7.3 区间估计

2. 正态总体均值的置信区间
设 X 1 ,, X n 为总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本，在 置信度 1 下，来确定 的置信区间 , . ⑴ 方差 已知，估计均值μ
2X X i 是 的一个无偏 n i 1 估计，又 X ~ N (0, 1) / n 对于给定的置信度 1 , 查正态分布表，找出
0 7， 置信度为95%; 试求总体均值μ的置信区间。
解: 已知 0 7, n 9, 0.05.由样本值算得：
1 x (115 120 110) 115 9 查正态分布表得 z0.025 1.96，由此得μ的置信区间
0 z0.025 110.43, 119.57 x n
长度不大于 0.49 ? 解: 设需要抽取容量为n的样本, 其样本均值为 x ,
1 0.95 0.05, 查表得 z 2 1.96, 于是μ的
1.25 z0.025 置信水平为0.95的置信区间为 x n 该区间长度
1.25 4.9 L 2 1.96 0.49 n n
由 1 0.95 0.05
查表得 t 2 (n 1) t0.025 (14) 2.145 由于总体方差 2 未知, 因此 的置信水平为0.95 的置信区间为:
s 8.49 t 2 (n 1) 425.0 2.145 x n 15

2
~ (n 1)
2
2分布不对称性， 由于 寻找使得概率对称的区间
即 P{1
(n 1) S
2

2
2 } 1 ，
2分布表的构造 由
P{1 (n 1) S
2
/2
/2

2
2 } 1
2 (n 1)
1
2 / 2 (n 1)
2
2
标准差σ的一个置信水平为 1 的置信区间
(n 1) S 2 , 2 (n 1) 2
(n 1) S 21 (n 1) 2
2
2
注意：在密度函数不对称时，如 分布.
习惯上仍取对称的分位点，但其置信区间的长度
并不最短。
例6 某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（mm）
注：μ的置信水平1-α 的置信区间不唯一。上例 中同样给定 0.05 ，可以取标准正态分布上α 分位点-Z0.04和Z0.01，则也有
0.04 0.01
P{ X

n
z0.01 X

n
z0.04 } 0.95 z 0.04
则μ的置信度为0.95的置信区间为 X z0.01 n 2 z / 2 最短，在显著水平 但对称时的区间长度 L n 一定的条件下，置信区间长度越短精度越高，即对称
例2 从一批零件中随机抽取16个, 测得长度（单 位:厘米) 为 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13,
2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11 设 求总体均值μ的置信水 零件长度 X ~ N ( , 0.012 )， 平为 0.90 的置信区间。 查表得 z 2 1.645， ， 解: 0.01 0.10，
第七章
§7.3 区间估计
一、置信区间
二、正态总体均值的置信区间 三、正态总体方差的置信区间
第二十一讲
例如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据 一个实际样本，得到鱼数 N 的估计值为1000条。 湖中鱼数的真值
[
]
也就是说，希望确定一个区间，使我们能以比较 高的可靠程度相信它包含真参数值。 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称 为置信度，置信水平或置信概率。
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03
12.01 12.15 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.06 ，怎样估计该车床加工零件长度的
方差。 0.05) (
1 解: 先求 x 12 [0.15 0.12 0.6] 12.075 16 1 n 2 2 2 2的估计值 s [ xi nx ] 0.0024 σ n 1 i 1
z0.01 , X z0.04 n
z / 2 为最优区间。 区间 X n
例1
已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼
儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115, 120 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假设标准差
查表
2 0.975
2.025 (15) 27.488 (15) 6.262 0
所求σ2的置信度为0.95的置信区间
(n 1) s 2 (n 1) s 2 15 0.0024 15 0.0024 , 2 , 2 6.262 / 2 (n 1) 1 / 2 (n 1) 27.488
解得 n 100 故取 n 100.
⑵ 方差 未知，估计均值μ
2
因为 S 2 是 2 的无偏估计。
1 n 可用样本方差： S 2 ( X i X )2 n 1 i 1
X 而选取样本函数 t ~ t (n 1) S/ n
X 取 P{t / 2 t / 2 } 1 S/ n
P{
2 1
(n 1)
2
(n 1) S
2
2

2

2
/2
(n 1)} 1 ，
2
(n 1) S (n 1) S 2 即 P{ 2 2 } 1 (n 1) 1 (n 1)
2
2 2 (n 1) S , (n 1) S 置信区间 2 (n 1) 21 (n 1) 2 2
其中 n 是样本容量, n-1是表中自由度；
X 得 t (n 1) t / 2 (n 1) /2 S/ n
所以μ的置信水平为1-α的置信区间为
S S t / 2 (n 1), X t / 2 (n 1) X n n
简记为 X S t (n 1) /2
③ 1 表达了区间估计的可靠性；
矛盾
④ 表示该区间不包含真值 的可能性。 即置信度为 1 0.95. 这时重复 例如 若 0.05， 抽样100次, 则在得到的100个区间中包含θ真 值的有95个左右, 不包含θ真值的有5个左右。 通常, 采用0.95的置信度, 有时也取0.99或0.90.
置信区间为 x z 2 2.121, 2.129 n
1 16 x xi 2.125， 所以μ的置信水平为0.90的 16 i 1
问需要抽取容量为多大的 例3 设总体 X ~ N ( , 1.252 )， 样本，才能使
的置信水平为0.95 的置信区间的
临界值 , , 使得 P{ } 1
由此可找出无穷多组 , ，通常我们取对称区间
, 使得
由上 分位点的定义
X P{ } 1 / n
对于给定的 (0 1) 有
X P{ z / 2 z / 2 } 1 / n
可得 P{ X

n
z / 2 X

n
z / 2 } 1
所以μ的置信水平为1-α的置信区间为
z / 2 , X z / 2 简记为 X z / 2 X n n n
例 若取 0.05 ,1 0.95 , 1, n 16 查表得 z / 2 z0.025 1.96，且由一组样本值 算得样本均值的观察值 x 5.20 则得到一个 置信度为0.95的μ的置信区间 (4.71, 5.69).
2 2
⑴ μ的置信区间为
t / 2 (n 1) t0.025 (9) 2.2622 s 35.22 (x t / 2 (n 1)) (457.5 2.2622) n 10
(432.31,482.69)
2 2 (n 1) s (n 1) s ⑵ σ2的置信区间为 2 , 2 (n 1) 1 (n 1) 2 2
使得 P{ } 1 , (0 1), 称区间
1 , 为 的置信区间， 为该区间的置信度。
置信下限
置信上限
称为显著性水平。
说明 ① 区间 , 是一个随机区间； 的精确性；
② 置信区间的平均长度E 表达了区间估计

n

例4 用仪器测量温度, 重复测量7次, 测得温度分别为 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 设温度 X ~ N ( , 2 ) 在置信度为95%时, 试求温度的均值所在范围。 解: 已知 n 7, 0.05. 由样本值算得
x 112.8, s 2 1.29.
413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根据长期经验, 可以认为
最大飞行速度服从正态分布. 求飞机最大飞行速度 的期望值的置信水平为 0.95 的置信区间。 解：以X 表示该飞机的最大飞行速度, 则 X ~ N ( , 2 )
1 15 1 15 2 2 x xi 425.0, s ( xi x ) 72.05 15 i 1 15 1 i 1