2019-2020年高考数学大一轮复习第五章数列课时跟踪检测二十八数列的概念与简单表示法练习文

2019-2020年高考数学大一轮复习第五章数列课时跟踪检测二十八数列的概念与简单表示法练习文一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n2n －3D ．n2n ＋3解析：选B 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，由于n ＝1时a 1的值不适合n ≥2的解析式，故通项公式为选项C ．3．若a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，当a n >100时，n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由a 1＝12，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)得，a 2＝4a 1＋1＝4×12＋1＝3，a 3＝4a 2＋1＝4×3＋1＝13， a 4＝4a 3＋1＝4×13＋1＝53，a 5＝4a 4＋1＝4×53＋1＝213>100．4．(xx·肇庆三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由a n －a n －1＝n 得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，上面(n －1)个式子相加得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)．又n ＝1时也满足此式，所以a n ＝12n (n ＋1)．答案：12n (n ＋1)5．(xx·南昌模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1． 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A ．－n＋12B ．cos n π2 C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．2．(xx·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 017＝( )A ．1B ．0C ．2 017D ．－2 017解析：选A ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2 017＝a 1＝1．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n－1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n－2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为等比数列，公比为2，首项为2，所以a n ＝2n．4．设曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝( )A ．2 0162 017B ．12 017C ．2 0172 018D ．12 018解析：选D 由f (x )＝xn ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝12×23×…×2 0172 018＝12 018．5．(xx·衡水中学检测)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ． 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7．∴满足条件的n 的值为7．6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0．08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0．08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0． 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．答案：107．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝________，|a n ＋a n ＋1|＝________(n >1)．解析：由a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，得a 2＝a 21－1＝12－1＝0，a 3＝a 22－1＝02－1＝－1， a 4＝a 23－1＝(－1)2－1＝0，a 5＝a 24－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n >1，n 为奇数时a n ＝－1，n 为偶数时a n ＝0， ∴a 2 017＝－1，|a n ＋a n ＋1|＝1． 答案：－1 18．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28．答案：289．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4． (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ． 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4．(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4．因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3．因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2． (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3．所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97．答案：972．(xx·甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n <12． 证明：(1)由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋19，即a n ＋1＋19a n ＋19＝10．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，其中首项为a 1＋19＝100，公比为10，所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，即a n ＝10n ＋1－19．(2)由(1)知b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1，即1b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2． 所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12．2019-2020年高考数学大一轮复习第五章解三角形练习文第30课 正弦定理与解三角形A 应知应会1.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则角B的大小为.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,c=,A=45°,则C= .3.在△ABC中,已知9cos2A-4cos2B=5,那么= .4.在△ABC中,若AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3a cos C=2c cos A,tan A=,求角B的大小.6.(xx·苏北四市期末)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A=,tan(A-B)=-.(1) 求tan B的值;(2) 若b=5,求c的值.B 巩固提升1.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC= .2.(xx·泰州中学改编)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若<C<,且=,则△ABC的形状为.3.在锐角三角形ABC中,若BC=1,B=2A,则的值等于,AC的取值范围是.4.(xx·苏州、无锡、常州、镇江一调) 若一个钝角三角形的三个内角成等差数列,且最长边与最短边的长度之比为m,则实数m的取值范围是.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,b sin-c sin=a.(1) 求证:B-C=;(2) 若a=,求△ABC的面积.6.在△ABC中,已知2a cos B=c,sin A sin B(2-cos C)=sin2+,试判断△ABC的形状.第31课余弦定理与解三角形A 应知应会1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,B=,c=2,则b= .2.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则角C的大小为.3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b= .4.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,那么△ABC的面积为.5.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1) 求证:sin A sin B=sin C;(2) 若b2+c2-a2=bc,求tan B的值.6.(xx·南通一模)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1) 求角C的大小;(2) 若c=2a cos B,b=2,求△ABC的面积.B 巩固提升1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为.2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若lg(a+c)+lg(a-c)=lg b-lg,则A= .3.已知钝角三角形ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且S△ABC=.若c=1,a=,则b= .4.若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1) 求角B的大小;(2) 若a+c=1,求b的取值范围.6.如图,角A,B,C,D为四边形ABCD的四个内角.(1) 求证:tan=;(2) 若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.(第6题)第32课解三角形的综合应用A 应知应会1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,轮船A的航行速度是25 n mile/h,轮船B的航行速度是15 n mile/h,那么下午2时时两船之间的距离为.2.小明同学骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S 在北偏东30°的方向上,15 min后到达点B处,望见电视塔S在北偏东75°的方向上,则电动车在点B时到电视塔S的距离是.(第3题)3.如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,现沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点之间的距离为m.4.(xx·南师附中)在Rt△ABC中,若C=90°,且角A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是.5.(xx·启东中学)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=.(1) 求角A的大小;(2) 若a,c,b成等差数列,试判断△ABC的形状.6.(xx·如东期中)在△ABC中,已知B=,D是边BC上一点,AD=5,CD=3,AC=7.(1) 求∠ADC的大小;(2) 求·的值.B 巩固提升1.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,那么BD的长为.(第1题)2.如图,某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径为m.(第2题)3.(xx·苏州、无锡、常州、镇江调研)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,则△ABC的面积等于.4.(xx·湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西60°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶D在北偏西15°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.(第4题)5.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两处到A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8 s后A,C同时接收到该声波信号.已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1) 设A到P的距离为x km,用x表示B,C两处到P的距离,并求x的值;(2) 求P到海防警戒线AC的距离.(结果精确到0.01 km)(第5题)6.(xx·苏州一模)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一条对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5 m长的材料弯折而成,边BA,AD用一根9 m长的材料弯折而成,要求∠A和∠C互补,且AB=BC.(1) 设AB=x m,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;(2) 求四边形ABCD面积的最大值.(第6题)第五章解三角形第30课正弦定理与解三角形A 应知应会1.45°【解析】由正弦定理可得=,即sin B==,注意到内角和为180°,且a>b,所以B=45°.2.60°或120°【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,即=,解得sin C=,所以C=60°或120°.3.【解析】由9cos2A-4cos2B=5,得9(1-2sin2A)=5+4(1-2sin2B),所以9sin2A=4sin2B,即3sin A=2sin B.由正弦定理得==.4.或【解析】由正弦定理有=,得sin C=,即C=60°或120°,则A=90°或30°,所以△ABC 的面积为或.5.【解答】由题设及正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A,故3tan A=2tan C.因为tan A=,所以tan C=,所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)==-1.因为B∈(0,180°),所以B=135°.6.【解答】(1) 方法一:在锐角三角形ABC中,由sin A=,得cos A==,所以tan A==.由tan(A-B)==-,得tan B=2.方法二: 在锐角三角形ABC中,由sin A=,得cos A==,所以tan A==,所以tan B=tan[A-(A-B)]===2.(2) 由tan B=2,得sin B=,cos B=,所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=.由正弦定理得=,则c==.B 巩固提升1.【解析】因为A,B,C依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理得=,即sin A===,所以A=30°或150°(舍去),所以C=90°,所以S△ABC=ab=×1×=.2.等腰三角形【解析】因为=,所以=,所以=.由正弦定理得sin B=sin2C,所以B=2C或B+2C=π.若B=2C,由<C<,知<2C,即<B,所以B+C>π,与三角形内角和为π矛盾,故B=2C舍去.所以B+2C=π,所以A=π-(B+C)=π-(π-2C+C)=C,故△ABC为等腰三角形.3.2(,)【解析】由正弦定理得=,则=,即=.因为sin A≠0,故=2,所以AC=2cos A.又由已知得角A的大小满足解得<A<,故cos A∈,所以AC的取值范围为(,).4. (2,+∞)【解析】由三角形的三个内角成等差数列,得中间角为60°.设最小角为α,则最大角为120°-α,其中0°<α<30°.由正弦定理得m==·+>×+=2.故实数m的取值范围为(2,+∞).5.【解答】(1) 由正弦定理及b sin-c sin=a,得sin B sin-sin C sin=sin A,即sin B sin C+cos C-sin C sin B+cos B=,整理得sin B cos C-cos B sin C=1,即sin(B-C)=1.由于0<B,C<,从而B-C=.(2) 因为B+C=π-A=,所以B=,C=.由a=,A=,得b==2sin,c==2sin,所以△ABC的面积S=bc sin A=sinsin=cossin=.6.【解答】由正弦定理得2sin A cos B=sin C.在△ABC中,A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),所以2sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B,整理得sin A cos B=cos A sin B,所以tan A=tan B.因为A,B∈(0,π),所以A=B.又sin A sin B(2-cos C)=sin2+,所以sin A sin B=sin2+,所以sin A sin B=·,所以sin A sin B=.又A=B,所以sin A=sin B=.因为A,B∈(0,π),所以A=B=,所以C=,所以△ABC是等腰直角三角形.第31课余弦定理与解三角形A 应知应会1. 22.30°【解析】由余弦定理可得cos C===,所以C=30°.3. 54.15【解析】由题意可设三边长分别为a-4,a,a+4,则由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos 120°,解得a=10,则S△ABC=a(a-4)sin 120°=15.5.【解答】(1) 根据正弦定理可设===k(k>0),则a=k sin A,b=k sin B,c=k sin C.代入+=中,得+=,变形可得sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin A sin B=sin C.(2) 因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos A==,所以sin A==.由(1)知sin A sin B=sin(A+B),所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.6.【解答】(1) 在△ABC中,由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得=-,即cos C=-.因为0<C<π,所以C=.(2) 方法一:因为c=2a cos B,由正弦定理得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B),所以sin(A+B)=2sin A cos B,即sin A cos B-cos A sin B=0,即sin(A-B)=0.又-<A-B<,所以A-B=0,即A=B,所以a=b=2,所以=ab sin C=×2×2×sin=.方法二:由c=2a cos B及余弦定理,得c=2a·,化简得a=b,所以S△ABC=ab sin C=×2×2×sin=.B 巩固提升1.或【解析】由余弦定理得=cos B,结合已知等式得 cos B·tan B=,所以sin B=,所以B=或.2.120°【解析】由题意得lg[(a+c)(a-c)]=lg[b(b+c)],所以(a+c)(a-c)=b(b+c),所以b2+c2-a2=-bc,所以cos A==-,所以A=120°.3.【解析】因为S△ABC=,所以ac·sin B=,即sin B=.若B为锐角,则cos B==,则b==1,所以a=,b=c=1,所以△ABC是等腰直角三角形,这与△ABC为钝角三角形矛盾,所以B为钝角,则cos B=-=-,所以b==.4.【解析】由sin A+sin B=2sin C,结合正弦定理可得a+b=2c.又由余弦定理得cos C===≥=,所以≤cos C<1,故cos C的最小值为.5.【解答】(1) 由已知得-cos(A+B)+cos A·cos B-sin A cos B=0,即sin A sin B-sin A cos B=0.因为sin A≠0,所以sin B-cos B=0.又cos B≠0,所以tan B=.因为0<B<π,所以B=.(2) 由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B.因为a+c=1,cos B=,所以b2=3+.又0<a<1,所以≤b2<1,即有≤b<1.故b的取值范围为.6.【解答】(1) 因为A为四边形ABCD的内角,所以0<<90°,所以sin≠0,所以tan===. (2) 由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B,故tan+tan+tan+tan=+++=+.连接BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C,所以AB2+AD2-2AB·AD cos A=BC2+CD2+2BC·CD cos A,则cos A===,所以sin A===.连接AC.同理可得cos B===,所以sin B===.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.第32课解三角形的综合应用A 应知应会1. 70 n mile【解析】设轮船A,B航行到下午2时时所在的位置分别是E,F,则依题意有CE=25×2=50,CF=15×2=30,且∠ECF=120°,所以由余弦定理得EF==70.(第2题)2. 3 km【解析】如图,由条件知AB=24×=6.在△ABS 中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,所以∠ASB=45°.由正弦定理知=,故BS=·sin 30°=3.3. 20【解析】如图,由题设知△BDC为等腰直角三角形,故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A,B,C,D四点共圆,所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA中,运用正弦定理可得AB=20.(第3题)4.(1,]【解析】x===sin A+cos A=sin.又A∈,所以<A+<,所以<sin≤1,即x∈(1,].5.【解答】(1) 由正弦定理得=,整理得a2=b2+c2-bc,又由余弦定理得cos A=.因为A是△ABC 的内角,所以A=.(2) 因为a,c,b成等差数列,所以2c=a+b.由(1)可知a2=b2+c2-bc,所以(2c-b)2=b2+c2-bc,整理得3c2-3bc=0, 由c>0,得b=c,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形.6.【解答】(1) 在△ADC中,由余弦定理得AD2+CD2-2AD·CD cos∠ADC=AC2.将AD=5,CD=3,AC=7代入上式中,得cos∠ADC=-.因为0<∠ADC<π,所以∠ADC=.(2) 在△ABD中,由正弦定理得=,所以AB=×sin∠ADB=,所以·=×5×cos=.B 巩固提升1.【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以在△ABD 中,cos∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin∠BAC=,所以BD==.2. 50【解析】如图,连接OC.在△OCD中,OD=100,CD=150,∠CDO=60°,由余弦定理可得OC2=1002+1502-2×100×150×=17 500,则OC=50.(第2题)3.【解析】在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,所以2cos A=.又由余弦定理得cos A==,所以2×=,解得b=5,所以cos A=×=,故sin A=,故△ABC的面积等于×5×6×=.4. 100【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根据正弦定理知=,即BC=×sin∠BAC=×=300,所以CD=BC×tan∠DBC=300×=100.5.【解答】(1) 由题意知PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.在△PAB中,AB=20,所以cos∠PAB===.在△PAC中,AC=50,所以cos∠PAC===.因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以=,解得x=31.(2) 过点P作PD⊥AC于点D.在△ADP中,由cos∠PAD=,得sin∠PAD==,所以PD=PA·sin∠PAD=31×=4≈18.33.6.【解答】(1) 在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A.在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C.因为∠A和∠C互补,所以AB2+AD2-2AB·AD·cos A=CB2+CD2-2CB·CD·cos C=CB2+CD2+2CB·CD·co s A,即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A=x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A,解得cos A=,即f(x)=,其中x∈(2,5).(2) 四边形ABCD的面积S=(AB·AD+CB·CD)sin A=[x(9-x)+x(5-x)]·=x(7-x)·==.记g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5).令g'(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)·(2x-14)=2(x-7)(2x2-7x-4)=0,解得x=4.故函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减.因此g(x)在区间(2,5)内的最大值为g(4)=12×9=108,所以S的最大值为=6.。