上海市南洋模范中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试卷
2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期末数学试卷及答案
2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）已知||＝3，||＝6，＝12，则在方向上的投影为．2．（3分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a19+a20＝18，则a7+a14＝．3．（3分）数列{a n}的前n项和为s n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为．4．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，则＝．5．（3分）若实数x满足sin x＝﹣．x∈[]，则x＝．6．（3分）已知cos（﹣α）＝，则sin2α＝．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则cos（α﹣β）＝．8．（3分）若1+2cosα+22cos2α+23cos3α+…+299cos99α＝0，α∈（0，π），则α＝．9．（3分）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若＝2，＝λ﹣（λ∈R），且＝﹣4，则λ的值为．10．（3分）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n+2＝f（a n），若a2010＝a2012，则a20+a11的值是．二、选择题11．（3分）设向量＝（x﹣1，1），＝（3，x+1）．则是x＝2的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．（3分）已知曲线C1：y＝cos x，如何变换可得到曲线C2：y＝sin（2x+）（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度D．把C1上上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度13．（3分）下列关于极限的计算，错误的是（）A．＝＝B．（++…+）＝++…+＝0+0+…+0＝0C．（﹣n）＝＝＝D．已知a n＝，则＝＝14．（3分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．15．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD．若动点P从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在16．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110三、简答题17．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sin x cos x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．已知向量，．（1）计算及||、||；（2）设，（其中x≠0），若，试求此时y和x满足的函数关系式y＝g（x），并求g（x）的最小值．19．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．20．已知向量＝（λcosα，λsinα）（λ≠0），＝（﹣sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．（1）若β＝α﹣，求向量与的夹角；（2）若||≥2||对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．21．已知数列{a n}；满足•a n+1＝a n﹣1且a2＝6，设b n＝a n+n，n∈N*．（1）求b1，b2，b3，b4；（2）求{b n}的通项公式：（3）求（+）．2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵||＝3，||＝6，＝12，设，的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，则在方向上的投影为||cosθ＝3×＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．2．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：∵{a n}等差数列，又7+14＝1+20＝2+19，∴a7+a14＝a1+a20＝a2+a19，∴a7+a14＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等差数列的性质，是基础题．3．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：a1＝S1＝1+1＝2，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]＝2n﹣1．当n＝1时，2n﹣1＝1≠a1，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式的灵活运用．4．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；8＝﹣q3，解得q＝﹣2，∴b2＝2．可得＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．5．【考点】&5：三角方程．【解答】解，当sin x＝﹣时，又因为x∈[]，所以π﹣x∈[﹣]，又sin x＝sin（π﹣x），所以π﹣x＝arcsin（﹣）＝﹣arcsin，所以x＝，故答案为：，【点评】本题考查了解三角及反三角与三角的主值区间，属简单题6．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵cos（﹣α）＝∴cosα+sinα＝两边平方得：（1+2sinαcosα）＝∴sin2α＝故答案为：．【点评】本题考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解题的关键是利用差角的余弦公式展开，再两边平方．7．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα＝sinβ＝，cosα＝﹣cosβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos2α+sin2α＝2sin2α﹣1＝﹣1＝﹣方法二：∵sinα＝，当α在第一象限时，cosα＝，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα＝，cosβ＝﹣cosα＝﹣，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣×+×＝﹣：∵sinα＝，当α在第二象限时，cosα＝﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα＝，cosβ＝﹣cosα＝，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣×+×＝﹣综上所述cos（α﹣β）＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题8．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵1+2cosα+22cos2α+23cos3α+…+299cos99α＝0，∴＝0，∴（2cosα）100＝1，且1﹣2cosα≠0，∴2cosα＝﹣1，∴cosα＝﹣，∵α∈（0，π），∴α＝，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的求和公式和三角函数值，考查了运算能力，属于基础题．9．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，＝2，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，又＝λ﹣（λ∈R），∴＝（+）•（λ﹣）＝（λ﹣）•﹣+λ＝（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．10．【考点】8I：数列与函数的综合．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n+2＝f（a n），∴a1＝1，，，a7＝，，∵a2010＝a2012，∴∴a2010＝（负值舍去），由a2010＝得a2008＝…依次往前推得到a20＝∴a20+a11＝故答案为：【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2＝f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题11．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：＝（x﹣1，1），＝（3，x+1）．由，得x2﹣1＝3，即x＝±2，∴是x＝2的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查充分必要条件的判定，是基础题．12．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：把曲线C1：y＝cos x＝sin（x+）的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象向左平移个单位长度，可得到曲线C2：y＝sin（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．13．【考点】6F：极限及其运算．【解答】解：选项A求的是数列极限，采用分子分母同时除以n2后求极限值，正确；选项B应先求数列的前n项和，即，然后求得极限值为1，∴选项B错误；选项C是采用先分子有理化，然后分子分母同时除以n再取极限，正确；选项D是运用等比数列的求和公式先把奇数项和偶数项分别作和，然后求极限值，做法正确．故选：B．【点评】本题考查数列的极限及其求法，解答的关键是消去无穷大项，同时注意先化简再取极限，是基础题．14．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题15．【考点】98：向量的加法．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝（λ﹣μ，μ），当λ＝μ＝1时，＝（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ＝2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ＝1，μ＝0时，＝（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ＝1，当λ＝，μ＝时，＝（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ＝1，故满足λ+μ＝1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ＝0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．16．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n＝+…+＝2n+1﹣1，（n∈N+），则＝a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A 项符合题意．B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．三、简答题17．【考点】3G：复合函数的单调性；GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sin x cos x＝﹣sin2x﹣cos2x＝2sin（2x+）（Ⅰ）f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2，（Ⅱ）∵ω＝2，故T＝π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．18．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）∵，．根据向量数量积的坐标表示可得，＝＝0，||＝＝2，||＝＝1，（2）∵，（其中x≠0），若，则＝0，即＝0，∴y＝g（x）＝结合二次函数的性质可知，当x＝时，函数g（x）有最小值【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示及向量数量积的性质，二次函数的性质的简单应用．19．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3＝12，得b1（q+q2）＝12，而b1＝2，所以q+q2﹣6＝0．又因为q＞0，解得q＝2．所以，b n＝2n．由b3＝a4﹣2a1，可得3d﹣a1＝8①．由S11＝11b4，可得a1+5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n＝6n﹣2，b2n﹣1＝4n，有a2n b2n﹣1＝（3n﹣1）4n，故T n＝2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n＝2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n＝2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1＝＝﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n＝．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．20．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（1）∵向量＝（λcosα，λsinα）（λ≠0），＝（﹣sinβ，cosβ），β＝α﹣，设向量与的夹角为θ，∵•＝λcosα•（﹣sinβ）+λsinα•cosβ＝λsin（α﹣β）＝λsin＝，||＝|λ|，||＝1，∴cosθ＝＝＝±，∴θ＝60°，或120°．（2）若||≥2||对任意实数α、β都成立，∵＝（﹣sinβ﹣λcosα，cosβ﹣λsinα），∴≥2，即（﹣sinβ﹣λcosα）2+（cosβ﹣λsinα）2≥4，即1+λ2+2λsin（β﹣α）≥4．当λ＝0时，不满足条件；当λ＞0时，1+λ2﹣2λ≥4，求得λ≥3，∴λ≥3；当λ＜0时，1+λ2+2λ≥4，求得λ≥3，∴λ≤﹣3，综上可得，{λ|λ≥3 或λ≤﹣3 }．【点评】本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】8H：数列递推式；8J：数列的极限．【解答】解：（1）由可得，当n＝1时，得a1＝1，n＝2时，得a3＝15，n＝3时，得a4＝28，又∵b n＝a n+n，∴b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32；（2）猜想，n∈N*，证明：1°，当n＝1时，，成立；2°，假设n＝k时成立，即，由b k＝a k+k，可得，由，可得＝（k+1）（2k+1）＝（k+1）（2k+2﹣1）＝2（k+1）2﹣（k+1），即n＝k+1时，猜想成立，∴对任意的n∈N*，都有，即数列{b n}的通项公式为：；（3）∵＝＝，∴＝＝＝＝【点评】此题考查了数学归纳法，数列求和等，难度适中．。
2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：值域调性上上，图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。
上海数学高二下期中经典习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13+B ．2C ．22+D ．03．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=4．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=5．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．32B ．3C ．34D ．34-6．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89-B ．89C ．79D ．79-7．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π48．(0分)[ID ：13566]设a b c 、、是单位向量，且·0a b ＝，则()()a cbc -⋅-的最小值为A ．2-B 2C ．1-D ．19．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 10．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 11．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π13．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=且sin cos 4B B =ABC ∆是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形14．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72515．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13724]若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．17．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．18．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.19．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)20．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =，若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.21．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________.22．(0分)[ID ：13700]在△ABC 中，60A ∠=°，M 是AB 的中点，若|AB|=2，|BC|=23，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________. 23．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.24．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.25．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13822]已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 27．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 28．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 29．(0分)[ID ：13740]在△ABC 中，已知内角A ＝，边BC ＝2，设内角B ＝x ，周长为y ．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．30．(0分)[ID ：13827]在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．A4．D5．B6．C7．A8．D9．B10．C11．D12．A13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有20．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.5．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-= B. 6．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.7．A解析：A 【解析】 因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ． 8．D【解析】 【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值. 【详解】,,a b c 是单位向量()()a cbc ∴-⋅- 2·()b a a c c b =-+⋅+()01a b c =-+⋅+1,a b c =+1≥故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yx x x，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．10．C解析：C 【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性12．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.13．A解析：A 【解析】 【分析】由tan A +tan B =tan A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos 4B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】∵tan A +tan B =tan A tan B ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos B B =，∴sin2B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形． 故选A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14．C解析：C 【解析】 【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．15．A解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于 解析：=4ω. 【解析】 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2解析：2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】 【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2， 所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有解析：①④ 【解析】 【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.20．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt △MO解析：(4,2) 【解析】 【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案()(),4,2x y =.【详解】如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=，MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.故答案为：()4,2. 【点睛】本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】解析：3【解析】 【分析】 设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离，由此可得结论.【详解】设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离.因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以3AB =，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确()fλ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应 解析：2316【解析】 【分析】先对DB 、DM 用AB 、DA 表示,并可将DB DM ⋅整理成关于DA 的二次函数,由余弦定理可解得4AC =,即确定DA 的范围,进一步求得其最小值 【详解】由题,DB DA AB =+,12DM DA AM DA AB =+=+, ()222113322cos1202222DB DM DA AB DA AB DA AB DA AB DA DA ⎛⎫∴⋅=+⋅+=++⋅=++⨯⨯︒⎪⎝⎭22332322416DA DA DA ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭设AC x =,由余弦定理得,2222cos60BC x AB AB x =+-︒,即(222222cos 60x x =+-⋅⋅⋅︒,整理后可得2280x x --=,解得4x =或2x =-（舍）[]0,4DA ∴∈ ∴当34DA =时, DB DM ⋅取得最小值为2316故答案为2316【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查平面向量基本定理的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12-【解析】 【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值．【详解】(0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+，12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π，∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-， 123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-，1sinsin()262αβπ-=-=-．故答案为：12-． 【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4【解析】 【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定 3【解析】 【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，3BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+223311cos 60101cos150022x x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++2322x x =-+ 221211616x ⎛=+≥ ⎝⎭，此时4DE x ==，【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题 26．（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】 （Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.27．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．28．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以()()223110BA =-+-=，13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为110510244⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．29．（1）y ＝4sinx ＋＋2；（2）6．【解析】试题分析：（1）由已知条件及正弦定理得到，AB ＝，从而得到周长y ＝4sinx ＋＋2，同时求出角x 的范围即可；（2）由两角差的正弦公式及辅助角公式将（1）中的函数解析式化为y ＝4sin （x ＋）＋2，并结合角x的范围求最值即可．试题解析：（1）△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝，B ＞0，C ＞0，得0＜B ＜．应用正弦定理，得AC ＝·sinB ＝·sinx ＝4sinx ． AB ＝sinC ＝．∵y ＝AB ＋BC ＋CA ， ∴y ＝4sinx ＋＋2． （2）y ＝4（sinx ＋cosx ＋sinx ）＋2＝4sin （x ＋）＋2．∵＜x ＋＜， ∴当x ＋＝，即x ＝时，y 取得最大值6． 考点：①求解析式；②三角函数求最值．30．（123；（2）5. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD ABA ADB=∠∠，根据题设条件，求得2sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得223cos 1255ADB ∠=-=（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得2cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 1255ADB ∠=-=； （2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.。
上海市南洋模范中学2016届高三数学10月检测试题(三)(含解析)
上海市南洋模范中学2016届高三数学10月检测试题（三)（含解析）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1. 若实数a、b满足a2b21，则ab的取值范围是______________．【答案】．【解析】因为实数满足，解得的取值范围是,故答案为。
2. 设是一元二次方程的两个实根,则的最小值为______________．【答案】8．【解析】根据题意得，即，或，,当时,,当时,，的最小值，故答案为.3. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x)2x2x b（b为常数），则f（1）______________．【答案】3．【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，所以当时,，又因为为定义在上的奇函数，所以，故答案为.4。
已知集合A{(x,y）｜2<y<1，x Z，y Z｝，,则A B的真子集的个数为______________．【答案】15．【解析】或，或，,所以集合的真子集的个数为，故答案为.5. 函数的单调递增区间是______________．【答案】．【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为。
【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题。
复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减"的含义（增增增,减减增,增减减，减增减)。
6. 不等式的解集为______________．【答案】 )【解析】因为且，所以原不等式的解集是，故答案为。
7。
已知二次函数的值域为[0,），则的最小值为__________．【答案】4．【解析】因为二次函数的值域为，，,当且仅当时取等号，而,故答案为。
8。
若三角方程有解，则实数m的取值范围是______________．【答案】．【解析】令,则，因为三角方程有解，所以直线与正弦曲线有公共点，，故答案为。
上海市南洋模范中学2016-2017学年高二上学期期中考试化学试题 Word版含答案
2016学年第一学期南模中学高二年级化学学科期中考试卷（等级考）可能用到的相对原子质量：Na-23 C-12 H-1 O-16 Na-23 Al-27一、选择题（本题共40分，每小题2分，只有一个正确选项）1、符号“3P x”没有给出的信息是（）A、电子层B、电子亚层C、电子云的伸展方向D、电子的自旋2、某元素的离子带2个单位正电荷，它的核外电子排布为此元素在周期表中的位置是（）A、第二周期零族B、第三周期ⅡA族C、第二周期ⅥA族D、第三周期IIA3、下列有关金属的描述正确的是（）A、金属都是银白色、都有金属光泽，能导电、导热，有延展性B、金属在常温下都是固体C、短周期中，导电导热性最好的金属是AlD、在周期表中就是的种类比非金属少4、下列各项中，能得到氢氧化铝的是（）A、氧化铝加到热水中B、NaAlO2溶液中加入足量CO2C、铝投入氨水中D、NaOH溶液中滴入少量AlCl3溶液5、化学与生产、生活息息相关,下列叙述错误的是（）A、铝罐久盛食醋B、氢氧化铝可做胃酸的中和剂C、铁表而镀锌可以增强其抗腐蚀性D、含重金属离子的电镀废液不能随意排放6、元素性质呈现周期性变化的根本原因是（）A、元素原子电子层数增大B、元素的化合价呈现周期性变化C、元素原子最外层电子数呈现周期性变化D、核电荷数依次增大7、上海世博园地区的一座大型钢铁厂搬迁后，附近居民将不再受到该厂产生的棕红色烟雾的困扰。
你估计这一空气污染物可能含有（）A、FeO粉尘B、Fe2O3粉尘C、Fe粉尘D、碳粉8、最近，科学家冶炼出了纯度高达99.999 9%的铁，你估计它不会具有的性质是()A、硬度比生铁低B、与4 mol·L-1的HCl反应时速率比生铁快C、在冷的浓硫酸中可钝化D、在潮湿的空气中不易生锈9、在下列混合溶液中,加入过量的氨水产生沉淀,再加入过量的氢气化钠溶液,沉淀消失的是()A、NaCl和MgCl2B、NaNO3和AgNO3C、K2SO4和Al2(SO4)3D、MgCl2和AlCl310、要从含Al3+、Fe3+、Ba2+、Ag+的溶液中分别沉淀出Fe3+、Ba2+、Ag+，加入试剂的顺序正确的是（）A、HCl、H2SO4、NaOHB、NaOH、HCl、H2SO4C、HCl、H2SO4、NH3·H2OD、HCl、NaOH、H2SO411、在前一种分散系中慢慢滴加后一种试剂，能观察到先有沉淀生成后变澄清的是()①氯化铝溶液中滴加氢氧化钠溶液②偏铝酸钠溶液中滴加盐酸③氢氧化钠溶液中滴加氯化铝溶液④氯化铝溶液中滴加氨水A．①②B．②③④C．①②④D．③④12、人体正常的血红蛋白中应含Fe2＋。
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
算能力，属于中档题． 4.【答案】D
【解析】
解：函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线
对称，且
， 则 ω 取最小时， • = - ，∴ω=2，
再根据 2• +φ= ，2• +φ=2π，求得 φ= ， 故选：D．
由题意利用正弦函数的图象和性质，求得 ω 取最小时，ϕ 的值．
（1）求函数 f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求 f（x）在区间[0，���4���]上的最大值和最小值及相应的 x 值；
18. 如图，在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点是原点，始 边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A，且
������
∈
(���6���，���2���)．将角
围．
本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，
考查运算能力，属于中档题． 10.【答案】[ ‒ ���6���，���2���]
【解析】
解：∵- ≤x≤ ，
∴-
，
∴- ≤arcsin（cosx）≤ ．
∴函数 故答案为：[- ， ]．
的值域为[- ， ]．
由- ≤x≤ ，得到-
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
1
5.【答案】5
【解析】
解：∵角 α 的终边在射线 边上任意取一点 P（x，y），
上，故 α 的终边再第二象限，在 α 的终
取 x=-3，y=4，则 r=|OP|=5，∴sinα= = ，cosα= =- ，∴sinα+cosα= ， 故答案为： ． 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sinα 和 cosα 的值，可得 sinα+cosα 的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
上海市高二下学期期中数学试卷(理科)
上海市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·漳州模拟) 复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分）用反证法证明“如果，那么”时，假设的内容应是（）A .B .C . 且D . 或3. （2分）已知（1+ax）5 的展开式中x2的系数为40，则a=（）A . ±1B . ±2C . 2D . ﹣24. （2分）函数f（x）=x3﹣ax2+x在x=1处的切线与直线x+2y﹣3=0垂直，则a的值为（）A . 3B . 2C . 1D . ﹣15. （2分）如图，一环形花坛成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选择，要求在每块地里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为（）A . 48B . 60C . 84D . 966. （2分）已知（1﹣i）z=2+i，则z的共轭复数=（）A . +iB . ﹣iC . +iD . ﹣i7. （2分）(2017·莆田模拟) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·河南期中) 已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A .B .C .D .9. （2分）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·唐山期末) 在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2016·铜仁) 给出如下四个命题：①若“”为假命题，则均为假命题；②命题“若,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“”是“”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）已知函数f（x）=lnx+2sinα（α∈（0，））的导函数f′（x），若存在x0＜1使得f′（x0）=f（x0）成立，则实数α的取值范围为（）A . （，）B . （0，）C . （，）D . （0，）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·湖南理) 已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=________．14. （1分）设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．15. （1分）一质点从坐标原点出发运动，每次它可选择“上”，“下”，“左”，“右”中的一个方向移动一个长度单位．则移动4次又回到原点的不同的移动方法数有________种（写出具体数字）．16. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 观察以下三个等式：sin215°﹣sin245°+sin15°cos45°=﹣，sin220°﹣sin250°+sin20°cos50°=﹣，sin230°﹣sin260°+sin30°cos60°=﹣；猜想出一个反映一般规律的等式：________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？18. （10分） (2016高二下·江门期中) 已知a∈R，函数f（x）=x2（x﹣a）．（1）若函数f（x）在区间内是减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．19. （5分）(2017·九江模拟) 如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为．20. （5分）整数p＞1．证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．21. （10分）(2017·巢湖模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x ﹣2）2+y2= 的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程，（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB 为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．22. （10分）(2018·广东模拟) 已知函数，（其中为常数），．（1）求的最大值；（2）若在区间上的最大值为，求的值；参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2016-2017年上海市浦东新区高二下学期期中数学试卷及答案
2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．（3分）过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为．2．（3分）直线3x+y+2=0的倾斜角为．3．（3分）直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．4．（3分）直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．5．（3分）若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=．6．（3分）已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围．7．（4分）过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为．8．（4分）已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程．9．（4分）若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=．10．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．11．（4分）已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围．12．（4分）设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值．二、选择题（每题4分）．13．（4分）若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（4分）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A．+=1B．+=1或+=1C．+=1D．+=1或+=115．（4分）圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．16．（4分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能三、解答题（共42分）．17．（6分）已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．18．（8分）△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．19．（6分）如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．20．（10分）已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．（3分）过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为=．【解答】解：根据题意，直线l过点P（3，5），且以向量=（4，2）为方向向量，则其方程为：=；故答案为：=．2．（3分）直线3x+y+2=0的倾斜角为π﹣arctan3．【解答】解：根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，直线3x+y+2=0的斜率k=﹣3，则有tanθ=﹣3，又由0≤θ＜π，则θ=π﹣arctan3；故答案为：π﹣arctan3．3．（3分）直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．【解答】解：由平行线间的距离公式可得：直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为d=．故答案为：．4．（3分）直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．【解答】解：解方程组，整理得x2﹣2x﹣4=0，解得x=或x=．∴直线y=x+1被曲线截得的交点坐标是A（，），B（，），∴直线y=x+1被曲线截得的线段的长|AB|==．故答案为：．5．（3分）若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=0或﹣1．【解答】解：∵直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，∴，解得：m=0或m=﹣1．故答案为：0或﹣1．6．（3分）已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围﹣3＜m＜2且x≠﹣．【解答】解：根据题意，方程表示椭圆，则有，解可得：﹣3＜m＜2且x≠﹣，故答案为：﹣3＜m＜2且x≠﹣．7．（4分）过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x﹣+4=0．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，∵过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，∴tan=||，∴=，或=﹣，由=，得3k﹣3=，k不存在，此时直线方程为x+1=0，由=﹣，得，解得k=，此时直线方程为y﹣=（x+1），即x﹣+4=0．∴过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x ﹣+4=0．故答案为：x+1=0或x﹣+4=0．8．（4分）已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程（x﹣2）2+（y+1）2=4．【解答】解：∵一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d==，∵圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，∴此圆半径r==2，∴此圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=4．9．（4分）若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k= 4．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在y轴上，设其焦点为F1、F2，若两焦点和两顶点构成一个正方形，则两顶点在x轴上，设x轴上两顶点问为A、B，如图所示，若四边形AF1BF2为正方形，则有b=c，则a2=b2+c2=2b2，则有k+4=2×4，解可得k=4；故答案为：4．10．（4分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．【解答】解：如图，，．∴直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．11．（4分）已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围（﹣，﹣1] ．【解答】解：移项得=﹣x﹣m，∵关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，∴半圆y=与直线y=﹣x﹣m有两个交点，故当直线y=﹣x﹣m经过点（1，0）时，m=﹣1，当直线y=﹣x﹣m与半圆相切时，，即m=﹣或m=（舍）．∴﹣＜m≤﹣1．故答案为：（﹣，﹣1]．12．（4分）设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值44．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P9九个点，易知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，∴2（|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|）=9×8=72，即|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，则|F1A|+|F1B|=2a=8，∴|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|=36+8=44，故答案为：44．二、选择题（每题4分）．13．（4分）若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：根据曲线与方程的关系可知，因为F（a，b）=0，所以点P的坐标满足方程，所以点P在曲线上．反之，满足F（a，b）=0的实数对（a，b）和点P对应．所以F（a，b）=0是点P在曲线C上的充要条件．故选：C．14．（4分）椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A．+=1B．+=1或+=1C．+=1D．+=1或+=1【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2﹣c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：，故椭圆的标准方程为：或，故选：B．15．（4分）圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r==，∴圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d==，∴圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值：d max==．故选：C．16．（4分）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．由于三种情况均有可能，故选：D．三、解答题（共42分）．17．（6分）已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．18．（8分）△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．【解答】解：（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即3x﹣2y﹣1=0（2）联立⇒A（1，1）AC的中点，则AC边的中线所在直线的方程为x=3．19．（6分）如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设圆的半径为r，在Rt△O1OA中：OA=20，OO1=r﹣5，O1A=r；∴r2=202+（r﹣5）2，解得r=42.5；∴圆的方程为x2+（y+37.5）2=42.52；令x=10，求得y=3.81（米），即所求直立柱的高度为3.81米．20．（10分）已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．【解答】解：（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，∵直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点，∴△=4（m+1）2﹣8（4m﹣4）＞0，解得，∴m的取值范围是（﹣3﹣3，﹣3+3）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴+m×+m2=0解得m=﹣4或m=1．直线l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．【解答】解：（1）椭圆的焦点为，c=2，由a﹣c=3﹣2．a=3，则b2=a2﹣c2=1故曲线C的方程为．（2）方法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），设直线方程为y=﹣2x+t，，﹣4tx+t2﹣1=0，，∴x﹣18y=0，，则x2=±，则﹣＜x＜，∴线段EF的中点N的轨迹方程是：x﹣18y=0，﹣＜x＜，方法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．∵A、B在曲线C上，∴，．将以上两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+9（y1﹣y2）（y2+y2）=0，即=﹣，则﹣2=﹣，∴线段EF的中点N的轨迹方程：x﹣18y=0，﹣＜x＜；（3）设直线PQ的方程是：my=x+2，x=my﹣2，代入得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，则，令t=m2+9≥9，，当t=16，即时，∴，△PQO的面积的最大值为．。