福建省泉州市2019届高三1月单科质量检查数学(理)试题Word版含解析

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2019届高三数学1月单科质量检查试题理(扫描版)

泉州市2019届高中毕业班单科质量检查理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则AB =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2A B x x =≤，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I ·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（A ）{|0}AB x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i +【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99（B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C. 【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A ）2（C （D ）2【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线b y x a =上，则12b a =，所以e == B. 【错选原因】错选A ：误认为222c a b =-导致错误；错选C ：误认为双曲线的焦点在y 轴上. 错选D ：未判断双曲线的焦点位置.【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为（A ）y ＝14x ±（B ）y ＝13x ± （C ）y ＝12x ± （D ）y x =±（5）已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为π （B ）11π2（C ）17π3（D ）35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥.错选D ：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2xx =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到.错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（A ）0 （B ）2（C ）4（D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =-（B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+（C ）()e e 2x xf x -+=（D ）()e 1e 1x x f x -=+【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D 【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析. 【试题简析】 1.51.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >>（C ）a c b >>（D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC ==，由余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0) 错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I ·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44kk k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A）3[,0)(0,]33-（B ）3(,][,)33-∞-+∞ （C ）[(0,3]（D ）(,[3,)-∞+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C到l 的距离d ===所以223(1)3m a =+-，又因为1a≥，所以203m <≤，0m ≤<或0m<≤解法二：由题意可得，圆心C到l 的距离d ==又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sinθ=，所以l 的斜率tan [(0,3]m θ=∈.【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B）34-（C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点.当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x +=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x --'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<； ②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意； ③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >. 综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e xf x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0xf x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2max ()(ln )ln e f x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2max ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->.令2()ln e g t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点. 错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C.【变式题源】（2013年全国卷I ·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)

福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--，又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件，当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件，当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件，故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得；【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误；故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=；当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==．故选：AD ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得；【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤，依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠，即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =，则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==，在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值；【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥，当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可；（2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；【详解】解：（1）由己知得221a b -=，因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+，联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<，所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>，所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<，根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数，又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；（2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤，当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12；当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。

福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(教师版)

泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查理科数学一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （） A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}0,1,2 D. {}2,1,0,1--【答案】B 【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z 所以{}2,1,0,1N =--，又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题． 2.若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（） A. 0 B. 3C. －1D. 4【答案】C 【解析】【分析】计算3121ii i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121ii i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（） A. 1.4，1.4 B. 1.4，1.5C. 1.4，1.6D. 1.62，1.6【答案】B 【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（） A. －14 B. －12C. －17D. 12【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=-故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 5.5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（） A. 10B. 38C. 70D. 240【答案】A 【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr rr T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-=故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2xy =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件，当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件，当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件，故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（） A. []1,1- B. []2,2e e --C. []2e,1-D. []2ln 22,1-【答案】D 【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9.已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（）A. aB. 012f π⎛⎫=⎪⎝⎭C. 2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得；【详解】解：因()()sin 2cos 22f x a xb x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确；22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误；故选：D【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题.10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5nf ()*n N ∈的前2020项的和为（）A. 101051+B. 1010514-C. 1010512-D. 101051-【答案】D 【解析】【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=；当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分，只选出部分正确选项得3分，选出全部正确选项得5分.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（）A. 直线1//B C 平面1A BDB. 11B C BD ⊥C. 三棱锥11C B CE -的体积为13D. 异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g ，12B C =u u u r ，2BD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r ，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.12.若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（）A.3B.43D. 2【答案】AD 【解析】【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==．故选：AD ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13.已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，则a b +=r r _________.【答案】2 【解析】【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14.在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________.【答案】43【解析】【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题.15.设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________. 【答案】 (1). 3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2). 274【解析】【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得；【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以12916x x =，所以12121233151527||4||442444444AF BF x x x x x x ⎛⎫+=+++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274.【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16.直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.【答案】⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<1112MB <≤，依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 2A B A MB MB MB ⎤∠==∈⎥⎝⎦故答案为：2⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，3BC =，求BD ；（2）若3DC =，求cos ACB ∠. 【答案】（1）7BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出7BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，3BC =得1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠，即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得7BD = （2）设ACB θ∠=，AB x =，则2DAC θ∠=，3DC x =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==，在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，即3sin sin 2sin 3xxθπθ=， 3sinsin 23sin x x πθθ⋅=⋅，332sin cos sin x x θθθ⋅=⋅ 解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18.如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值；【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥，当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，3,0)B ，3,0)A ，(0,0,1)EP =u u u r ，3,0)EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，3,1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨=⎪⎩；令22y =-，解得2x ，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,m n m n m n ⋅====⋅u r ru r r u r r .易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为7. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19.已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.【答案】（1）22143x y +=（2【解析】【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可；（2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；【详解】解：（1）由己知得221a b -=，因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+，联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O 到直线l距离为d ==所以直线l 被圆O 截得的弦长为l ===【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.20.冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？ A 材料B 材料合计成功不成功合计（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.1500.1000.0500.025 0.0100.0050.001k2.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K 的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元，易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K 的观测值2100(4520530)1250507525k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标.【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21.已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<，所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22x f x e x ax '=+--，(0)0f '=.记()()g x f x '=，则()sin 2x g x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos x h x e x '=-.下面证明()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin x x e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭. 又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>，所以存在1,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<，根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-.①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数，又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1x x e x =--，0x > 因为0x >，所以()10x u x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+故2(2)sin 2221sin 220a g a e a a a a a '=-->+--≥，又()sin 2xg x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去.综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围.【答案】（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；（2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤，当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12；当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34. 所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力.23.记函数1()212f x x x =++-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立. 当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c ++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，因为331111()339a b c abc c a b abc ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以322230ab bc ca a b c ++≥>，330a b c abc ++≥>，又因为1abc =，所以32223()()339a b c ab bc ac abc a b c ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥ 所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证. 补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++，因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c ++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。

泉州市2019届高三普通高中毕业班第一次质检理科数学试题(独家有答案)

泉州市2019届高三普通高中毕业班第一次模拟质检理科数学（满分：150分时间：120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合{}0822--=x x x A ，{}82<=x x B ，则A B =IA.]2,(-∞B.)3,2[-C.)3,4[-D.]3,(-∞2．函数)22sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程为A.x ＝－π2B.4π=-xC.x ＝π8D.x ＝π43．若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则ba y 11+=的最小值是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是 A ．12B ．32C ．1D ．35..若直线y=x-2过双曲线()01:222>=-a y ax C 的焦点，则此双曲线C 的渐近线方程为A.x y 33±= B.x y 3±= C.x y 31±= D.x y 55±=6.已知等比数列{}n a 满足,88,221175731=++=++a a a a a a 则=++1397a a a A.121 B.154 C.176 D.3527.执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.138.下列函数既是偶函数，又在()π，0上单调递增的是 A.x y sin = B.x y tan = C.x y 2cos = D.x y cos -=9．若直线y=kx －k 交抛物线x y 42=于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =A ．12B ．10C ．8D ．610.已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ，，所对的边，若，0cos cos )2(=++C b B c a 则角B 的大小为 A.6π B.3π C.32π D.65π11.P 为曲线()02:2>=p py x C 上任意一点，O 为坐标原点，则线段PO 的中点M 的轨迹方程是A.()02=/=x py xB.()02=/=y px yC.()042=/=x py xD.()042=/=y px y12.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点，()()1331，，，-==则CD AB •的取值范围是A.()2,0B.(]4,0C.[)0,2-D.[)0,4-二、填空题：（把正确答案填在答题卡的横线上）13.设x ，y 满足,632⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤x y y x xy 则y x z +=2的最小值为 .14.设函数()(),0,0,1lg 3⎩⎨⎧<-≥+=x x x x x f 则使得()1≤x f 成立的x 的取值范围是 . 15.已知A ,B ,C 在球O 的球面上，AB =1,BC =2，ο60=∠ABC ，且点O 到平面ABC 的距离为2，则球O 的表面积为 .16.若定义在R 上的函数()x f 满足：当20<≤x 时，(),22x x x f -=当()*∈+<≤N k k x k 222时，()),2(2-=x f x f 则函数()()x f x x F -=ln 的在区间(0，16)内的零点个数为 .三、解答题:（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n1(2)n =≥．（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=（n ∈N *），求使不等式121225n b b b +++>L 成立的最小正整数n ．18.已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>+-=ωωωωx x x x f 经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x① π32 π35 )(x f1－1（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（Ⅱ）∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知()1,3f A π+=4+=b c ，7a =，求ABC ∆的面积．19.如图（1），在平行四边形11ABB A 中，1160 4 2ABB AB AA ∠=︒==，，，C ，1C 分别为AB ，11A B 的中点，现把平行四边形11AA C C 沿1CC 折起，如图（2）所示，连结1111 B C B A B A ，，.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若16AB =，求二面角11C AB A --的余弦值.20.如图，O 为坐标原点，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为P ，离心率e=12．直线PF 2交椭圆E 于另一点Q ，△PQF 1的周长为8．（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若点R 满足2+u u u r u u u r u u u rPO PQ PR ＝，求△PQR 的面积；（III ）若M 、N 为椭圆E 上异于点P 的两动点，试探究：是否存在点M 、N ，使得△PMN 为正三角形？若存在，求出M 、N 两点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数()ln 1 af x x a x=+-∈R ，. （Ⅰ）若函数()f x 的最小值为0，求a 的值；（Ⅱ）证明：()ln 1sin 0x e x x +->.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的方程为41,532,5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G 的方程为)4sin(22πθρ+=，正方形OABC 内接于曲线G ，且C B A O ,,,依逆时针方向排列，A 在极轴上.（Ⅰ）将直线l 和曲线G 的方程分别化为普通方程和直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 为直线l 上任意一点，求2222PC PB PA PO +++的最小值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数122121)(++-=x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值m ；（Ⅱ）若正实数b a ,满足m ba =+21，且b a x f 2)(+≤对任意的正实数b a ,恒成立，求x 的取值范围.泉州市2019届高三普通高中毕业班第一次模拟质检理科数学参考答案与解析1-5 BABBA 6-10 CCDCC 11-12 AC 13.3 14.]9,1[- 15.π20 16.15.第12题由)3,1(=AC ，)1,3(-=BD ，得||||2AC BD ==uuu r uuu r，且AC BD ⊥u u u r u u u r .法一：注意到⋅的取值只与,,,A B C D 的相对位置关系有关，与具体的坐标位置无关，所以可等价转换命题为：(0,0)A ，(2,0)C ，(,)B x y ，(,2)D x y +，02x <<，20y -<<，求⋅的取值范围. 22(1)(1)2[2,0)AB CD x y ⋅=-++-∈-u u u r u u u r . 选C.第16题分别考察函数()f x 在[0,2],[2,4],...,[14,16)的解析式及图象，得到函数()f x 图象的全貌，然后考察其与函数ln y x =图象的交点，判断交点个数为15.17.解：1(2)n ≥，所以是首项为1，公差为1－1)1=n ，从而S n =n 2．当n=1时，a 1=S 1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2 =2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+L L 11(1)22121nn n =-=++ 由122125n n >+，解得n>12．所以使不等式成立的最小正整数为13． 18.解：（Ⅰ）①处应填入6π．1cos 21()222x f x x ωω+=-+12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤，从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分（Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<，得62A ππ+=，3A π=．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即227)43bc =-，所以3bc =．所以 ABC ∆的面积11333sin 322==⨯=S bc A ． 19.证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形11ACC A 均为边长为2的菱形，且11160ACC B C C ∠=∠=︒.………………………1分在图（1）中，取1CC 中点O ，连结11 AO B O AC ，，，故1ACC △是等边三角形，所以1AO CC ⊥，………………3分同理可得11B O CC ⊥，……………………………4分又因为1AO B O O =I ，所以11CC AOB ⊥平面，……………………………………………………5分又因为11AB AOB ⊂平面，所以11AB CC ⊥.………………………………6分（Ⅱ）由已知得，113 6OA OB AB ===，，所以22211OA OB AB +=，故1OA OB ⊥，…… ………………………………7分如图（2），分别以11 OB OC OA u u u u r u u u u r u u u r，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，得())(10 1 0 3 0 0 0 0 3C B A -，，，，，，，，，()10 2 3A ，，.……8分设平面1CAB 的法向量()111 m x y z =，，， 1 3 0 3AB =u u u u r，，，(0 1 3AC =-u u u r，，，由100AB m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r 得111133030x z y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令11x =,得11z =,13y =，所以平面1CAB 的一个法向量()1 3 1m =，，.……………………………………9分设平面11AA B 的法向量()222 n x y z =，，，()1 3 0 3AB =-u u u u r，，，()10 2 0AA =u u u r，，，由1100AB n AA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r 得22233020x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令21x =，得21z =，2y 0=，所以平面11AA B 的一个法向量为()1 0 1n =，，.…………………………………10分于是10cos 52m n m n m n⋅<>===⨯，，………………………………………11分因为二面角11C AB A --的平面角为钝角，所以二面角11C AB A --的余弦值为10-.……………………………………12分 20.解法一：（Ⅰ）由已知可得，12c a =，4a=8，所以a=2，c=1．又由222b ac =-，解得3b =，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………3分（Ⅱ）因为2=+u u u r u u u r u u u r PO PQ PR ，所以OR QO =u u u r u u u r，所以R ，O ，Q 三点共线，且R 在椭圆E 上．直线PF 2的方程为y=3-(x －1)，由221,433(1),x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩得5x 2－8x=0，解得x=85或x=0，所以P （0，3），Q （85，335-），R （85-，335）．·所以S △PQR =S △POR +S △POQ =12|PO|·|x Q －x R |=116833255⨯⨯=.（Ⅲ）存在点M,N ，当其坐标为(－85,335-)，(85,335-)时，△PMN 为等边三角形证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．当MN ⊥y 轴时，因为∆PMN 为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M ，N 的坐标为（－85，33-），（85，33-），符合题意．当MN 不与坐标轴垂直时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为D （x 0，y 0），由221122221,431,43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，即012121212033()4()4x y y x x x x y y y -+=-=--+，所以k MN =0034x y -．因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即000314x y -=-，解得y 0=-y 0∈[矛盾，此时不存在M ，N 使△PMN 是等边三角形．综上，存在M ，N ，且其坐标为(－85,5-)，(85,5-)时，△PMN 是等边三角形．21.解法一:(Ⅰ)()ln 1a f x x x =+-的定义域为()0 +∞，，且()221'a x af x x x x-=-=.…1分若0a ≤，则()'0f x >，于是()f x 在()0 +∞，上单调递增，故()f x 无最小值，不合题意.……………………………………………………2分若0a >，则当0x a <<时，()'0f x <；当x a >时，()'0f x >.故()f x 在()0 a ，上单调递减，在() a +∞，上单调递增.…………………………3分于是当x a =时，()f x 取得最小值ln a .………………………………………………4分由已知得ln 0a =，解得1a =.综上，1a =.…………………………………………………………5分（Ⅱ）（1）下面先证当()0 x π∈，时，()ln 1sin 0x e x x +->.………………………6分因为()0 x π∈，，所以只要证1sin xe x >ln x -.………………………………………7分由（Ⅰ）可知11ln x x≥-，于是只要证1sin x e x x >，即只要证sin 0x xe x ->.…………………………………………8分令()h x sin x xe x =-，则()()'1cos x h x x e x =+-，当0x π<<时，()()0'1cos 110x h x x e x e =+->⋅-=，所以()h x 在[0 )π，上单调递增.…………………………………………………………9分所以当0x π<<时，()()00h x h >=，即sin 0x xe x ->，故当()0 x π∈，时，不等式()ln 1sin 0x e x x +->成立.………………………………10分（2）当[ )x π∈+∞，时，由（Ⅰ）知11ln x x ≥-，于是有11ln x x≥-，即1ln x x ≥+. 所以1ln x x e e +≥，即x e ex ≥，又因为()1ln ex e x ≥+，所以()1ln x e e x ≥+…………11分所以()()()()()ln 1sin ln 1ln 1sin sin ln sin 0x e x x e x x x e x x e x +-≥++-=++->.综上，不等式()ln 1sin 0x e x x +->成立.……………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）（1）下面先证当()0 x π∈，时，()ln 1sin 0x e x x +->.………………………6分设()sin g x x x =-，则()'cos 1g x x =-，于是当0x π<<时，()'0g x <，所以()g x 在[0 )π，上单调递减，所以当0x π<<时，()g x ()00g <=，所以sin 1xx->-.……………………………7分由（Ⅰ）可知1ln 10x x +-≥，即1ln 1x x-≥-，所以当0x π<<时，()sin ln 1sin 1xx x x-≥->-，………………………………8分于是()0ln 1sin 110x x e x x e e +->->-=，即()ln 1sin 0x e x x +->.………………………………………………9分（2）当[ )x π∈+∞，时，sin 1x ≥-，因为ln 10x ->，所以()()ln 1sin ln 1x x x -≥--，…………………………10分所以()()ln 1sin ln 1x x e x x e x +-≥--. 设()ln 1x h x e x =-+，则()11'0x h x e e x ππ=-≥->，所以()h x 在[ )x π∈+∞，上单调递增，故()()ln 10h x h e πππ≥=-+>，所以()()ln 1sin ln 10x x e x x e x +-≥-->.………………………………11分综上，不等式()ln 1sin 0x e x x -->恒成立.…………………………12分。

福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题(解析版)

泉州市2019届普通高中毕业班单科质量检查文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义即可得解.【详解】集合，，则,故选C.【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.2.若复数满足，则的实部等于（）A. -3B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得z的表达式，根据复数的乘除运算即可化简z,得出的实部.【详解】由可得所以的实部为2，故选D.【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于基础题.3.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（）A. 6B. 12C. 18D. 27【答案】D【解析】【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体的三视图得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S= ,故选D.【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. 15B. 30C. 40D. 60【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．【详解】∵S3-S2=a3，∴a3=6，∴S5=,故选B.【点睛】本题主要考查了等差的性质以及前n项和等基础知识，考查了运算能力，属于基础题.5.设，是条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】逐项进行分析，在A中，l与m相交、平行或异面；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m∥α或m⊂α；在D中，由线面垂直的性质定理得l∥m．【详解】由l，m是条不同的直线，α是一个平面，知：在A中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；在C中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m⊂α，故C错误；在D中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意知该程序运行后输出分段函数y，根据输入x的取值范围求出函数y的值域即可．【详解】由程序框图知，该程序运行后输出函数y=输入x∈[-2，1]时，当x∈[-2，0]时，y=-x2+2x=-（x-1）2+1∈[-8，0]；当x∈（0，1]时，y∈（-1，2]；综上所述，y的取值范围是[-8，2]．故选B．【点睛】本题主要考查了程序框图、条件结构、分段函数的应用问题，是基础题．7.若，满足约束条件则的最大值为（）A. 3B. 5C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z,由图象可知当直线y=-x+z,经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．联立两直线方程得A（1，3），代入目标函数z=x+2y得z=1+2×3=7故选C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行可以求目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．8.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．【详解】函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，,可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数的部分图象大致为C．故选C．【点睛】本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．9.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于，则的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得c，b的关系，从而可求双曲线的离心率．【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x即bx±ay=0，∴顶点到渐近线的距离为∵双曲线（a，b＞0）的顶点到渐近线的距离等于∴=∴c=2b，∵，故选B. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题．10.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，有下列叫个结论：在单调递增；为奇函数；的图象关于直线对称；在的值域为.其中正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由两角和的正弦公式和周期公式可得f（x）的解析式，由图象平移可得g（x）的解析式，由正弦函数的单调性可判断p 1；由奇偶性的定义可判断p2；由正弦函数的对称性可判断p3；由正弦函数的值域可判断p4．【详解】函数的最小正周期为π，可得f（x）=2sin(ωx+）的周期为T=即ω=2，即有f （x）=2sin（2x+）将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，可得g（x）=2sin（2x-+）=2sin （2x-）由x∈可得2x-∈可得g（x）在单调递增，故p1正确；g（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p2错误；由g（）=2sin=-2，为最小值，y=g（x）的图象关于直线x=对称，故p3正确；由x∈可得2x-即有在的值域为故p4错误．故选A．【点睛】本题考查三角函数的图象变换和解析式的求法，同时考查三角函数的奇偶性和单调性、对称性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．11.定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f （2018）=f（0），，然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x）是奇函数；∴f（x+2）=f（-x）=-f（x）；∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；∴f（x）的周期为4；∴f（2018）=f（2+4×504）=f（2）=f（0），,∵x∈[0，1]时，f（x）=2x-cosx单调递增；∴f(0)＜＜∴,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题. 12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=当且仅当x=y=时取等号. ∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则_____.【答案】2【解析】【分析】根据即可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】因为所以∴m=2．故答案为2．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.若函数的图象在点处的切线过点，则______.【答案】1【解析】【分析】求出函数的导数，求出切点坐标，得到切线方程，然后代入（2，2）得到结果即可．【详解】函数f（x）=xlnx+a，可得f′（x）=lnx+1，所以f′（1）=1，又f（1）=a，所以切线方程为：y=x-1+a，切线经过（2，2），所以2=2-1+a，解得a=1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．15.若，，则______.【答案】【解析】【分析】由求得利用二倍角公式即可求解.【详解】由2=.故答案为.【点睛】本题考查了三角恒等变换，配凑角的应用，属于中档题.16.已知是椭圆的右焦点，过原点的直线与交于，两点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】求得椭圆的a，b，c，取左焦点F'，可得四边形MFNF'为平行四边形，由椭圆定义可得|MF|+|NF|=4，设|MF|=x，x∈[1，3]，则|NF|=4-x，则=，运用导数求得单调性，可得最值，即可得到所求范围．【详解】椭圆C：的a=2，b=，c=1，可取左焦点为F'，连接MF'，NF'，可得四边形MFNF'为平行四边形，即有|MF|+|NF|=|MF|+|MF'|=2a=4，设|MF|=x，x∈[1，3]，则|NF|=4-x，则=可令f（x）=,可得f（x）在[1，]递减，（，3]递增，可得f（x）的最小值为f()=,f（1）=,f（3）=即f（x）的最大值为,则的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的定义和方程、性质，考查函数的导数的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：17.已知等差数列的公差，，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【详解】（1）根据题意，得即解得或（不合，舍去），所以.（2）由（1）得，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列.所以【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.中，，，.（1）求；（2）点在边上，，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可求BC，由正弦定理可得sinB的值；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，在△ABD中，设BD=x，由余弦定理可得BD的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】（1）由余弦定理，得：，所以，由正弦定理，得：，则.（2）因为，所以为锐角，，在中，设，由余弦定理得：，即，解得：，即，所以.【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.如图，在四棱锥中，平面，，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与底面所成的角为，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取PA中点Q，连结QD，QE，推导出四边形CDQE是平行四边形，CE∥QD，由此能证明CE∥平面PAD．（2）连结BD，取BD中点O，连结EO，CO，推导出∠ECO是直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°，由V P-ABCD=S•PD，能求出四棱锥P-ABCD的体积．底面ABCD【详解】（1）取中点，连接，，则，且，所以，且，即四边形为平行四边形，，又因为平面，平面，（两条件各1分）所以平面.（2）连接，取中点，连接，，则，且，因为平面，所以平面，则为在平面上的射影，即为直线与底面所成的角，，在等腰直角三角形中，，则，则在中，，，，所以，所以，所以四棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原点），物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于.（1）求的方程；（2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由抛物线定义可得，点P到l的距离等于|PF|=|PQ|，以及点P在线段FQ的中垂线上，则解得p=2，即可求出E的方程，（2）设m的方程为x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根据直线m与圆C相切，可得b2-4b=4n2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出b的值，即可求出m的方程【详解】（1）由已知得，焦点，由抛物线定义得，点到的距离等于，因为，所以，所以、两点不重合，所以点在线段的中垂线上，则，解得，故的方程为.（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，则，所以，由化简得，判別式，且直线与轴交于点，，所以，因为，或，所以，，所以方程是或.解法二：（1）由已知得，设，的准线方程为，由到的距离等于得，，则，解得：或，因为，所以，故的方程为.（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，则，所以，由化简得，判别式，且所以，又原点到直线的距离，所以，所以，因为，或，所以，，所以的方程是或.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦达定理求弦长是常用方法，属于中档题．21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）f′（x）=（x+1）e x-ax-a=（x+1）（e x-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．（2）由xe x-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xe x+1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x＞-1时，a令g（x）=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【详解】解法一：（1）①当时，所以在上单调递减，在单调递增.②当时，的根为或.若，即，所以在，上单调递增，在上单调递减.若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间. 若，即，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；自时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以.当时，恒成立.当时，.令，，设，因为在上恒成立，即在上单调递增.又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以.综上，的取值范围为.解法二：（1）同解法一；（2）令，所以，当时，，则在上单调递增，所以，满足题意.当时，令，因为，即在上单调递增.又因为，，所以在上有唯一的解，记为，，满足题意.当时，，不满足题意.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在直角坐标系中，直线过点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，且，求直线的直角坐标方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用直线参数方程中t的几何意义即可解得直线直角坐标方程.【详解】（1）由，得，曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线的直角坐标方程得，设，是方程的两个实数根，则即，且，由的几何意义得，，所以或（舍去），又因为，所以，故直线的直角坐标方程为即.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数，其中.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式组的解集，结合a的范围求出不等式的解集即可．【详解】（1）若，，则即.当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，即，结合，知此时不等式的解为；当时，原不等式等价于，解得.综上，原不等式的解集为.（2）由，得.此不等式化为不等式组或，即或因为，，所以的解为，所以原不等式的解集为.又由已知原不等式的解集为，可得，故.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。

福建省泉州市2019届高三1月单科质量检查数学理试题(含解析)

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
【命题意图】本小题主要考查集合的概念与基本运算、二次不等式等基础知识，考查运算求解能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算核心素养的关注．
【错选原因】错选A：求体积；
错选B：少计算一个面；
错选D：忘乘．
6．已知实数满足约束条件则的取值范围是
A． B． C． D．
【命题意图】本小题主要考查直线与方程、线性规划等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力和推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，体现基础性、综合性和应用性，导向对直观想象、逻辑推理以及数学建模、数学抽象等核心素养的关注．
【试题简析】首先，，为偶函数，排除C，D．又当时，，排除B．故选A．
【错选原因】错选B：时的函数值判断出错；
错选C：时的函数值判断有误，且函数的奇偶性判断出错；
错选D：函数的奇偶性判断出错.
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(biē nào)．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为
【错选原因】错选B：表达式化简错误或把“增函数”看作“减函数”；
错选D：表达式化简错误或把“增函数”看作“减函数”；
错选A：表达式化简错误或随便乱选.
11．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，交于，过分别作轴的平行线，分别交于两点.若，的面积等于，则的方程为

福建省泉州市2019届高三普通高中毕业班第一次质量检查理科综合物理试题含详解.docx

泉州市2019届普通高中毕业班质量检查理科综合能力测试（物理部分）二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14-18 题只有一项符合题目要求，第1旷21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分1.重核裂变的一个核反应方程为^U+n->^Xe^Sr+xn,已知橙U、拧Xe、^Sr的平均结合能分别为7・6MeV、8・4MeV、8. 7MeV,则A.该核反应方程中x=10B.gu的中子数为92C.该核反应释放9. 5MeV的能量D.gu的平均结合能比器Xe小,叢U比器Xe更稳定【答案】A【分析】根据重核裂变的一个核反应方程可知，本题考查“重核裂变”，根据质量数和电荷数守恒, 平均结合能等知识进行求解。

【详解】A项：根据质量数和电荷数守恒可知，x二10,故A正确；B项：君U的质子数为92,质量数为235,所以中子数为143,故B错误；C项：由于不知道屮子的平均结合能，所以无法确定该核反应释放的能量，故C错误；D项：平均结合能越大，表示原子越稳定，故D错误。

故选：Ao【点睛】考查依据核反应方程确定质量亏损，并由质能方程是正确解题的关键。

2.甲、乙两冰雹从高空由静止落下，假设两冰雹下落过程中空气阻力大小均与速率的二次方成正比，且比例系数相同，甲的质量是乙的2倍，则下落过程中A.甲的最大加速度是乙的2倍B.甲的最大速度是乙的2倍C.甲的最大动量是乙的血倍D.甲的最大动能是乙的4倍【答案】D【分析】根据两冰雹下落过程屮空气阻力大小均与速率的二次方成正比，且比例系数相同，甲的质量是乙的2倍可知，本题考查物体受到阻力时的运动情形，根据牛顿第二定律，动量，动能等知识进行分析解答。

【详解】A项：冰雹下落过程中空气阻力大小均与速率的二次方成正比，所以下落过程中最大加速度为速度为0时，冰雹只受重力，所以加速度均为g,故A错误；B项：当冰雹的重力与阻力相等时加速度为0,速度最大，即有mg = kv2,得：v=搭由丁• 甲的质量是乙的2倍，所以甲的最大速度是乙的血倍，故B错误；C项：动量为：P = mv,由于甲的质量是乙的2倍，甲的最大速度是乙的旋倍，所以甲的最大动量是乙的2血倍，故C错误；D项：动能为：E k = -mv2,由于甲的质量是乙的2倍，甲的最大速度是乙的Q倍，所以甲的最大动能是乙的4倍，故D正确。

福建省泉州市2019届高三1月单科质量检查数学文试题(含解析)

C． D．
【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想等，体现基础性与应用性，导向对直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养，对数学文化的关注．
【试题简析】该几何体可在长方体中还原直观图，该鳖臑是一个底面以3、4为直角边长的直角三角形，高为3的四面体，其体积，故选A．
【试题简析】不妨取双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，即，由题意得，即，从而，得，故选B．
【错选原因】错选A：概念不清，视双曲线的一个顶点为；
错选C：概念不清；
错选D：概念不清，视渐近线方程为，即，由题意得．
10．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，有下列四个结论：
【试题简析】该可行域是一个以为顶点的三角形区域(包括边界)．当动直线过点时，截距取得最大值，此时，故选D．
【错选原因】错选A：误把求最大值求成最小值；
错选B：代入坐标时误把横坐标与纵坐标搞混了；
错选C：误当成动直线过点时，取最大值．
8．函数的部分图象大致为
A．B．C．D．
【命题意图】本小题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，体现综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注．
【试题简析】
解：（1）根据题意，得
即 3分
解得或（不合，舍去），5分
所以．6分
（2）由（1）得，7分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．7分（与前一步等价）

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保密★启用前福建省泉州市2019届高三1月单科质量检查数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。