张卫民,顶点间的最短路径
最短路线标数法
最短路线标数法最短路径算法是最常用的网络分析中的一种算法，它被广泛应用于交通规划、物流配送、航空航运、电信网络等领域。
最短路径算法的目标是在图中找到连接两个节点之间最短距离的路径。
最短路径标度法（Shortest Path Labeling）是其中一种常见的最短路径算法。
最短路径标度法是一种采用动态编程思想的算法，它适用于求解带有非负权值边的有向图中的最短路径。
最短路径标度法可以分为两个基本步骤：初始化阶段和迭代阶段。
初始化阶段是最短路径标度法的第一步，它的目的是对图中的每个节点进行初始化操作，从源节点开始，为每个节点设置一个初始标号，表示从源节点到该节点的最短距离的一个上界。
通常情况下，初始标号被设置为无穷大，除了源节点自身，它的初始标号被设置为0。
初始化阶段还需要为每个节点建立一个连接子集，用于存储已知最短路径的节点，并将源节点加入该连接子集。
迭代阶段是最短路径标度法的核心步骤，该步骤通过不断更新节点的标号来逐渐逼近最短路径。
迭代阶段从连接子集中选择一个标号最小的未知节点，然后通过扫描与该节点相连的所有边来更新其他节点的标号。
如果新的标号比原标号小，则将原标号替换为新标号，并将该节点加入连接子集中。
迭代阶段将重复执行，直到连接子集不再发生变化。
最终，当迭代阶段结束时，连接子集中包含了源节点到每个节点的最短路径。
通过追溯连接子集中每个节点的前驱节点，可以构造出从源节点到目标节点的最短路径。
最短路径标度法的时间复杂度取决于图中的节点数量和边数量。
通常情况下，最短路径算法的时间复杂度介于O(n^2)到O(n^3)之间，其中n表示节点数量。
虽然最短路径标度法在处理大规模图时的性能可能相对较慢，但对于中等规模的图，它仍然是一种高效的算法。
最短路径标度法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在交通规划中，最短路径算法可以帮助交通管理部门确定最优的道路规划方案，以减少交通拥堵和行车时间。
在物流配送中，最短路径算法可以用于确定最短的配送路线，以提高物流效率和降低成本。
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）
【转】彻底弄懂最短路径问题（图论）P.S.根据个⼈需要，我删改了不少问题引⼊问题：从某顶点出发，沿图的边到达另⼀顶点所经过的路径中，各边上权值之和最⼩的⼀条路径——最短路径。
解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出⼀篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。
笔者认为任意⼀个最短路算法都是基于这样⼀个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若⼲个节点到B。
⼀.Dijkstra算法该算法在《数据结构》课本⾥是以贪⼼的形式讲解的，不过在《运筹学》教材⾥被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度递增次序产⽣最短路径。
先把V分成两组：S：已求出最短路径的顶点的集合V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合将T中顶点按最短路径递增的次序加⼊到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）。
(2) 求最短路径步骤1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值，若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化⽅式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取⼀个其距离值为最⼩的顶点W(贪⼼体现在此处)，加⼊S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作⽤⾄关重要)，对T中顶点的距离值进⾏修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值⽐不加W的路径要短，则修改此距离值（上⾯两个并列for循环，使⽤最⼩点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为⽌（说明最外层是除起点外的遍历）。
考研数据结构图的必背算法及知识点
1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图 G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
设置两个新的集合U 和T，其中集合U（顶点集）用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合T （边集合）存放G 的最小生成树中的边。
最短路径问题的求解
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
5、由上图可以得出结论：点C、B、D、E就是点A到它们的最短路径（注意：这些路径并不是经过了 所有点，而是只经过了其中的若干个点，而且到每一个点的那条路径不一定相同）。因而A到E的最 短距离就是13。至于它经过了哪几个点大家可在上述过程中加以记录即可。
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与 启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是： 1、 从A点开始依次展开得到AB（7）、AC（3）、AD（10）、AE（15）四个新 结点，把第一层结点A标 把未展开过的AB、AC、AD、AE四个结点中距离最小的一个展开，即展开AC （3）结点，得到ACB（8）、ACD（16）、ACE（13）三个结点，并把结点AC标记为 已展开； 3、 再从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开AB（7）结点， 得到ABC（12）、ABD（20）、ABE（19）三个结点，并把结点AB标记为已展开； 4、 再次从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开ACB（8）结 点，……； 5、 每次展开所有未展开的结点中距离最小的那个结点，直到展开的新结点中 出现目标情况（结点含有5个字母）时，即得到了结果。
最短路径问题的求解
[问题分析] 对于一个含有n个顶点和e条边的图来说，从某一个顶点Vi到其余任一顶点Vj的最短路径，可 能是它们之间的边（Vi，Vj），也可能是经过k个中间顶点和k+1条边所形成的路径(1≤k≤n-2)。 下面给出解决这个问题的Dijkstra算法思想。 设图G用邻接矩阵的方式存储在GA中，GA[i,j]=maxint表示Vi，Vj是不关联的，否则为权值 （大于0的实数）。设集合S用来保存已求得最短路径的终点序号，初始时S=[Vi]表示只有源点， 以后每求出一个终点Vj，就把它加入到集合中并作为新考虑的中间顶点。设数组dist[1..n]用来 存储当前求得的最短路径，初始时Vi，Vj如果是关联的，则dist[j]等于权值，否则等于maxint， 以后随着新考虑的中间顶点越来越多，dist[j]可能越来越小。再设一个与dist对应的数组 path[1..n]用来存放当前最短路径的边，初始时为Vi到Vj的边，如果不存在边则为空。 执行时，先从S以外的顶点（即待求出最短路径的终点）所对应的dist数组元素中，找出其 值最小的元素（假设为dist[m]），该元素值就是从源点Vi到终点Vm的最短路径长度，对应的 path[m]中的顶点或边的序列即为最短路径。接着把Vm并入集合S中，然后以Vm作为新考虑的中 间顶点，对S以外的每个顶点Vj，比较dist[m]+GA[m,j]的dist[j]的大小，若前者小，表明加入 了新的中间顶点后可以得到更好的方案，即可求得更短的路径，则用它代替dist[j]，同时把Vj 或边（Vm，Vj）并入到path[j]中。重复以上过程n-2次，即可在dist数组中得到从源点到其余 各终点的最段路径长度，对应的path数组中保存着相应的最段路径。 对于上图，采用Dijkstra算法找出C1到Ci之间的最短路径(2≤i≤6)的过程如下：
最短路径问题-数学建模比赛
2015大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：泉州师范学院参赛队员(打印并签名) ：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2015 年 5 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：目录1.摘要 (3)2.问题的重述及分析 (4)3.符号说明 (4)4.模型的分析，建立和求解 (5)5.模型的评价和改进 (10)6.参考文献 (10)7.附录 (11)最短路径问题摘要由于保安资源有限，根据学校的实际情况与需求，泉州师院数学专业新引进了智能机器人---大白，目的是让他自动在校园巡逻，以确保校园的安全。
对于题中所给的三个问题，研究在不同现实背景下的最优线路设计问题，即研究在约束条件下的最短路径问题。
针对本案例，我们采用了大量的科学分析方法，利用图论中的各种知识，采用数据结构里的最短路径算法,也叫Dijkstra 算法，对最优线路的设计进行建模并使用MATLAB 和lingo 软件进行编程求解。
求图中顶点之间所有最短路径的一种实用算法
求图中顶点之间所有最短路径的一种实用算法
孙强;沈建华;顾君忠
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】2002(028)002
【摘 要】提出了求一个顶点到另一个顶点的所有最短路径的一个算法,此算法中设
计了一些独特的数据结构,在算法运行的整个过程中,求一个有效顶点(后面定义)到
终点的所有最短路径的过程(入栈、出栈等操作)实际只进行一遍,用C语言编制的
相应程序验证了这个算法的可靠性和实用性.
【总页数】3页(P134-136)
【作 者】孙强;沈建华;顾君忠
【作者单位】华东师范大学计算机科学技术系,上海,200062;华东师范大学计算机
科学技术系,上海,200062;华东师范大学计算机科学技术系,上海,200062
【正文语种】中 文
【中图分类】TP311
【相关文献】
1.求受顶点数限制的所有最短路径的一个算法 [J], 孙刚明
2.求图中受顶点数限制的所有最短路径的算法 [J], 王卫强;孙强
3.一种实用的所有点对之间最短路径并行算法 [J], 周益民;孙世新;田玲
4.求图中顶点之间所有最短路径的一种算法 [J], 邓礼礼;孙强
5.求有向图中源点到各结点所有路径的一种实用算法 [J], 毛红梅;甘晟科
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
高项 最短路径
高项最短路径
在计算机网络中，最短路径问题是指在一个网络图中找到两个节点之间的最短路径。
这个问题可以使用许多算法来解决，其中最著名的算法之一是Dijkstra的算法。
Dijkstra的算法的基本思想是从源节点开始，每次找到与源节点距离最短的节点，并更新其相邻节点的距离。
这个过程一直重复，直到所有的节点都被访问过。
以下是Dijkstra的算法的步骤：
1.初始化：将源节点到自身的距离设为0，将其他所有节点到源节点的距离设
为无穷大。
2.找到距离源节点最近的节点：找到所有相邻节点中距离最小的节点。
如果
存在多个节点具有相同的距离，则可以选择任意一个节点。
3.更新距离：更新源节点到该节点的距离为当前的距离值，并更新该节点的
相邻节点的距离。
如果通过该节点到达某个节点的距离比当前的距离小，则更新该节点的距离。
4.重复步骤2和3，直到所有的节点都被访问过。
Dijkstra的算法的时间复杂度是O(n^2)，其中n是节点的数量。
因此，对于大型网络图，可能需要使用更高效的算法来解决最短路径问题。
最短路径问题-数学建模[1]
![最短路径问题-数学建模[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2159c62ddccda38376baf3c.png)
更新l(v), f(v) 更新 寻找不在S中的顶点 使 为最小.把 加入到 加入到S中 寻找不在 中的顶点u,使l(u)为最小 把u加入到 中, 中的顶点 为最小 然后对所有不在S中的顶点 如 然后对所有不在 中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则 中的顶点 则 更新l(v),f(v), 即 l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u; 更新 ← ←
3)
重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止 中为止. 重复步骤 直到所有顶点都在 中为止
MATLAB程序（Dijkstra算法 MATLAB程序（Dijkstra算法） 算法） 程序
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:n min=label(terminal); if i~=start path(1)=terminal; label(i)=inf; i=1; end, end s(1)=start; u=start; while path(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); while length(s)<n i=i+1 ; for i=1:n ③ end ins=0; ① for j=1:length(s) path(i)=start; L=length(path); if i==s(j) path=path(L:path=path(L:-1:1); ins=1; end, end if ins==0 v=i; if label(v)>(label(u)+w(u,v)) label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u; end, end, end v1=0; k=inf; ② for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if k>label(v) k=label(v); v1=v; end, end, end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
#define MAX_VERTEX_NUM 20
#include
#include
typedef struct arcnode
{
int adjvex;
struct arcnode *nextarc;
int info;
}arcnode;
typedef struct vnode
{
char data;
arcnode *firstarc;
int mpl;
int frontnode;
}adjlist[MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct
{
adjlist vertices;
int vexnum,arcnum;
}algraph;
main()
{
void bulidalgraph(algraph *g);
void shortpath(algraph *g,char ch);
void putpath(algraph *g,int i);
int locatvex(algraph *g,char ch);
algraph g;
arcnode *p;
int i;
char ch;
bulidalgraph(&g);
for(i=0;i
for(p=g.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc)
printf("%c,%c ",g.vertices[i].data,g.vertices[p->adjvex].data);
printf("\n");
}
printf("请输入要求最短路径的出发点\n");
fflush(stdin);
scanf("%c",&ch);
shortpath(&g,ch);
printf("请输入要调查的路径结点");
fflush(stdin);
scanf("%c",&ch);
if((i=locatvex(&g,ch))<0)exit(1);
putpath(&g,i);
}
void initalgraph(algraph *g)
{
int i;
for(i=0;i
}
int locatvex(algraph *g,char ch)
{
int i;
for(i=0;i
if(g->vertices[i].data==ch)
return(i);
return(-1);
}
void bulidalgraph(algraph *g)
{
int i,j,m,n;
char ch1,ch2;
arcnode *p,*q;
initalgraph(g);
printf("请输入顶点数\n");
fflush(stdin);
scanf("%d",&g->vexnum);
printf("请输入弧数\n");
fflush(stdin);
scanf("%d",&g->arcnum);
printf("请输入各个顶点的值\n");
for(i=0;i
{
fflush(stdin);
scanf("%c",&g->vertices[i].data);
g->vertices[i].mpl=32767;
g->vertices[i].frontnode=-1;
}
for(i=0;i
{
printf("请输入第%d条弧\n",i+1);
fflush(stdin);
ch1=getchar();
fflush(stdin);
ch2=getchar();
if((m=locatvex(g,ch1))<0)exit(1);
if((n=locatvex(g,ch2))<0)exit(1);
if(!(p=(arcnode*)malloc(sizeof(arcnode))))exit(1);
p->adjvex=n;
p->nextarc=NULL;
if(!g->vertices[m].firstarc)g->vertices[m].firstarc=p;
else
{
for(q=g->vertices[m].firstarc;q->nextarc;q=q->nextarc);
q->nextarc=p;
}
printf("请输入此弧的权\n");
fflush(stdin);
scanf("%d",&p->info);
}
}
void shortpath(algraph *g,char ch)
{
int i,j,*final,minimum,k,l;
arcnode *p,*q;
if(!(final=(int *)malloc(g->vexnum*sizeof(int))))exit(1);
if((j=locatvex(g,ch))<0)exit(1);
for(i=0;i
final[i]=0;
for(p=g->vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
{
g->vertices[p->adjvex].mpl=p->info;
g->vertices[p->adjvex].frontnode=j;
}
final[j]=1;
for(i=1;i
{
minimum=32767;
for(k=0;k
if(!final[k])
if(g->vertices[k].mpl
final[l]=1;
for(p=g->vertices[l].firstarc;p;p=p->nextarc)
if(!final[p->adjvex]&&p->info+minimum
{
g->vertices[p->adjvex].mpl=p->info+minimum;
g->vertices[p->adjvex].frontnode=l;
}
}
}
void putpath(algraph *g,int i)
{
int m,n,j;
char ch[20];
m=1;
n=i;
j=0;
ch[j++]=g->vertices[n].data;
while(m)
{
if(g->vertices[n].mpl==32767||g->vertices[n].frontnode==-1)
m=0;
else
{
ch[j++]=g->vertices[g->vertices[n].frontnode].data;
n=g->vertices[n].frontnode;
}
}
printf("\n");
for(--j;j>=0;j--)
printf("%c ",ch[j]);
}