陕西省西安中学2015-2016学年高二上学期期中考试(理)数学试题(实验班) Word版含答案
陕西省西安市铁一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
陕西省西安市铁一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}21110,242x M x x N x+⎧⎫=-≤=<<⎨⎬⎩⎭，则M N = （ ） A ．[]1,1- B ．()1,1- C ．[)1,1- D ．(]1,1-2．在等差数列{}n a 中，78a =，前7项之和为742S =，则其公差是（ ） A ．13-B ．13C ．23-D ．233．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10．则此射手在一次射击中不够8环的概率为（ ）A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.904．由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，在该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．34 D ．785．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[]481,720的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．146．执行如图的程序框图，若输入的209,76a b ==，则输出的a 是（ ） A ．19 B ．3 C ．57 D ．767．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（ ） A．10 B ．15 C．10D ．358．下列四个结论中正确的个数为（ ）③命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“任意2,0x R x x ∈-≤”； ④“2x >”是“24x >”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，点M 在椭圆上，且11212414,,33MF F F MF MF ⊥==，则离心率e 等于（ ）A10．已知椭圆()22sin cos 102x y αααπ-=≤<的焦点在y 轴上，则α的取值范围是（ A ．3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．命题p ：关于x 的不等式(20x -的解集为{}2x x ≥，命题q ：若函数21y kx kx =--分值恒小于0，则40k -<≤，那么不正确的是（ ）A ．“非p ”为假命题B ．“非q ”为假命题C ．“p 或q ”为真命题D ．“p 且q ”为假命题12．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的()1,t ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足()()222f f x a t at =+，则正实数a 的最小值是（ ）A ．2B ．12 C ．14 D ．18二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()22c a b -⋅=- ，在x =______．14．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则B ∠=______． 15．已知1111ABCD A BC D -是平行六面体，设M 是底面ABCD 中AC 与BD 的交点，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的点，且113BN NC = ，设1MN AB AD AA αβγ=++，则α、β、γ的值分别为______．16．对定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有()()1f x g x -≤成立，那么称函数()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下命题： ①()21f x x =+在区间(),-∞+∞上可被()212g x x =+替代； ②()f x x =可被()114g x x =-替代的一个“替代区间”为13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ③()ln f x x =在区间[]1,e 可被()1g x b x =-替代，则10b e≤≤； ④()()()()()212ln ,sin f x ax xx D g x x x D =+∈=∈，则存在实数()0a a ≠，使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代． 其中真命题的有______．三、解答题（本大题共6小题，17、18、19每小题8分．20、21每小题10分，22题12分，共56分）17．（本题满分8分）已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及值域； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间． 18．（本题满分8分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学12345,,,,A A A A A ，3名女同学123,,B B B ．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求1A 被选中且1B 未被选中的概率． 19．（本题满分8分）已知命题1:p x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；命题q ：不等式2210ax x +->有解；若命题p 是真命题，命题q 是假命题．求a 的取值范围． 20．（本题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形，M 为棱PC 上的动点，且[]()0,1PMPCλλ=∈． （Ⅰ）求证：BC PC ⊥；（Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角P AD M --．21．（本题满分10分）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，，过点F 且与x 轴垂直的直线被（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点()0,2P 的直线l 与椭圆交于不同的两点,A B ，当OA B ∆面积最大值时，求线段AB的长．22．（本题满分12分）已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =． （Ⅰ）求n x 与1n x +的关系式； （Ⅱ）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列，并写出通项公式； （Ⅲ）若3n n n c b λ=-（λ为非零正数，*n N ∈），试确定λ的值，使得对任意*n N ∈，都有1n n c c +>成立．。
2015-2016年陕西省西安中学高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)(实验班)
2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p49．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．210．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．2015-2016学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）已知△ABC中，，且B=30°，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵，∴，即sinC===，则C=60°或120°，故选：A．3．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0易知，又∵ab﹣b2=b（a﹣b）＞0∴∴，故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．5．（5分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣ D．﹣【解答】解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选：A．7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）A．B． C． D．【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，不妨取b=3，则a=5，c=7．∴cosC===﹣，∵C∈（0，π），∴．故选：D．8．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4﹣a n=d＞0，∴命题p1：数【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n﹣na n=（n+1）d+a n，不+1一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞+10，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．9．（5分）在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B．10．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴…，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（）A．只 B．66只C．63只D．62只【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q=6所以{a n}的通项公式：为a n=6n到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：B．11．（5分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【解答】解：由正弦定理得：==2R，（R为三角形外接圆的半径）∴a=2RsinA，b=2RsinB，∴变形为：=，化简得：2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，由A和B为三角形的内角，得到2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：B．12．（5分）若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．【解答】解：．故选：D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．）13．（5分）不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．【解答】解：，变形得：＞0，可化为：或，解得：x＞﹣3或x＜﹣8，则原不等式的解集是（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣8）∪（﹣3，+∞）14．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，则a=6或3．【解答】解：根据正弦定理得∴sinC===∵C∈（0，π）∴∠C=60°或120°①当∠C=60°，∠A=90°，∵a2=b2+c2∴a===6②当∠C=120°，∠A=30°，又∵∠B=30°∴△ABC是等腰三角形，∴a=3综上所示：a的值是6或3．故答案为6或3．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3n+2，则a n=．【解答】解：当n=1时，；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n+2）﹣（3n﹣1+2）=2×3n﹣1．综上可知：a n=，故答案为：a n=，16．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b ＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为4．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（1，4），由图易得目标函数在（1，4）取最大值8，即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）解关于x的不等式x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0．【解答】解：原不等式可化为：（x﹣a）（x+a﹣1）＞0，对应方程的根为x1=a，x2=1﹣a…（2分）（1）当时，有a＜1﹣a，解可得x＜a或x＞1﹣a；…（6分）（2）当时，a=1﹣a得x∈R且；…（10分）（3）当时，a＞1﹣a，解可得x＜1﹣a或x＞a；…（14分）综合得：（1）当时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1﹣a，+∞）；（2）当时，原不等式的解集为；（3）当时，原不等式的解集为（﹣∞，1﹣a）∪（a，+∞）．…（16分）18．（12分）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3分别为等差数列{b n}的第2项和第4项，试求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1=2，a4=16，∴公比q3=8，∴q=2∴该等比数列的通项公式a n=2n；（2）设等差数列{b n}的公差为d，则2d=4，∴d=2，∵b2=a2=4，∴b1=2，∴数列{b n}的前n项和S n=2n+=n2+n．19．（12分）△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．20．（12分）2015年6月1日约21时28分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，A，B是江面上位于东西方向相距5（3+）千米的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的客船东方之星（D点）发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20千米的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解答】解：由题意知，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°．在△ABD中，由正弦定理得：，∴又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°．在△DBC中．由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=∴CD=30（km）救援船到达时间为t=1（小时）答：该救援船到达D点需要1小时．21．（12分）某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？【解答】解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a=（2x﹣10）•=（x﹣5）（y﹣6）=3030﹣6x﹣，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+）≤3030﹣2=3030﹣2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，Smax=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且﹣1，S n，a n+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，试比较T n与﹣的大小．【解答】解：（I）∵﹣1，S n，a n成等差数列，+1∴2S n=a n+1﹣1①当n≥2时，2S n=a n﹣1②．﹣1①﹣②得：2a n=a n+1﹣a n，∴=3．当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，∴a2=3，故=3．∴{a n}是以1为首项3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1…（7分）（II）∵f（x）=log3x，∴f（a n）=log3a n==n﹣1，b n===（﹣），∴T n=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（+﹣﹣）=﹣…（9分）比较T n与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），∵n∈N*，∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T n＜﹣；当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T n=﹣；当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T n＞﹣．…（14分）。
2015-2016学年陕西省西安一中高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年陕西省西安一中高二（下）期中考试数学（理）试题一、选择题1．若复数2()12bib Ri-∈+的实部与虚部互为相反数，则b=（）23C.23- D. 2【答案】C【解析】试题分析：()()()()()()ibbibbiiibiibiz5452254222121212212+--=+--=-+--=+-=，因为实部和虚部互为相反数，所以05452-2=⎪⎭⎫⎝⎛+-+bb，解得，32-=b，故选C.【考点】复数的运算2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】试题分析：反证法的假设是否定结论，“假设三角形内三内角都大于60度”，故选B.【考点】反证法3．若00(2)()lim1xf x x f xx∆→+∆-=∆，则()f x'等于（）A．2 B．－2 C．12D．12-【答案】C【解析】试题分析：()()()()()0000002211222lim limx xf x x f x f x x f xf xx x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，故选C.【考点】导数的定义4．已知()()2216f x x xf'=+-，则()1f'等于（）A．4 B．-2 C．0 D． 2【答案】B【解析】试题分析：()()2216f x x xf'=+-，当1=x时，()()1221ff'+=',解得()21-='f，故选B.【考点】导数5．利用数学归纳法证明121......21111<++++++nn n n (n ∈N ，且n≥2)时，第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是( )A ．增加了121+k 这一项 B ．增加了121+k 和221+k 两项C ．增加了121+k 和221+k 两项，同时减少了k1这一项D ．以上都不对【答案】C【解析】试题分析：当k n =时，不等式左端：kk k k21 (21111)++++++，当1+=k n 时，不等式左端为22112121......312111+++++++++++k k k k k k ，这样变化时增加了增加了121+k 和221+k 两项，同时减少了k1这一项，故选C.【考点】数学归纳法6．若在区间(,)a b 内，()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有( )A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定 【答案】A【解析】试题分析：由条件可得区间()b a ,，函数是单调递增函数，()()0≥>a f x f ，所以()0>x f ，故选A. 【考点】导数与单调性7．设P 为曲线2:23C y x x =-+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A ．1[1,]2-- B ．[1,0]- C ．[0,1] D ．3[1,]2【答案】D【解析】试题分析：根据导数的几何意义，P 点处切线的斜率就是=k ()2200-='x x f ，10≤≤k ，即12200≤-≤x ，解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1，故选D.【考点】导数的几何意义 8．()22sin cos d x x x ππ-+⎰的值为( )A ．0B ．4πC ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：原式等于()()211sin cos -22=--=+-ππx x ，故选C.【考点】定积分9．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),ab 内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A【解析】试题分析：()0>'x f 时，函数单调递增，()0<'x f ，函数单调递减，所以从端点a x =开始，导数是﹢，﹣，﹢，﹣的函数取值，所以函数是先增后减再增，最后是减，所以函数的极小值点有一个，故选A. 【考点】导数与极值【易错点睛】考察了导数与函数的极值，属于基础题型，本题容易出错在误将导函数的图像当成函数的图像，尤其是在原点处，()0>'x f ，函数是单调递增函数，()0<'x f ，函数单调递减，当()00='x f 时，0x 左侧单调递增，右侧单调递减时，0x 是函数的极大值点，当()00='x f 时，0x 左侧单调递减，右侧单调递增时，0x 是函数的极小值点，这样在看图像就不会错了. 10．12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ． 2e 【答案】D【解析】试题分析：xe y 2121='，当4=x 时，()2214e f ='，所以在点()2,4e 处的切线方程是()42122-=-x e e y ，当0=x 时，2e y -=，当0=y 时，2=x ，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是22221e e S =⨯-⨯=，故选D.【考点】导数的几何意义【易错点睛】本题主要考察了导数与导数的几何意义，属于基础题型，本题易错在复合函数的导数计算，对于复合函数()[]x g f y =，首先分为内层函数和外层函数，()u f y =，()x g u =，那么x u x u y y '⋅'='，再由熟记常见函数的导数，0='c ，()1-='αααxx ，()x x cos sin ='，()x x sin cos -='，()a a a x x ln =，()xxee='，()x x 1ln ='，()ax x a ln 1log ='. 11．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32【答案】C【解析】试题分析：根据条件可得，0>a 042≤-=∆ac b ，()b ax x f +='2，()00>='b f ，而()()101++=++='bca b c b a f f ，根据c a ac b ac b +≤≤⇒≤242，即c a b +≤，即1≥+b c a ，所以()()201≥'f f ，故选C.【考点】1.二次函数；2.导数.【方法点睛】本题考察了二次函数与基本不等式相结合的综合性问题，属于中档题型，问题的出发点在对于任意实数x 都有()0f x ≥，即⎩⎨⎧≤∆>00a ，再结合基本不等式，ac c a 2≥+，问题就迎刃而解了，我们经常所使用的不等式包括：ab b a 222≥+，ab b a 2≥+，22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ，22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 等.二、填空题12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，1)(2)2n n ++（ B.14，1)(2)2n n ++（C ．28， 2n D.12，2)2n n +（【答案】A【解析】试题分析：观察所给图形的小正方形，可得()N n n n a a n n ∈≥+=--,211,即312=-a a ，423=-a a ，……，11+=--n a a n n ，这1-n 个式子相加得到()()()()24121311+-=++-=-n n n n a a n ，31=a ，解得()()()()22122332412++=++=++-=n n n n n n a n，验证1=n 成立，当6=n 时，28=n a ，故选A.【考点】数列13．物体的运动方程是s=－31t 3＋2t 2－5,则物体在t=3时的瞬时速度_________________. 【答案】3【解析】试题分析：()t t t s 42+-='，当3=t 时，()33='s ，所以物体在3=t 时的瞬时速度是3，故填：3. 【考点】导数的物理意义14．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 . 【答案】12+=n a n【解析】试题分析：第一个三角形用了3个火柴棒，所以31=a ，以后每增加一个三角形，就增加2个火柴棒，所以成等差数列2=d ，所以()12213+=⨯-+=n n a n ，故填：12+=n a n . 【考点】等差数列15．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 【答案】6【解析】试题分析：()()()()()c x c x c x x c x x f --=-+-='322，当2=x 时，()()()0622=--='c c f ，解得2=c 或6=c ，当2=c 时，()()()232--='x x x f ，321=x 或22=x ，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,32x 时，()0<'x f ，()+∞∈,2x 时，()0>'x f ，当2=x 时，函数取得极小值，不满足条件，当6=c 时，极值点是61=x 或22=x ，当2=x 时，函数取得极大值，满足条件，故填：6.【考点】导数与极值【易错点睛】本题主要考察了导数与函数的极值的应用问题，属于基础题型，函数在2=x 处取得极大值，即()02='f ，但()02='f 是本题的必要条件并不是充分条件，只有2=x 两侧的导数变号，并且是先增后减，()2f 才是函数的极大值，所以利用()02='f 后，还要回代检验2=x 是否是函数的极大值，很多同学错在没检验而增根.16．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作()∞+，0的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．【答案】23434R R ππ='⎪⎭⎫ ⎝⎛；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【解析】试题分析：圆的面积类比为球的体积，圆的周长类比为球的表面积，那么语音可以叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数，故填：23434R R ππ='⎪⎭⎫ ⎝⎛；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【考点】类比推理17．函数g(x)＝ax 3＋2(1－a)x 2－3ax 在区间⎪⎭⎫⎝⎛∞-3,a 内单调递减，则a 的取值范围是________．【答案】01≤≤-a【解析】试题分析：当0≠a 时，()()a x a ax x g 31432--+='，说明⎪⎭⎫ ⎝⎛∞3-a ，是()0<'x g 的子集，所以,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈3,a x 时，()0≤'x g 恒成立，当0=a 时，()04≤='x x g 时，解得0≤x ，即03≤a，解得0≤a ，所以0=a ，当0>a 时，()x g '是开口向上的抛物线，不可能⎪⎭⎫ ⎝⎛∞3-a ，是()0<'x g 的子集，当0<a 时，()x g '是开口向下的抛物线，()036-11622≤+=∆a a 时，无解，所以设()x g '与x 轴的左右两个交点分别为()0,1x A ，()0,2x B ，由韦达定理()aa x x 31421--=+，121-=x x ，解得：()aa a a x 348131221+-+--=，则在点A 左边和点B 右边的部分()0≤'x g ，所以31a x ≥，解得：51-≤≤a ，所以01<≤-a ，综上，01≤≤-a ，故填：01≤≤-a . 【考点】导数与单调性【一题多解】本题考查了导数与函数单调性的应用，属于中档题型，因为本题0>∆恒成立，所以也可列不等式()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛'≥--<0336140a g aa a a ，解得其结果.三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】（1）211=a ，612=a ，1213=a ，2014=a ，（2）()11+=n n a n ，证明详见解析.【解析】试题分析：（1）采用赋值法，令1=n ，11S a =,先求1a ，2=n 时，212a a S +=，求2a ，然后令3=n 和4=n 时，分别求3a 和4a ；（2）根据（1）的结果，将前4项写成211211⨯==a ，321612⨯==a ，4311213⨯==a ，5412014⨯==a ，观察前4项的形式，猜想()11+=n n a n ，最后按数学归纳法证明.试题解析：（1）依题设可得211211⨯==a ，321612⨯==a ，4311213⨯==a ， （2）猜想：()11+=n n a n ．证明：①当n=1时，猜想显然成立． ②假设n=k （*k N ∈）时，猜想成立，即()11k a k k =+．那么，当n=k+1时，()1111k k S k a ++=-+， 即()1111k k k S a k a +++=-+． 又11k k k S ka k =-=+， 所以()11111k k ka k a k +++=-++， 从而()()()()11112111k a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦．即n=k+1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立． 【考点】1.数列；2.数学归纳法.19．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(Ⅰ)5.17升；（Ⅱ）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【解析】试题分析：（Ⅰ）当40=x 时，计算函数值()40f 为每小时耗油量，然后计算时间，最后计算甲地到乙地的耗油量；（Ⅱ）耗油量等于单位耗油量乘以时间，所以()xx x x h 100880312800013⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=，然后计算函数的导数，并计算极值点，以及最小值.试题解析：（I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗没31340408 2.517.512800080⎛⎫⨯-⨯+⨯=⎪⎝⎭（升）。
陕西省西北大学附中2015-2016学年高二(上)期中数学试卷
2015-2016学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共计30分）1．若A与B互为对立事件，且P（A）=0.6，则P（B）=（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．抛掷一枚骰子，向上的面的点数是5或6的概率是（）A．B．C．D．13．已知点A的极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（2，2）B．（1，）C．（﹣，）D．（，﹣）4．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．7．一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成若干个小正方体，从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率为（）A．B．C．D．8．直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交不垂直D．与α有关，不确定9．极坐标方程ρ=2sin（+θ）化为直角坐标方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2=1 B．y=2（x﹣）C．（x﹣）（y﹣）=1 D．4x2+12y2=110．甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时离去，则甲乙两人能够会面的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，共计20分）11．直线2x﹣5y=1的极坐标方程为______．12．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为______．13．某工厂周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，则周六由乙值班的概率是______．14．经过点A（3，0）、垂直于极轴的直线的极坐标方程是______．15．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于______．三、解答题（每题10分，共计50分）16．将语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，计算：（1）语文书在数学书的左边的概率是多少？（2）化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是多少？17．已知直线l过点P（2，1），且倾斜角θ=45o．（1）写出直线的参数方程；（2）求直线l与直线y=2x的交点坐标．18．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．19．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．20．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额0 1000 2000 3000 4000（元）车辆数（辆）500 130 100 150 120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．2015-2016学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共计30分）1．若A与B互为对立事件，且P（A）=0.6，则P（B）=（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【考点】概率的基本性质．【分析】对立事件的概率之和为1．【解答】解：∵A与B互为对立事件，∴P（A）+P（B）=1，又∵P（A）=0.6，∴P（B）=0.4．故选B．2．抛掷一枚骰子，向上的面的点数是5或6的概率是（）A．B．C．D．1【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果数，则根据概率公式可求出正面向上的点数为5或6的概率．【解答】解：抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果数，向上的面的点数是5或6的结果又2种．抛掷一枚骰子，则正面向上的点数为5或6的概率P==．故选：B．3．已知点A的极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（2，2）B．（1，）C．（﹣，）D．（，﹣）【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．【解答】解：x=ρcosθ=2×cos=﹣，y=ρsinθ=2×sin=，∴将极坐标是（2，），化为直角坐标是（﹣，）．故选：C．4．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）A．0 B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先根据题意，做出图象，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，易得其面积，x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，由圆的面积公式可得其在正方形OABC的内部的面积，由几何概型的计算公式，可得答案．【解答】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；故选C．5．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0的可能取值，长度为定义域长度4，得事件f（x0）≤0发生的概率．【解答】解：∵f（x0）≤0，∴x02﹣x0﹣2≤0，∴﹣1≤x0≤2，即x0∈，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈，∴使f（x0）≤0的概率P==．6．有五条线段长度分别为1、3、5、7、9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有C53种结果，而满足条件的事件是3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选B．7．一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成若干个小正方体，从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先计算小正方体总个数，再计算各个面都没有涂红色的个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：一个正方体在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方形被分割成43=64个小正方体，其小正方体各个面都没有涂红色的有（4﹣2）3=8个，故从小正方体中随机的取出一个，则这个小正方体各个面都没有涂红色的概率P==，故选：A8．直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交不垂直D．与α有关，不确定【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把两直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据它们的斜率之积等于﹣1，可得结论．【解答】解：在直角坐标系中，直线θ=α即射线y=tanα x，斜率为tanα．ρcos（θ﹣α）=1即cosαx+sinαy=1，斜率为=﹣cotα，由于tanα×（﹣cotα）=﹣1，故直线θ=α与ρcos（θ﹣α）=1的位置关系是垂直，9．极坐标方程ρ=2sin（+θ）化为直角坐标方程为（）A．（x﹣）2+（y﹣）2=1 B．y=2（x﹣）C．（x﹣）（y﹣）=1 D．4x2+12y2=1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用两角和的正弦函数化简方程，然后转化为普通方程．【解答】解：ρ=2sin（+θ）=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得x2+y2=+y．即：（x﹣）2+（y﹣）2=1．故选：A．10．甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟，过时离去，则甲乙两人能够会面的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9，|x﹣y|＜}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9}，并且事件对应的集合表示的面积是S=1，满足条件的事件是A={（x，y）|8＜x＜9，8＜y＜9，|x﹣y|＜}所以事件对应的集合表示的图中阴影部分，其面积是1﹣2×=，根据几何概型概率公式得到P=．故选：C．二、填空题（每题4分，共计20分）11．直线2x﹣5y=1的极坐标方程为2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化，求解即可．【解答】解：直线2x﹣5y=1的极坐标方程为：2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．故答案为：2ρcosθ﹣5ρsinθ=1．12．向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积小于的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A={△PBC的面积小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）==．故答案为：．13．某工厂周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，则周六由乙值班的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据排列组合的知识求出所有的种数和周六由乙值班的种数，根据概率公式计算即可．【解答】解：周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，共有C62C42C22=90种，周六由乙值班的种数为C51C42C22=30种，故周六由乙值班的概率是=，故答案为：14．经过点A（3，0）、垂直于极轴的直线的极坐标方程是ρcosθ=3．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设直线上的任意一点P（ρ，θ）．PA⊥x轴，在Rt△OAP中，利用边角关系即可得出．【解答】解：如图所示，设直线上的任意一点P（ρ，θ）．PA⊥x轴，在Rt△OAP中，ρcosθ=3．∴满足条件的直线方程为：ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．15．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从袋中任取两球，先利用组合数公式求出基本事件总数，再利用组合数公式求出两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出两球颜色为一白一黑的概率．【解答】解：袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，基本事件总数n==15，两球颜色为一白一黑包含的基本事件个数m==6，∴两球颜色为一白一黑的概率p===．故答案为：．三、解答题（每题10分，共计50分）16．将语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，计算：（1）语文书在数学书的左边的概率是多少？（2）化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是多少？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）语文书在数学书的左边的概率=语文书在数学书的右边的概率；（2）求出语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，有A44=24种方法，化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边，有A44÷A33=4种方法，即可求概率．【解答】解：（1）语文书在数学书的左边的概率=语文书在数学书的右边的概率=；（2）语文、数学、物理、化学四本书任意地排放在书架的同一层上，有A44=24种方法，化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边，有A44÷A33=4种方法，∴化学书在语文书的右边，语文书在物理书的右边的概率是．17．已知直线l过点P（2，1），且倾斜角θ=45o．（1）写出直线的参数方程；（2）求直线l与直线y=2x的交点坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据直线标准参数方程的几何意义得出；（2）把l的参数方程代入y=2x，求出交点对应的参数t，从而得出交点坐标．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）；（2）把代入y=2x得：1+=2（2+t），解得：t=﹣3．∴x=2+×（﹣3）=﹣1，y=1+×（﹣3）=﹣2．∴直线l与直线y=2x的交点坐标为（﹣1，﹣2）．18．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．【考点】等可能事件的概率；随机事件．【分析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照红球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），根据古典概型公式得到结果．【解答】解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，∴事件A的概率为19．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．20．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额0 1000 2000 3000 4000（元）车辆数（辆）500 130 100 150 120（Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）=，P（B）=，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27．（Ⅱ）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得P（C）=0.24．2016年9月29日。
陕西省西安交通大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试(理)数学试题 Word版含答案
交大附中2015-2016学年第一学期高二数学期中考试（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.二项式9)1(x x -展开式中的常数项是（）A ．36-B ．36C ．84-D ．842.设命题p ：存在n n N n 2,2>∈，则p ⌝为（）A ．对任意n n N n 2,2>∈B ．存在n n N n 2,2≤∈C ．对任意n n N n 2,2≤∈D ．存在n n N n 2,2=∈3.已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X p ，则=>)4(X P （）A ．1588.0B ．1585.0C ．1586.0D ．1587.04.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，)100,90[加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A ．588B ．480C ．450D ．1205.某程序框图如图，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．7B ．6C ．5D ．46.书架上有三本数学书和两本语文书，某同学两次分别从书架各取出一本书，取后不放回，若第一次从书架取出一本数学书记为事件A ，第二次从书架取出一本数学书记为事件B ，那么第一次取得数学书的条件下第二次也取得数学书的概率)(A B p 的值是（）A ．103B ．101 C ．21 D ．53 7.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得：8.750605060)20203040(11022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过%1的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B ．在犯错误的概率不超过%1的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C ．有%9.99以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D ．有%9.99以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”。
2015-2016年陕西省西安市高新一中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年陕西省西安市高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）下列曲线中，离心率为2的是（）A．B．C．.D．2．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个腰为1的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α4．（5分）曲线y=x2﹣1与直线y=2x+2轴围成的封闭部分的面积为（）A．B．C．D．5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）B．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）6．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm27．（5分）设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R没有极值点，则（）A．a＞1B．0＜a＜1C．a≥0D．a＞08．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上9．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（）A．B．C．D．二、填空题11．（5分）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于．12．（5分）若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于．13．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的标准方程为14．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是．三、解答题：15．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，P为C1与x轴的交点，已知曲线C2的参数方程为（θ为参数），M，N是曲线C2上的两点且对应的参数分别为θ=α，，其中α∈R．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）求|PM|2+|PN|2的取值范围．17．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面BFG；（Ⅱ）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．18．（12分）已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠0．（Ⅰ）讨论f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（Ⅱ）试比较f（1）﹣1与f（2）﹣2，f（2）﹣2与f（3）﹣3的大小，并由此归纳出f（x）﹣x与f（x+1）﹣（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．20．（12分）对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n，若不等式恒成立，求整数λ的最小值．21．（12分）三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ．求证：．2015-2016学年陕西省西安市高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）下列曲线中，离心率为2的是（）A．B．C．.D．【解答】解：选项A中b=，a=1，c==2，离心率e=2，符合题意．选项B，C中是椭圆的方程，其离心率小于1，排除．选项D中b=，a=1，c==，则离心率e=，不符合题意．故选：A．2．（5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个腰为1的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，∴直观图的面积S=，则原图的面积S′=2S=，故选：D．3．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．4．（5分）曲线y=x2﹣1与直线y=2x+2轴围成的封闭部分的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：由得x2=x+2，即x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=3，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S=[2x+2﹣（x2﹣1）]dx=S=（2x+3﹣x2﹣1）dx=（x2+3x﹣x3）|=（9+9﹣9）﹣（1﹣3+）=，故选：C．5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）B．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【解答】解：观察图象可知，该函数在（2，3）上为连续可导的增函数，且增长的越来越慢．所以各点处的导数在（2，3）上处处为正，且逐渐减小，所以故f′（2）＞f′（3），而f（3）﹣f（2）=，表示的连接点（2，f（2））与点（3，f（3））割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在（2，3）之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则根据刚才的分析，必有：．故选：A．6．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm2）．故选：D．7．（5分）设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R没有极值点，则（）A．a＞1B．0＜a＜1C．a≥0D．a＞0【解答】解：函数f（x）=ax+e x在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．函数f（x）=ax+e x的导数为f′（x）=a+e x，∴a+e x=0无解，∴a=﹣e x无解，∴a≥0故选：C．8．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（）A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解答】解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．故选：B．9．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知：，则PF1⊥PF2，由直线PQ的斜率k=2，则k==2，即丨PF2丨=2丨PF1丨，又椭圆的定义：丨PF2丨+丨PF1丨=2a，∴丨PF1丨=a，丨PF2丨=a，由勾股定理可知：（2c）2=（a）2+（a）2，即：c2=a2，∴e==，故选：A．10．（5分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：左图中，由于32+42=52，即图中AD⊥平面BCD，∴V1=；中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高＜4，于是得V2＜V 1；右图中，高＜2，底面积．∴V3＜＜．∴最大体积为．故选：A．二、填空题11．（5分）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于16π．【解答】解：沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接球的球心为AC的中点，∵正方形ABCD的面积为8，∴AC=4，∴球的半径为2∴三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积等于4π×22=16π故答案为：16π．12．（5分）若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于2．【解答】解：f'（x）=sinx+xcosx，，即函数f（x）=xsinx+1在点处的切线的斜率是1，直线ax+2y+1=0的斜率是，所以，解得a=2．故答案为：2．13．（5分）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，直线4x ﹣3y﹣2=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=10【解答】解：抛物线y2=4x的焦点（1，0），圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称，可得圆的圆心（0，1）；圆的圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离为：=1，直线与圆C相交于A，B 两点，且|AB|=6，所以圆的半径r==．则圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2=10．故答案为：x2+（y﹣1）2=10．14．（5分）已知函数f（x）=e x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函数f（x）有两个零点其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=e x+≥0，是增函数．∴①正确；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）=e x+=0有根x0，且f（x）在（0，x0）上为减函数，在（x0，+∞）上为增函数，∴函数有极小值也是最小值，②正确；③画出函数y=e x，y=alnx的图象，由图可知③不正确；④由②知，a∈（﹣∞，0）时，函数f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且当x在定义域内无限趋于0和趋于+∞时f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）=e x+alnx=0有两个根，④正确．故答案为：①②④．三、解答题：15．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取SC的中点为E，连结ME，ED在△SBC中，M、E分别是SB、SC的中点∴ME∥BC，且ME=BC又BC=2，AD=1，且AD∥BC∴ME∥AD，且ME=AD∴ADEM为平行四边形故AM∥ED．又ED⊂平面SCD，AM⊄平面SCD∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）∵CB⊥AB，CB⊥SA，AB∩SA=A，∴CB⊥平面SAB，∵AM⊂平面SAB，∴CB⊥AM，∵SA=AB，M是棱SB的中点，∴AM⊥SB，∵CB∩SB=B，∴AM⊥平面SBC，∵AM∥ED，∴ED⊥平面SBC，∵ED⊂平面SDC，∴平面SDC⊥平面SBC．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，P为C1与x轴的交点，已知曲线C2的参数方程为（θ为参数），M，N是曲线C2上的两点且对应的参数分别为θ=α，，其中α∈R．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）求|PM|2+|PN|2的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的极坐标方程为，展开为：=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．（II）由方程：x+y﹣2=0，令y=0，解得x=2．∴P（2，0）．M（cosα，﹣2+sinα），N（﹣sinα，﹣2+cosα）．∴|PM|2+|PN|2=（cosα﹣2）2+（sinα﹣2）2+（sinα+2）2+（cosα﹣2）2=18﹣8cosα∈[10，26]．17．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面BFG；（Ⅱ）若三棱锥C﹣DGB的体积为，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）如图所示，连结AE交BF于点O，连结OG，∵O、G分别是AE、CE的中点，∴OG∥AC，∵AC⊄平面BFG，OG⊂平面BFG，∴AC∥平面BFG．解：（Ⅱ）∵V C=•S△BCG•3=，﹣DGB=，∴S△BCG∴S=，△BCE∴三棱柱ADF﹣BCE的体积是：V=3×=．18．（12分）已知点是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），|PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；（4分）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），所以x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ）①（5分）又3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0②以①式代入可得AB的斜率k=（8分）设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得x2+tx+t2﹣3=0，△=3（4﹣t2）＞0，t∈（﹣2，2），x1+x2=﹣t=λ﹣2点M到直线AB的距离为d=，∴（10分）∵或不合题意．故这样的λ不存在（12分）19．（12分）已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠0．（Ⅰ）讨论f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（Ⅱ）试比较f（1）﹣1与f（2）﹣2，f（2）﹣2与f（3）﹣3的大小，并由此归纳出f（x）﹣x与f（x+1）﹣（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（a x+a﹣x）lna，若0＜a＜1，则＜0，lna＜0，所以f′（x）＞0；若a＞1，则＞0，lna＞0，所以f′（x）＞0，因此，任意a＞0且a≠1，都有f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调递增．（Ⅱ）直接计算知f（1）﹣1=0，f（2）﹣2=a+a﹣1﹣2，f（3）﹣3=a2+a﹣2﹣2，根据基本不等式a+a﹣1﹣2＞0，所以f（2）﹣2＞f（1）﹣1，又因为（a2+a﹣2﹣2）（a+a﹣1﹣2）=[（a+a﹣1）2﹣（﹣）2]=（﹣）2（a+a﹣1+1）=（a﹣1）2（a+a﹣1+1）＞0，所以f（3）﹣3＞f（2）﹣2．假设∀x＞0，f（x+1）﹣（x+1）＞f（x）﹣x．记g（x）=[f（x+1）﹣（x+1）]﹣[f（x）﹣x][（a x+1﹣a﹣x﹣1）﹣（（a x﹣a﹣x）]﹣1=﹣1，g′（x）=lna，与（Ⅰ）类似地讨论知，对∀x＞0和∀a＞0且a≠1都有g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即∀x＞0，f（x+1）﹣（x+1）＞f（x）﹣x．20．（12分）对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n，若不等式恒成立，求整数λ的最小值．【解答】解：∵＞2，∴若λ≤1，则有≥1＞2，与题意不符；∴λ＞1，当λ≥2时，由a1，a2，…，a n为n个互不相同的正整数值，∴≤≤==2﹣＜2．∴当λ≥2时，不等式对任意n个互不相同的正整数a1，a2，…，a n恒成立，∴整数λ的最小值为2．21．（12分）三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ．求证：．【解答】解：设三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC的长度分别为a、b、c如图，过C作CD⊥AB于D，连结VD，∵三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC 两两垂直，∴VC⊥AB∴AB⊥面VDC，∴∠VDC就是侧面VAB与地面ABC所成角α．cos2α==；同理cos2β=，cos2γ=．∴cos2α+cos2β+cos2γ=1，所以要证：，只证．只证a2c2+b2c2，又因为：a4+b4≥2a2b2，a4+c4≥2a2c2，c4+b4≥2c2b2，显然a2c2+b2c2，故原命题成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷
）
(A) p : x R, cos x 1 (B) p : x R, cos x 1
(C) p : x0 R,cos x0 1 (D) p : x R, cos x 1
3、设 x R , 则“ x 1 ”是“ 2x2 x 1 0 ”的（
）
2
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这
200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图
( 如下图 ) ．根据频率分
布直方图推测这 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是
。
（第 12 题图）
15、命题“ ax2 2ax 3 0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是
11、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
( D) i 9 ？
广告费用 x（万元） 4
2
3
5
销售额 y（万元）
根据上表可得回归方程
额为（
）
49
26Βιβλιοθήκη 39 54y? b?x a?中的 b?为 9．4，据此模型预报广告费用为
6 万元时销售
(A) 63． 6 万元 (B) 65． 5 万元 (C) 67． 7 万元 (D) 72． 0 万元
的 100 位顾客的相关数据，如下表所示 .
一次购物量
1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数 ( 人 )
x
30
25
y
10
结算时间
1
1.5
2
2.5
3
(min/ 人 )
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陕西省西安中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学（理）试题（实验班）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设a R ∈，则1a >是11a
<的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知ABC ∆中，1AB AC ==，且30B =︒，则角C 的大小为（ ）
A ．60︒或120︒
B ．120︒
C ．60︒
D ．30︒
4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ ）
A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
5．在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 均成立，则（ ）
A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322a -<<
D ．3122
a -<< 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14611,6a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 。
若2,3s i n 5s i n b c a
A B +==，则角C 大小为（ ）
A ．3
π B ．23π C ．34π D ．56π 8．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：
1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；
3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列； 其中的真命题为（ ）
A ．12,p p
B ．34p p
C ．23,p p
D ．14,p p
9．平面直角坐标系中，不等式组1,31
y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩表示的平面区域的面积为（ ） A
．32 C
．2
D ．2 10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去带回了5个伙伴；第2天6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂都归巢后，巢中一共有（ ）只蜜蜂。
A ．()666161--
B ．66
C ．36
D ．2
6 11．在ABC ∆中，若2
2
tan tan A a B b =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
12．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，且73n n S n T n =+，则55
a b 等于（ ） A ．7 B ．23 C ．7013 D ．214
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上。
）
13．不等式223
x x -<+的解集是______. 14．在ABC ∆
中，已知3,30b c B ===︒，则a =______.
15．已知数列{}n a 的前n 项32n n S =+，则n a =______.
16．设,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，
则a b +的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）
17．（本小题满分10分）
解关于x 的不等式()()210x x a a a R --->∈.
18．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若23,a a 分别为等差数列{}n b 的第2项和第4项，试求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．（本小题满分12分）
ABC ∆中，,,a b c 是,,A B C 所对的边，S 是该三角形的面积，且
cos cos 2B b C a c
=-+. （1）求B ∠的大小；
（2）若4,a S ==b 的值.
20．（本小题满分12分）
如图，,A B 是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45,B ︒点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B 点相距
C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达
D 点需要多长时间？
21．（本小题满分12分）
某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.
（1）分别写出用x 表示y ，和用x 表示S 的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）x 取多少时S 取得最大值，最大值为多少？
22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1n N a ∈=，函数()3log f x x =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足()()132n n b n f a =++⎡⎤⎣⎦
，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n T 与52512312
n +-的大小.。