3-5小样本区间估计
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区间估计及运算
查表，得到
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13
由公式，
得，总体均值μ的置信度为90%的置信区间 为
于是可以说，我们有90%的把握确信，寿险 投保人总体的平均年龄介于37.37到 41.63
岁之间。
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14
1.从正态总体中抽取样本，且总体方差已知， 均值μ的区间估计
（2）在不重复抽样的条件下，置信区间为
X Z
2
n
N n N 1
的置信度为1-α的置信区间。
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54
四、简单随机抽样和等距抽样的参数估计
（三）一个总体比例的区间估计
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55
在许多实际应用中，经常会遇到总体比例的 估计问题。例如：企业的管理人员想了解 一批产品中次品的比例；职工收入中工资 外收入所占的比例；某高校学生参加英语 四级考试的通过率；某地区绿化荒山新栽 树木的成活率等。
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8
1.从正态总体中抽取样本，且总体方差已知，
均值μ的区间估计
（1）重复抽样的条件下
设
， 已知，
为来自总体的容
量为n的简单随机样本，则 的抽样分布为
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9
在重复抽样的方式下，总体均值μ的置信度 为1-α的置信区间为
其中， 是标准正态分布α水平的双侧分位数。
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10
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11
例一：
信区间。 称为置信区间的置信度，也称
置信概率、置信系数或置信水平， 称为置
信下限， 称为置信上限。
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6
三、置信区间的含义
若独立地反复多次抽取容量相同的简单随机样本，每一个样
本都确定一个随机区间
，在这些区间中，包含总体
参数 真值的约占
区间估计
常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。
区间估计点估计样本量估计缺区估计ppt课件
方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计
量的期望方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越
差；否则越好，越有效。不同的估计量具有不同的方差，方
差最小说明最有效。
如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其
期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计
量。
2021精选ppt
28
【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种 新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后 分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本， 并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这 位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平 估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差 ，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两 个样本量相等)
yk
1 n ni1
yik
E(yk)
(8·6)
也可以用样本各阶原点矩的函数来估计总体各阶原点矩
同一函数，即若Q=f ( E(y),E(y2),…,E(yk) ) , 则
Q ˆf(y， y2， ， yk)
由此得到的估计量称为矩估计量。
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31
[例8.1] 现获得正态分布 N(， 2)的随机样本y1, y2 ,…yn，
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19
估计两个总体比例之差时样本量的 确定
(例题分析)
解: E=10%, 1-=95%，z/2=1.96，由于没有
的信息，用0.5代替
n1
n2
(z
2)2
1(11)2(12)
E2
1.9620.5(100..152)(0.5(10.5)
19.208193
即应抽取193位消费者作为样本
2021精选ppt
第2节 区间估计
2
~ (n 1)
2
在给定的置信度1 下,由
P{12 2 (n 1) 2 22 (n 1)} 1
得
2 的置信区间为:
2 (n 1) S 2 (n 1) S , 2 2 (n 1) 1 (n 1) 2 2
即 P X u X u 1 n 2 n 2 置信度为1 的置信区间是 ( X u , X u )
n
2
n
2
例1 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单 位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,
2 ( n 1) S n 11 0.04 2 0.0224 2 (n 1) 19.675
故所求置信区间为: (0.0224, 0.0962)
二、两个正态总体均值差与方差比的置信区间 1、二总体均值差
1 2 的区间估计
2 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N ( 2 , 2 ) 设两总体
n2
n2
Yi 2
2
) 2 ~ 2 ( n2 )
1 故F
1
2 1 i 1 n2
(X
i
n1
i
1 )
2
2
n1 ~F (n1 , n2 ) n2
( , ) 即是 的置信度为 1 的置信区间
正态总体参数的区间估计
一、单总体均值与方差的区间估计
二、双总体均值差与方差比的区间估计
三、小结
一、单正态总体均值与方差的区间估计 1.单总体均值 的置信区间 X ~ N ( , 2 ), 2 已知时 (1)设
关于区间估计6页word文档
(1) P值是：1) 一种概率，一种在原假设为真的前提下出现观察样本以及更极端情况的概率。
2) 拒绝原假设的最小显著性水平。
3) 观察到的(实例的) 显著性水平。
4) 表示对原假设的支持程度，是用于确定是否应该拒绝原假设的另一种方法。
(2) P 值的计算：一般地，用X 表示检验的统计量，当H0 为真时，可由样本数据计算出该统计量的值C ，根据检验统计量X 的具体分布，可求出P 值。
具体地说:左侧检验的P 值为检验统计量X 小于样本统计值C 的概率，即:P = P{ X < C}右侧检验的P 值为检验统计量X 大于样本统计值C 的概率:P = P{ X > C}双侧检验的P 值为检验统计量X 落在样本统计值C 为端点的尾部区域内的概率的2 倍: P = 2P{ X > C} (当C位于分布曲线的右端时) 或P = 2P{ X< C} (当C 位于分布曲线的左端时) 。
若X 服从正态分布和t分布，其分布曲线是关于纵轴对称的，故其P 值可表示为P = P{| X| > C} 。
计算出P 值后，将给定的显著性水平α与P 值比较，就可作出检验的结论:如果α > P 值，则在显著性水平α下拒绝原假设。
如果α ≤ P 值，则在显著性水平α下接受原假设。
在实践中，当α = P 值时，也即统计量的值C 刚好等于临界值，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验。
整理自：区间估计区间估计（Interval Estimation）[编辑]什么是区间估计区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。
它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。
区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计是比较科学的。
用样本指标来估计总体指标，要达到100%的准确而没有任何误差，几乎是不可能的，所以在估计总体指标时就必须同时考虑估计误差的大小。
统计学区间估计详细讲解
100
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
2
x求解。若 x已知，则
x
即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。
非正态总体下的小样本区间估计问题
８ Ｎａ ｇ ｌ ｅ Ｄ Ｌ，Ｍｃ Ｇｒ ａ ｉ ｌ Ｓ Ｈ， Ｖｉ ｔ ａ ｌ ｅ Ｊ ， ｅ ｔ ａ １ ．Ｔｈ ｅ ｍａ ｈ ｏ ｇ ａ ｎ ｙ ｐ ｒ ｏ ｔ ｅ ｉ ｎ ｉ ｓ ａ
ｒ ｅ ｃ ｅ ｐｔ ｏ ｒ ｉ ｎ ｖ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｉ ｎ ｓ ｕ ｐ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｏ ｂ ｅ ｓ ｉ ｔ ｙ ． Ｎａ ｔ ｕ ｒ ｅ ，１ ９ ９ ９，３ ９ ８ （ ６ ７ ２ ３ ）：１ ４ ８ ～１ ５ ２ ． ９ Ｇｕ ｎ ｎ ＴＭ ，Ｍ ｉ ｌ ｌ ｅ ｒ ＫＡ ， Ｈｅ Ｌ，ｅ ｔ ａ １ ． Ｔｈ ｅ ｍｏ ｕ ｓ ｅ ｍａ ｈ ｏ ｇ ａ ｎｙ ｌ ｏ ｃ ｕ ｓ ｅ ｎ ｃ ｏ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｅ ｍｂ ｒ ａ ｎｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｏ ｆ ｈ ｕ ｍａ ｎ ａ ｔ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｎ ． Ｎａ ｔ ｕ ｒ ｅ ， １ ９ ９ ９， ３ ９ ８（ ６ ７ ２ ３） ： １ ５ ２ ～１ ５ ６ ．
数理 医药 学杂志
文章 编 号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ３ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ６ ８ １ — ０ ２ 中 图分 类 号 ： Ｒ３ １ １ 文献标识码 ： Ａ
２ ０ １ ３ 年第 ２ ６卷第 ６ 期
・
统计 分析 ・
非 正 态 总 体 下 的 小 样 本 区 间估 计 问题
假设 总体 率 Ｐ未知 ， 如何求出总体率 Ｐ的 １ 一ａ 置信 区间
呢？
我们 先从 总体 中随机抽取 一个样 本容 量为 的样 本 ， 假
设 其 中具 有某 种 特 征 的 个 体 数 为 ｍ， 则 ｍ￣ Ｂ（ ｎ ， Ｐ） 。
设Ａ一 ｛ 具有某种特征的事件） ， 令Ｐ （ Ｐ ￣ｐ ） ≤詈 ， Ｐ（ Ｐ
3号准则、5号准则中的估计价值
3号准则、5号准则中的估计价值
3号准则和5号准则是统计学中常用的准则，其目的是帮助我们判断样本数据是否能够代表总体数据。
在使用这两个准则时，我们需要对样本数据进行估计，以确定样本数据的可靠性。
在3号准则中，我们需要计算样本均值与总体均值之间的差异，并将其与样本标准差相除，得到一个t值。
根据t值与自由度的关系，我们可以确定样本数据是否代表总体。
在进行估计时，我们需要考虑到样本容量、方差和样本均值的精确程度等因素。
在5号准则中，我们需要计算置信区间，以确定总体均值的区间估计。
置信区间的计算涉及到样本均值、标准差和样本容量等因素。
我们可以根据置信区间中的上下限确定总体均值的估计值，并对样本数据进行有效性判定。
总的来说，3号准则和5号准则都是基于样本数据的统计学方法，可以帮助我们对总体数据进行估计。
在使用这两个准则时，我们需要注意到样本数据的特点，以便进行准确的估计。
- 1 -。
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n 1
2
S X t n 1 n n n 2 2 X X i i
i 1
2 n
2
i 1
12 n
2
2
未知
( n 1) S 2
2
( n 1) S 2 2 n 1
2
( n 1) S 2 , 2 1 n 1
对于给定的置信度 1 ， 查 正 态 分 布 表 ， 找 出 1， 2， 使 得: P{ U } 1 .
1 2
由此可找出无穷多组 1， 2； 通 常 我 们 取 对 称 区 间[ , ], 使 ： P{| U | } 1 -
即：
P{-
第三章 参数估计
解1：用正态分布估计
w= 90 = 0.9 W 100
ΔW = U α W 1 - W /n = 1.96 0.9 0.1 = 0.0588 100
w - , w + = 0.9 - 0.0588,
0.9 + 0.0588 = 0.8412, 0.9588
n = 30, 1 - α = 0.95, k = 12 , n - k = 30 - 12 = 18 解∶
查表得p的可靠性为95%的置信区间为[0.227, 0.594]
第三章 参数估计
例3.11 在一批染病的苗木上喷洒某种药剂后，随机
从中抽出100粒进行检查，结果有90粒治愈。试以95%
的可靠性，估计这批染病苗木治愈率的置信区间。
= 587.58, 4134.83
一个正态总体未知参数的置信区间
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、下限
已知
2
X
/ n X
S/ n
1
N 0， 1
X U
n
2未知
t n 1
2
已 知
2
X
i 1
n
i
2 n
试求总体均值 的置信区间 .
已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 解：
1 x (115 120 110 ) 115 9
u 0.05 1.96
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9
110.43 , 119.57
t0.05 9 = 2.262
第三章 参数估计 绝对误差限 相对误差限为
Δ = t0.05 9 S = 2.262 35.217 = 25.191
n 10 Δ 25.191 Δ = = = 0.055 x 457.5
精度为
区间估计为
A = 1 - Δ' = 1 - 0.055 = 0.945
已知n 7, 0.05. 由样本值算得： 解：
S S , X t ( n 1) ] n n
在置信度为 95%时，试求温度的均值 的所在范围。
x 112.8, s 2 1.29. t0.05 (6) 2.447
1.29 1.29 , 112.8 2.447 112.8 2.447 7 7 111.75, 113.85
第三章 参数估计 由观测值k、可靠性1-α 、n-k,查二项分布参数p 的置信区间表可直接求出p的置信区间为 [ p1 , p2 ] 满足 P
p1 p p2 = 1- α
例3.10 有一批杀虫剂已存放一年，今随机抽出30瓶
进行检验，结果有12瓶失效。试以95%的可靠性，
估计这批产品中失效瓶数所占比例.
第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2
2
p p
3.4 小样本方法(用精确分布进行参数区间估计) 一、一个正态总体未知参数的置信区间
解2：用泊松分布估计 c = 10
4.8412 100 , 18.39 [0.048412, 0.1839] 100
[1 - 0.048412, 1 - 0.1839] = [0.8161,0.9516]
第三章 参数估计 解3∶ n = 100 ,k = 90,1 - α = 0.95 ,n - k = 10
查 (n 1)分布表 ,得
2
2 (n 1),
2 2
1
2 1
2
( n 1 ).
退 出
第三章 参数估计
由此得：
2 1
2
(n 1)
(n 1) S
2
2
(n 1)
2 2
2 (n 1) S 2 ( n 1 ) S 推得： 2 2 2 (n 1) (n 1) 2 1 2
即置信区间为：
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
退 出
第三章 参数估计
例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2的置信区间.
X -
0 / n
} 1-
由正态分布表的构造， 由P{| U | } 1 ，可知：
U
-U
(X - ) n
0
U
推得，随机区间： [X -U
0
n
, X U
0
n
]
是 的置信度为 1 的置信区间 .
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）; 假设标准差 0 7，置信度为 95%；
已知n 16, 0.05. 由样本值算得： s 2 0.00244 . 解： 2 2 2 查 (n 1)分布表 , 得 0.025 (15) 27.5, 0.975 (15) 6.26.
2 2 ( n 1) S 15 0.00244 ( n 1) S , , 2 ( n 1) 2 ( n 1) 27.5 1 2 2
k
60
100
Δk
=40
下限 W1 0.752 上限 W2 0.929
0.838 ΔW1=0.086 0.955 ΔW2=0.026
用线性插值法计算得:
ΔW1 0.086 W1 = 0.752 + (90 - 60) = 0.752 + 30 = 0.8165 Δk 40 ΔW2 0.026 W2 = 0.929 + (90 - 60) = 0.929 + 30 = 0.9485 Δk 40
推得，置信区间为：
S S [X -t ( n 1) , X t ( n 1) ] n n
[X -t ( n 1)
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度 X ~ N ( , 2 )。
15 0.00244 0.0013,0.0058 6.26
第三章 参数估计 例 3.12:已知某树种木材横纹抗压力服从正态分布. 今对10个试件进行试验,得到以下数据(单:kg/cm2) 482 493 457 510 446 425 418 394 469 471 以95%的置信度对抗压力的方差进行区间估计.
[X U
0
n
, X U
0
n
]
(2) 方差未知时，估计均值
由于方差 2未知，
而选取样本函数： T
X S/ n
~ t ( n 1).
对于给定的 1 ，查t分布表，找 1与 Nhomakorabea，使得：
P{1 T 2 } 1 ，
我们仍然取成对称区间 [ , ],使得：
2
样本函数： 2
( n 1) S 2
~ (n 1).
2
P{1 2 } 1 ，
第三章 参数估计
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 ， 性我 们 仍 采 用 使 概 率 对称的区间：
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2，
P{| T | } 1 ，
即 P{
X S/ n
} 1 ，
第三章 参数估计
由t分布表的构造及 P{| T | } 1 ，可知：
t ( n 1), 由此得： X- -t ( n 1) t ( n 1) S/ n
1） 均值的区间估计
设X 1 ,, X n为总 体 X ~ N ( , )的一 个样本 , 在置 信度 1 下，来确 定 的置 信区间 [ 1， 2 ].
2
(1)方差已知时，估计均值
2 设已知方差 2 0 ,
构造样本的函数 U
X
0 / n
~ N (0,1).
2
第三章 参数估计 3.4.3总体频率p的小样本估计 总体分布∶
X P
0 1-p 1
2
S X t n 1 n n n 2 2 X X i i
i 1
2 n
2
i 1
12 n
2
2
未知
( n 1) S 2
2
( n 1) S 2 2 n 1
2
( n 1) S 2 , 2 1 n 1
对于给定的置信度 1 ， 查 正 态 分 布 表 ， 找 出 1， 2， 使 得: P{ U } 1 .
1 2
由此可找出无穷多组 1， 2； 通 常 我 们 取 对 称 区 间[ , ], 使 ： P{| U | } 1 -
即：
P{-
第三章 参数估计
解1：用正态分布估计
w= 90 = 0.9 W 100
ΔW = U α W 1 - W /n = 1.96 0.9 0.1 = 0.0588 100
w - , w + = 0.9 - 0.0588,
0.9 + 0.0588 = 0.8412, 0.9588
n = 30, 1 - α = 0.95, k = 12 , n - k = 30 - 12 = 18 解∶
查表得p的可靠性为95%的置信区间为[0.227, 0.594]
第三章 参数估计
例3.11 在一批染病的苗木上喷洒某种药剂后，随机
从中抽出100粒进行检查，结果有90粒治愈。试以95%
的可靠性，估计这批染病苗木治愈率的置信区间。
= 587.58, 4134.83
一个正态总体未知参数的置信区间
待估参数 随机变量 随机变量 的分布 双侧置信区间的上、下限
已知
2
X
/ n X
S/ n
1
N 0， 1
X U
n
2未知
t n 1
2
已 知
2
X
i 1
n
i
2 n
试求总体均值 的置信区间 .
已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 解：
1 x (115 120 110 ) 115 9
u 0.05 1.96
115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9
110.43 , 119.57
t0.05 9 = 2.262
第三章 参数估计 绝对误差限 相对误差限为
Δ = t0.05 9 S = 2.262 35.217 = 25.191
n 10 Δ 25.191 Δ = = = 0.055 x 457.5
精度为
区间估计为
A = 1 - Δ' = 1 - 0.055 = 0.945
已知n 7, 0.05. 由样本值算得： 解：
S S , X t ( n 1) ] n n
在置信度为 95%时，试求温度的均值 的所在范围。
x 112.8, s 2 1.29. t0.05 (6) 2.447
1.29 1.29 , 112.8 2.447 112.8 2.447 7 7 111.75, 113.85
第三章 参数估计 由观测值k、可靠性1-α 、n-k,查二项分布参数p 的置信区间表可直接求出p的置信区间为 [ p1 , p2 ] 满足 P
p1 p p2 = 1- α
例3.10 有一批杀虫剂已存放一年，今随机抽出30瓶
进行检验，结果有12瓶失效。试以95%的可靠性，
估计这批产品中失效瓶数所占比例.
第三章 参数估计 区间估计: P 1 ( x1 , x2 , , xn ) 2 ( x1 , x2 , , xn ) 1 大样本估计 小样本估计 极限分布 精确分布 n>=50 n无要求 任意总体 正态总体 N , 2
2
p p
3.4 小样本方法(用精确分布进行参数区间估计) 一、一个正态总体未知参数的置信区间
解2：用泊松分布估计 c = 10
4.8412 100 , 18.39 [0.048412, 0.1839] 100
[1 - 0.048412, 1 - 0.1839] = [0.8161,0.9516]
第三章 参数估计 解3∶ n = 100 ,k = 90,1 - α = 0.95 ,n - k = 10
查 (n 1)分布表 ,得
2
2 (n 1),
2 2
1
2 1
2
( n 1 ).
退 出
第三章 参数估计
由此得：
2 1
2
(n 1)
(n 1) S
2
2
(n 1)
2 2
2 (n 1) S 2 ( n 1 ) S 推得： 2 2 2 (n 1) (n 1) 2 1 2
即置信区间为：
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 2 ( n 1) , 2 ( n 1) 1 2 2
退 出
第三章 参数估计
例3 设某机床加工的零件长度 X ~ N ( , 2 )， 今抽查16个零件，测得长度（单位：mm）如下： 12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06, 在置信度为95%时，试求总体方差 2的置信区间.
X -
0 / n
} 1-
由正态分布表的构造， 由P{| U | } 1 ，可知：
U
-U
(X - ) n
0
U
推得，随机区间： [X -U
0
n
, X U
0
n
]
是 的置信度为 1 的置信区间 .
例1 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110（cm）; 假设标准差 0 7，置信度为 95%；
已知n 16, 0.05. 由样本值算得： s 2 0.00244 . 解： 2 2 2 查 (n 1)分布表 , 得 0.025 (15) 27.5, 0.975 (15) 6.26.
2 2 ( n 1) S 15 0.00244 ( n 1) S , , 2 ( n 1) 2 ( n 1) 27.5 1 2 2
k
60
100
Δk
=40
下限 W1 0.752 上限 W2 0.929
0.838 ΔW1=0.086 0.955 ΔW2=0.026
用线性插值法计算得:
ΔW1 0.086 W1 = 0.752 + (90 - 60) = 0.752 + 30 = 0.8165 Δk 40 ΔW2 0.026 W2 = 0.929 + (90 - 60) = 0.929 + 30 = 0.9485 Δk 40
推得，置信区间为：
S S [X -t ( n 1) , X t ( n 1) ] n n
[X -t ( n 1)
例2 用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度 分别为：120,113.4,111.2,114.5,112.0,112.9,113.6度; 设温度 X ~ N ( , 2 )。
15 0.00244 0.0013,0.0058 6.26
第三章 参数估计 例 3.12:已知某树种木材横纹抗压力服从正态分布. 今对10个试件进行试验,得到以下数据(单:kg/cm2) 482 493 457 510 446 425 418 394 469 471 以95%的置信度对抗压力的方差进行区间估计.
[X U
0
n
, X U
0
n
]
(2) 方差未知时，估计均值
由于方差 2未知，
而选取样本函数： T
X S/ n
~ t ( n 1).
对于给定的 1 ，查t分布表，找 1与 Nhomakorabea，使得：
P{1 T 2 } 1 ，
我们仍然取成对称区间 [ , ],使得：
2
样本函数： 2
( n 1) S 2
~ (n 1).
2
P{1 2 } 1 ，
第三章 参数估计
虽 然 2 分 布 密 度 函 数 无 对 称 ， 性我 们 仍 采 用 使 概 率 对称的区间：
P{ 2 1 } P{ 2 2 } / 2，
P{| T | } 1 ，
即 P{
X S/ n
} 1 ，
第三章 参数估计
由t分布表的构造及 P{| T | } 1 ，可知：
t ( n 1), 由此得： X- -t ( n 1) t ( n 1) S/ n
1） 均值的区间估计
设X 1 ,, X n为总 体 X ~ N ( , )的一 个样本 , 在置 信度 1 下，来确 定 的置 信区间 [ 1， 2 ].
2
(1)方差已知时，估计均值
2 设已知方差 2 0 ,
构造样本的函数 U
X
0 / n
~ N (0,1).
2
第三章 参数估计 3.4.3总体频率p的小样本估计 总体分布∶
X P
0 1-p 1