高等数学(二)第九章 多元函数微分法及应用 应用题
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集二元的序实数组x y 的全体 即R 2RR {x y |x y R }就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作E {x y | x y 具有性质P } 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {x y | x 2y 2r 2} 如果我们以点P 表示x y 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r }邻域设P 0x 0 y 0是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0x 0 y 0距离小于的点P x y 的全体 称为点P 0的邻域 记为U P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义 U P 0 表示xOy 平面上以点P 0x 0 y 0为中心、 >0为半径的圆的内部的点P x y 的全体 点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注 如果不需要强调邻域的半径 则用U P 0表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种1内点 如果存在点P 的某一邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的内点2外点 如果存在点P 的某个邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的外点3边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点 则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E例如 设平面点集E {x y |1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点x y 都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点x y 都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点x y 也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E 为闭集开集的例子 E {x y |1<x 2y 2<2}闭集的例子 E {x y |1x 2y 22}集合{x y |1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域或开区域 连通的开集称为区域或开区域 例如E {x y |1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {x y |1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EUO r其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{x y |1x 2y 22}是有界闭区域 集合{x y | xy 1}是无界开区域集合{x y | xy 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n表示n 元有序数组x 1 x 2 x n 的全体所构成的集合 即R nRRR {x 1 x 2 x n | x i R i 1 2 n } R n中的元素x 1 x 2 x n 有时也用单个字母x 来表示 即x x 1 x 2 x n 当所有的x i i 1 2 n 都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2或R 3中的元素分别与平面或空间中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x x 1 x 2 x n 也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 Rn中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量为了在集合R n 中的元素之间建立联系 在R n中定义线性运算如下 设x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n 为R n 中任意两个元素 R 规定xy x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n x x 1 x 2 x n这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间R n中点x x 1 x 2 x n 和点 y y 1 y 2 y n 间的距离 记作x y 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ显然 n 1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至R n中元素x x 1 x 2 x n 与零元0之间的距离x 0记作||x ||在R 1、R 2、R 3中 通常将||x ||记作|x | 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x采用这一记号 结合向量的线性运算 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x 在n 维空间R n 中定义了距离以后 就可以定义R n中变元的极限设x x 1 x 2 x n a a 1 a 2 a n R n如果||xa ||0则称变元x 在R n中趋于固定元a 记作xa 显然xa x 1a 1 x 2a 2 x n a n在R n中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到nn 3维空间中来 例如设a a 1 a 2 a n R n是某一正数 则n 维空间内的点集U a {x | x R nx a }就定义为R n中点a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V r 2h这里 当r 、h 在集合{r h | r >0 h >0}内取定一对值r h 时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{V T | V >0 T >0}内取定一对值V T 时 p 的对应值就随之确定 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系2121R R R R R +=这里 当R 1、R 2在集合{ R 1 R 2 | R 1>0 R 2>0}内取定一对值 R 1 R 2时 R 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D上的二元函数通常记为zfx y x yD或zfP PD其中点集D称为该函数的定义域x y称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值x y相对应的因变量z的值也称为f在点x y处的函数值记作fx y即zfx y 值域fD{z| zfx y x yD}函数的其它符号zzx y zgx y等类似地可定义三元函数ufx y z x y zD以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间R n内的点集D映射f D R就称为定义在D上的n元函数通常记为ufx1x2x n x1x2x n D或简记为uf x x x1x2x n D也可记为ufP Px1x2x n D函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf x时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数z ln xy的定义域为{x y|xy>0}无界开区域函数z arcsin x2y2的定义域为{x y|x2y21}有界闭区域二元函数的图形点集{x y z|zfx y x yD}称为二元函数zfx y的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在Px yP0x0y0的过程中对应的函数值fx y无限接近于一个确定的常数A则称A 是函数fx y当x yx0y0时的极限定义2设二元函数fPfx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时 都有|fPA ||fx yA |成立 则称常数A 为函数fx y 当x yx 0 y 0时的极限 记为 Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(0或fx yA x yx 0 y 0也记作AP f P P =→)(lim 0或fPAPP 0上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ=则当δ<-+-<22)0()0(0y x即),(),(δO U D y x P⋂∈时 总有|fx y 0|因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x 必须注意1二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A2如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点0 0有无极限 提示 当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f 当点Px y 沿y 轴趋于点0 0时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P x y 沿直线ykx 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→ 因此 函数fx y 在0 0处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解 y xy xy xxy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122 四 多元函数的连续性定义3 设二元函数fPf x y 的定义域为D P 0x 0 y 0为D的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→ 则称函数f x y 在点P 0x 0 y 0连续如果函数f x y 在D 的每一点都连续 那么就称函数f x y 在D 上连续 或者称f x y 是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数fP 上去例6设fx ,y sin x 证明fx y 是R 2上的连续函数证 设P 0x 0 y 0 R 20 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|xx 0|时 有|sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域UP 0 则当Px yUP 0 时 显然 |fx yfx 0 y 0||sin x sin x 0|即fx y sin x 在点P 0x 0 y 0 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续证 对于任意的P 0x 0 y 0R 2因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→ 所以函数fx ,y sin x 在点P 0x 0 y 0连续 由P 0的任意性知 sin x作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义4设函数fx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果函数fx y 在点P 0x 0 y 0不连续 则称P 0x 0 y 0为函数fx y 的间断点 例如 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2O 0 0是D 的聚点 fx y 当x y 0 0时的极限不存在 所以点O 0 0是该函数的一个间断点又如 函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {x y |x 2y 21} 圆周C {x y |x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而fx y 在C 上没有定义 当然fx y 在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin xy 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数fP 在点P 0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 )()(lim 00P f P f p p =→例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim解 函数xy yx y x f +=),(是初等函数 它的定义域为D {x y |x 0 y 0}P 01 2为D 的内点 故存在P 0的某一邻域UP 0D 而任何邻域都是区域 所以UP 0是fx y 的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x 一般地 求)(lim 0P f P P →时 如果fP 是初等函数 且P 0是fP 的定义域的内点 则fP 在点P 0处连续 于是)()(lim 00P f P f P P =→例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x多元连续函数的性质性质1 有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若fP 在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切PD 有|fP |M 且存在P 1、P 2D 使得 fP 1max{fP |PD } fP 2min{fP |PD }性质2 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zfx y 如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对x 的导数 就称为二元函数zfx y 对于x 的偏导数定义 设函数zfx y 在点x 0 y 0的某一邻域内有定义 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量x 时 相应地函数有增量fx 0x y 0fx 0 y 0如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在 则称此极限为函数zfx y 在点x 0 y 0处对x 的偏导数 记作0y y x x x z==∂∂ 00y y x x x f ==∂∂0y y x x xz == 或),(00y x f x例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000类似地 函数zfx y 在点x 0 y 0处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记作y y x x y z==∂∂y y x x y f==∂∂y y x x yz == 或f y x 0 y 0偏导函数 如果函数zfx y 在区域D 内每一点x y 处对x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x 、y 的函数 它就称为函数zfx y 对自变量x 的偏导函数 记作x z ∂∂ xf ∂∂ x z 或),(y x f x偏导函数的定义式x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0求xf∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x求导数 求yf∂∂时只要把x 暂时看作常量而对y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确),(),(00y y x x x x y x f y x f ===),(),(00y y x x y y y x f y x f ===0]),([),(000x x x y x f dx d y x f == 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数ufx y z 在点x y z 处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0其中x y z 是函数ufx y z 的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求zx 23xyy 2在点1 2处的偏导数解 y x x z 32+=∂∂ yx y z 23+=∂∂ 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz例2 求zx 2sin 2y 的偏导数解 y x x z 2sin 2=∂∂ yx y z 2cos 22=∂∂例3 设)1,0(≠>=x x xz y求证zy z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证 1-=∂∂y yx x z xx y z y ln =∂∂zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-例4 求222z y x r ++=的偏导数解 r x z y x x x r =++=∂∂222 r y z y x y y r =++=∂∂222例5 已知理想气体的状态方程为pV =RTR 为常数求证 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p证 因为V RTp = 2V RT V p-=∂∂p RT V = p RT V =∂∂RpV T =R Vp T =∂∂所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数zfx y 在点x 0 y 0的偏导数的几何意义f x x 0 y 0fx y 0x 是截线zfx y 0在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率f y x 0 y 0 fx 0 y y 是截线zfx 0 y 在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00),(222222y x y x y x xy y x f在点0 0有 f x 0 00 f y 0 00 但函数在点0 0并不连续提示0)0 ,(=x f 0) ,0(=y f0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时 有0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点Px y 沿直线ykx 趋于点0 0时 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 故函数fx y 在0 0处不连续类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0二 高阶偏导数设函数zfx y 在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂ ),(y x f y z y=∂∂那么在D 内f x x y 、f y x y 都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zfx y 的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zfx y 在区域D 内的偏导数f x x y 、f y x y 也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zfx y 的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂ yx z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)( x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)( 22)(y zy z y ∂∂=∂∂∂∂同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 设zx 3y 23xy 3xy 1 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z∂∂∂2解 y y y x x z --=∂∂32233 xxy y x y z --=∂∂23922226xy x z =∂∂ 2336y x z =∂∂196222--=∂∂∂y y x y x z 196222--=∂∂∂y y x x y z由例6观察到的问题 y x zx y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数zfx y 的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+= 所以22y x xx z +=∂∂22y x y y z +=∂∂222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u其中222z y x r ++=证 32211r xr x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂同理5232231r y r y u +-=∂∂ 5232231r z r z u +-=∂∂因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r zu y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂33)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r提示 6236333223)()(r x rr x r r r x x r rx x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂§8 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分fxx yfx yf x x yxfxx yfx y 为函数对x 的偏增量 f x x yx 为函数对x 的偏微分fx yyfx yf y x yyfx yyfx y 为函数对y 的偏增量 f y x yy 为函数对y 的偏微分全增量 z fxx yyfx y计算全增量比较复杂 我们希望用x 、y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数zfx y 在点x y 的全增量 z fxx yyfx y 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ 其中A 、B 不依赖于x 、y 而仅与x 、y 有关 则称函数zfx y 在点x y 可微分 而称AxBy 为函数zfx y 在点x y 的全微分 记作dz 即dzAxBy如果函数在区域D 内各点处都可微分 那么称这函数在D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zfx y 在点x y 可微则 z fxx yyfx yAxByo 于是 0lim 0=∆→z ρ从而),(]),([lim ),(lim)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ因此函数zfx y 在点x y 处连续 可微条件定理1必要条件如果函数zfx y 在点x y 可微分 则函数在该点的偏导数x z∂∂、y z ∂∂必定存在 且函数zfx y 在点x y 的全微分为yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 证 设函数zfx y 在点Px y 可微分 于是 对于点P 的某个邻域内的任意一点P xx yy 有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim从而偏导数x z ∂∂存在 且Ax z =∂∂同理可证偏导数y z ∂∂存在 且B y z =∂∂所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 简要证明设函数zfx y 在点x y 可微分 于是有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00从而x z ∂∂存在 且A x z =∂∂同理y z ∂∂存在 且B y z =∂∂ 所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 偏导数x z∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点00处虽然有f x 0 00及f y 0 00但函数在00不可微分即zf x 0 0xf y 0 0y 不是较高阶的无穷小这是因为当x y 沿直线yx 趋于0 0时ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x定理2充分条件 如果函数zfx y 的偏导数x z∂∂、y z ∂∂在点x y 连续 则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯x 、y 分别记作dx 、dy 并分别称为自变量的微分则函数zfx y 的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf x y z 的全微分为dzz u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂= 例1 计算函数zx 2y y 2的全微分解 因为xy x z 2=∂∂ yx y z 22+=∂∂所以dz 2xydxx 22ydy例2 计算函数ze xy在点2 1处的全微分解 因为xy ye x z =∂∂ xyxe y z =∂∂ 212e x z y x =∂∂== 2122ey z y x =∂∂==所以 dze 2dx 2e 2dy 例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分解 因为1=∂∂x u yz ze y y u +=∂∂2cos 21 yzye z u =∂∂ 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf x y 在点P x y 的两个偏导数f x x y fyx y 连续 并且|x | |y |都较小时 有近似等式z dz f x x yxf y x yy即 f xx yy fx yf x x yxf y x yy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm 增大到20 05cm 高度由100cu 减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V 则有V r 2h已知r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有VdVV r rV h h 2rhrr 2h2201000 052021200 cm 3即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm 3例5 计算1 04202的近似值解 设函数f x yx y显然 要计算的值就是函数在x 104y 202时的函数值f 104 202 取x 1 y 2 x 004 y 002 由于f xx yy fx yf x x yxf y x yyx y yx y 1xx yln x y所以10420212212100412ln1002108例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T lg π=现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±、T =2±.问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |.由于|Δl ||ΔT |都很小因此我们可以用dg 来近似地代替Δg 这样就得到g 的误差为||||||T T g l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆T l T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322Tl T l T δδπ+=其中l 与T 为l 与T 的绝对误差 把l =100 T =2, l =, δT =代入上式 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π.02225.0210045.0=⨯=ππδg g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z =fx, y , 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x 、y , 即|Δx |x , |Δy |y , 则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||z 的相对误差约为yx z z y z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||§8 4 多元复合函数的求导法则 设zfu v 而ut vt 如何求dt dz设zfu v 而ux y vx y 如何求x z∂∂和y z ∂∂1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数ut 及vt 都在点t 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zft t 在点t 可导 且有dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明1 因为zfu v 具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=又因为ut 及vt 都可导 因而可微 即有dt dt du du = dtdt dv dv = 代入上式得dt dtdv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dtdt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂= 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明2 当t 取得增量t 时 u 、v 及z 相应地也取得增量u 、v 及z 由zfu v 、ut 及vt 的可微性 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂= t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ令t 0 上式两边取极限 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=注0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ推广 设zf u v w u t vt wt 则zf t t t 对t 的导数为dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=上述dt dz称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数ux y vx y 都在点x y 具有对x 及y 的偏导数 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zf x y x y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂推广 设zfu v w ux y vx y wx y 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂讨论 1设zfu v ux y vy 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2设zfu x y 且ux y 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 这里x z∂∂与xf ∂∂是不同的 x z∂∂是把复合函数zfx y x y 中的y 看作不变而对x 的偏导数 xf∂∂是把fu x y 中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数 y z∂∂与yf ∂∂也有类似的区别3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理3 如果函数ux y 在点x y 具有对x 及对y 的偏导数 函数vy 在点y 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zfx y y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂例1 设ze u sin v uxy vxy 求x z∂∂和y z ∂∂解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vye ucos v 1 e x yy sin xy cos xyy vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vxe ucos v 1 e xyx sin xy cos xy 例2 设222),,(z y x ez y x f u ++== 而y x z sin 2= 求x u∂∂和y u ∂∂解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze yez y xz y xcos 222222222⋅+=++++yx y xey y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例3 设zuv sin t 而uetv cos t 求全导数dt dz解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ve tu sin t cos t e tcos te tsin t cos t e t cos t sin t cos t 例4 设wfxyz xyz f具有二阶连续偏导数 求x w∂∂及z x w ∂∂∂2解 令uxyz vxyz 则wfu v 引入记号u v u f f ∂∂='),(1 v u v u f f ∂∂∂='),(12同理有2f '11f ''22f ''等 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂z f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''= 注 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂ 2221222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂例5 设ufx y 的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式122)()(y u xu ∂∂+∂∂ 22222y u x u ∂∂+∂∂ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 ufx yf cos θ sin θF θ 其中x cos θ y sin θ 22yx +=ρx yarctan=θ应用复合函数求导法则 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u两式平方后相加 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u yu x u 再求二阶偏导数 得x x u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u两式相加 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u全微分形式不变性 设zfu v 具有连续偏导数 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂= 如果zfu v 具有连续偏导数 而ux y vx y 也具有连续偏导数 则dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=dyy v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv v z du uz ∂∂+∂∂= 由此可见 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分解 dv v z du uz dz ∂∂+∂∂= e u sin vdu e ucos v dv e u sin vy dxx dy e u cos vdxdy ye u sin v e u cos vdxxe u sin v e ucos v dye xy y sin xy cos xydx e xyx sin xy cos xydy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数Fx y 在点Px 0 y 0的某一邻域内具有连续偏导数Fx 0 y 00 F y x 0 y 00 则方程Fx y 0在点x 0 y 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx 它满足条件y 0fx 0 并有yx F F dx dy-= 求导公式证明 将yfx 代入Fx y 0 得恒等式 Fx fx 0 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F由于F y 连续 且F y x 0 y 00 所以存在x 0 y 0的一个邻域 在这个邻域同F y 0 于是得yx F F dx dy-=例1 验证方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx 并求这函数的一阶与二阶导数在x 0的值解 设Fx yx 2y 21 则F x 2x F y 2y F 0 10 F y 0 120 因此由定理1可知 方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx yx F F dx dyy x -=-= 00==x dx dy332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=1022-==x dx yd隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程Fx y 0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程Fx y z 0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2设函数Fx y z 在点Px 0 y 0 z 0的某一邻域内具有连续的偏导数 且Fx 0 y 0 z 00 F z x 0 y 0 z 00 则方程Fx y z 0在点x 0 y 0z 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zfx y 它满足条件z 0fx 0 y 0 并有zxF F x z -=∂∂ zyF F y z -=∂∂公式的证明 将zfx y 代入Fx y z 0 得Fx y fx y 0 将上式两端分别对x 和y 求导 得0=∂∂⋅+x z F F z x 0=∂∂⋅+y zF F z y因为F z 连续且F z x 0 y 0 z 00 所以存在点x 0 y 0 z 0的一个邻域 使F z 0 于是得zx F F x z -=∂∂ zy F F y z -=∂∂例2. 设x 2y 2z 24z 0 求22x z∂∂解 设Fx y z x 2y 2z 24z 则F x 2x F y 2z 4 z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂24223222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0可以确定一对二元函数uux y vvx y 例如方程xuyv 0和yuxv 1可以确定两个二元函数22y x y u +=22y x x v +=事实上 xuyv 0 u yx v =1=⋅+u y x x yu 22y x yu += 2222yx x y x yy x v +=+⋅=如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设Fx y u v 、Gx y u v 在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又Fx 0 y 0 u 0 v 00 Gx 0 y 0 u 0 v 00 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点Px 0 y 0 u 0 v 0不等于零 则方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uux y vvx y 它们满足条件u 0ux 0 y 0 v 0vx 0y 0 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0确定一对具有连续偏导数的二元函数uux y vvx y 则偏导数x u ∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数y u ∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xuyv 0 yuxv 1 求x u ∂∂ x v ∂∂ y u∂∂和y v ∂∂解 两个方程两边分别对x 求偏导 得x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u当x 2y 2时 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得y u∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x 当x 2y 2时 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y x yvxu y v ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udxvdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22yx yu xv y u +-=∂∂22y x xv yu x v +-=∂∂ 22y x yv xu y v ++-=∂∂例 设函数xxu v yyu v 在点u v 的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x1证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点x y u v 的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uux y vvx y2求反函数uux y vvx y 对x y 的偏导数 解 1将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论2将方程组7所确定的反函数uux yvvx y 代入7 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x vv x x u u x 01由于J 0 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1 u xJ y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 xt yt zt 这里假定t t t 都在 上可导在曲线上取对应于tt 0的一点M 0x 0 y 0 z 0及对应于tt 0t 的邻近一点Mx 0+x y 0+y z 0+z 作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 当MM 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量T t 0 t 0 t 0就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 t 0xx 0t 0yy 0t 0zz 00例1 求曲线xt yt 2zt 3在点1 1 1处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t 2t z t 3t 2而点1 1 1所对应的参数t 1 所以T 1 2 3 于是 切线方程为 312111-=-=-z y x法平面方程为x 12y 13z 10 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 yx zx问其切线和法平面方程是什么形式提示 曲线方程可看作参数方程 xx yx zx 切向量为T 1 x x2 若曲线的方程为Fx y z 0 Gx y z 0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 yx zx 曲线的参数方程为xx yx zx由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dxdz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz 切向量为) ,,1(dx dz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26 xyz 0在点1 2 1处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydxdz z dx dy y x解方程组得z y xz dx dy --= z y yx dx dz --=在点1 2 1处 0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点1 2 1处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dx dz dx dydx dz dx dy 解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0。
【高等数学习题】第九章 多元函数积分及其应用
1 7、设f ( x, y )为连续函数, 求 lim 2 f ( x, y )dxdy, 其中 r 0 r D D : ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 . 若f ( x, y ) e
x2 y2
cos(x y ), D : x 2 y 2 r 2，结果如河？
D
13、试求极坐标系下由 r a(1 cos )(a 0)所确定图形 的面积 .
14、设f ( x)在[0, a]上连续, 证明 2[ 0 f ( x)dx. x f ( y )dy] [ 0 f ( x)dx]2 .
a a a
8、求由抛轴线 y 4ax与直线x y 3a以及y 0所围成 的平面图形的面积 .
9、试确定常数 A, 使 A sin(x y )dxdy 1, 其中D是
D
由y x, y 2 x及x
2
所围成.
10、试将 dx
1
1
1 x 2 1 x 2
dy
1 x2 y 2
f ( x, y, z )dz化成先对x次对y
最后对z积分的三次积分 .
11 、利用二重积分的估值 性质，估计 ( x 2 y 2 2 x 2 y 2
D
2)d的值, 其中D : 0 x 2,0 y 2.
1y 1确定.
dy(a 0).
3、计算I x 2 dxdydz , : x 2 y 2 a 2 , x 2 z 2 a 2所围成.
4、一立体由两曲面 x 2 y 2 z及z 2 x 2 y 2 所围成，
（1）求该立体的体积，（2）求该立体的表面积.
第九章多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间1．平面点集 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2 R R {(x y)|x y R}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E {(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {(x y)| x2 y2 r2} 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成C {P| |OP| r}邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 P (x y)的全体 称为点 P0 的 邻域 记为 U (P0与点 P0(x0 y0)距离小于 的点 即U(P0, ) {P| | PP0 |} 或U(P0, ) {(x, y)| (xx0)2 (y y0)2 }邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0 为半径的圆 的内部的点 P (x y)的全体 点 P0 的去心 邻域 记作U (P0, ) 即U(P0, ) {P| 0 | P0P|}注 如果不需要强调邻域的半径邻域记作U (P0)则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心点与点集之间的关系任意一点 P R2 与任意一个点集 E R2 之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P) E 则称 P 为 E 的内点(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P) E则称 P 为 E 的外点(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作 EE 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于E聚点如果对于任意给定的 0 点 P 的去心邻域U (P, ) 内总有 E 中的点 则称 P 是 E的聚点由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E {(x y)|1 x2 y2 2} 满足 1 x2 y2 2 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2 y2 1 的一切点(x y)都是 E 的 边界点 它们都不属于 E 满足 x2 y2 2 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边 E 上的一切点都是 E 的聚点开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c 为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E {(x y)|1<x2 y2<2}闭集的例子 E {(x y)|1 x2 y2 2}集合{(x y)|1 x2 y2 2}既非开集 也非闭集连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称 E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E {(x y)|1 x2 y2 2}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E {(xy)|1 x2 y2 2}有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得E U(O r)其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y)|1 x2 y2 2}是有界闭区域 集合{(x y)| x y 1}是无界开区域集合{(x y)| x y 1}是无界闭区域2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn 表示 n 元有序数组(x1 x2 体所构成的集合 即xn)的全Rn R R n}R {(x1 x2xn)| xi R i 1 2Rn 中的元素(x1 x2 xn) 当所有的 xi (i 1 2记为 0 或 O 在解析几何中xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x (x1 x2 n)都为零时 称这样的元素为 Rn 中的零元通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而 Rn 中的元素 x (x1 x2xn)也称为 Rn 中的一个点或一个 n 维向量 xi 称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn 中的零元 0 称为 Rn 中的坐标原点或 n 维零向量为了在集合 Rn 中的元素之间建立联系 在 Rn 中定义线性运算如下设 x (x1 x2 R 规定xn) y (y1 y2yn)为 Rn 中任意两个元素x y (x1 y1 x2 y2xn yn)x ( x1x2xn)这样定义了线性运算的集合 Rn 称为 n 维空间Rn 中点 x (x1 x2 (x y) 规定xn)和点 y (y1 y2yn)间的距离 记作(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2显然 n 1 2 3 时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一 至Rn 中元素 x (x1 x2 R3 中 通常将||x||记作|x|) 即xn)与零元 0 之间的距离 (x 0)记作||x||(在 R1、R2、|| x|| x12 x22 xn2采用这一记号 结合向量的线性运算 便得|| x y|| (x1 y1)2 (x2 y2)2 (xn yn)2 (x, y)在 n 维空间 Rn 中定义了距离以后 就可以定义 Rn 中变元的极限设 x (x1 x2xn) a (a1 a2an) Rn如果||x a|| 0 则称变元 x 在 Rn 中趋于固定元 a显然记作 x ax a x1 a1 x2 a2xn an在 Rn 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n 3)维空间中来 例如设 a (a1 a2an) Rn 是某一正数 则 n 维空间内的点集U(a ) {x| x Rn (x a) }就定义为 Rn 中点 a 的 邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r2h 这里 当 r、h 在集合{(r h) | r>0 h>0}内取定一对值(r h)时V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系其中 R 为常数 这里 对应值就随之确定p RT V当 V、T 在集合{(V T) | V>0T>0}内取定一对值(V T)时 p 的例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系R R1R2 R1 R2这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1 R2)时 R 的对应值就 随之确定 定义 1 设 D 是 R2 的一个非空子集 称映射 f D R 为定义在 D 上的二元函数 通常记为z f(x y) (x y) D (或 z f(P) P D) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 z f(x y)值域 f(D) {z| z f(x y) (x y) D} 函数的其它符号 z z(x y) z g(x y)等 类似地可定义三元函数 u f(x y z) (x y z) D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn 内的点集 D 映射 f D R 就称 为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为u f(x1 x2 或简记为xn) (x1 x2xn) Du f(x) x (x1 x2 也可记为xn) Du f(P) P(x1 x2xn) D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 u f(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数 z ln(x y)的定义域为{(x y)|x y>0}(无界开区域) 函数 z arcsin(x2 y2)的定义域为{(x y)|x2 y2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|z f(x y) (x y) D}称为二元函数 z f(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面例如 z ax by c 是一张平面 而函数 z=x2+y2 的图形是旋转抛物面三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y) P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限定义 2设二元函数 f(P) f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数 总存在正数使得当 P(x, y)DU(P0, ) 时 都有|f(P) A| |f(x y) A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y) (x0 y0)时的极限 记为也记作lim f (x, y) A(x, y)(x0, y0)或 f(x y) A ((x y) (x0 y0))lim f (P) APP0或 f(P) A(P P0)上述定义的极限也称为二重极限例 4.设f(x,y)(x2y2)sinx21 y2证 因为lim f (x, y) 0求证 (x, y)(0,0)|f(x,y) 0 || (x2y2)sinx21 y20||x2y2||sinx21 y2|x2y2可见 >0 取 则当 0 (x0)2 (y0)2 即 P(x, y)DU(O, ) 时 总有|f(x y) 0|lim f (x, y) 0因此 (x, y) (0,0) 必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0 在点(0 0)有无极限 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时lim f (x, y) lim f (0, y) lim 0 0(x, y)(0,0)y0y0当点 P (x y)沿直线 y kx 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0k x2 x2 k2x2k 1 k2ykx因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似lim sin(xy) 例 5 求 (x, y)(0,2) x解lim sin(xy) lim sin(xy) y lim sin(xy) lim y(x, y)(0,2) x(x, y)(0,2) xy(x, y)(0,2) xy (x, y)(0,2)122四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P) f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0 D 如果lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) f(x0,y0)则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称f (x y)是 D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去例 6 设 f(x,y) sin x 证明 f(x y)是 R2 上的连续函数证 设 P0(x0 y0) R20 由于 sin x 在 x0 处连续 故0当|x x0| 时 有|sin x sin x0|以上述 作 P0 的 邻域 U(P0 ) 则当 P(x y) U(P0 )时 显然|f(x y) f(x0 y0)| |sin x sin x0|即 f(x y) sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在R2 上连续证 对于任意的 P0(x0 y0) R2 因为lim(x, y)(x0, y0)f(x, y) lim sin(x, y)(x0, y0)x sinx0f(x0, y0)所以函数 f(x,y) sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数 在 R2 上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点例如如果函数 f(xy)在点f(x,y) xy x2 y2x2 y2 0函数 0x2 y2 0其定义域 D R2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y) (0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点又如函数zsinx21 y21其定义域为 D {(xy)|x2 y2 1}圆周 C {(xy)|x2 y2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的x x2 y2 例如 1 y2sin(x y)ex2 y2 z2 都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的 区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又 在此函数的定义区域内 则limp p0f(P) f(P0)lim x y例 7 求 (x, y)(1,2) xyf (x, y) x y解 函数xy 是初等函数 它的定义域为D {(x y)|x 0 y 0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0 的某一邻域 U(P0) D 是 f(x y)的一个定义区域 因此而任何邻域都是区域lim f (x, y) f (1,2) 3(x, y)(1,2)2所以 U(P0)lim f (P)一般地 求 PP0时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内点 则f(P)在点 P0 处连续 于是lim f (P) f (P0)P P0lim例 8 求 (x, y)(0, 0) 解xy 11 xylim xy11 lim ( xy11)( xy11) lim1 1(x,y)(0, 0) xy(x,y)(0, 0) xy( xy11)(x,y)(0, 0) xy 11 2多元连续函数的性质性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上 有界 且能取得它的最大值和最小值性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M 0 使得对一 切 P D 有|f(P)| M 且存在 P1、P 2 D 使得f(P1) max{f(P)|P D} f(P2) min{f(P)|P D} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间 的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z f(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 z f(x y)对于 x 的偏导数定义 设函数 z f(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 相应地函数有增量如果极限f(x0 x y0) f(x0 y0)lim f (x0 x, y0) f (x0, y0)x0x存在 则称此极限为函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作例如zxx x0 y y0fxx x0 y y0zx xx0y y0或 fx(x0, y0)类似地fx(x0,y0)limx0f(x0 x,y0) xf(x0,y0)函数 z f(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为lim f (x0, y0 y) f (x0, y0)y0y记作zyx x0 y y0fyx x0 y y0zy xx0y y0或 fy(x0 y0)偏导函数 如果函数 z f(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 z f(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作z f x x zx 或 fx(x, y)偏导函数的定义式fx(x,y)limx0f(xx, y) xf(x, y)类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z y偏导函数的定义式f y zy 或 f y(x, y)f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)f 求 x 时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确f 求 y 时只要把 x 暂时看作常量fx(x0, y0) fx(x, y) xx0y y0f y(x0, y0) f y(x, y) xx0y y0fx(x0,y0)[d dxf(x, y0)] xx0fy(x0,y0)[d dyf(x0, y)] yy0偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 u f(x y z)在点(xy z)处对 x 的偏导数定义为fx(x,y,z)limx0f(xx, y,z) xf(x, y,z)其中(x y z)是函数 u f(x y z)的定义域的内点分法问题它们的求法也仍旧是一元函数的微例 1 求 z x2 3xy y2 在点(1 2)处的偏导数z 2x3y 解 xz 3x2y y例 2 求 z x2sin 2y 的偏导数z xx1 2132 8y2z 2xsin 2y 解 xz 2x2 cos2y y例 3 设 z xy(x 0, x 1)求证x z 1 z 2z y x ln x yz yxy1 证 xz xy ln xyx z 1 z x yxy1 1 xy ln x xy xy 2zy x ln x y yln xz yx1 y2 3122 7例 4 求 r x2 y2 z2 的偏导数r xx解 x x2 y2 z2 rr yyy x2 y2 z2 r例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) p V T 1 求证 V T pp RT 证 因为 Vp VRT V2V RT V R p T pTpV RT V p R所以p VV TT pRT V2R pV RRT pV 1例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 z f(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0) [f(x y0)]x 是截线 z f(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y 是截线 z f(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 函数在该点连续 例如f(x,y) xy x2 y2 0x2 y2 0 x2 y2 0在点(0 0)有 fx(0 0) 0 fy(0 0) 0 但函数在点(0 0)并不连续提示也不能保证f (x, 0) 0 f (0, y) 0fx(0,0)d dx[f(x,0)]0fy (0,0)d[ dyf(0,y)] 0当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有lim f (x, y) lim f (x, 0) lim 0 0(x, y)(0,0)x0x0当点 P(x y)沿直线 y kx 趋于点(0 0)时 有lim(x, y)(0,0)xy x2 y2limx0x2k x2 k2x2k 1 k2ykxlim f (x, y)因此 (x, y)(0,0)不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 z f(x y)对 y 的偏导函数 记为z f y y zy 或 f y(x, y)偏导函数的定义式f y (x,y) limy0f(x,y y) yf(x, y)二 高阶偏导数设函数 z f(x y)在区域 D 内具有偏导数z xfx(x,y)z yfy(x,y)那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称 它们是函数 z f(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 z f(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 z f(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数 x(z ) x2z x2fxx(x,y) y( z ) x2z xyfxy(x,y) x(yz )2z yxf yx(x,y) y(z ) y2z y2f yy(x,y)其中 y(z ) x2z xyf xy (x,y) x(z ) y2z yxf yx(x,y)称为混合偏导数 x(z x)2z x2 (z ) 2z y x xy (z ) 2z x y yx y( z y)2z y2同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数2z 3z 2z 2z 例 6 设 z x3y2 3xy3 xy 1 求 x2 、 x3 、 yx 和 xyz 3x2y2 3y3 y 解 xz 2x3y9xy2 x y2z x26xy23z x36y22z 6x2 y 9y2 1 xy2z 6x2 y 9y2 1yx2z 2z 由例 6 观察到的问题 yx xy2z 2z 定理 如果函数 z f(x y)的两个二阶混合偏导数 yx 及 xy 在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例 7 验证函数 z lnx2y2满足方程2z x22z y20z ln x2 y2 1 ln(x2 y2)证 因为2所以z xx2x y2z yx2y y22z x2(x2 y2) x2x (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)22z y2(x2 y2) y2y (x2 y2)2x2 y2 (x2 y2)2因此2z x22z y2x2 y2 (x2 y2)2y2 x2 (x2 y2)20例8．证明函数u1 r满足方程2u x22u y22u z 20其中 r x2 y2 z2证u x1 r2r x1 r2x rx r3 2u x21 r33x r4r x1 r33x2 r5同理 2u y21 r33y2 r5 2u z21 r33z2 r5因此 2u x22u y22u z2(1 r33x2 r5)(1 r33y2 r5)(1 r33z2 r5)3 r33(x2 y2 r5z2)3 r33r 2 r50提示 2u x2 x(x r3)r3x xr6(r3)r3x3r r62r x§8 3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系 有偏增量与偏微分f(x x y) f(x y) fx(x y) xf(x x y) f(x y)为函数对 x 的偏增量 f x(x y) x 为函数对 x 的偏微分f(x y y) f(x y) fy(x y) yf(x y y) f(x y)为函数)对 y 的偏增量 f y(x y) y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(x x y y) f(x y)计算全增量比较复杂 我们希望用 x、 y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数 z f(x y)在点(x y)的全增量z f(x x y y) f(x y)可表示为z AxByo() ( (x)2 (y)2 )其中 A、B 不依赖于 x、 y 而仅与 x、y 有关 则称函数 z f(x y)在点(x而称 A x B y 为函数 z f(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即dz A x B y如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续这是因为如果 z f(x y)在点(x y)可微 则z f(x x y y) f(x y) A x B y o( ) y)可微分lim z 0于是 0lim f (xx, yy) lim [ f (x, y)z] f (x, y)从而 (x,y)(0,0) 0因此函数 z f(x y)在点(x y)处连续 可微条件定理 1(必要条件)如果函数 z f(x y)在点(x y)可微分 且函数 z f(x y)在点(x y)的全微分为z z 则函数在该点的偏导数 x 、 y 必定存在dzz xx z yy证 设函数 z f(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点P (x x y y) 有 z A x B y o( ) f (x x y) f(x y) A x o(| x|)上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得特别当 y 0 时有lim f (xx, y) f (x, y) Ax0xzz A从而偏导数 x 存在 且 xzz B同理可证偏导数 y 存在 且 y所以dz z x z y x y简要证明 设函数 z f(x y)在点(x y)可微分 特别当 y 0 时有f (x x y) f(x y) A x o(| x|) 上式两边各除以 x 再令 x 0 而取极限 就得于是有 z A x B y o( )lim f (xx, y) f (x, y) lim [A o(|x|)] Ax0xx0xzz A从而 x 存在 且 xzz Bdz z x z y同理 y 存在 且 y所以 x yz z 偏导数 x 、 y 存在是可微分的必要条件例如 但不是充分条件 xyf(x,y) x2 y2函数 0x2 y2 0 x2 y2 0 在点(00)处虽然有 f x(0 0) 0 及 f y(00) 0 但函数在(0 0)不可微分 即 z [fx(0 0) x fy(0 0) y]不是较 高阶的无穷小这是因为当( x y)沿直线 y x 趋于(0 0)时z [ fx(0, 0)x fy(0, 0)y]x y (x)2 (y)2xx (x)2 (x)21 20定理 2(充分条件)z z 如果函数 z f(x y)的偏导数 x 、 y 在点(x y)连续 则函数在该点可微分定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、 y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分 则函数 z f(xy)的全微分可写作dzz xdxz ydy二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 u f (x y z) 的全微分为du u dx u dy u dz x y z例 1 计算函数 z x2y y2 的全微分z 2xy 解 因为 xz x2 2y y所以 dz 2xydx (x2 2y)dy 例 2 计算函数 z exy 在点(2 1)处的全微分z yexy 解 因为 xz xexy yz xx2 y1e2z yx2 y12e2所以dz e2dx 2e2dyu xsin y eyz例 3 计算函数2 的全微分u 1 解 因为 xu 1 cos y zeyz y 2 2u yeyz zdu dx(1 cos y zeyz)dy yeyzdz所以22*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 z f (x y)在点 P (x y)的两个偏导数 f x (x y) | x| | y|都较小时 有近似等式f y (x y)连续 并且z dz f x (x y) x f y (x y) y即f (x x y y) f(x y) f x (x y) x f y (x y) y我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 20 05cm 高度由100cu 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有Vr 2h已知 r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有V dV Vr r Vh h 2 rh r r2 h2 20 100 0 05202 ( 1)200 (cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了 200 cm3例 5 计算(1 04)2 02 的近似值解 设函数 f (x y) x y 显然 要计算的值就是函数在 x 1 04 y 2 02 时的函数值 f(1 04 2 02)取 x 1 y 2 x 0 04 y 0 02 由于f (x x y y) f(x y) f x(x y) x f y(x y) y x y yxy 1 x x yln x y所以(1 04)2 02 12 2 12 1 0 04 12 ln1 0 02 1 08例 6 利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是g4 T2l2现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=100±、T=2±. 问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作|Δl|与|ΔT|, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数g4 2l T2的全增量的绝对值|Δg|.由于|Δl|可以用 dg 来近似地代替 Δg 这样就得到 g 的误差为|ΔT|都很小因此我们|g||dg|| g l g T | l T|g l|l|g T|T42(T12l2l T3T)其中 l 与 T 为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2, 为l=, δT=代入上式得 g 的绝对误差约g 4 2(02.21 2213000.004) 0.5 2 4.93(cm/ s2) .g g0.5 2 4 21000.50 022从上面的例子可以看到 对于一般的二元函数 z=f(x, y), 如果自变量 x 、y 的绝对误差分别为 x、 y, 即|Δx | x, |Δy | y,则 z 的误差|z||dz|| z x z y| x y|z x||x||z y||y||z x|x|z y|y从而得到 z 的绝对误差约为z|z x|x|z y|yz 的相对误差约为z zz | z|x zxy zy§8 4 多元复合函数的求导法则设 z f(u v) 而 u(t) vdz (t) 如何求 dt设 z f(u v) 而 u(x y) vz z (x y) 如何求 x 和 y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t)及 v (t)都在点 t 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (t) (t)]在点 t 可导 且有dz z du z dv dt u dt v dt简要证明 1 因为 z f(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dz z du z dv u v又因为 u (t)及 v (t)都可导 因而可微 即有du du dt dv dv dtdtdt代入上式得dz z u du dtdt z v dv dtdt (uz du dtz vdv)dt dtdz z du z dv 从而 dt u dt v dt简要证明 2 当 t 取得增量 t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量 u、 v 及 z 由 z f(u v)、u (t)及 v (t)的可微性 有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv (z z) o(t) o() t u dt v dt u v t t令 t 0 上式两边取极限 即得dz z du z dv dt u dt v dtlim o() lim o() (u)2 (v)2 0(du)2 (dv)2 0注 t0 t t0 tdt dt推广 设 z f (u v w) u (t) v (t) w (t) 则 z f[ (t) (t) (t)] 对 t 的导数为dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dtdz 上述 dt 称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 定理 2 如果函数 u (x y) v (x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函 数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f [ (x y) (x y)]在点 (x y)的两个偏导数存在 且有z xz uu xz vv xz z u z v y u y v y推广 设 z f(u v w ) u (x y) v (x y) w (x y) 则z z u z v z w x u x v x w xz z u z v z w y u y v y w y讨论(1)设 z f(u v) u(x y) v(y)则z xz yz z u 提示 x u xz z u z dv y u y v dy(2)设 z f(u x y) 且 u(x y)则z xz yz f u f 提示 x u x xz f u f y u y yz fz这里 x 与 x 是不同的 x 是把复合函数 z f[ (x y) x y]中的 y 看作不变而对 x的偏导数 似的区别f x 是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数z f y 与 y 也有类3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理 3 如果函数 u (x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v y 可导 函数 z f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 z f[ (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有(y)在点 (x y)z z u x u xz z u z dv y u y v dy例 1 设 z eusin v u xy v x yz z u z v 解 x u x v xeusin v y eucos v 1 ex y[y sin(x y) cos(x y)]z z u z v y u y v yz z 求 x 和 yeusin v x eucos v 1 exy[x sin(x y) cos(x y)]例 2 设 u f (x, y, z) ex2 y2z2 而 z x2 sin y u f f z解 x x z x 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2xsin y 2x (1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 yu u 求 x 和 yu f f z y y z y 2yex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 x2 cos y 2( y x4 sin y cos y)ex2 y2 x4 sin2 ydz 例 3 设 z uv sin t 而 u et v cos t 求全导数 dtdz z du z dv z 解 dt u dt v dt tv et u ( sin t) cos t etcos t e tsin t cos t et(cos t sin t) cos t例 4 设 w f(x y z xyz) f 具有二阶连续偏导数 解 令 u x y z v xyz 则 w f(u v)w 2w 求 x 及 xz引入记号f1f(u, uv)f12f (u,v) uv同理有 f2 f11 f22 等w xf uu xf vv xf1yzf22w xz z(f1yzf2)f1 zyf2yzf2 z f11 xyf12 yf2 yzf21 xy2zf22 f11 y(x z) f12 yf2 xy2zf22注f1 zf1 uu zf1 vv zf11 xyf12例 5 设 u f(x y)的所有二阶偏导数连续f2 zf2 uu zf2 vv zf21 xyf22把下列表达式转换成极坐标系中的形式(u)2 (u)2 (1) x y(2) 2u x22u y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得u f(x y) f( cosθ sinθ) F( θ)其中 xcosθ ysinθ x2 y2 arctan y x应用复合函数求导法则 得u xu xu xu x u y 2u cosu ysin u yu yu yu y u x 2u sinu cos 两式平方后相加 得(u x)2(uy)2(u)21 2(u)2再求二阶偏导数 得2u x2 (u x) x ( u ) x x (ucosu sin )cos (ucosu sin )sin 2u 2cos222u sin cos 2u 2sin 2 2u 2sin cos 2u sin2 同理可得2u y22u 2sin22 2u sin cos 2u 2cos 22u 2sin cos 2u cos2 两式相加 得2u x22u y22u 21 1 22u 21 2[ (u )2u 2]全微分形式不变性 设 z f(u v)具有连续偏导数 则有全微分dz z du z dv u v如果 z f(u v)具有连续偏导数 而 u (x y) v (x y)也具有连续偏导数 则dzz xdxz ydy(z u z v)dx(z u z v)dy u x v x u y v yz (u dx u dy) z (v dx v dy) u x y v x yz uduz vdv由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一 样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 z e usin v u x y v x y 利用全微分形式不变性求全微分dz z du z dv解u ve usin vdu e ucos v dve usin v(y dx x dy ) e ucos v(dx dy)( ye usin v e ucos v)dx (xe usin v e ucos v )dye xy [y sin(x y) cos(x y)]dx e xy [x sin(x y)cos(xy)]dy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0) 0 Fy(x0 y0) 0 则方程 F(x y) 0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 y f(x) 它满足条件 y0 f(x0) 并有求导公式证明将 y f(x)代入 F(xdy Fxdx Fyy) 0 得恒等式F(x f(x)) 0等式两边对 x 求导得F F dy 0 x y dx由于 F y 连续 且 Fy(x0 y0) 0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同 Fy 0 于是得dy Fx dx Fy例 1 验证方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在 x 0 的值解 设 F(x y) x2 y2 1 则 Fx 2x Fy 2y F(0 1) 0 Fy(0 1) 2 0 因 此由定理 1 可知 方程 x2 y2 1 0 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、 当 x 0 时 y 1 的隐函数 y f(x)dy Fx x dx Fy ydy 0 dx x0d2y dx2y xy y2yx( y2x) yy2 x2 y31 y3d 2y dx2x01隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y) 0 可以确定一个一元 隐函数 一个三元方程 F(x y z) 0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理 2 设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0) 0 Fz(x0 y0 z0) 0 则方程 F(x y z) 0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯 一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z f(x y) 它满足条件 z0 f(x0 y0) 并有z Fx x Fz公式的证明 将 z f(x y)代入 F(x y z) 将上式两端分别对 x 和 y 求导 得z Fy y Fz0 得 F(x y f(xy)) 0FxFzz x0FyFzz y0因为 F z 连续且 F z(x0 y0 z0) 0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域得使Fz 0于是z Fx x Fzz Fy y Fz2z 例 2. 设 x2 y2 z2 4z 0 求 x2解 设 F(x y z) x2 y2 z2 4zz Fx 2x x x Fz 2z 4 2 z则 Fx 2xFy 2z 42z x2(2 x) x (2 z)2z x(2x) x( 2(2 z)2x z)(2 x)2 x2 (2 z)3二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组 F(x y u v) 0 G(x y u v) 0 可以确定一对二 元函数 u u(x y) v v(x y) 例如方程 xu yv 0 和 yu xv 1 可以确定两个二元函数ux2y y2vx2x y2事实上xu yv 0v xu yyu x x u 1 yux2y y2vx yx2y y2x2x y2如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x y u v )、G (x y u v )在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F (x 0 y 0 u 0 v 0)0 G (x 0 y 0 u 0 v 0)0 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)不等于零 则方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0在点P (x 0 y 0 u 0 v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u u (xy )v v (x y ) 它们满足条件u 0u (x 0 y 0) v 0v (x 0 y 0) 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组F (x y u v )0 G (x y u v )0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u u (x y ) v v (x y )则偏导数xu∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数yu∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xu yv 0 yu xv 1 求xu∂∂ x v∂∂ y u ∂∂和y v ∂∂ 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v xu y x v y x u x u当x 2y 2 0时 解之得22y x yvxu xu ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x当x 2y 2 0时 解之得22y x yuxv y u +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udx vdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy yx yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂ 22y x yuxv y u +-=∂∂22yx xvyu x v +-=∂∂ 22y x yvxu yv ++-=∂∂例 设函数x x (u v ) y y (u v )在点(u v )的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x(1)证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x y u v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u u (x y ) v v (x y )(2)求反函数u u (x y ) v v (x y )对x y 的偏导数解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论(2)将方程组(7)所确定的反函数u u (x y )v v (x y )代入(7) 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=xv v y x u u y x v v x x u u x 01由于J 0 故可解得vyJ x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v xJ yu ∂∂-=∂∂1 ux J y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为 x(t )y(t ) z(t )这里假定(t ) (t ) (t )都在[ ]上可导在曲线上取对应于t t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t t 0t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z )作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t zz z t y y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000当M M 0即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量 T ((t 0) (t 0) (t 0))就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 (t 0)(x x 0)(t 0)(y y 0)(t 0)(z z 0)0例1 求曲线x t y t 2 z t 3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t2t z t3t 2 而点(111)所对应的参数t 1所以T (1 2 3) 于是 切线方程为312111-=-=-z y x法平面方程为(x 1)2(y 1)3(z 1)0 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 y (x ) z (x ) 问其切线和法平面方程是什么形式 提示 曲线方程可看作参数方程 x x y(x ) z(x ) 切向量为T (1 (x ) (x ))2 若曲线的方程为F (x y z )0G (x y z )0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 y (x ) z(x ) 曲线的参数方程为x x y (x ) z (x )由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26x y z 0在点(12 1)处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x解方程组得z y x z dx dy --= zy yx dx dz --=在点(1 2 1)处0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0 解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点(12 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dydx dz dx dy解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为(x 1)0(y 2)(z 1)0 即x z 0二曲面的切平面与法线设曲面的方程为F (x y z )0M 0(x 0 y 0 z 0)是曲面上的一点 并设函数F (x y z )的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M 0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为 x (t ) y (t ) z (t ) t t 0对应于点M 0(x 0 y 0 z 0) 且(t 0) (t 0) (t 0)不全为零 曲线在点的切向量为T ((t 0) (t 0) (t 0)) 考虑曲面方程F (x y z )0两端在t t 0的全导数 F x (x 0 y 0z 0)(t 0)F y (x 0y 0z 0)(t 0)F z (x 0y 0z 0)(t 0)0 引入向量n (F x (x 0 y 0 z 0) F y (x 0 y 0 z 0) F z (x 0 y 0 z 0))易见T 与n 是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M 0的任意一条曲线 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M 0的切平面 这切平面的方程式是。
《高等数学》第9章多元函数微分法及其应用9_9二元泰勒公式
x)
h n 1
(0 1)
推广
多元函数泰勒公式
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记号 (设下面涉及的偏导数连续):
•
(h
x
k
y
)
f
(x0 ,
y0 )
表示
h
f x (x0 ,
y0 )
k
f y (x0 ,
y0 )
•
(h
x
k
y
)2
f
(x0 ,
y0 ) 表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
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一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f
( x0
h)
f (x0 )
f (x0 )h
f (x0 ) h2 2!
f
(n) (x0 ) hn n!
f
(n1) (x0
x y)4
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0 令 A f xx (x0 , y0 ) , B f x y (x0 , y0 ) , C f y y (x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B2 0 时, 具有极值 A < 0 时取极大值;
高等数学 A 自测自检题解答提示 第 9 章 多元函数微分法及其应用
高等数学 A 自测自检题解答提示第 9 章多元函数微分法及其应用高等数学a自测自检题解答提示第9章多元函数微分法及其应用解决高等数学自测题的技巧a第9章第9章多元函数微分法及其应用第一部分：必备问题一、选择填空题1.设定Z？XY（x？0，x？1），然后zxyxy1，Zyxylnx。
222．设z?ln1?x?y在点?1,2?处的全微分是1.dx？2天？3.I+J或写为1223．设f(x,y)??x?y?，则gradf(1,1)?24．f(x,y)的偏导数1,1．ff及在点(x,y)处存在且连续是f(x,y)在该点可微分的(c)．?x?y(a)必要条件而非充分条件(b)充分条件而非必要条件(c)充分且必要条件(d)既非充分又非必要条件5.F（x，y）在点（x0，Y0）和FX（x0，Y0）处有偏导数吗？fy（x0，y0）？0，然后点（x0，Y0）（d）(a)不是极值点(b)是极大值点(c)是极小值点(d)是驻点x5？xy，x4？y4？0 446. 设f（x，y）=？十、y、那么外汇呢？0,0?? （b）。
0,x4y40(a)0(b)1(c)(d)不存在，但不是?7．设x3?y3?z3?14?3xyz，求Zz、在哪里？1,2,? 1.目前的价值观是（a）？十、y（a）3,5（b）5,3（c）0,5（d）3,0二、计算题2z？2z1。
设定Z？十、克西尼？ELN2，找到2xxy3yz3x2siny,提示：由于?x2．设z??z?2zy?xcosy?e，所以2?6x,?y?x?2z?cosy．?x?yu?z,u?3x?2y,v?2x?3y，求．v?y提示：??z?y32u3?2x?3y??2?3x?2y??z?u?z?v113y?u?．32??2??222vv?u?x?v?xvv?2x?3y2x?3y?dz．dt第1页共4页3.设定Z？埃克斯？t、 x？辛蒂？T2，谢谢高等数学a自测自检题解答提示第9章提示：2dz?zdx?zdy?z112t2sint＝te．＝yexycost?xexy2t?cost?sintetsint2t?dt?xdt?ydt?t2t2t4.让你？埃克斯？z、 z？X2Y，谢谢uu．,?x?y提示：或，由UU埃克斯？ZY2xy？埃克斯？Z十、x2？？十、伊杜？D埃克斯？Z埃克斯？zd？xy？Z埃克斯？Zdxy？z？＝埃克斯？ZDxy？？dz？？埃克斯？zydx？xdy？dx2y＝exy？z2u?udx?dy即得．?ydx?xdy?2xydx+xdy?＝e?y?2xy?dx?e?x?x?dyx?yxy?zxy?z25．设ez?z?xy?0，求Zz、。
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析
一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1．【试卷原题】11.已知,,ABC是单位圆上互不相同的三点，且满足ABAC，则
ABAC
的最小值为（ ） A．14
B．12
C．34
D．1 【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。 【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。 2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。 【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。 2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O，由ABAC得，22()()OBOAOCOA，因为
1OAOBOC，所以有，OBOAOCOA则
()()ABACOBOAOCOA 2OBOCOBOAOAOCOA
21OBOCOBOA 设OB与OA的夹角为，则OB与OC的夹角为2
所以，cos22cos1ABAC2
11
2(cos)22
即，ABAC的最小值为12，故选B。
【举一反三】 【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,
1,,9BEBCDFDC则AEAF的最小值为 .
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AEAF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AEAF，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.
【答案】2918
【解析】因为1,9DFDC12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB，
AEABBEABBC，
19191818AFABBCCFABBCABABBC，
22
1919191181818AEAFABBCABBCABBCABBC
19199421cos12018182117211729
29218921818
当且仅当2192即23时AEAF的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C的焦点1,0F，其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于,AB两点，点A关于x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设89FAFB，求BDK内切圆M的方程.
【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。 【易错点】1．设直线l的方程为(1)ymx，致使解法不严密。 2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。 【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。 【解析】（Ⅰ）由题可知1,0K，抛物线的方程为24yx
则可设直线l的方程为1xmy，112211,,,,,AxyBxyDxy，
故214xmyyx整理得2440ymy，故121244yymyy
则直线BD的方程为212221yyyyxxxx即2222144yyyxyy 令0y，得1214yyx
，所以1,0F在直线BD上.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244yymyy，所以2
12121142xxmymym
，
1211111xxmymy 又111,FAxy，221,FBxy
故2
1212121211584FAFBxxyyxxxxm
，
则2
8484,93mm，故直线l的方程为3430xy或3430xy 22
212112
47416163yyyyyym，
故直线BD的方程3730xy或3730xy，又KF为BKD的平分线， 故可设圆心,011Mtt，,0Mt到直线l及BD的距离分别为3131,54tt
-------------10分 由313154tt得19t或9t（舍去）.故圆M的半径为31253tr
所以圆M的方程为221499xy 【举一反三】 【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线
y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|. （1）求C的方程； （2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程． 【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y2＝4x. （2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【解析】（1）设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝8p，
所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p. 由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2， 所以C的方程为y2＝4x. （2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m，
所以l ′的方程为x＝－1my＋2m2＋3. 将上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0. 设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故线段MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m， |MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2. 由于线段MN垂直平分线段AB， 故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，
从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝ 4（m2＋1）2（2m2＋1）m4
，
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。 即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。 3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。