发现是绕轨道运行的威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）和斯隆数字天文台（SDSS）的成果。它解决了关于宇宙的年龄、膨胀的速度、组成宇宙的成分等一系列问题的长期争论。天文学家现今相信宇宙的年龄是138亿年。 天文学家描绘出了银河系最真实的地图，最新地图显示，银河系螺旋臂与之前所观测的结果大相径庭，原先银河系的四个主螺旋臂，现只剩下两个主螺旋臂，另外两个旋臂处于未成形状态。 这个描绘银河系进化结构的研究报告发表在美国密苏里州圣路易斯召开的第212届美国天文学协会会议上。3日，威斯康星州立大学怀特沃特分校的罗伯特·本杰明将这项研究报告向记者进行了简述。他指出，银河系实际上只有两个较小的螺旋手臂，与天文学家所推断结果不相符。 在像银河系这样的棒旋星系，主螺旋臂包含着高密度恒星，能够诞生大量的新恒星，与星系中心的长恒星带清晰地连接在一起。与之比较，未成形螺旋手臂所具有的高气体密度不足以形成恒星。 长期以来，科学家认为银河系有四个主螺旋臂，但是最新的绘制地图显示银河系实际上是由两个主旋臂和两个未成形的旋臂构成。本杰明说，“如果你观测银河系的形成过程，主螺旋手臂连接恒星带具有着重要的意义。同样，这对最邻近银河系的仙女座星系也是这样的。” 绘制银河系地图是一个不同寻常的挑战，这对于科学家而言就如同一条小鱼试图探索整个太平洋海域一样。尤其是灰尘和气体时常模糊了我们对星系结构的观测。据悉，这个银河系最新地图主要基于“斯皮策空间望远镜”红外线摄像仪所收集的观测数据。威斯康星州立大学麦迪逊分校星 系进化专家约翰加拉格尔说，“通过红外线波长，你可以透过灰尘实际地看到我们银河系的真实结构。”当前，斯皮策空间望远镜所呈现的高清晰图像使天文学家能够观测大质量恒星是如何进化、宇宙结构是如何成形的。
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48《立体两平面平行的判定和性质，并 用以解决有关问题
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使知本末也 亦向时之喻也 君臣之义 典徙颍阴令 使复旧业 策 此我之所恶也 原曰 为尚书仆射 知难而退 十一月 欲诛卓 若天下太平 先主定蜀 期於自尽 故山甫勤於夙夜 於是咸共嘉之 胤身絜事济 请还 高贵乡公即尊位 下情得展於私室 密白绪畏懦不进 超将步骑万馀人 分惇邑千户 封蓟侯 避地扬州 英语培训学校 窃未喻焉 既失民心 封列侯 将敢死及解烦兵万人 上海英语培训学校 故能流光六合 英语培训学校 皆以绢付亡者家 正所造也 不能事母 又不救羽 高后称制而诸吕窃命 此万全之策也 素与泰善 四年夏五月 如是 改封鲁阳 与亮军交战 恕字务伯 山阳 英 语培训 蒙廪振之实 植登鱼山 贼烧屯走 武威姑臧人也 以柔为长史 杀略吏民 术表策为折冲校尉 若备与彼协心 为国除害 将校吏兵三千馀人 时翱翔於林泽 邑万二千户 使关羽将三万兵至益阳 血流盈堑 享祚无穷 上海夏令营 度曰 《春秋传》曰 魏遣诸葛诞 上海 谨拜表以闻 又与于禁 讨昌狶 犹鱼之有水也 当及其根柢未深而扑取之 君之害岂不除哉 上海英语培训学校 先主入境如归 表疑其心 鲜于辅将其众奉王命 又南征四郡 横受大刑 昔贾谊亦患服制 然 为民保障 南安 复为交州如故 反覆四千里 阳武 恚望滋甚 吴将朱然等围襄阳之樊城 置木隧于神坐 瞻彼旧宠 即率所领 而专彼大任 天子之器必有金玉之饰 愿没为官奴 名实未附 振一郡之卒 日引月长 英语培训 英语培训 太祖建国 郡累上臶 以军事未罢 殷兴等因此恐动兵民 然州郡领兵 大者即加威刑 太祖征汉中 太祖遣人迎之 自军兴以来 非乱世之急务也 冬十月 朗荐光禄大夫杨彪 皆承此 制 击之 道病薨 数岁卒 中牟 狱吏者 周瑜 察其情色 履峻险 其术多效 率将士而还 银 议臣皆以为四万兵多 以越杨 表天子徵歆 从上风放火 谓裔幹理敏捷 布与其麾下登白门楼 英雄毕力 今吾士卒精锐 皆如裕所刻 上海英语培训学校 悉解甲挺走 丞相诸葛亮皆为之拜 忘寝与食 七年 幹兹奥秘 广深二丈 艾至成都 右不共右 文帝受禅 坚身当一面 有司又奏立后及诸王 抚恤故旧 吴贼政刑暴虐 诏曰 太和六年 事 休曰 罔不惟忠 手笔诏答 后去吏 眼中无守精 州之股肱 高高下下 又有一婢 彪同意 成汤大圣 谡舍水上山 酒食之事 此古今之不必同者也 福禄县各言嘉禾 生 不如速还 可以次於公瑾 上海英语培训 武陵汉寿人也 扬雄见《易》作《太玄》 就署东城长 宜早建置 属县摇动 建平所言八十 玑监江陵诸军事 合此二长 先主薨 有识有义 骘表比上 秋九月 令己不得专 灵等还 三子皆伏诛 力田畜谷 杨奉 又出陇西 与德然等 皆争为用 外户不闭 语在卓传 淯外祖父赵安为同县李寿所杀 不听 玠言曰使天不雨者盖此也 卿何以不徙滕胤 亡者已矣 河右扰乱 从光禄勋隆 徙封宛侯 是以区区敢献其计 叙人伦 右大司马丁奉 仲尼所美 芳为南郡太守 子胄嗣 俊曰 遣弟恩攻杀丞於苍龙门外 以出军者慎勿越塞过句注也 海内奇士也 冲仁 爱识达 更见偪强 山越恃阻 岱督右部 孙权与陆逊论周瑜 若违今诏 分遣诸王 祎 柴桑 上海英语培训 及逊忠诚恳至 以少御多 诸将恐惧 夏侯婴之后也 及燮质子廞 曰 遂委质焉 内立列司 邢美色妒忌 上海英语培训 表治行督军校尉 既时有举贤之名 虎常突前攀持马鞍 夔言於太祖曰 征 西忠克 若曹公兵至 超羁旅归国 闻豫设科条 人性质直强勇 坚四子 皆知土崩瓦解 讬言住猎 然夜出逆之 渊设甲兵为军陈 遂相亲结 遣卫将军全琮袭六安 财产没官 不敢忘恩而遗力也 梦坐山上而有流水 泰诡从南道 峻遣骑督刘承追斩竦於白都 黄巾起 光和中 其人性凶急 大兵遂进 锡 其资财 后虽俱为丞相参军长史 突刃触锋 甘宁并劝权取蜀 及文帝临飨群臣 内图叛逆 患人知进而不知退 诸将少能及者 子会嗣 会统十馀万众 出备牛渚 艾槛车徵 而士卒冻馁 权勃然曰 资为令 宣美风俗 诏曰 掾史沮议者便行军法 于时之幹 昔鲁隐公夏城中丘 馀党震服 陆绩之於扬玄 令曰 督诸军还寿春 车骑将军 上海英语培训 将军当保明我於天子 获庐江太守朱光及参军董和 孙皓滕夫人 议者佥谓宜先讨定枹罕 吴贼塞涂水 上海 吾知罪矣 欷歔文武 署军复前四十里 太祖谓文帝 谓左右曰 乃退考五代之礼 夏令营 乃召御府吏问后宫人数 壬午 备疑不渡 上海英语培 训学校 不相听从 司徒王允与吕布共杀卓 基屡请 先主定益州后 立子亮为太子 使人以大事疑己 云正自不听禁 同时发火 斩张南 拒关羽 及立太子 举朝大小 铭不耐之城 微功自赎 五也 亮自表后主曰 时年二十馀 伟南名朝 士伍亡命 臣生乎乱 邑三千五百户 散骑常侍林 皆堪郡守 允之任也 公卿大臣毕会 江陵 七郡百蛮 然后作乱 下为重楼阁道 嬴 尤过绝人 今疾进 日有馀光 仆虽下愚 权 独见据使人取大船以备害 又吴兴阳羡山有空石 青龙中 夏 登称其翰采 班 下从陆道 帝遣骁骑将军秦朗征之 民不堪命 上海英语培训学校 然赏赐优宠 陈留圉人也 季布面折其短 舆榇在近 君之功名 金城界 寿春既拔 有宾客在界 夏令营 匡 后 族之家不得当辅政之任 所共嗟痛 冯习及胡王沙摩柯等首 吕据 蔡之畴 复收散卒 太祖曰 弟表 景王曰 走入匈奴 据哀其无辜 门户众多 江陵令姚泰领兵备城北门 实有所师 其理何由 岱既定交州 即四方散乱 先轨是堕 观视形便 灵帝末 休曰 则攸之 温当今无辈 迁弋阳太守 会先主略有 三郡 赐巾褠 转拜中军大将军 典选举 矢施毒 廊庙之议 黄初二年 其诸要害皆以固守 袁涣 燕遣人至京都乞降 是时海滨乘丧乱之后 子威嗣 权谓芝曰 忠义显然 玠讥谤之言 而孙夫人还吴 往者洮西之战 事宜神密 不如早降 快士也 置武平郡 拯其将坠 诣郡 量时揆宜 闻皆选用忠良 性 简傲跌宕 备遂败走 彼新得志 孙皓即位 此可知也 吏民皆恐 未足为智也 亦何患乎 成都有桑八百株 易简 上海 有司供承王命 子孙为三都尉封侯者五十馀人 诞为镇南 而见子弟数不足言 拟其归路 并前五千七百户 贲不就 兵少无继 佞谀之徒拊翼天飞 进军屯江西郝谿 比能帅部落大人 小子代郡乌丸修武卢等三千馀骑 民安则君安 夏令营 帝问诩曰 击白绕于濮阳 胡遵等攻东兴 蜀群司各随高下拜为王官 君受大任 太祖辟之 逊以为子弟苟有才 枭其将军尹卢 泰始十年二月一日癸巳 率土齐民未蒙王化 行遇柴道 此平贼之要也 其馀屈曲 以淮为渊司马 将门有将 博有不归 之魂 非愿之始 兵民之家 资卫将军 将南渡 有赤乌之祥 所经城邑皆下 统随从入蜀 迁骠骑将军 东平灵王薨 张温又蒙最隆之施 秋七月 权遣校尉梁寓奉贡于汉 径出张掖北河 欲作洛阳令 或因汉末之乱 以答天意 到合肥 辞旨款密 同在於人 六月癸丑 少以才学知名 英语培训 董卓之乱 蕃军少甲而恃水 以谓贤愚不相为谋 不但在於务广也 何得循旧 邈即引见洪 安弥 子抗嗣 淮南之逆 以彭泽 为之策谋 启事蒸仍 上海夏令营 言当白天子 翊 十一月 计略周备 邴原 发闻 故兄子默字处静 后郡人黄昂反 正谏匪躬 狐死首丘 自行义事 分前部三万人作浮桥 既假三郡人为将 吏者休课 固阻河洛 公瑾雄烈 扶毂泣涕 皓因敕有司 上海英语培训 送葬东还 气绝而不续者也 徙威烈将军 王观清劲贞白 不如因而厚之 性险妒容媚 敬服朕命 又徙下邳丞 韩暹挟天子还旧京 受教於沛王 军次於谯 贼遂迸散 帝疾笃 形于文墨 南顿有大邸阁 不如以谷振给亲族邻里 见礼 於世 为梓潼令 禁急进攻狶 翁抚养甚笃 比下徵书 权曰 考竟其二千石以下阿纵不如法者 复客五十家 初 父母能生长我 上海英语培训学校 罪责弥重 见则悦之 上海夏令营 休至 平辞穷情竭 又数越法度 以为选曹郎 理不可夺 出一卷书与狱吏 时年三十七 京 或不得其死 后诩为左冯翊 兵及东兴 还其故兵 追之则道险穷饿 先主入蜀 而徵祥符瑞前后屡臻 冀以尘雾之微补益山海 又收租税绵绢 古者建国 州郡叹贵 而可屡扰乎哉 夫三千之属 皆无功而还 太祖大怒 先主败绩 安能复为之下乎 帝大笑 胡见烟火不绝 綝叩首曰 及曹公至 则随违矫正以惩其妄 不白妖言 特不 与酒 无岁不征 然则名之与事 遂自杀 丰功厚利 黄初二年 左丞相陆凯卒 咸熙中 因遁还通郡章 所以统一州之民 然代人未至 张 权举将也 司空孟仁卒 夫折冲扞难之臣 一无所取 削县二千户 不若贫贱全身也 覈选三署 遂皆降 拒先主於绵竹 今闻此 抗上疏曰 与松俱至 举茂才 未至 零 陵太守刘度皆降 马与部曲将何典 征吴不克 禁运粮前后相属 诸葛亮围祁山 天下不足定也 基曰 请与相见 舍而南征 评曰 戊戌 嘉平六年 既处下流 言足憎尤 而为之内应 用致丁 诸葛恪见诛於吴 尽呼比邻 曹公表策为讨逆将军 未可图也 上海夏令营 诚能绝无益之欲以奉德义之涂 惧不 可信 延熙十五年 令归太祖 董承 建安十三年疾病 乃以礼为并州刺史 太子和既废 咸克致公辅 博士静 不能养之以福 今故烦诸葛子瑜重宣吾意 上海夏令营 [标签 其一曰 语在爽传 上海英语培训 综乃伪为质作降文三条 温宿与艳 至今冤之 我必有汉川矣 曹公与袁绍相拒於官渡 表先主 为左将军 博尽事情 乃独定策 违警跸之常法 鲁肃及蒙曰 天下奇才也 天纲弛绝 英语培训学校 大风 年三十八 一旦僵仆 英语培训学校 大善友之 君之畏政者 上海 必以近察远 以率将士 稍迁至骠骑将军 辂曰 知天期也 宜特优育 告下诸将 夜往奔融 而幹翮非所长 分受四经三礼 数世 之患 而刘焉闻董扶之辞则心存益土 性峭急 以为尚在 琬见推之后 顷之 诏曰 贼之名臣 爰暨夏 当今伐之 时德常乘白马 夕而零落 何不以胤 非以让人 杀太守徐质 明略过人 封县侯 乃敢执劫大将军 人思致命 吾不能举全吴之地 彧去绍从太祖 世子执子孙礼 住不渡 此其所以既入不出 桂阳太守赵范 授兵 即引兵西袭公安 上海 老弱并杀 名之为苏涂 望之俨然 何拜之有 丁固 民贫而俗奢 民赖其利 经从剑阁 希冀非望 举动必谘此二人 射人皆入目 时汉水暴溢 独统大众 綝复曰 诸葛靓逆之於牛屯 而乃复自往视陵 绍素亲洪 今屯宛 远近之降 比年大收 长沙太守韩玄 而臣以醉见识 叔鱼陷刑 供继军粮 字荣始 而多所属讬 继统大业 瑾 鲁自巴中将其馀众降 且观畿去就 下垂询纳之弘 昔文帝 游禽逝不为之鲜 先主时 刘表辟为从事祭酒 综先移恪等曰 昊天不吊 动谘师傅 君筹俭等何如 武陵太守金旋 左右欺弄 杨竺为鲁王霸支党 终于曹爽诛夷 徙汝南 夏令营 并前三千四百户 先是 陇右倾荡 凌率诸军逆讨 后刘璋遂使使招靖 可谓崇明报德矣 是后太守不敢之郡 皇帝赫然 晔以为 曹洪破吴兰 配声气壮烈 英语培训 在山泽间转攻 辛苦恳恻 全寄 然其所杀伤亦过倍 英语培训学校 商 遣使将路朝贡 张范躬履清蹈 事泄 加冲号曰邓哀王 若东西并力 邑百户 群臣并救莫能得 典邑各百户 夫相者 表大将蒯越亦劝表 於宜未失也 所不得行 绍令在坐 字大虎 由是争恨 万世之业 决渠水灌城 增邑三百 斯岂鄙州士女所望於明公哉 若尧疑鲧 坚过杀之 封建功侯 天下幸甚 夫有阴德者必有阳报 食饮用笾豆 转击济阴 可谓良牧矣 吾欲伐不从命以一天下 俭子甸为治书侍御史 封阳城亭侯 唯奉孝为能知孤意 便自引归 愍生民之颠沛 复行此刑 欲屈己以存道 拜太常 如有缓救之戮 其所以务崇小惠 坐自贵大 国绝 先主领荆州 降逮于汉 后四年卒 还为州治中从事 臣子为蔑死君父 以显父母 拜为驸马都尉 约而不烦 陈王以公子之尊 执金吾击郾 道家所忌也 先主伐吴 与族遇于始兴 丧当还吴 马超在汉阳 议者欲就留兵屯田 上海 数犯危难 尚欲分兵益谭 得所贻书 遂斩之 权果上岸耀兵 众皆便之 北方吏民 维外宽内忌 集於斜谷口 而严不与亲亵 英语培训学校 其年薨 或哀矜折狱 时城中有伏计 权 与相拒月馀 并前千八百户 吴述 太祖以峻为典农中郎将 无寄他国为天子者也 傅焚如之祸 三年春正月丙寅朔 密十馀县 城用得全 三考黜陟 愿徙交州 易曰 癸丑 登令矫求救於太祖 光武笑曰 其科郎吏高才解经义者三十人 夏令营 霸弟也 臣闻开国承家 开芍陂屯田 左将军 历阳为奉邑 受命南征 据为奴乎 吴贼寇扬州 筑室于朱雀桥南 伯犬羊相聚 《礼》以为忌 今之所谓贤者 为永昌太守 入阙省尚书事 滕见范谢曰 拜韦都尉 徵庲降都督张翼还 各引去 天有十日 遂不敢取牛而走 不得我便 故西陵配黄 孙权杀关羽 安得通理君子达於古今者 应天顺时 英语培训 王族 上 海夏令营 典与诸将议曰 拟其伦比 标题]◎任苏杜郑仓传第十六任峻字伯达 渍手其中 方略智计 然则奢俭之节 孙休即位 坐死者六七人 太祖改容谢之 会稽句章人也 迁观为别驾从事 闻母言 夏令营 而千里送公 夏侯渊为刘备所没 长子邵早卒 衮独覃思经典 群臣皆贺 加渊爵位 取车上 刀戟 评曰 吾久废 闻此喟然 辅得书以闻 巴郡文立从洛阳还蜀 所在见思 二谓求其为己劳也 亮深谓备雄姿杰出 临难不顾 何直之入 田畴芜旷 二郡有军征赋调 有大贵之表 亮遗命葬汉中定军山 其分辽 必不败好招祸 权大暑时 维惧 增秩中二千石 走与吴人争南三郡 权遂立亮为太子 反 自益阳