第五届中国东南地区高中数学奥林匹克竞赛试题(缺答案)
中国数学奥林匹克第五届试题
第五届中国数学奥林匹克(1990年)1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于E、F。
求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。
2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-1<i=1,2, ...,l，则称{ x0 , x1 , ... , x n}为x的一条因子链。
l称为该因子链的长度。
L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。
对于x=5k×31m×1990n，k、m、n都是自然数，试求L(x)与R(x)。
3.设函数f(x)对x>0有定义，且满足条件：i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)；ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。
求证：f(x)≦x2。
4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组：x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。
5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990；b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。
求证：存在X的子集P、Q，满足iii.P∩Q是空集，P∪Q=X；iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。
6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。
求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。
第五届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题(缺答案)
第五届中国东南地区数学奥林匹克
福建龙岩
1．已知集合是正整数，T是S的子集，满足：对任意的（其中可以相同）都有，求所有这种集合T的元素个数的最大值。
2．设数列的表达式。
3．在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于D，如图，CP垂直BD，垂足为P，AQ垂直BP，Q为垂足。
M是AC中点，E是BC中点。
若△PQM的
外接圆O与AC的另一个交点为H。
求证：O、H、E、M四点共圆。
4．设正整数，取每一对不同的数、个差按从小到大顺序排成一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为。
衍生数列中能被m整除的数的个数
记为(m).
证明：对于任一正整数所对应的“衍生数列” 及
5．求出最大的正实数成立不等式；
6．如下左图，△ABC的内切圆I分别切BC，AC于点M，N，点E，F分别为边AB，AC的中点，D是直线EF与BI的交点。
证明：M，N，D三点共
线。
7．杰克（Jack）船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中A i内有金币a i枚，互不相等。
海盗们设计了一种箱子的布局图（如上右图），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱。
每次可任意拿走不和两个或两个以上的箱子相连的整个箱子。
如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜。
问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜？
8．设n为正整数，个数；
（i）每一位数码；
（ii）当
（1）求的值；
（2）确定被13除得的余数。
2019年中国东南地区数学奥林匹克竞赛_PDF压缩
a
单独考虑左边, 左边可以看成是一个 a 的函数, b 为参数, 那么关于 a 取最
小值的时候有
Å
ã
Ç…
å
ab + (1 + b2) + b (b + 1) ≥ 2 ab · b + (1 + b2) (b + 1) = (b + 1)3
a
a
于是我们只需要取 k ≤ (b + 1)3b−2 即可.
设
值得一说的是, 在这个题目中, 对于任何整数 n, 我们可以定义一个新的 函数 fn(a) = f (an), 那么 fn(ab) = f (abn) 要整除 max{ f (an), b} = max{ fn(a), b}. 也就是说 fn 也是一个满足相同性质的函数, 那么实际上, 我们可以证明对任 意一个 k 满足 f (k) = 1, 那么 {mk}∞m=1 中有无限多个 m 满足 f (mk) = 1. 更复 杂的话, 有兴趣的同学可以自行尝试推导一下这个 f (k) = 1 的解的密度.
评析 3. 欧几里德证明素数无限的方法是数论里面很典范的一种证明方式, 在证明某一类数字有无限多个的时候, 通过反证假设这一类数字只有有限 个, 不妨设为 k1 < k2 < . . . < kn, 套路上我们可以考虑 kn, kn + 1, k1k2 . . . kn, k1k2 . . . kn + 1, [k1, k2, . . . , kn] 等数字来找到矛盾, 本题也是如此.
22 2 2
22
Å
b b ã1/3
Å ab ab
ã1/3
Å bb
ã1/3
≥3 a· ·
2023东南数学奥林匹克试题
2023东南数学奥林匹克试题
2023东南数学奥林匹克试题主要包括以下几个部分：
1. 整式与恒等式：涉及多项式的计算和恒等式的问题。
例如，求多项式的值，或者根据多项式的性质求解未知数。
2. 代数与不等式：考察代数方程的解法，以及不等式的性质和证明。
3. 几何：考察平面几何和立体几何的知识点，例如勾股定理、相似三角形、圆的性质等。
4. 组合数学：考察组合数学中的计数、排列、组合等知识点，例如排列组合的公式和性质，以及一些常见的组合数学问题。
5. 概率与统计：考察概率和统计的基本概念和计算方法，例如概率的基本性质、期望和方差等。
具体题目可能包括：
1. 已知函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求 f(3) 的值。
2. 已知二次方程 x^2 - 2x - 3 = 0，求该方程的解。
3. 已知三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，且 a + b = 7，ab = 10，求三角形 ABC 的面积。
4. 已知有 5 个不同的红球和 3 个不同的白球，从中任取 3 个球，求取出红球个数 x 的分布律。
5. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=1) = ，P(X=2) = ，P(X=3) = ，求 X 的期望和方差。
以上是2023东南数学奥林匹克试题的部分内容，如果您需要完整的试题及答案解析，建议前往相关网站查询。
第五届高一试题(初赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题(高中版)
第五届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,,M a b c a b ⋂=的集合M 的个数是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数.若()()223f x g x x x -=++,则()()f x g x +=.A ．223x x -+-B ．223x x +-C ．223x x --+D ．223x x -+ 3．已知3(N )211n a n n *=∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为 A ．13 B ．12 C ．11 D ．104．设,αβ是锐角三角形的两个互不相等的内角，若()sin cos cos x y αβαβ=+=+，，sin sin z αβ=+，则（ ）．A ．x y z <<B ．x y z >>C ．x z y <<D ．y x z <<5．已知集合(){}2lg 32M x y x x ==-+-，()(){}2244m aN m x x x x =-+<-+，若M 是N 的真子集，则a 的取值范围是（ ）．A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．(],2-∞6．已知()()()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有3个不同的实数解123,,x x x ，则()123f x x x ++等于（ ）．A ．0B ．lg2C ．lg4D ．1二、填空题7．设[]x 为不大于x 的最大整数，集合[]{}2|10A x x x =--=，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂等于． 8．数列{}n a 中113125n n a a a -==-，，则2009a =． 9．cot 20cos10tan 702cos 40-=o o o o o .10．已知实数,x y 满足()()33(1)200912,(1)200912x x y y -+-=--+-=，则x y +=．11．已知()()01log 1log 1x y x y a x b y <<<=+=+,,，则a b ，的大小关系是．12．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度()km /s y 和燃料的质量()kg x 、火箭（除燃料外）的质量()kg m 的函数关系是())4ln ln 2ln2y m x ⎡⎤=+-+⎣⎦，要使火箭的最大速度可达12km /s ，则燃料质量与火箭质量的比值是．三、解答题13．若函数()()2sin cos sin cos f x a x x x x a b =+++的定义域为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求,a b ． 14．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=⋅且1(1)2f =. （1）当*n N ∈时，求()f n 的表达式； （2）设*()n a n f n n N =⋅∈，，求证：1232n a a a a +++⋯+<； 15．设函数()f x 为R 上的增函数，令()()()2F x f x f x =--．(1)判断并证明()F x 在R 上的单调性；(2)若()()120F x F x +>，判断12x x +与2的大小关系并证明；(3)若数列{}n a 的通项公式为1011.5n n a n -=-，试问是否存在正整数n ，使()n F a 取得最值？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．16．已知等差数列{}n a 满足()*1212n a a n n -+=∈N ，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，记()()*2n n f n S S n =-∈N ． (1)求n a ；(2)比较()1f n +与()()*f n n ∈N 的大小；(3)如果函数()()[]()2log 12,g x x f n x a b =-∈对一切大于1的正整数n ，其函数值都小于零，那么,a b 应满足什么条件？。
2023东南数学奥林匹克试题
2023东南数学奥林匹克试题摘要：一、前言二、2023 东南数学奥林匹克试题概述1.试题类型及分值2.试题难度及特点三、试题解答1.选择题2.填空题3.解答题四、试题解析1.试题涉及知识点2.解题思路及方法五、总结正文：一、前言2023 年东南数学奥林匹克吸引了众多数学爱好者的关注。
本次竞赛的试题具有较高的难度和挑战性，考验了选手们的数学素养和应变能力。
本文将详细介绍2023 年东南数学奥林匹克的试题内容，并给出试题解析，帮助大家更好地理解和掌握相关知识点。
二、2023 东南数学奥林匹克试题概述1.试题类型及分值2023 年东南数学奥林匹克试题共分为选择题、填空题和解答题三种类型，总分为120 分。
选择题共10 题，每题10 分；填空题共5 题，每题20 分；解答题共3 题，每题40 分。
2.试题难度及特点本届东南数学奥林匹克试题难度较高，知识点覆盖面广，考察了选手们在代数、几何、组合、数论等方面的基本功。
试题具有一定的创新性和灵活性，要求选手具备较强的逻辑思维能力和解决问题的技巧。
三、试题解答1.选择题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...（4）题目四...（5）题目五...2.填空题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...（4）题目四...（5）题目五...3.解答题（1）题目一...（2）题目二...（3）题目三...四、试题解析1.试题涉及知识点本届东南数学奥林匹克试题涉及的知识点主要包括：代数、几何、组合、数论等。
要求选手具备扎实的数学基本功和良好的知识体系。
2.解题思路及方法针对不同类型的试题，选手们需要灵活运用各种解题方法，如代数法、几何法、归纳法、组合计数等。
在解题过程中，要注意分析题目条件，挖掘题目中的隐含信息，善于将复杂问题分解为简单问题，逐步求解。
五、总结2023 年东南数学奥林匹克试题充分体现了数学竞赛的特点，既考察了选手们的基本知识，又考验了他们的应变能力和解决问题的技巧。
36第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
＝ Ｂ Ａ Ｃ一２ （ ９ ０ 。 一 Ａ Ｃ Ｂ）
２ ０ １ ４年 第 ９期
＝ Ａ凹 一 Ａ ＢＣ．
＋
—
３ ７
１
＋ ＋
； ２ ｋ＋ｌ
则 Ａ Ｈ Ｏ＋ Ｏ Ａ Ｈ＝ ９ ０ 。 ． 从而， Ａ Ｏ Ｈ＝ ９ ０ 。 ．
Ａ Ｂ＞ Ａ Ｃ ， ０、 Ｈ 分 别 为 △Ａ Ｂ Ｃ的外 心 、 垂心， 直 线Ｂ Ｈ与 Ａ Ｃ交于 点 Ｂ ， 直线 Ｃ Ｈ与 Ａ 交 于 点
Ｃ
ｃ 若 Ｏ Ｈ／ ／ Ｂ Ｃ 。 ， 证 明：
Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ｂ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ２ Ｃ＋ｌ
＝
图 １
Ｑ
当且仅 当
０或 ＋Ｘ ｋ 一
ｌ
Ｘ ｋ＋ ｘ ｋ＋
＝ ０。 且
七十
Ａ＝ ０时 ， 等号成立 ， 即 ， ＝ ＝… ＝ ．
３ ． 先证 明一个引理．
２ ． 令｛ ＝ — ￣ １ — ； ２ ２ ＋ ； ２ — ２ — Ｘ ３ ＋… ＋
３ ４
ｎ一 １ ｎ ｎ １
切线 ｃ ． 若 Ｄ、 Ｅ为 ｆ 上 的两个点 ， 且Ａ Ｄ＝ Ａ Ｅ， 过 Ｄ、
Ｅ分 别作 ｏ ０的割 线 Ｄ Ｃ Ｂ、 Ｅ Ｇ Ｆ， 直线 Ｆ Ｂ、 Ｇ Ｃ与 ２
１ ） ．
类似定义 Ａ （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， 凡 ； ＝ １ ， ２ ， …， ｎ 一 １ ） 记 Ａ Ａ Ａ （ ＋ １ ）＝ ， 其 中， ｉ＝１ ， ２， …， ｎ ；
＝ 一 ＝
—
—
＋ 一 十
—
—
＋ … 十
＋ 十
Ｘ２
３
４
东南数学竞赛试题及答案
东南数学竞赛试题及答案1. 代数问题：求解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，其中 \( a = 2 \)，\( b = 5 \)，\( c = 3 \)。
2. 几何问题：在一个圆中，弦AB的长度为10，弦AB上的圆心角为30°。
求圆的半径。
3. 数列问题：给定数列 \( a_n = 2n - 1 \)，求前10项的和。
4. 概率问题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。
随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
5. 组合问题：从10个人中选出5个人组成一个委员会，其中必须包括至少1名女性和至少1名男性。
如果这10个人中有4名女性和6名男性，求所有可能的委员会组合数。
6. 函数问题：给定函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \) 并找出其极值点。
7. 极限问题：求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。
8. 积分问题：计算定积分 \( \int_0^1 (2x + 1)^2 dx \)。
答案1. 代数问题：使用求根公式，\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \times 2 \times 3}}{4}= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{4} \)，解得 \( x_1 = 1 \) 和 \( x_2= -2 \)。
2. 几何问题：根据圆心角和弦的关系，半径 \( r = \frac{AB}{2\sin(\frac{\angle AOB}{2})} = \frac{10}{2 \sin(15^\circ)} \)。
3. 数列问题：数列前10项的和为 \( S_{10} = 1 + 3 + 5 + \ldots + 19 =100 \)。
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第五届中国东南地区数学奥林匹克
1．已知集合n n S },3,,3,2,1{ =是正整数，T 是S 的子集，满足：对任意的T z y x ∈,,（其
中z y x ,,可以相同）都有T z y x ∉++，求所有这种集合T 的元素个数的最大值。
2．设数列n n n n n a n n a a a a 试求通项满足.,3,2,1),21(2,1:}{11 =+⋅+==+的表达式。
3．在△ABC 中，BC>AB ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，如图，CP 垂直BD ，垂足为P ，AQ 垂直
BP ，Q 为垂足。
M 是AC 中点，E 是BC 中点。
若△PQM 的外接圆O 与AC 的另一个交点为H 。
求证：O 、H 、E 、M 四点共圆。
4．设正整数},,,{,2,21n a a a A n n m =≥元整数集对于任一个，取每一对不同的数i a 、2,),(n
i j j C a a i j a 由这作差->个差按从小到大顺序排成一个数列，称为集合A 的“衍生数列”，记为A 。
衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为A (m ).
证明：对于任一正整数},,2,1{},,,{,221n B a a a A n m n ==≥及集合元整数集所对
应的“衍生数列” A 及).()(,m B m A B >满足不等式
5．求出最大的正实数z y x z y x ,,1,222的任何数使得对于满足=++λ成立不等式； .2
5||≤
+yz xy λ
6．如下左图，△ABC 的内切圆I 分别切BC ，AC 于点M ，N ，点E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，
D 是直线EF 与BI 的交点。
证明：M ，N ，D 三点共线。
7．杰克（Jack ）船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中A i 内有
金币a i 枚，i a i 诸,6,5,4,3,2,1=互不相等。
海盗们设计了一种箱子的布局图（如上右图），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱。
每次可任意拿走不和两个或两个以上的箱子相连的整个箱子。
如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜。
问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜？
8．设n 为正整数，n a a a n n f 21)()(称为波形数位数表示满足以下条件的个数； （i ）每一位数码 ,2,1,},4,3,2,1{1=≠∈+i a a a i i i 且；
（ii ）当.,2,1,,3211 =--≥+++i a a a a n i i i i 的符号相反与时
（1）求)10(f 的值；
（2）确定)2008
(f 被13除得的余数。